文档内容
微专题：求函数的值域
【考点梳理】
求函数值域常用方法：配方法、单调性法、图象法、基本不等式法、导数法等.
【题型归纳】
题型一： 常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域
1．已知集合 ，集合 ， ，则 等于（ ）．
A．R B． C． D．
2．已知函数f (x) ， ，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二： 复杂（根式型、分式型等）函数的值域
4．已知函数 ，（ ），则它的值域为（ ）
A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）
5．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：复合函数的值域
7．函数 的值域为 （ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
8．函数的 值域为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
题型四：根据值域求参数的值或者范围
10．若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
12．已知函数 在 上的值域为 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：根据函数的值域求定义域
13．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ）
A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1）
14．若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（ ）
A．R B．[9，+∞)
C．[1，+∞) D．(-∞，1)
15．已知函数f(x)＝log x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为（ ）
2
A．[ ，2] B．[2，4]
C．[4，8] D．[1，2]
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为
，值域为 的“孪生函数”共有
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
17．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．下列函数中，值域为 的函数是（ ）
A． B． C． D．
20．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的
最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .已知函数 ，则函数 的值域
为（ ）
A． B． C． D．
21．函数 （ ）的值域为（ ）
A．
B．
C．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．
22．函数 的值域是（ ）
A．(－∞，1 B．(－∞，－1 C．R D．［1，+∞
23．已知函数 ，则f(x)的值域是（ ）
A． B．
C． D．
24．函数y 的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
25．函数 下列关于函数 的说法错误的是（ ）
A．函数 的图象不关于原点对称
B．函数 的值域为
C．不等式 的解集是
D．存在实数a，使得关于x的方程 有两个不相等的实数根
26．函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
27．函数 的图象是如图所示的折线段 ，其中 ， ，函数 ，那么函数
的值域为（ ）
第 4 页
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C． D．
28．已知函数 的值域为 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
29．函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
30．函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
32．若 为实数，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是（ ）
第 5 页
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C． D．
34．下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
35．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
36．已知函数 ， ，对于任意的 ，存在 ，使得 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：
设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如： ， .
已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． ， C． ， ， D． ，0，
38．已知函数 对任意 ，都有 ，当 ， 时， ，则函数 在 ，
上的值域为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
39．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
40．函数y＝2x＋ ，则（ ）
A．有最大值 ，无最小值 B．有最小值 ，无最大值
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．有最小值 ，最大值 D．既无最大值，也无最小值
二、多选题
41．(多选)下列函数，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
42．下列说法正确的是（ ）
A．函数 的值域是 ，则函数 的值域为
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若 ，则
D．函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为
43．关于函数 的性质描述，正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上是增函数 D． 的图象关于原点对称
44．已知函数 ，则函数具有下列性质（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 在定义域内是减函数
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的值域为
三、填空题
45．若 ，且 ，则 的取值范围是______.
46．函数 的值域为________．
47．若函数 的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．
48．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．
49．已知函数 的值域为 ，则实数t的取值范围是__________．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50．函数 的值域为____________.
四、解答题
51．已知函数 ， .
（1）当 时，写出 的单调递减区间（不必证明），并求 的值域；
（2）设函数 ，若对任意 ，总有 ，使得 ，求实数t的取值范围.
52．求下列两个函数的值域：
（1） ；
（2） .
53．已知 为奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）求函数 的值域.
54．求下列函数的值域：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ；
（5） ；
（6） .
55．已知函数 为偶函数，当 时， ，（a为常数).
（1）当x<0时，求 的解析式：
(2)设函数 在[0，5]上的最大值为 ,求 的表达式；
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)对于（2)中的 ，试求满足 的所有实数成的取值集合.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】
解不等式 得： ，即 ， ， ，即 ，
于是得 ，所以 .
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.
【详解】
,对称轴 ,当 , 又因为
,
所以函数的值域为 .
故选:D
3．B
【解析】
【分析】
有题意可知，集合 表示函数 的值域，集合 表示函数 的定义域，分别求出集合 、 ，最后利
用交集的定义求解即可.
【详解】
集合 表示函数 的值域，即为 ,
集合 表示函数 的定义域，即为 ，解得 ，
所以 ，
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
化简函数 ，结合 ，求得 的取值范围，即可求解.
【详解】
由题意，函数
第 10 页设 ，则 ，可得
故 的值域为 .
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
分别求出函数 的值域以及函数 的定义域，即化简出集合 和集合 ，再求其交集即可
【详解】
本题考查集合的交集运算.
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
因为 需满足 ，即 ，所以 .
所以 ，
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
先换元 ，再分离常数求值域即可.
【详解】
令 ， ，
可得 ， ，
，故 .
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
本题通过换元法求值域，先令 ，将函数 转化成二次函数进行求解.
【详解】
函数的定义域是 ，令 ，则 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以原函数的值域为 ．
故选：D.
第 11 页8．B
【解析】
【分析】
令 ，则 ，再根据二次函数的性质求出 的最大值，进而可得 的范围，再计算 的范围即
可求解.
【详解】
令 ，则 且
又因为 ，
所以 ，所以 ，
即函数的 值域为 ，
故选：B.
9．C
【解析】
【分析】
先求出 ，即可根据指数函数的性质求出 的值域.
【详解】
令 ，则 .
，因为
所以 ，
所以
故选:C.
【点睛】
本题考查简单复合函数的值域，属于基础题.解决本类问题的思路是先找到内层函数的取值范围，再由外层函数的
单调性求出该函数的值域.
10．C
【解析】
【分析】
当 时易知满足题意；当 时，根据 的值域包含 ，结合二次函数性质可得结果.
【详解】
当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
第 12 页综上所述： 的取值范围为 .
故选：C.
11．A
【解析】
【分析】
根据函数的定义域可得 ， ， ，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】
解：∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ .
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.
【详解】
函数 在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时 时 ，
函数 的部分图象及在 上的的图象如图所示.
所以为使函数 在 上的值域为 ，实数m的取值范围是 ，
故选：B.
13．D
【解析】
【分析】
第 13 页先画出 的图象，再根据其值域为 ，结合选项即可判断.
【详解】
画出 的图象如图所示：
由图可知： ， ，
根据选项可知：当 的定义域为 ，值域为 时，
的可能值为 ， ， ，所以D错误.
故选：D.
14．C
【解析】
【分析】
解：由题意可得 ，从而可求出函数的定义域
【详解】
解：因为函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，
所以 ，解得 ，
故选：C
【点睛】
此题考查由函数的值域求函数的定义域，属于基础题
15．A
【解析】
【分析】
由f(x)值域求其定义域范围，结合φ(x)＝f(2x)＋f(x2)列不等式组求定义域
【详解】
∵f(x)的值域为[1，2]，即1 ≤ log x ≤ 2，
2
∴2≤x≤4
第 14 页∴f(x)的定义域为[2，4]，
∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)应满足 ，解得 ≤ x ≤ 2
∴φ(x)的定义域为[ ，2]
故选：A
【点睛】
本题考查了求函数的定义域，由函数的值域求定义域，再求由此函数构成的复合函数定义域
16．D
【解析】
【分析】
根据孪生函数的定义，求出 和 的 值，再根据定义域和值域的关系一一列举出可能的定义域.
【详解】
当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，
当定义域有两个元素时有 ，当定义域有3个元素时有
，当定义域有4个元素时有 ，所以共有9个，
故选D.
【点睛】
本题考查新定义，对新定义的理解，以及理解定义域和值域的关系，属于中档题型.
17．C
【解析】
【分析】
令 ，转化为二次函数 在定区间的值域，即得解
【详解】
由题意，函数的定义域为
令
故
由于 为开口向下的二次函数，对称轴为
故当 时， ，无最小值
故函数 的值域是
故选：C
18．C
【解析】
【分析】
第 15 页由题得 ，即求.
【详解】
∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．
故选：C．
19．C
【解析】
【分析】
结合基本初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，根据一次函数的性质，可得函数 的值域为 ，不符合题意；
对于B中，根据二次函数的性质，可得函数 的值域为 ，不符合题意；
对于C中，根据幂函数的性质，可得函数 的值域为 ，符合题意；
对于D中，由函数 ，可得其定义域为 ，
由 ，可得函数的值域 ，不符合题意.
故选：C.
20．B
【解析】
【分析】
由 为奇函数，可先分析函数 时值域，即可得函数在R上值域，利用高斯函数的意义求解即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 是 上的奇函数.
当 时， ，
所以当 时， ，
从而 的值域为 .
故选：B
21．A
【解析】
【分析】
第 16 页先分离常数，再求出 ，从而得到 即可得到答案.
【详解】
，由于 ，∴ ， ， ，
于是 ，故函数 的值域为 .
故选：A.
22．A
【解析】
【分析】
令 ，化简函数 ，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
令 ，则 ，所以 ，
当 时，此时函数取得最大值1，
所以函数的值域为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了函数的值域的求解，以及二次函数的图象与性质和换元法点应用，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
23．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求得函数的值域.
【详解】
由于 ，故 ，故函数的值域为 .
故选：C
【点睛】
本题考查函数值域的求法，属于基础题.
24．D
【解析】
【分析】
分离常数即可得出 ，从而得出 ，进而得出该函数的值域．
【详解】
第 17 页解： ，
∴y ，
∴该函数的值域为 ．
故选：D．
25．D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质、指数函数的性质，结合函数的单调性进行求解判断即可.
【详解】
因为 ，所以函数不是奇函数，其图象不关于原点对称，
因此选项A的说法正确；
，因为 ，所以 ，因此 ，
即 ，所以 ，因此选项B的说法正确；
由上可知： ，所以由 ，
因此选项C的说法正确；
由上可知： ，由函数单调性的性质可知该函数是实数集上的增函数，因此关于x的方程
不可能有两个不相等的实数根，所以选项D的说法不正确，
故选：D
26．B
【解析】
【分析】
令 ，可得 ，可知关于 的方程 有解，分 、
两种情况讨论，结合已知条件可求得 的取值范围，即可得解.
【详解】
设 ，则有 ，
当 时，代入原式，解得 ．
当 时， ，
由 ，解得 ，于是 的最大值为 ，最小值为 ，
第 18 页所以函数 的最大值与最小值的和为 ．
故选：B.
27．B
【解析】
【分析】
根据图象可得 的解析式，进而可得 的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求
并集即可求解.
【详解】
由题图可知， ，所以直线 的方程是 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 在 上单调递增，此时函数 的值域为 ；
当 时， ，
所以当 时，函数 取得最大值 ；当 时，函数 取得最小值 ，
此时函数 的值域为 ，
综上可知，函数 的值域为 ，
故选：B.
28．C
【解析】
【分析】
由题可得 ，令 ，设 ，则 ，再利
用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】
∵ ，
∴ ，
令 ，设 ，则 ，
第 19 页当 时， 在 上单调递减，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， ，无解，
当 时， ，无解.
综上， 或 .
故选：C.
29．A
【解析】
【分析】
令 ，则 ，利用反比例函数的单调性，即得解.
【详解】
由题意，令 ，由于 ，故 ，
故 ，由反比例函数的性质， 在 单调递增，
故当 时， ；当 时， ，
故函数在 的值域为： .
故选：A.
30．B
【解析】
根据题意，画出二次函数的图象，数形结合求值域.
【详解】
因为 ，故作出其函数图象如下所示：
第 20 页由图，结合二次函数的性质，可知：
， ，
故其值域为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查二次函数在区间上的值域，数形结合即可求解.
31．C
【解析】
【分析】
令 ，则 ，原函数即为： ，可解决此题．
【详解】
解：令 ，则 ，
原函数即为： ，
对称轴方程为 ，可知 ，
函数值域为 ．
故选：C．
32．D
【解析】
【分析】
根据 结合二次函数的性质得出其值域.
【详解】
∵ ，且函数 的对称轴为
∴
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.
33．B
【解析】
第 21 页首先求函数在 时函数的值域，再根据函数的值域为 ，确定 时函数的单调性和端点值的范围，求实数
的取值范围.
【详解】
时， ，
又 的值域为 ，则 时， 的值域包含 ，
，解得： .
故选：B
34．C
【解析】
由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．
【详解】
解： 函数 的值域为 ， ，故排除 ；
函数 的值域为 ，故排除 ；
函数 的值域为 ，故 满足条件；
函数 的值域为 ， ，故排除 ，
故选： ．
35．B
【解析】
【分析】
求出集合 后可求 .
【详解】
， 而 ，
因为 ，故 ，
故选：B.
36．B
【解析】
分别求两个函数在区间 的值域，再根据条件转化为子集关系求解.
【详解】
时单调递增函数，
的值域是 ，
的对称轴是 ，在 上，函数单调递减，
的值域是 ，
对于任意的 ，存在 ，使得 ，
第 22 页，
，解得： .
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查双变量函数相等问题，此类问题，转化为求函数值域，并转化为子集问问他解决.
37．B
【解析】
【分析】
利用常数分离法将原函数解析式化为 ，然后分析函数 的值域，再根据高斯函数的含义确定
的值域.
【详解】
，
， ， ，
，
或0，
的值域为 ， .
故选：B.
38．D
【解析】
【分析】
当 ， 时， ，利用 ，将区间 的自变量 利用加减转化到区间
上，从而进行值域的求解
【详解】
当 ， 时， ， ，
则当 ， 时，即 ， ，所以 ；
当 ， 时，即 ， ，
由 ，得 ，从而 ， ；
当 ， 时，即 ， ，则 ， ．
综上得函数 在 ， 上的值域为 ， ．
故选：D．
39．A
第 23 页【解析】
【分析】
令 ，且 ，将函数转化为二次函数 求解.
【详解】
令 ，且 ，
则 ，函数转化为
由 ，则 ，即值域为
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的值域以及二次函数的值域，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
40．A
【解析】
【分析】
设 ＝t（t≥0），则x＝ ，得y＝1－t2＋t＝－ 2＋ （t≥0），求二次函数得最值即可得解.
【详解】
解：设 ＝t（t≥0），则x＝ ，
所以y＝1－t2＋t＝－ 2＋ （t≥0），
对称轴t＝ ，所以y在 上递增，在 上递减，
所以y在t＝ 处取得最大值 ，无最小值.
故选：A.
41．AC
【解析】
【分析】
对每个选项进行值域判断即可.
【详解】
解：A选项，函数 的值域为 ，正确；
B选项，函数 的值域为 ，错误；
C选项，函数 的值域为 ，正确；
D选项，函数 的值域为 ，错误.
第 24 页故选：AC.
42．BCD
【解析】
【分析】
根据函数的性质，以及集合的性质，逐项判断，即可得出结果；
【详解】
由 与 的值域相同知，A错误；
设 ，且 ， 是关于原点对称的区间，则 既是奇函数又是偶函数，由于 有无数个，故 有
无数个，即B正确；
由 得， ，从而 ，即C正确；
由 得 ，即函数 的定义域为 ，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题主要考查函数概念及性质的应用，以及集合交集与并集的性质，属于基础题型.
43．ABD
【解析】
由被开方式非负和分母不为 ，解不等式可得 的定义域，可判断A；化简 ，讨论 ， ，
分别求得 的范围，求并集可得 的值域，可判断B；由 ，可判断C；由奇偶性的定义可
判断 为奇函数，可判断D；
【详解】
对于A，由 ，解得 且 ，
可得函数 的定义域为 ，故A正确；
对于B，由A可得 ，即 ，
当 可得 ，
当 可得 ，可得函数的值域为 ，故B正确；
对于C，由 ，则 在定义域上是增函数，故C 错误；
对于D，由 的定义域为 ，关于原点对称，
，则 为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
第 25 页本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
44．AD
【解析】
【分析】
先利用分离常数法将 进行化简，对A，B，C通过图象的平移以及 的性质即可判断；对D，通过
以及函数的定义域即可求解.
【详解】
解： ，
故 的图象是由 的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到；
对A， 的对称中心为 ，
函数 的图象关于点 对称，故A正确；
对B， 的定义域为 ，
在 上单调递减， 上单调递减，
故 在 上单调递减， 上单调递减，
在定义域内不单调，故B错误；
对C， 的图象关于点 中心对称，故C错误；
对D， 且定义域为 ，
即 ，
即函数 的值域为 ，故D正确.
故选：AD.
45．
【解析】
【分析】
求出 的取值范围，结合不等式的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】
， ，则 ，
所以， ，所以， .
第 26 页故答案为： .
46．
【解析】
【分析】
函数的定义域为 ，设 将原函数转化为关于 的三角函数，利用同角三角函数基本关系以及辅助角
公式，余弦函数的性质即可求解.
【详解】
由 可得 ，即函数的定义域为
所以设 ， ，
则
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 ，
故答案为： .
47．[3，＋∞)
【解析】
【分析】
根据值域为[0，＋∞)，分析可得，函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0，列出方程，即可得结果.
【详解】
因为函数 的值域为[0，＋∞)，
所以函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0显然a不为0，所以 ，解得a≥3.
故答案为：[3，＋∞)．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
48．[－1，3]
【解析】
【分析】
利用配方法，结合二次函数的图象和性质求得最小值，计算并比较端点值得到最大值，从而得到值域.
【详解】
∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，
第 27 页∴当x＝1时，g(x) ＝g（1）＝－1，
min
又g(0)＝0，g（3）＝9－6＝3，
∴g(x) ＝3，
max
即g(x)的值域为[－1，3]．
故答案为：[－1，3]．
49．
【解析】
【分析】
根据函数值域，结合二次函数的单调性，对参数 分类讨论，即可求得参数范围.
【详解】
令 ，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，
因此 值域为 为 的子集，所以 ；
当 时， ，
为 的子集，所以 ；
当 时， ，
当且仅当 时取等号，
因为 为 的子集，所以 ；
综上， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查由函数值域求参数范围，涉及均值不等式的应用，函数单调性的判断，属综合中档题.
50．
【解析】
由 根据 的范围先求分母 的范围，可得值域.
【详解】
第 28 页，
， ， ，
所以 ，则 .
故答案为：
【点睛】
本题考查求函数的值域，属于基础题.
51．（1） 单调递减区间为 ；值域为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出 的值域，把对任意 ，总有 ，使得 转化为两个值域的包含关
系，解不等式即可.
【详解】
（1）当 时， 的图像如图示，
∴ 的单调递减区间为 ；值域为
（2） ，由 知： ，
∵ 上 递减； 上 递增；
∴ 在 上单增，在 上单减，
∴ 在 上的值域为 ，记B=
设 的值域为A，要使“对任意 ，总有 ，使得 ”，只需 .
第 29 页对于 ：
当 时， 在 上单增，有 ，
此时，只需 ，解得： .
当 时， 在 上单减，值域为 ；在 上单增，值域为 ，
此时，只需 ，解得： ；
当 时， 在 上单减，有 ，
此时，只需 ，无解.
综上： .
∴实数t的取值范围为
【点睛】
方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
52．（1） ；（2）
【解析】
（1）将函数化为关于 的方程， 是参数，使得方程有解的 的取值范围即为值域；
（2）令 ， ，则函数化为 ，利用二次函数的性质可求出.
【详解】
（1）函数 化为 ，
可知关于 的该方程一定有解，
当 时， ，满足题意，
当 时，则 ，
第 30 页解得 且 ，
综上， ，
的值域为 ；
（2）令 ， ，则 ，
（ ），
当 时， ，无最大值，
的值域为 .
【点睛】
本题考查判别式法和换元法求函数值域，属于基础题.
53．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1） 为奇函数，得 即 ，可得答案；
（2）由（1）知 ，设 ，求出 的值域，
可得 的值域.
【详解】
（1） 为奇函数，
时，定义域为 ； 时，定义域为 ；
定义域关于原点对称，可得 ；
且对于其定义域内的 ，
即 ， ，计算得 ，
， ，此时 ，定义域为 ，关于原点对称，所以 .
（2）由（1）知 ，
不妨设： ，
由反比例函数的图象性质易知 ，
在 上单调递增， ，
第 31 页的值域为： .
54．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的值域求出被开方数的范围，即可求出函数的值域；
（2）根据二次函数的单调性，即可求出值域；
（3）分离常数，利用反比例函数的值域，即可求解；
（4）分离常数，利用二次函数的值域以及不等式的性质，即可求出函数值域；
（5）分类讨论去绝对值，转化为求一次函数的值域；
（6）利用二次函数的值域，结合不等式的性质，即可求出结论.
【详解】
（1） ，
，函数 值域为 ；
（2） ，当 时单调递减，
当 时单调递增， ，
所以函数 的值域是 ；
（3） ，
所以函数 的值域是 ；
（4）
，所以函数 值域是 ；
（5） ，当 时， ，
当 时， ，当 ，
所以函数 的值域是 ；
（6） 定义域为 且 ，
，
或 ，
或 ，
第 32 页所以函数 的值域是 .
【点睛】
本题考查初等函数的值域，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数的值域，注意不等式性质以及分离常数在求
解中的应用，属于中档题.
55．(1) f(x)＝x2－2ax＋1；（2） ;(3){m| 或 }．
【解析】
【分析】
（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.
(2)对a分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得 的表达式.(3)由题得 或 ，解不等
式组即得解.
【详解】
（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1.
（2）当x[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a，
①当－a≥ ，即a≤－ 时，g(a)＝f(0)＝1；
②当－a＜ ，即a＞－ 时，g(a)＝f(5)＝10a＋26．
综合以上 .
（3）由（2）知 ，
当a≤－ 时，g(a)为常函数，当a＞－ 时，g(a)为一次函数且为增函数．
因为g(8m)＝g( )，所以有 或 ，解得 或 ，
即m的取值集合为{m| 或 }．
【点睛】
第 33 页本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的
掌握水平和分析推理能力.
第 34 页第 35 页
