文档内容
模块八 概率与统计（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标，高于 表示经济活动扩张，低于
表示经济活动收缩．已知2024年1月－10月中国制造业采购经理指数依次为： ，
，则这10个数据的 分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把这10个数据按照从小到大的顺序排列，即
；
又 ，
所以 分位数是第8个数据 ．
故选：D．
2．已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
3．如图是根据一组观测数据得到海拔 千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为 ，决定系数为 ；根据非线性回归模型得到经验回归方程为 ，
决定系数为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程 可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低 kPa
C．由方程 可知，样本点 的残差为
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程 的预报效果更好
【答案】B
【解析】对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，
所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；
对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；
对于C，当 时， ，
所以样本点 的残差为 ，故C正确；
对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，
因此方程 的预报效果更好，故D正确．
故选：B．
4．已知随机变量 ， ，则 （ ）A．a B． C． D．
【答案】B
【解析】 随机变量 ，
正态曲线关于 对称，
，
，
故选：B.
5．已知样本数据 ，若去掉其中的最大数与最小数，则下列统计量不会变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差
【答案】B
【解析】因为样本数据 的平均数为 ，
中位数为 ，标准差为
，
极差为 ，
又 的平均数为 ，中位数为 ，
标准差为 ，极差为 ，
故选：B.
6．甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相
同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，
则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】甲、乙二人从各自的10道题中各自独立地随机抽取2道题，不同的抽法共有
（种），
其中有且仅有2道代数题的抽法共有 （种），
所以甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为 .
故选：C.
7．“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想
史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四
书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本
书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书
中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从
这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为 ，易知 ，
由二项分布的数学期望公式与方差公式可知：
， .
由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4，
，
，，
，
，
，
.
故选：D.
8．在一组样本数据中，正整数 ， ， ， 出现的频率分别为 ， ， ， ，且 ，
，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】样本数据的平均数 ，
结合选项可知 ， 且 ，
所以 ，
样本数据的方差．
因为 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，故 ，
所以 最大时，方差最大，即标准差最大，故B正确．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校高三年级第一次联考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年
级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）
A．
B．估计该年级学生物理成绩的均值为72
C．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.5
D．估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为240
【答案】BCD
【解析】A选项， ，解得 ，故A错误；
B选项，由频率分布直方图可知，估计该年级学生物理成绩的均值为
，故B正确；C选项， 的频率为 ，
的频率为 ，
估计该年级学生物理成绩的中位数为 ，故C正确；
D选项，估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为 ，故D正确．
故选：BCD．
10．已知随机事件A，B发生的概率分别为 ， 事件A，B的对立事件分别为 ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A与B互斥，则
C．若 ，则 A，B相互独立
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ，所以A正确;
对于B，因为A与B互斥，所以 ，所以B正确;
对于C，因为 ，根据事件独立性的定义可知A，B相互独立，所以C正确;
对于D，由 ，所以D错误.
故选：ABC.
11．已知 表示 中最小的数， 表示 中最大的数.若
为 的任意排列，设 ，，则（ ）
A．排列总数为720个 B．满足 的排列有80个
C． 的概率为 D． 的概率为
【答案】ACD
【解析】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为 个，所以A正确；
B，若 ，则先从1，2，3，4，5，6中随机选出3个数，共有 种不同的方法，
再将剩下3个数任意排列，共有 种不同的方法，
则满足 的排列有 个，所以B错误；
CD，因为 ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，共有10种不同的情况，则 的概率为 ，所以C正确；
的概率为 ，所以D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40 名学生进
行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的2 2列联表：
锻炼情况
性别 合计
不经常 经常
女生/人 14 7 21
男生/人 8 11 19
合计/人 22 18 40
临界值表如下：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据这些数据，则下列正确结论的序号是 ．
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响
②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响
③根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率
不超过0.05
④根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为
性别对体育锻炼的经常性没有影响
【答案】①④
【解析】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为 ，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为 ，
因为 ，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；，所以根据小概率值 的独立性检验，
没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故
④正确，③错误．
故选：①④.
13．现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、
4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个
羽毛球的次品的概率为 .
【答案】0.031
【解析】设任取一件羽毛球来自 厂为事件 、来自 厂为事件 、来自 厂为事件 ，则彼此互斥，且
,
，
设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件 ，
则 .
故答案为： .
14．绝大多数比赛都采用“ 局 胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常
是进行偶数局. 现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行
局，谁赢的局数大于 局，谁就获得最终胜利. 已知每局比赛中，甲获胜的概率均为 乙获胜
的概率均为 . 记甲赢得整个比赛的概率为 . 若 则 ，若 则当
时， 最大.【答案】
【解析】当 时，甲乙比赛四局，则甲要赢3局或4局才能获胜，计算
，
时，甲乙比赛二局，则甲要赢2局，计算 ，
所以 ；
在 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为 局
故
所以
1).前 局，甲胜 局，后2场甲2胜，概率为 ；
2).前 局，甲胜 局，后2场甲1胜1负或者2胜，概率为 ；
3).前 局，甲至少胜 局，后2场甲1胜1负或者2胜，概率为 ；
所以 ，所以 ，
即得 ，
所以 ，
计算得 ，即 ，所以当 时， 最大.
故答案为： ， .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目
标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该
弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，
若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准
枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能
击中目标，记参与者击中目标共需要射击 次.
(1)求 和 的值；
(2)求 的所有可能取值；
(3)求 的分布列.
【解析】（1）由题意可得， ，. （4分）
（2）由题意可得 的所有可能取值为1， ， ， ， . （5分）
（3） ，
，
， （11分）
故 的分布列为
1 2 3 4 5
（13分）
16．（15分）
国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设. 现对近4年的国家自然
科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：
年份 2020年 2021年 2022年 2023年
年份序号 1 2 3 4
项目支出/百亿元 90 96 100 108
(1)经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系. 请求出项目支出y关于年份序号x的
经验回归方程，并预测2025年的项目支出；
(2)天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交
流，天元基金委员会举办了论坛活动. 经调查统计，甲、乙两个地区共有200人参加此次论坛活动，具体
数据如下表：
男生 女生 合计/人
甲 65 35 100
乙 45 55 100合计/人 110 90 200
（i）根据小概率值 的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？
（ii）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10分），现采用按男、女样本量比例分配的
分层随机抽样，从上述200人中抽取40人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9分，方差为7.19，
女生样本的满意度平均数为7分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并
对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.
附： ， ， ，其中
.
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】（1） ，
，
，
所以 ，
所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x的经验回归方程为 .
当 时， （百亿元），
预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元. （6分）
（2）（i）零假设为
申报天元基金者的所在地区与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
. （8分）依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为申报天元基金者的所在地区与性
别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （9分）
（ⅱ）把男生样本的满意度平均数记为 ，方差记为 ；
女生样本的满意度平均数记为 ，方差记为 ；总样本的满意度平均数记为 ，方差记为 .
则 ，
根据男、女样本量按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本的满意度平均数为 ，
.
总样本的满意度的平均数为8.1，方差为8.
并据此估计全体参加论坛活动的天元基金者的满意度的平均数为8.1，方差为8. （15分）
17．（15分）
已知正四棱锥 的体积为 ，高为 .
(1)现有一蚂蚁从 点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动 个单位，求 秒后
该蚂蚁与点 的距离 的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中 的蚂蚁计划只可能从 点出发，另外 的蚂蚁计划既可能从
点出发，又可能从 点出发. 若蚂蚁只可能从 点出发，则记 分；若既既可能从 点出发，又可能从 点
出发，则记 分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取 只蚂蚁 ，记这 只蚂蚁的合计得分恰为 分的概率为 ，求 ；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为 分的概率为 ，随着抽取蚂蚁
的无限增加， 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.【解析】（1）该正四棱锥的底面面积 ，故底面边长 ，侧棱长
.
若该蚂蚁沿着 移动，则 秒后该蚂蚁与点 的距离 ；
若该蚂蚁沿着 或 移动，则 秒后该蚂蚁与点 的距离 ；
若该蚂蚁沿着 移动，则 秒后该蚂蚁与点 的距离 . （4分）
所以 的分布列为
. （5分）
（2）（i）每只蚂蚁有 的概率得 分，有 的概率得 分.
从而 只蚂蚁的总得分为 当且仅当恰有一只蚂蚁得 分.
故 ，所以 .
设 ，则 ，作差即得
.
所以 . （9分）
（ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为 分，必然是至多抽取了 只蚂
蚁.
在得分为 分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到 分或 分，这两者是对立事件，抽取若干蚂蚁得分 分，记为事件 ，得分 分的事件记为 ，
，
由对立事件的概率关系可得：
，
，
，
所以 ，
当 时， ，
所以 . （15分）
18．（17分）
为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参
赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问
答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，
在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计
试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果
第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二
位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为
本场比赛总得分.
(1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是
、 ，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A
同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X
的分布列和期望，并求出Y的期望；
(2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为 ，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为 ，
丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为 .
①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列；
②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望.
【解析】（1） 同学参赛得分 所有取值为0，4，8，12，
， ，
， ， （5分）
所以 的分布列为
0 4 8 12
. （5分）
（2）①设乙选手在三次测试中得分为 ，则 所有取值为0，4，8，12，
， ，
， ， （8分）
所以 的分布列为
0 4 8 12
②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为 ，
则 所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，
在甲选手已通过测试的条件下概率如下：
， ，， ，
， ，
， ，
， ， （14分）
所以 的分布列为
1 1 2
0 4 8 12 22 28 32
4 8 4
由于甲选手通过测试的概率为 ，所以总得分的期望为 . （17分）
19．（17分）
将数组 的某一个全排列记为 ，若满足： ，
能被3整除，则称 为 的一个“好排列”.例如： 的“好排列”共有两
个： ， .
(1)写出 的所有“好排列”；
(2)若 中“好排列”至少有4个，求 的取值范围；
(3)记 的“好排列”个数为 ，证明： .
【解析】（1） 的所有“好排列”为： . （3分）（2）当 时， 只有2个，不符合要求；
当 时，由（1）可知， 只有3个“好排列”，不符合要求；
当 时， 的“好排列”有 ， ， ， ，至少有4个，
符合要求；
当 时， 的“好排列”至少有 ，
， ， ，至少4个，符合要求；
故当 时， 中“好排列”至少有4个. （8分）
（3）（i）考虑 中“好排列”个数 ：
因为 是 的一个排列，考虑 除以3的余数，共有 个1，n个
2，n个0；
考虑由余数形成的排列 ，其中 为 个1，n个2， 个0的全排列，为满
足“好排列”的条件要求，
排列 中每个1的右边必为2，故“好排列”的最后一个数为1，形如 ；
其中 的排法数即为 个0与 个 的排法数，即 .
故 中“好排列”的个数 . （11分）
（ii）考虑 中“好排列”个数 ；
因为 是 的一个排列，考虑 除以3的余数，共有 个1，
个2，n个0；
考虑由余数形成的排列 ，其中 为 个1， 个2， 个0的全排列；①情况1： 中， 个1与 个2形成 个 ，每个1的右边均为2；
此时 为“好排列”的排法数即为 个0与 个 的排法数，
即 .故 “好排列”的个数有
； （14分）
②情况2： 最后位置的数为1，则第一位的数必为2，即排列 ；
其中 的排法数即为 个0与 个 的排法数，即 .
故 “好排列”的个数有
.
由①，②可得 .
所以 （17分）
