文档内容
微专题：指数函数的概念
【考点梳理】
1. 指数函数
定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数
图象 0＜a＜1 a＞1
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
过定点 (0 ， 1) ，即 x ＝ 0 时，y＝1
性质
减函数 增函数
【题型归纳】
题型一：指数函数的判定与求值
1．设 ，且 ，则 =（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知函数 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．4
3．下列函数中，既是指数函数，又在区间 上为严格减函数的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
题型二：根据函数是指数函数求参数
4．若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B．
C． D．
5．已知指数函数 在 上单调递增，则实数 的值为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．1 C． D．2
6．如果指数函数 ( ，且 )的图象经过点 ，那么 的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
题型三：求指数函数解析式
7．若函数 （a>0，且a≠1）的图象经过 ，则 =（ ）
A．1 B．2 C． D．3
8．函数 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．已知 （ 为常数）的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．8
【双基达标】
10．指数函数 的图象经过点 ，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
11．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生
产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，
安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的
蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且
该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．
该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（ ）小时．（参考
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数据ln10≈2.3）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知 ，则f（3）等于（ ）
A． B．- C． D．
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
15．已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点 对称，当 时， ，则
的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
16．已知函数 则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
17．已知函数 为奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
18．设函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
19．若函数 为奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
21．若 是指数函数，则有（ ）
A． 或 B．
C． D． 且
22．下列函数中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
23．若函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）
A． B．10 C．4 D．2
24．若函数 是指数函数，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
25．若f(x)＝2sinx，g(x)＝2cosx，x∈R，则函数f(x)g(x)必有 ( )
A. 最大值4 B. 最小值4 C. 最大值2 D. 最小值2
【高分突破】
一、单选题
26．已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
27．函数 是指数函数，则实数
A． B． C． D． 或
28．设函数 ， ，则下列关系中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．函数 是指数函数，则有（ ）
A． 或 B． C． D． ，且
30．如图，某池塘里浮萍的面积 （单位： ）与时间 （单位：月）的关系为 .下列说法中正确的是
（ ）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍面积每月的增长率不相等
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍面积为 ， ， 时所对应的时间分别是 ，则
二、多选题
31．如图，某池塘里浮萍的面积 （单位 ）与时间 （单位：月）的关系为 ，下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率均相等
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍从 蔓延到 需经过1.5个月
D．若浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别是 ， ， ，则
32．下列函数是指数函数的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
33．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列
说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长率为1
B．野生水葫芦从 蔓延到 历时超过1.5个月
C．设野生水葫芦蔓延到 ， ， 所需的时间分别为 ， ， ，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度
34．已知函数 ， ，则 ， 满足（ ）
A． B． 且
C． D．
三、填空题
35．若 为奇函数，则 ______
36．已知 ，则 ______．
37．设函数 ＝ 则 ＝________.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．已知 ，则 ___________.
39．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
= _______ .
40．已知函数 是R上的奇函数，且 的图象关于 对称，当 时， ，计算
＝________．
四、解答题
41．已知指数函数 且 的图象经过点 ．
(1)求指数函数 的解析式；
(2)求满足不等式 的实数 的取值范围．
42．已知指数函数f(x)的图象过点 ．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
43．已知函数 且 )的图像过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上的最大值是最小值的4倍，求实数 的值.
44．已知函数 且 ， ，函数 的图象经过点 .
(1)写出函数 的解析式；
(2)在同一个坐标下用描点法作出函数 的图象，并求出当函数值 时，自变量 的取值范围；
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)当 时，用 表示 中的最小者，记 （例如， ），求函数
的值域.（请直接写出结果）
45．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
（1）求f(x)的表达式；
（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据题意求得函数 ，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，解得 ，即 ，
所以 .
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据当 时， ，得到 ，再利用当 时， ，求出 ，即为
结果.
【详解】
当 时， ，故在 时， 为周期函数，最小正周期为1，因为2021>0，所以
，又因为当 时， ，所以 ，所以
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义以及减函数的概念逐一判断即可.
【详解】
对A，函数 不是指数函数，故错；
对B，函数 不是指数函数，故错；
对C，函数 为指数函数，且在 上为严格减函数，故正确；
对D，函数 为指数函数，且在 上为严格增函数，故错；
故选：C
4．C
【解析】
【分析】
根据题意可得出关于实数 的等式与不等式，即可解得实数 的值.
【详解】
第 9 页由题意可得 ，解得 .
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
解方程 即得 或 ，再检验即得解.
【详解】
解：由题得 或 .
当 时， 在 上单调递增，符合题意；
当 时， 在 上单调递减，不符合题意.
所以 .
故选：D
6．B
【解析】
将点 代入函数解析式，即可得出 的值.
【详解】
由题意可知 ，解得 或 （舍）
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
由指数函数所过的点求解析式，进而求 的值.
【详解】
由题意， ，又a>0，则 ，
∴ ，故 .
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
第 10 页由 ，
所以 ，
故选：B
9．C
【解析】
将点 代入解析式，求出 ，进而得出 的值.
【详解】
，即
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得 的值.
【详解】
因为 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
故选：B.
11．D
【解析】
【分析】
先由 可得a的值，再根据指数和对数的运算法则，解不等式2 ≤0.001，即可．
【详解】
解：由题意知，当x＝0时，y＝2，
所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，
所以y＝2e﹣x，
要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，
解得x≥﹣ln ＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，
因为ln ＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，
所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），
所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．
故选：D．
12．B
【解析】
第 11 页【分析】
确定出集合 中元素的形式，然后根据交集定义计算．
【详解】
由题意， ，故 ，
故选：B．
13．A
【解析】
【分析】
通过列方程进行求解即可.
【详解】
令 ，因此有 ，
故选：A
14．D
【解析】
【分析】
根据函数性质，代入自变量，结合指对数运算求得结果.
【详解】
，
故选：D．
15．D
【解析】
【分析】
先由函数的奇偶性和对称性，求出 是周期函数，周期 ，再结合 时， ，求出
，即一个周期的和，再计算所求的式子的项的个数，结合一个周期的和，得到答案.
【详解】
因为 是 上的偶函数，所以 ，
又 的图象关于点 对称，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
即 ，所以 是周期函数，且周期 ，
由 时， ，则 ，
， ，
则 ，
则
故选：D
【点睛】
第 12 页本题主要考查函数的奇函数、周期性和对称性的应用，属于中档题.
16．D
【解析】
【分析】
根据 的值代入相应的解析式可得答案.
【详解】
由已知
.
故选：D.
17．B
【解析】
【分析】
由奇函数的性质有 ，结合 的函数解析式即可求值.
【详解】
由题设知： .
故选：B
18．D
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，代入即可求解.
【详解】
解： ，
则 ，得 ，解得 ．
故选：D
19．A
【解析】
【分析】
根据题意有 ，代入函数式求 即可.
【详解】
函数为奇函数且 ，则 ，
所以 ，故 ．
故选：A
20．B
【解析】
第 13 页根据自变量范围代入分段函数对应解析式，求得 ，再计算 即为所求.
【详解】
,
，
又 ， ，
，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据分段函数求值，涉及指数对数运算，属基础题.关键在于从内到外的运算，注意分段函数的分段标准，
注意对数的求值，一般地， .
21．C
【解析】
【分析】
根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】
因为 是指数函数，
所以 ，解得 .
故选：C．
22．C
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据指数函数的定义知， ，
可得函数 不是指数函数；函数 不是指数函数；函数 是指数函数；函数 不是指数函数.
故选：C.
23．B
【解析】
【分析】
首先得到 的周期，再根据函数的周期性计算可得；
【详解】
第 14 页解：由 ，得 ，
∴函数 是周期函数，且4是它的一个周期，
又当 时， ，
∴ ；
故选：B.
24．B
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义：形如 或a>1）的函数叫指数函数，显然系数为1，故而能求出a的值，即
，所以 ，求出 .
【详解】
因为函数 是指数函数，所以 ，即 ，所以 ，那么 .
故选：B
【点睛】
明确指数函数的定义，类似的还有对数函数 ，幂函数 .
25．B
【解析】f(x)＝2sinx，g(x)＝2cosx，x∈R，
f(x)·g(x)＝2sinx·2cosx＝2sinx＋cosx＝2sin，
又－≤sin≤，所以函数f(x)·g(x)的最大值为2 ，最小值为2－ . 故选C.
26．B
【解析】
【分析】
将 代入 ，得到 ， 的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．
【详解】
由函数 的图象经过 ，则 ，即 ．
，当且仅当 时取到等号．
故选：B．
27．D
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义，得 ，即可求解实数 的值.
【详解】
由指数函数的定义，得 ，解得 或 ，故选D.
第 15 页【点睛】
本题主要考查了指数函数的定义，其中熟记指数函数的定义的形式，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与
运算能力，属于基础题.
28．A
【解析】
【分析】
首先根据题意得到 ，再结合选项计算函数值比较即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，解得 ，
代入得 ．
对选项A， ， ， ，故A正确；
对选项B， ， ， ，故B错误；
对选项C， ， ， ，故C错误；
对选项D， ， ， ，故D错误；
故选：A
29．C
【解析】
【分析】
根据指数函数定义得到 ，排除 的情况得到答案.
【详解】
由指数函数的概念得 ，解得 或 ．
当 时，底数是1，不符合题意，舍去；当 时，符合题意.
故选：C．
30．D
【解析】
【分析】
根据题意先求出函数的解析式，进而求出对应的量，然后判断答案.
【详解】
根据题意， 则 .
对A，t=5时， ，错误；
对B，每月的增长率为 ，B错误；
对C，第二个月比第一个月增加 ，第三个月比第二个月增加 ，C错误；
对D， ，D正确.
第 16 页故选：D.
31．ABD
【解析】
【分析】
根据已知条件，求出函数的解析式，再结合增长率公式，以及对数函数的公式，即可求解．
【详解】
解：浮萍的面积 （单位： 与时间 （单位：月）的关系为 ，
由图可得，函数过点 ，
故 ，
对于A， ， 每月的增长率为2，故A正确，
对于B，第5个月时浮萍的面积为 ，超过了 ，故B正确，
对于 ，第2个月时浮萍的面积为 ，第 个月时浮萍的面积为 ，故 错误，
对于 ， 浮萍面积为 ， ， 时所对应的时间分别是 ， ， ，
， ， ，
，故D正确．
故选：ABD．
32．CD
【解析】
【分析】
根据指数函数的概念依次判断即可得答案.
【详解】
解：根据指数函数的定义，形如 （ 且 ）的函数，其系数为 ，
故A选项不满足形式；B选项的系数为 ；C选项 ，满足；D选项满足.
故选：CD
33．ABC
【解析】
【分析】
根据已知条件可得指数函数为 ，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断各选项的正误.
【详解】
由题意得，所求函数为指数函数且过点 ，可得函数 ，
A：设第 个月的野生水葫芦面积为 ，则第 个月的野生水葫芦面积为 ，
∴野生水葫芦的面积每月增长率 ，故正确，
B：设野生水葫芦从 蔓延到 历时超过 个月，
第 17 页∴ ，解得 ，故正确，
C：野生水葫芦蔓延到 ， ， 所需的时间分别为 ， ， ，
， ，
，故正确，
D：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为 ，
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度为 ，故错误.
故选：ABC.
34．AB
【解析】
直接代入计算即可判断A；判断 的单调性，计算 的值可判断B；分别计算 以及 可
判断C；直接计算可判断D.
【详解】
对A, 成立，故A正确.
对B, 因为 中 为增函数, 为减函数,
故 为增函数.故 成立.
因为 , ,故 成立.
故B正确.
对C, , .故C错误.
对D, .故D错误.
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.
35．
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得 ，代入计算即可得解.
【详解】
因为 ，且 为奇函数，
第 18 页所以 ，
所以 .
故答案为： .
36．
【解析】
【分析】
本题首先可根据对数运算得出 ，然后通过 以及指数与对数的相关运算即可得
出结果.
【详解】
因为 ，
所以
，
故答案为： .
37．4
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式，先求 ，进而可求 的值.
【详解】
依题意，知： ，又 ，
∴ ＝f(16)＝4.
故答案为：4.
38．
【解析】
【分析】
利用分段函数解析式先求 ，再计算 即可.
【详解】
由 知， ，故 .
故答案为： .
39．
第 19 页【解析】
【分析】
根据题意，分析函数的周期，结合函数的奇偶性与解析式求出 的值，而
，计算可得答案．
【详解】
解：根据题意， 满足 ，则 ，
则函数 是周期为8的周期函数，
则 ，
又由 为奇函数，则 ，而 ，则 ，
又由当 ， 时， ，则 ，
则有 ，
则 ，
故答案为： ．
40．1
【解析】
【分析】
利用奇函数及其对称轴求 的周期，并由奇函数求 上的解析式，进而求得
，应用周期性求值即可.
【详解】
由题意， 且 ，
∴ ，即 ，
∴ 是周期为4的函数.
令 ，则 ，而 时 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
而 .
故答案为：1
41．(1)
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）直接将点带入函数得到答案.
第 20 页（2）代入化简得到 ，解得答案.
(1)
因为 且 的图象经过点 ，所以 ， ，得 ，
所以 .
(2)
由题可得 ，即 ，得 ， 或
42．（1）f(x)＝ ；（2） (－1，1)．
【解析】
【分析】
(1)将点的坐标代入函数解析式即可求出；（2）根据（1）中的解析式，结合单调性求解.
【详解】
解：（1）设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点 代入得 ＝a2．
解得a＝ ．
故f(x)＝ ．
（2）由（1）知f(x)＝ ，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，
解得－1
