文档内容
微专题：求导运算
【考点梳理】
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（常数的导
1
数为0）
2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
（熟记）
3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a
6 f(x)＝ex f′(x)＝ex
7 f(x)＝log x(a＞0，且a≠1) f′(x)＝
a
8 f(x)＝ln x f′(x)＝
注：①区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(log x)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(log x)
a a
′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．
②公式(log x)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(log x)′＝′＝(lnx)′＝.
a a
(2)导数的四则运算法则
法则
和差 [f(x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x )
[f(x)g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ，
积
特别地，[cf(x)]′＝ cf ′( x )
商 ′＝(g(x)≠0)
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y
＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f ( g ( x )) . 它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y ′ ＝ y ′ · u ′. 即y
x u x
对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【题型归纳】
题型一：基本初等函数的导数公式
1．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是 ，则该物体在 时的瞬时
速度是（ ）
A．30m/s B．16m/s C．12m/s D．10m/s
题型二：导数的运算法则
4． 是函数 的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．下列求导正确的为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：简单复合函数的导数
7．下列求导运算正确的是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
8．下列求导运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数 的导数为（ ）
A． B． C． D．
题型四：求某点处的导数值
10．已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ，则 等于（ ）
A．0 B． C．2 D．1
12．已知 为偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【双基达标】
13．设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数 的导函数为 ，若 ，则
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．4 B．2 C．1 D．
15．函数 的导数为（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 （ 是 的导函数），则 （ ）
A． B． C． D．
17．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列求导运算错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
20．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
21．设函数 的导函数为 ，若 是奇函数，则曲线 在点 处切线的斜率
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司为（ ）
A． B． C．2 D．
22．函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
23．下列各式中正确的是（ ）
A．(logax)′= B．(logax)′=
C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3
24．已知函数 的导数为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
25．曲线 在点 处的切线斜率为8，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
26．设函数 的定义域为R，若存在常数 ，使 对一切实数x均成立，则称 为“F函数”．
给出下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中是“F函数”
的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
27．已知函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
29．下列求导运算正确的是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
30．曲线f(x)= 在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=-2x-3
D．y=-2x-2
【高分突破】
一、单选题
31．已知函数 ， ， ， ，…，依此类推，
A． B． C．0 D．
32．若函数 的导函数为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．0
33．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
34．已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ．若 ，且 ，则使不等式
成立的x的值可能为( )
A．－2 B．－1 C． D．2
35．下列函数的求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．已知函数 ，其中 为函数 的导数，则
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A． B． C． D．
37．已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
二、多选题
38．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出
不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？
这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： ，其中 为曲线顶点到横坐
标轴的距离， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 ，相应地，双曲正弦函数的表达式为
．若直线 与双曲余弦函数 双曲正弦函数 的图象分别相交于点 ， ，曲线 在点 处的
切线 与曲线 在点 处的切线 相交于点 ，则下列结论正确的为（ ）
A．
B． 是偶函数
C．
D．若 是以 为直角顶点的直角三角形，则实数
40．下列导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
41．（多选题）已知直线 与抛物线 相切，则 （ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
三、填空题
42．已知函数 ，则 在 处的导数 ________.
43．已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于__________.
44．已知函数 (x∈[-2，2])，f(x)的最小值为1，则m=____.
45．已知函数 在区间 上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是
__________.
46．设 是 的导函数，写出一个满足 在定义域 上恒成立的函数 的解析式：___________.
47．已知函数 ，则 _____________
四、解答题
48．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) .
49．求下列函数的导数．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
50．求下列函数的导数.
（1）y＝cos ；（2）y＝ ；（3）y＝ ；
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（4）y＝lg x；（5）y＝5x；（6）y＝cos .
51．已知 是函数 的导函数，对任意的 ， ，且 .
(1)若 ，求使 成立的 的取值范围；
(2)若 ，求函数 的取值范围.
52．求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的求导公式、导数运算法则逐项分析计算即可判断作答.
【详解】
对于A， ，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D不正确.
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
依据导数的运算法则逐一计算验证选项即可.
【详解】
A选项： ，故A选项错误；
B选项： ，故B选项正确；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项错误；
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，再令 计算可得.
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，
所以该物体在 时的瞬时速度是16m/s.
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
先对函数求导，然后求出 和 判断
第 10 页【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ， ．
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，将 代入即得.
【详解】
由题意得， ，
故 .
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则和导数基本公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】
对于A， ，故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C不正确；
对于D， ，故D正确.
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可求解.
【详解】
解： ，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C
错误； ，选项D错误.
故选：B.
8．C
第 11 页【解析】
【分析】
由导数的求导法则及复合函数的导数依次判断即可.
【详解】
对于A， ，A错误；对于B， ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选：C.
9．C
【解析】
【分析】
利用简单复合函数的求导公式进行求解
【详解】
，
故选：C
10．A
【解析】
【分析】
直接利用导数的定义，即可解出．
【详解】
由题意可得， ，所以
故选： ．
11．B
【解析】
【分析】
对函数 求导，在导函数中代入 ，即得.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B.
12．A
第 12 页【解析】
【分析】
根据 为偶函数， 求出当 时， ，再求出导函数，代入 即可得解.
【详解】
当 时， ，则 ，此时 ，
所以 ．
故选：A
13．B
【解析】
【分析】
根据复合函数求导法则可求得 ，代入 即可得到结果.
【详解】
， .
故选：B.
14．B
【解析】
【分析】
根据题意求得 ，再根据 即可求得 .
【详解】
解：由题意知： .
因为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
15．A
【解析】
【分析】
利用导数的计算公式，直接判断选项.
【详解】
.
故选：A
16．D
【解析】
【分析】
第 13 页对函数进行求导，求出 ，再令 代入解析式，即可得到答案；
【详解】
， ，
， ，
故选：D.
17．C
【解析】
依据求导公式及法则一一判断即可.
【详解】
A选项： ，A正确；
B选项： ，B正确；
C选项： ，C错误；
D选项： ，D正确
故选：C
18．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为函数 与x轴在 上有交点，即求.
【详解】
函数 的定义域为 ， ，
令 ，
若 在 上不单调，则函数 与x轴在 上有交点，
又 ，
则 ，
解得 ，
故 在 上不单调的一个充分不必要条件是 ．
故选：D．
19．B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算即可.
第 14 页【详解】
，故A求导正确；
，则 ，故B求导错误.
，故C求导正确；
，故D求导正确.
故选：B.
20．B
【解析】
【分析】
先求出函数的导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程.
【详解】
依题意得 ，当 时， ，即切线的斜率为2，故切线方程为 ，即 .
故选：B．
21．D
【解析】
利用 为奇函数求得 的值，由此求得 的值.
【详解】
依题意 ，由于 是奇函数，所以 ，解得 ，所以
，所以 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.
22．C
【解析】
先求出导函数，代入 可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.
【详解】
解：由已知 ，
则 ，
又 时， ，
则切线方程为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，是基础题.
23．D
第 15 页【解析】
【分析】
根据求导公式直接可判断.
【详解】
由(logax)′= ，可知A，B均错；由(3x)′=3xln3可知D正确.
故选：D
24．B
【解析】
【分析】
直接求导，令 求出 ，再将 带入原函数即可求解.
【详解】
由 得 ，当 时， ，解得 ，所以
， .
故选：B
25．A
【解析】
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得 的值.
【详解】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
①若 ，则 没有最大值，故 不是 函数；
②当 时， ，此时 不成立，故 不是 函数；
③ ，所以是F函数；
④ 总成立，是F函数．
【详解】
解： ①若 ，则 没有最大值，则不存在 使 成立，故 不是 函数；
第 16 页②若 ，则当 时， ，此时 不成立，故 不是 函数；
③由 ，且 时， ，显然 ，∴是F函数；
④由题得 ，所以 为奇函数，且 ，∴
，
所以 ，所以 ，
又 时， ，当 时， ，故 ，
所以 即 ，
当 时， ，∴ 总成立，是F函数．
故选：C
27．A
【解析】
【分析】
由题意可得 两个根分别位于 和 上，所以 ，从而解不等式组可求出实数 的取值范围.
【详解】
由 ，得 ．
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以方程 的两个根分别位于区间 和 上，
所以 ，即
解得 .
故选：A．
28．B
第 17 页【解析】
【分析】
求 可得 为偶函数，可得 ，计算 可得定值，即可求解.
【详解】
因为 ，
，
即 ，所以 是偶函数，所以 ，
又因为
，
所以 ，
故选：B.
29．B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．
【详解】
选项A， ，故A错；
选项B， ，故B正确；
选项C，
，故C错；
选项D， ，故D错.
故选：B.
30．A
【解析】
第 18 页【分析】
对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)= 在点(-1，-1)处的切线斜率 ，
曲线f(x)= 在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
31．A
【解析】
【分析】
利用三角函数求导法则求出 观察所求的结果，归纳其中的规律，发现其周期性，即可得出答
案.
【详解】
依次类推可得出 .
【点睛】
本题考查了三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数
周期性解决本题.
32．C
【解析】
【分析】
根据函数的求导法则， ，代入即可求得导数值.
【详解】
由题：函数 的导函数为 ，
所以 .
故选：C
【点睛】
此题考查求导数值，关键在于熟练掌握求导法则和常见函数的导函数，根据法则准确计算求解.
33．A
【解析】
【分析】
利用复合函数的求导公式可求得结果.
【详解】
第 19 页，所以， .
故选：A．
34．D
【解析】
【分析】
根据已知条件构造函数 ，要求解的不等式可化为 ，判断F(x)单调性即可求解.
【详解】
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 在定义域R上单调递减．
∵ ，∴ ，
∴不等式 等价于 ，即 ，解得 ，
结合选项可知，只有D符合题意．
故选：D．
35．D
【解析】
【分析】
根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项．
【详解】
对于A： ，故A不正确；
对于B： ，故B不正确；
对于C： ，故C不正确；
对于D： ，故D正确，
故选：D．
36．B
【解析】
将函数解析式变形为 ，求得 ，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
第 20 页所以， ，
，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数，
因此， .
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
37．A
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由题意列关于a和b的方程组，求解可得a与b的值，则答
案可求.
【详解】
解：由f（x）=alnx+bx2，得 2bx，
∵函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，
∴ ，解得 .
∴a+b=﹣2.
故选：A.
38．BC
【解析】
【分析】
根据初等函数导数公式和复合函数导数运算法则直接求解可得结果.
【详解】
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
第 21 页对于C， ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选：BC.
39．ACD
【解析】
【分析】
根据双曲余弦函数、双曲正弦函数的表达式可判断A的正确，根据奇函数的定义可判断B的正误，根据导数的计
算公式可判断C的正误，利用导数的几何意义可判断D的正误.
【详解】
，
A正确；
，记 ，则 ，
为奇函数，即 是奇函数，B错误；
，C正确；
因为 轴，设 ，则 ，
所以若 是以 为直角顶点的直角三角形，则 ，
由 ，解得 ， 正确．
故选：ACD．
40．BC
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.
【详解】
对于A， ，故错误；
对于B， ，故正确；
对于C， ，故正确；
对于D， ，故错误.
故选：BC.
41．AB
第 22 页【解析】
【分析】
设出切点坐标，求导，借助导数的几何意义列出方程组求解作答.
【详解】
设切点坐标为 ，而抛物线方程为 ，求导得 ，
因为直线 与抛物线 相切，则有 ，解得 ，则 ， ，
所以 ．
故选：AB
42．
【解析】
求导后代入 即可得到结果.
【详解】
， ， .
故答案为： .
43．
【解析】
先对 求导，再将 代入即可求解.
【详解】
由题意可得 ，
令 得 ，
即 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了导数的运算，属于基础题.
44．1
【解析】
【分析】
利用导数求出函数f(x)在[-2，2]上的最小值即可计算作答.
【详解】
由 求导得： ，
因x∈[-2，2]，则当 时， ，当 时， ，
于是得f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
第 23 页因此，当x=0时， ，
所以m=1.
故答案为：1
45．
【解析】
【分析】
由题意可转化为导函数在区间 上有3个不同的实数根，通过分离常数，转化为求函数的最值问题求解.
【详解】
.因为 在 上有3个不同的极值点，
所以 在 上有3个不同的实根，
所以 在 上有2个不同的实根（且不等于1）.
由 ，得 .令 ，则 ，
显然函数 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，因为 ，所以 .
故答案为：
46． （答案不唯一）
【解析】
【分析】
设函数 ，求得 ，得到 ，符合题意.
【详解】
由题意，设函数 ，可得 ，
令 恒成立，
即函数 ，符合题意.
故答案为： .
47．
【解析】
【分析】
利用幂函数求导公式求导，再代入导函数求函数值.
【详解】
第 24 页∵
∴
∴ .
故答案为：1.
【点睛】
本题考查幂函数求导运算，乘方运算，考查运算求解能力，是基础题.
48．(1) ；
(2) ；
(3) .
【解析】
【分析】
（1）利用复合函数的求导法则，根据乘法公式的求导法则及基本函数的导数公式求导函数.
（2）利用复合函数的求导法则，根据乘法公式的求导法则及基本函数的导数公式求导函数.
（3）利用复合函数的求导法则及基本初等函数的导数公式求导函数.
(1)
.
(2)
.
(3)
由 ，
∴ .
49．① ；② ③ ；④ =－ .
【解析】
对于①④，直接利用导数的加法和除法法则可求，②③需要先化简，再用求导公式和导数的运算法则可求.
【详解】
解：① .
②因为 ，
所以
第 25 页．
③因为 ，
所以 .
④
＝－ .
【点睛】
函数求导常用类型：
(1) 基本初等函数：利用求导公式和导数四则运算法则；
(2)复合函数：利用复合函数求导法则
(3)一些复杂函数需要先化简，再求导.
50．（1）0；（2）－5x－6；（3） ；（4） ；（5） ；（6）cos x.
【解析】
【分析】
直接利用求导公式计算即可
【详解】
（1）∵y＝cos ＝ ，∴y′＝0.
（2）∵y＝ ＝x－5，∴y′＝－5x－6.
（3）∵y＝ ＝ ＝ ，∴y′＝ .
（4）∵y＝lg x，∴y′＝ .
（5）∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
（6）y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x.
51．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析可得 ，可设 ，可得出 ，求得 的值，然后解不等式 ，即
第 26 页可得解；
（2）分析可得 ，令 ，求得 ，可得出 ，设
，利用判别式法可求得 的范围，即可得解.
(1)
解：由 ，得 ，即 .
令 ，则 ， （ 为常数），
因为 ，则 ，所以， .
若 ，则 ，即 ，解得 .
故实数 的取值范围是 ；
(2)
解：由 ，得 ，即 .
令 ，则 ，所以， （C为常数），
则 ，所以， ，
又 ， ，所以， ，则 ，
所以， ，令 ，可得 .
当 时， ；
当 时， ，解得 ，此时 或 .
综上所述， 的取值范围是 .
52．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
第 27 页【分析】
（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；
方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；
（2）利用导数的运算法则可求得结果；
（3）利用导数的运算法则可求得结果；
（4）利用导数的运算法则可求得结果.
(1)
解：方法一： ，
所以， .
方法二：由导数的乘法法则得
.
(2)
解：根据题意把函数的解析式整理变形可得 ，
所以， .
(3)
解：根据求导法则可得
.
(4)
解：根据题意，利用求导的除法法则可得
.
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