文档内容
第02卷 2025届高三数学上学期期末测试卷（综合测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．设 （其中i为虚数单位），则 （ ）
A．1 B． C．3 D．5
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． （ ）
A． B． C．1 D．
4．设函数 （ ， ），则函数 的单调性（ ）
A．与 有关，且与 有关 B．与 无关，且与 有关
C．与 有关，且与 无关 D．与 无关，且与 无关
5．甲箱中有 个红球， 个白球和 个黑球；乙箱中有 个红球， 个白球和 个黑球.先从甲箱中随机取出
一球放入乙箱中，分别以 、 、 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取
出一球，以 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件 与事件 不相互独立 D． 、 、 两两互斥
6．已知等差数列 ，则 是 成立的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要7．已知直线l与椭圆 在第二象限交于 ， 两点， 与 轴， 轴分别交于 ， 两点（
在椭圆外），若 ，则 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且 ，若关于 的方程 有4个
不同实根 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新
实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙
两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度
满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，
其中 ， ， ，则（ ）
A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平
B．甲村的平均分低于乙村的平均分
C．甲村的高度满意率与不满意率相等
D．乙村的高度满意率比不满意率大
10．已知 是等比数列， 是其前n项和，满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 是正项数列，则 是单调递增数列
B． ， ， 一定是等比数列
C．若存在 ，使 对 都成立，则 是等差数列
D．若存在 ，使 对 都成立，则 是等差数列
11．已知 为坐标原点，曲线 ： ， ， 为曲线 上动点，则（ ）
A．曲线 关于y轴对称 B．曲线 的图象具有3条对称轴C． D． 的最大值为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
13．已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，
1 2
且直线 ．若 则E的离心率为 ．
14．如图，已知正方体 的棱长为2，点 分别为棱 ， ， ， 的中点，
且点 都在球 的表面上，点 是球 表面上的动点，当点 到平面 的距离最大时，异面
直线 与 所成角的余弦值的平方为 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，设 为曲线
的对称中心．
(1)求 ；
(2)记 的角 对应的边分别为 ，若 ，求 边上的高 长的最大值．
16．如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台 ，其中 ，
．
(1)求证： ；(2)若 ，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
17．设函数 ( ).
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时， ，求a的取值范围.
18．已知平面直角坐标系 中，椭圆 与双曲线 ．
(1)若 的长轴长为8，短轴长为4，直线 与 有唯一的公共点 ，过 且与 垂直的
直线分别交 轴， 轴于点 两点，当 运动时，求点 的轨迹方程；
(2)若 的长轴长为4，短轴长为2，过 的左焦点 作直线 与 相交于 两点（ 在 轴上方），分别
过 作 的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小值．
19．已知正整数 为常数，且 ，无穷数列 的各项均为正整数，其前 项和为 ，且对任意正
整数 ， 恒成立.
(1)证明无穷数列 为等比数列，并求 ；
(2)若 ， ，求证： ；
(3)当 时，数列 中任意不同两项的和构成集合A.设集合 ， 中元
素的个数记为 ，求数列 的通项公式.
