文档内容
第 01 讲 集合
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算
2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元二次不等式的解法
2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 无
2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 根号不等式的解法
2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 单绝对值不等式的解法
2021年新I卷，第1题,5分 集合的交集 无
2021年新Ⅱ卷，第2题,5分 集合的交集、补集 无
2020年新I卷，第1题,5分 集合的并集 无
2020年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指
对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后
通过集合的运算得出答案。知识讲解
1．集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每
个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示.
【答案】 集合 元素
2．集合与元素的关系
一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a
集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 .
【答案】 属于 不属于
3．集合的分类
含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作
，记作 .
【答案】 有限集 无限集 空集
4．元素与集合
（1）集合中元素的特性： 、 、 .（2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合
A中的元素，就说a 集合A，记作 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（4）常用数集及其记法：
有
数 正整 理 实数 复数
非负整数集（或自然数集） 整数集
集 数集 数 集 集
集
符 N*或（N
Z Q R C
号 ）
＋
注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该
集合中只有一个元素R.
【答案】 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N
5．集合间的基本关系
（1）如果集合 的 都是集合 中的元素，这是我们说集合 包含于 ，或者集合 集合 ，
记为 .
（2）如果 ，那么我们称集合 和集合 相等，记为 ．
（3）如果 ，且存在 ，则称 是 的真子集，记为 ．
（4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;
可记为 .
（5）如果集合 中有 个不同的元素，则 的所有子集的个数为 .
【答案】 任何一个元素 包含
6．集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并 {x|x∈A，或
由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合
集 x∈B}交 {x|x∈A，且
由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合
集 x∈B}
补 {x|x∈U，且
由全集U中 集合A的所有元素组成的集合
集 x A}
∉
【答案】 或属于 A∪B 且属于 A∩B 不属于
7．交集的性质：
①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ； ④A∩ ＝ ；⑤A∩B B∩A.
【答案】 =
8．并集的性质：
①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪ ＝ ；⑤A∪B B∪A.
【答案】 =
9．补集的性质：
①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U ＝ ；
④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ；
⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)；
⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)．
【答案】
考点一、 判断元素与集合的关系
1．（2022·全国·高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】将 代入 ，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【详解】因为 ，所以 ，等价于 ，
解得 .
故选：A
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 分别为选项中不同值，求出 的值进行判定.
【详解】当 时， ，所以 ，故A正确；
当 时， ，所以 ，故B错误；
当 或 时， ，所以 ，故C错误；
当 时， ，所以 ，故D错误.
故选：A
2．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知 ，若 ，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得 且 ，解得 ．
故选：A考点二、集合 中元素的特性
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则实数 为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
【答案】B
【分析】由题意可得 或 ，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为 且 ，
所以 或 ，
①若 ，此时 ，不满足元素的互异性；
②若 ，解得 或3，
当 时不满足元素的互异性，当 时， 符合题意.
综上所述， .
故选：B
2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A． 或3 B．0 C．3 D．
【答案】C
【分析】由集合相等的含义得 ，求解并验证互异性即可.
【详解】 ，
，解得 或 ，
当 时， ，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当 时， ，
此时 ，满足题意.
综上， .
故选：C.
1．（2024高三·全国·专题练习）设集合 , 若 , 则 的值为（ ）A． B．-3 C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知 或 .
当 时, 或 ; 当 时, .
当 时, 不满足集合中元素的互异性, 故 舍去;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求.
综上, 或 .
故选: D.
2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据 得到 或 ，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.
【详解】因为 ，所以① 或② ，由①得 或 ，其中 与
元素互异性矛盾，舍去， 符合题意，由②得 ，符合题意，两种情况代入得 .
故选：C.
考点三、集合 间 的 基本关系
1．（2023·全国·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
2．（2024·辽宁·三模）若全集 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 中函数的值域，得到集合 ，判断两个集合的包含关系.
【详解】全集 ， ，则 ，
，所以 .
故选：D
3．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合 ， ，且 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再分 、 两种情况讨论，确定集合 ，再根据集合的
包含关系得到不等式，解得即可.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，符合 ，
当 时，由 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
综上可得 的取值范围为 .
故选：D
1．（2024·山东滨州·二模）已知集合 ，则A的子集个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C
【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解.
【详解】由题意可得： ，
可知A有3个元素，所以A的子集个数为 .
故选：C.
2．（2024·浙江·二模）已知集合 ， ，若 ，则满足集合 的个数为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【详解】因为 ，
所以 可以是 ，共8个，
故选：D
3．（2024·湖北·三模）已知 ， ，若 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解.
【详解】解：因为 ，且 ，
若 ，则
故选：D.
考点 四 、 集合的基本运算
1．（2024·全国·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，从而 .
故选：A.
2．（2024·全国·高考真题）集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 的值，然后计算 即可.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：A.
1．（2023·全国·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
2．（2024·湖南长沙·二模）已知集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由 ，得 ，则 ，
当 时， ，则 ，所以 .
故选：A
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求集合 ，进而利用集合的交集与补集运算即可求解.
【详解】 ；
由 ，得 ，解得 ，
所以 ；
；
，
于是 .
故选：C.
考点 五 、 集合新定义
1．（2024·河南·三模）定义集合运算： ，若集合 ，
，则集合 中所有元素之和为 ．
【答案】4
【分析】根据新定义求出集合 中的所有元素，即可得解.
【详解】 ， ，当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， .
所以 ，所以集合 中所有元素之和为 .
故答案为：4
2．（浙江·高考真题）设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T
②对于任意x，y T，若x
