文档内容
微专题：对数的运算
【考点梳理】
1. 对数
(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a
a
叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数和自然对数
①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log N记为lgN.
10
②自然对数：无理数e＝2. 718 28…，以e为底的对数称为自然对数，并把logN记为lnN.
e
(3)对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝log N. 负数和0没有对数；log 1＝0，log a＝1.
a a a
(4)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log ＝log M－log N；
a a a
③log Mn＝nlog M(n∈R).
a a
根据性质③又可得对数换底公式：
log b＝(a>0，且a≠1；b>0，c>0，且c≠1).
a
2. 对数相关结论
(1)对数恒等式：alog N＝N；
a
(2)换底公式推论：log b·log c·logd＝log d.
a b c a
【题型归纳】
题型一：对数的运算
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．化简 的值为（ ）
A． B． C． D．-1
3．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：运用换底公式化简计算
4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若 ，
， ，估计 的值约为（ ）
A．0.2481 B．0.3471 C．0.4582 D．0.7345
5． ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若实数a，b满足 ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【双基达标】
7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等
为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值
为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
8．设3x＝4y＝36，则 的值为（ ）
A．6 B．3
C．2 D．1
9．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足
的函数关系式为 ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度
为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知 ，结果取整数）（ ）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
10．设 ，且 ，则 （ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．10 C．20 D．100
11．已知命题 ， ，命题 ， ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
13．若函数 是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
14．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．如果方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化
的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各
19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空
间的复杂度上限为 ，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为 ，则下列数中最接近数值 的是
（ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
18．已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a0且a≠1，m∈R.
（1）若m=6且函数F = + 的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式 <2 在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.
46．已知函数 是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式 ．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再由集合的交集即可得出答案.
【详解】
解：因为 ， ， ， ，
所以 ,所以 ．
故选:C．
2．A
【解析】
【分析】
运用对数的运算性质即可求解.
【详解】
解析：
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】
.
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出 的近似值．
【详解】
∵ ，
，
所以 .
第 8 页故选： ．
5．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可
【详解】
， ， ，
因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
综上 ，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明 ，再构造函数 ，
证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明 ，可得答案.
【详解】
因为 ，所以 ,
即 ，故 ，即 ，故 ，
令 ，则 ，
故
，
即有 ，所以 ，
即 ，即 ，故 ，
故 ，
故选：C.
7．A
【解析】
由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
第 9 页两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,
.
故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
8．D
【解析】
根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
由3x＝4y＝36得x＝log 36，y＝log 36，
3 4
∴ ＝2log 3＋log 4＝log 9＋log 4＝log 36＝1.
36 36 36 36 36
故选：D
【点睛】
本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.
9．B
【解析】
【分析】
根据题设条件先求出 、 ，从而得到 ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.
【详解】
，故 ，故 ，
令 ，∴ ，故 ，
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得 ， ，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ， ，
由换底公式得 ， ，
所以 ，
第 10 页又因为 ，可得 ．
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
根据余弦函数值域和 可知 均为真命题，由复合命题真假性判断可得结论.
【详解】
， ， ，命题 为真，则 为假；
当 时， ， ， ，命题 为真，则 为假；
为真，A正确； 为假，B错误； 为假，C错误； 为假，D错误.
故选：A.
12．C
【解析】
【分析】
令 ，结合题意可知 ，进而有 ，再利用对数函数的单调性和运算性
质即可求解
【详解】
令 ，
则当 时， ，当 时， ；
由 ，得
考虑到 得 ，
由 ，得 ，
即
故选：C
13．C
【解析】
【分析】
根据函数奇函数的概念可得 ，进而结合对数的运算即可求出结果.
【详解】
因为 是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即 恒成立，所以
，即 恒成立，所以 ，即 ．
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
第 11 页当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
令 ，得到 关于t的函数式，进而可得 关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确
定最值，即可求 的最小值.
【详解】
令 ，则 ， ，
∴ ， ，即 ，
若 ，则 ，
∴ ，有 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ，即 的最小值为 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：令 确定 关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
15．C
【解析】
【分析】
由题设条件利用根与系数的关系求出 ，直接变换即可求得答案.
【详解】
解：由题意 、 是关于 的方程 的两根，
∴ ，∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对数运算和根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题型.
16．B
【解析】
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
第 12 页由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
17．D
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则计算 后可得．
【详解】
， ，
因此 最接近于 ．
故选：D．
18．A
【解析】
【分析】
由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，得 ，结合
可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、 、 的大小关系.
【详解】
由题意可知 、 、 ， ， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能
力，属于中等题.
19．A
【解析】
【分析】
根据已知关系式可得不等式 ，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
【详解】
第 13 页设应在病人注射这种药 小时后再向病人的血液补充这种药，
则 ，整理可得： ，
，
， ，
，即应在用药 小时后再向病人的血液补充这种药.
故选：A.
20．C
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则求解.
【详解】
.
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 个小时内酒精含量大于或者等于 ，所以 ，根据题意列不等式，
解不等式结合 即可求解.
【详解】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 个小时内酒精含量大于或者等于 ，
所以所求 ，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 最小为 ，
所以至少经过 小时才可以驾车，
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】
将信噪比 从1000提升至5000时，C大约增加了
第 14 页.
故选：B.
23．A
【解析】
【分析】
令 ，由 则 ，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数 ，比较其底数的大
小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】
解：设 ，则 ， ， ， ， ，
．
因为 ，且函数 在 上是减函数，
所以 ．
故选
【点睛】
本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
24．C
【解析】
【分析】
令 ，则 ，则先判断函数 ，进而可得 ，
即 ，结合已知条件即可求 的值.
【详解】
令 ，则 ，
因为
，
所以 ，
则 ，又因为 ，则 ，
故选：C.
25．D
【解析】
【分析】
由已知条件得出 ， ， ，代入等式 ，求出 即可得出结论.
第 15 页【详解】
由题知 ， ， ，所以， ，可得 ，
所以， ， .
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
由内向外，代入分段函数求值，先计算 ，再计算 .
【详解】
由题意， ，所以 .
故选：A.
27．B
【解析】
【分析】
利用给定条件结合对数运算可得 ，再利用正弦定理角化边即可判断得解.
【详解】
因 ，则有 ，
即有 ，于是得 ，
在 中，由正弦定理 得： ，
所以 是直角三角形.
故选：B
28．B
【解析】
【分析】
根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解.
【详解】
由题意得 ，
则 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式运算可得结果.
第 16 页【详解】
.
故选：C．
30．B
【解析】
【分析】
由题意，得到 ，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】
由题可知， ．
因为 ，所以 ，
所以 的整数部分为2567．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的
关键，着重考查了计算能力．
31．C
【解析】
【分析】
由对数运算性质可知 ，再利用 ，化简计算可得结果.
【详解】
原式 .
故选：C.
【点睛】
本题考查对数运算性质，考查计算能力，属于基础题.
32．AB
【解析】
【分析】
根据对数式与指数式的互化，对数的运算对各选项作出判断.
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，故D错误.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的运算，属于基础题.
第 17 页33．ACD
【解析】
【分析】
利用指对数的运算性质及其关系求出 、 、 ，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.
【详解】
由题设， ，即 ，A正确；
，即 ，B错误，D正确；
由 ，则 ，C正确；
故选：ACD
34．AD
【解析】
【分析】
根据换底公式可判断.
【详解】
， ， ， .
故选：AD．
35．BC
【解析】
【分析】
由对数函数的单调性结合换底公式比较 的大小，计算出 ，利用基本不等式得 ，而 ，从而可
比较大小．
【详解】
由题意可知，对于选项AB，因为 ，所以 ，又因为 ，且
，所以 ，则 ，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，
，且 ，所以 ，故选项C正
确，选项D错误；
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化
为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．
36． ##0.5
【解析】
【分析】
依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】
第 18 页由题意知： 是偶函数，
则 ，
即：
即：
即： ，解得： .
故答案为： .
37．1
【解析】
先由 得到 ，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果.
【详解】
由 可得 ，
又 ，
所以 .
故答案为： .
38．
【解析】
利用指数幂运算和对数恒等式计算，即可得到答案；
【详解】
因为 ，
故答案为：
39．6
【解析】
【分析】
首先利用换底公式表示 ，再代入 求值.
【详解】
由条件得 ，所以 .
故答案为：
40．
【解析】
将指数式 化为对数式可求出 ，将指数式 化为对数式可分别求出 ，代入 可求出 ，
进而可求出 的值.
【详解】
第 19 页因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式以及运算性质即可求出．
【详解】
．
故答案为： ．
42．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
【详解】
（1）设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以， .
（2） .
【点睛】
本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的
应算法则，即可证明.
43．16
【解析】
【分析】
第 20 页根据韦达定理，可得 ，根据对数的运算性质可得 ，代入数据，即可得答案.
【详解】
已知 ， 是方程 的两个不等实根，
则 ，且 ．
所以 ，则 ，即 ．
所以实数m的值为16.
44．（1） ；（2）（i）定义域为 ， 是偶函数；（ii） .
【解析】
【分析】
（1）由 可求得实数 的值；
（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数 的不等式，由此可解得函数 的定义域，然后利用函数奇
偶性的定义可证明函数 为偶函数；
（ii）利用复合函数法可求得函数 的增区间.
【详解】
（1）由条件知 ，即 ，又 且 ，所以 ；
（2） .
（i）由 得 ，故 的定义域为 .
因为 ，故 是偶函数；
（ii） ，
因为函数 单调递增，函数 在 上单调递增，
故 的单调递增区间为 .
45．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题设可得 ，讨论 、 ，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合
题设.
（2）由对数函数的性质可得 ，再由对数函数的单调性可得 ，利用二次函数的性质求不等式
右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】
第 21 页（1） ， ，则 ， .
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，不合题意.
综上， .
（2）要使 在 上有意义，则 ，解得 .
由 ，即 ，又 ，
∴ ，即 ，得 .
令 ， ，记 ，对称轴 ，
∴ ，故 .
综上， .
46．（1）1；（2） .
【解析】
（1）由 求得参数值，代入检验函数为奇函数得可得；
（2）由于分母是正数，去分母，把 作为一个整体（可以换元），不等式看作一个二次不等式求解，注意
即可．
【详解】
（1）因为 是R上的奇函数，则 ，
此时 ，经验证，满足 ，所以 ；
（2）由
即得不等式 的解集为 ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数有奇偶性，考查解指数不等式．在解指数不等式时可以 用换元法，设 ，把指数
不等式转化为多项式或分式不等式求解，也可以不作这个换元操作，把 作为一个整体利用换元的思想求解，只
是解题中要注意 ．
第 22 页第 23 页
