文档内容
微专题：求函数的解析式
【考点梳理】
函数解析式的求法：①待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法；②换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；③配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，
可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；④消去法(即函数方程法)：已知f(x)与f
或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【题型归纳】
题型一：已知函数类型求解析式
1．已知函数 为一次函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，其中 是x的正比例函数， 是x的反比例函数，且 ，则
（ ）
A．3 B．8 C．9 D．16
3．已知二次函数 满足 ，则 （ ）
A．1 B．7 C．8 D．16
题型二：已知f（g（x））求解析式
4．已知 是 上的单调函数，若 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型三：求抽象函数的解析式
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，则 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
9．已知函数 在 上是单调函数，且满足对任意 ，都有 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
题型四：函数方程组法求解析式
10．已知函数 满足 ，且 ， ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝ －4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
12．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五：求解析式中的参数值
13．已知 ，且 ，则m等于（ ）
A． B．2 C． D．3
14．已知函数 ， ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
15．若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
16．已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
17．已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．判断下面结论正确的个数是（ ）
①函数 的单调递减区间是 ；
②对于函数 ， ，若 ， 且 ，则函数 在D上是增函数；
③函数 是R上的增函数；
④已知 ，则
A．3 B．2 C．1 D．0
20．已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
21．若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．
22．已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
24．为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条
直线道路平滑连接（注：两直线道路： ， 分别与该曲线相切于 ， ，已知该弯曲路段
为三次函数图象的一部分，则该解析式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
25．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
27．设函数 为单调函数，且 时，均有 ，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
28．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
29．已知函数 ，则 等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
30．若 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．若函数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
32．若函数 的图象经过点 ，则曲线 在点 处的切线的斜率 （ ）
A．e B． C． D．
33．若 ，则有（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
34．若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
35．已知 ，则 （ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
36．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的
浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于 . 经测定，
刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 ，且 随时间 (单位：分钟)
的变化规律可以用函数 （ ）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为
（ ）(参考数据 )
A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
37．一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（ ）
A．g(x)=9x+8
B．g(x)=3x-2
C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2
D．g(x)=3x+8
38．设函数 为一次函数，且 ，则 （ ）
A．3或1 B．1 C．1或 D． 或1
39．已知 ，则 的值为（ ）
A．15 B．7 C．31 D．17
40．若函数 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司41．知函数 满足 ，则关于函数 正确的说法是（ ）
A． 的定义域为 B． 值域为 ，且
C． 在 单调递减 D．不等式 的解集为
42．已知 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
43．已知函数 ，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数 的最大值M与最小值N的比值为
B．函数 的最大值M与最小值N的比值为2
C．函数 的定义域为[ ]
D．函数 的定义域为
44．已知 ，存在实数 满足 ，则（ ）
A． B． 可能大于0 C． D．
三、填空题
45．已知 在 上是减函数，且 对任意的 都成立，写出一个满足以上特
征的函数 ___________.
46．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在
涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记
录表．
6： 21：
时刻 0：00 3：00 9：00 12：00 15：00 18：00 24：00
00 00
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间 的函数关系，则这个函数关系式是
________．
47．已知函数 满足 ，则 的值为__________．
48．定义在 上的函数 单调递增，且对 ，有 ，则 ___________.
49．已知 ，对于任意实数 、 ， 恒成立，则 的解析式为_________.
50．若 ，则 ______．
四、解答题
51．已知 且 .
(1)求 的解析式；
(2)解关于x的不等式： .
52．（1）已知 ，求 在 ， 上的值域；
（2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的值域及单调区间．
53．已知二次函数 的最小值为 ， ．
（1）求 的解析式；
（2）若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围；
（3）若 ，试求 的最小值．
54．已知函数 的图象过点 与点 .
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，且 ，满足条件的 的值.
55．已知二次函数 满足 ， ．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求 的解析式．
（2）求 在 上的最大值．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，再把1代入即可求解.
【详解】
设 ，则 ，解得 ，
， ．
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
根据题意设 ，则 ，然后由 列方程组求出 的值，
从而可得 的解析式，进而可求出
【详解】
根据题意设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
采用待定系数法先求解出 的解析式，然后即可计算出 的值.
【详解】
设 ，
因为 ，
所以 ，
化简可得： ，
第 10 页所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
令 ，所以 ，所以 ，又因为 ，求出 ，则可求出 ，再代入求出
，即可求出 的值域.
【详解】
令 ，所以 ，
则令 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
解得： ，所以
所以 ，
因为 ，
所以 的值域为： .
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】
设 ， ，则 ，
， ，
所以函数 的解析式为 ， ．
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
第 11 页利用凑配法求函数的解析式，代入 即可求解.
【详解】
,
.
,解得 ．
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
根据 ，利用整体思想求出 的解析式，求得 ，从而即求出 ．
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：D．
8．A
【解析】
【分析】
设 ，则 ，即可由 得 ，解出 ，从而得到 ，进而
求出 的值．
【详解】
根据题意，函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
则 为常数，设 ，则 ，
则有 ，解可得 ，则 ，故 ；
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
令 ，代入 知 ，由此可求得 的值，得到 解析式，由此求得结果.
【详解】
在 上是单调函数， 可令 ， ，
，解得： ， ，
第 12 页.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够利用换元法，结合函数为单调函数构造方程求得参数
值，从而得到函数的解析式.
10．D
【解析】
【分析】
用 代换 中的 ，得 ，运算求得 ，再由函
数 的单调性和对数函数的单调性可得答案.
【详解】
解：由 ①，得 ②，
由 ，得 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，所以 ，解得 ．
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
用 代替原方程中的 ，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】
用 代替原方程中的 得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去 得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
12．A
【解析】
【分析】
以 代 ，得到一个等式，运用解方程组法进行求解即可.
【详解】
解：由 ，得
第 13 页，解得 .
故选：A.
13．D
【解析】
令 解得 ，代入得 ，解之可得选项.
【详解】
因为 ，所以令 解得 ，所以 ，
解得 ，
故选：D.
14．B
【解析】
【分析】
先求 ，代入 可得.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的表示方法，多层对应关系处理时一般是从内到外进行，侧重考查数学运算的核心素养.
15．B
【解析】
【分析】
根据函数的表达式即可得到 的值.
【详解】
由 ，得 ，即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的解析式，根据条件直接求出即可，属于基础题.
16．B
【解析】
【分析】
先求出 的解析式，代入即可求解.
【详解】
由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.
第 14 页故选：B
17．B
【解析】
【分析】
利用换元法求函数解析式.
【详解】
令 ,则 ，所以
即 .
故选：B
【点睛】
本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．C
【解析】
【分析】
设 ，求出 ，再由 求出 .
【详解】
设 ，因为
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
19．B
【解析】
【分析】
对于①，举例判断，对于②，由增函数的定义判断即可，对于③，举例判断，对于④，利用配凑法求解即可
【详解】
对于①，当 时， ，而当 时， ，所以函数 的单调递减区间不是 ，所以①
错误，
对于②，由 可得 ，所以 与 同号，所以函数 在D
上是增函数，所以②正确，
对于③，当 和 时， ，所以 不是R上的增函数，所以③错误，
对于④，因为 ，所以 ，所以④正确，
故选：B
第 15 页20．D
【解析】
【分析】
令 为 ，则 ，然后与 联立可求出
【详解】
令 为 ，则 ，
与 联立可解得， ．
故选：D．
21．A
【解析】
【分析】
利用换元法求得 解析式，即可得出所求.
【详解】
令 ，则 ， ，即 ，
则 .
故选：A.
22．C
【解析】
【分析】
利用配凑法求函数的表达式.
【详解】
，
；
故选： ．
23．B
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
第 16 页当 时， .
故选：B
24．C
【解析】
先设函数解析式，再求导，根据导数几何意义列方程，解得结果.
【详解】
由题意得三次函数过两点 ， ，所以可设
又 ，所以
故选：C
【点睛】
本题考查求函数解析式、导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．B
【解析】
【分析】
直接代入化简求解即可.
【详解】
解：因为 ，
所以 ．
故选：B
【点睛】
此题考查由已知函数的解析式求复合函数的解析式，属于基础题.
26．B
【解析】
【分析】
利用换元法，即可求得 的解析式
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
27．D
【解析】
第 17 页【分析】
由函数 为单调函数且 ，知 为常数，然后利用待定系数法求出函数 的解析式，再求
（1）的值．
【详解】
解： 函数 为单调函数，且 ，
为常数，不妨设 ，
则 ，原式化为 （a） ，
即 ，解得 或 （舍去），
故 ， （1） ，
故选：D．
28．D
【解析】
【分析】
令 可得 ，求得 后代入解析式中即可求得结果.
【详解】
设 ，则 且
，
故选：D
29．A
【解析】
【分析】
令 ，求得 得值，代入 ，即可得出答案.
【详解】
解：令 ，则 ，
所以 .
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
令 ，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.
第 18 页【详解】
f（ 1）＝x+ ，
设 t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+ ﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选： .
【点睛】
本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.
31．A
【解析】
【分析】
换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果.
【详解】
令 ，得 ，所以 ，
从而 .
故选：A.
32．D
【解析】
【分析】
先根据条件求出 的值，然后由导数的几何意义可得答案.
【详解】
函数 的图象经过点 ,所以 ，解得 ，
即函数 ，又 ，
得曲线 在点 处切线的斜率 .
故选：D
33．C
【解析】
【分析】
依题意可得 ，再换元即可得解；
【详解】
解：由 ，有 .
故选：C
34．D
【解析】
第 19 页【分析】
先利用配凑法求出 的解析式，则可求出 的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】
因为 ，
所以 .
从而 ，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：D
35．C
【解析】
利用拼凑法求出 解析式，即可得出所求.
【详解】
，
，
.
故选：C.
36．B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值，由此列不等式，解不等式求得 的取值范围，从而确定正确答案.
【详解】
由题意知，当 时， ，所以 所以 ，解得 ，所以
.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.
故选：B
37．C
【解析】
【分析】
利用待定系数法可求出结果.
【详解】
因为g(x)是一次函数，
所以设g(x)=kx+b(k≠0)，
所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因为g[g(x)]=9x+8，所以
第 20 页解得 或
所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.
故选：C
38．B
【解析】
利用待定系数法设一次函数 ，代入等式求解，求出函数解析式.
【详解】
设一次函数 ，
则 ，
，
，
解得 或 ，
或 ，
或 .
故选：B.
【点睛】
此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解.
39．C
【解析】
利用换元法求得 ，代入即可得解.
【详解】
令 ，则 ，所以 即 ，
所以 .
故选：C．
40．C
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数 的解析式，即可求解.
【详解】
令 ，则 ， ，
， ，所以 .
第 21 页故选：C.
41．BCD
【解析】
求出解析式 ，根据函数解析式逐一判断即可.
【详解】
由于 ，故 （ 且 ），
所以 的定义域为 且 ，故A不正确；
作出其图象，由图象知：由于 ，故 值域为 ，且 ；
在 单调递减； 的解集为 .
故选：BCD
42．AC
【解析】
由 ，可得 ，解方程组求出 ，结合选项逐一判断即可．
【详解】
，
化简得
两式相加得 ，解得
故 ，A正确，B错误；
又 ，则 ，C正确，D错误；
故选：AC
43．AD
【解析】
求出函数的定义域，利用换元法得出函数解析式，由复合型二次函数的性质求出函数的最值，结合选项得出答案．
【详解】
由题意，因为 ，所以可得 ，即 ，可令 ，所以 ，
，则 ，其定义域为 ，则
，则 ，所以 [ ，
2]，所以函数 的最大值M与最小值N的比值为 ，
故选：AD
44．AD
【解析】
第 22 页【分析】
若 ，将 代入上支函数，可得 = ，结合题意，可得 的范围，同理若 ，
将 代入下支函数，又可解得 范围，根据 范围，再分别讨论 ， ，将m代入不同方程，即可
得答案.
【详解】
由 ，可得 ．
若 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴方程无解；
若 ， ，
故只需解 即可，
当 时，由 ，解得 ；
当 时，由 ，解得 ．
综上所述，当 时， ，满足 ．
故选：AD.
【点睛】
本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的
的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题.
45． 答案不唯一
【解析】
【分析】
由 变形到 可考虑对数函数，然后根据单调性以及“ ”可考虑构造对数型函数
.
【详解】
由题意可知， 可变化为 的形式，由此可想到对数函数，
又因为 在 上是减函数且 ，
所以满足条件的一个函数可取 ，
故答案为： (答案不唯一).
第 23 页46．
【解析】
【分析】
设 与 之间的函数关系式为 ，根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求
出 ，再利用最大值可求 ，故可求解析式.
【详解】
设 与 之间的函数关系式为 ，
则由表中数据可得 ，且 ，
故 且 ，所以
因为当 时， ，所以 ，
解得 ，故 ，其中 .
故答案为： .
47．
【解析】
【分析】
在 中令 ，求出x的值，代入 ，即可得出答案.
【详解】
解：在 中，令 ，则 ，
则 .
故答案为： .
48．
【解析】
【分析】
根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.
【详解】
根据题意，对 ，有
又 是定义在R上的单调增函数
R上存在常数a使得
第 24 页， ，解得
故答案为： .
49．
【解析】
【分析】
令 可得出 的表达式，由此可求得函数 的解析式.
【详解】
令 ，则有 ，再令 ，则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用赋值法与换元法求解函数的解析式，考查计算能力，属于基础题.
50．
【解析】
【分析】
将 用 代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】
由 ①，
将 用 代替得 ②，
由①②得 .
故答案为： .
51．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件联立方程组求出 ，进而求出函数 的解析式；
第 25 页（2）根据已知条件求出 ，进而得出不等式，利用换元法及一元二次不等
式得出 的范围，再根据指数与对数互化解指数不等式即可.
(1)
由 ，得
，解得 .
所以 的解析式为 .
(2)
由（2）知， ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，解得 或
所以 ，即 ，解得 .
所以不等式的解集为 .
52．（1） ， ；（2）值域为： ， ， ；单调增区间为： 和 ．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的定义，求解出函数 的解析式，再求其在[0，1]上的值域；
（2）依次求出 的解析式，进而写出 的值域和单调区间.
【详解】
（1）令 ，可得 ，
，
即有: ，根据指数函数的性质可得： 在 ， 上为单调增函数，
由 得: ， ，
所以 在[0，1]上的值域为 ，
（2）设 ，由 得：
，
， ，解得 ， ，
，
在 和 上都为单调增函数
从而求得 的值域为：
所以 值域为 ， ， ；单调增区间为 和 无单调减区间.
第 26 页53．（1） ；（2） ；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意结合二次函数的图象与性质，利用待定系数法即可得解；
（2）由二次函数的图象与性质转化条件为 ，即可得解；
（3）讨论区间 与函数图象对称轴的关系，结合单调性即可得解.
【详解】
解：（1）由已知函数 是二次函数，且 ，
∴函数 图象的对称轴为 ，
又最小值为-1，设 ，又 ，∴ ．
∴ ；
（2）由（1）知函数 图象的对称轴为 ，要使 在区间 上不单调，
则 ，所以 ；
（3）由（1）知， 图象的对称轴为 ，开口朝上，
若 ，则 在 上是增函数， ；
若 ，即 ，则 在 上是减函数， ；
若 ，即 ，则 ；
综上所述，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
54．（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)由给定条件列出关于 ， 的方程组，解之即得；
(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.
【详解】
（1）由题意可得 ，解得 ， ，
（2）由（1）可得 ，而 ，且 ，
于是有 ，设 ， ，
从而得 ，解得 ，即 ，解得 ，
所以满足条件的 .
第 27 页55．（1） ；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，代入求解 ，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】
（1）设 ， ，则
，
∴由题 ， 恒成立
∴ ， ， 得 ， ， ，
∴ .
（2）由（1）可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，且 ，
∴ .
第 28 页第 29 页
