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专题 03 勾股定理的逆定理（四大题型）
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
【题型2：在网格中判断直角三角形】
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
1．（黑龙江省大庆市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）下列各组数中，能
作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．1，1，2 C．5，7，9 D．7，12，15
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌
握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵32+42=52，
∴3，4，5能作为直角三角形三边长，该选项符合题意；
B、∵12+12≠22，
∴1，1，2不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意；
C、∵52+72≠92，
∴5，7，9不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意；
D、∵72+122≠152，
∴7，12，15不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意；
故选：A．
2．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）△ABC中，∠A，
∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列判断正确的是（ ）
A．如果∠C=∠A=∠B，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A:∠B:∠C=3:4:5，则△ABC是直角三角形
C．如果a:b:c=5:12:13，则△ABC是直角三角形D．如果(c+a)(c−a)=b2，则∠B是直角
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角
形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否
是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解
题的关键．
【详解】解：A、∵∠C=∠A=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，原选项不符合题意；
B、由∠A:∠B:∠C=3:4:5，
设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3k+4k+5k=180°，解得：k=15°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC是锐角三角形，原选项不符合题意；
C、由a:b:c=5:12:13，
设a=5k，b=12k，c=13k，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，原选项符合题意；
D、∵(c+a)(c−a)=b2，
∴c2−a2=b2，即c2=b2+a2，
∴∠C是直角，原选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级上·福建福州·期末）下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，❑√2，❑√3 B．2，4，6 C．1，❑√7，8 D．32，42，52
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．分别计算较小两数的平方和，看是否等
于最大数的平方即可．【详解】解：A、∵(❑√2) 2+1=(❑√3) 2，∴1，❑√2，❑√3能作为直角三角形的三边长；
B、∵22+42≠62，∴2，4，6不能作为直角三角形的三边长；
C、∵1+(❑√7) 2 ≠82，∴1，❑√7，8不能作为直角三角形的三边长；
D、∵(32) 2 +(42) 2 ≠(52) 2 ，∴32，42，52不能作为直角三角形的三边长；
故选：A．
4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将
它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：∵72=49，152=225，202=400，242=576，252=625，
∴72+242=252，152+202=252，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角
形，
故选：B．
5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知△ABC的三边为a、b、c，下列条件不能判定
△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=5 B．∠A+∠B=∠C
C．a2+b2=c2 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，
即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于90°；
根据上面两种情况进行判断即可．
【详解】解：A、∵a=3，b=4，c=5
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+C=180°，
5
∴∠C= ×180°=75°，
3+4+5
∴△ABC为锐角三角形，故本选项不符合题意．
故选：D．
6．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、
c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=6,b=8,c=10 B．(c+b)(c−b)=a2
C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．a=9,b=40,c=41
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能
够熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据
(c+b)(c−b)=a2即可推出a2+b2=c2即可判断B；利用三角形内角和等于180度，即可
求出∠A、∠B、∠C，即可判断C．
【详解】解：A、∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
∴当a=6，b=8，c=10时，a2+b2=c2，
∴此时△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵(c+b)(c−b)=a2，
∴c2−b2=a2即a2+b2=c2，
∴此时△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°，
∴此时△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵a=9，b=40，c=41，
∴a 2+b2=92+402=1681=412=c2，
❑
∴此时△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【题型2：在网格中判断直角三角形】
7．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均
为1，点A,B,C,D均在格点上.
(1)△ACD是直角三角形吗?请说明理由；
(2)求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)是，见解析
21
(2)
2
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾
股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理得出AC=3❑√2，CD=2❑√2，AD2=26,再根据勾股定理的逆定理，
即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：△ACD是直角三角形，理由如下，∵AC=❑√32+32=3❑√2，
CD=❑√22+22=2❑√2,
∴AC2+CD2=26，
∵AD2=52+12=26，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：四边形ABCD的面积=S +S
△ABC △ACD
1 1
= AB⋅BC+ AC⋅CD
2 2
1 1
= ×3×3+ ×3❑√2×2❑√2
2 2
21
= ．
2
8．（24-25八年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为
1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）．
(1)请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
(2)判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)图见解析
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理及其逆定理：
（1）根据轴对称的性质，画出△A′B′C′即可；
（2）勾股定理求出AB2,AC2,BC2，勾股定理逆定理判断三角形的形状即可．【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
由勾股定理，得：AB2=22+22=8,AC2=12+12=2,BC2=32+12=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
9．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点
A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并写出顶点C 的坐标；
1 1 1 1
(2)求出点B到AC的距离．
【答案】(1)见解析，(4,−4)
(2)2
【分析】本题考查了作图：轴对称变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握轴
对称的性质．
（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，进而写出顶
1 1 1
点C 的坐标；
1
（2）根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，设点B到AC的距离为h，根据1 1
S = AC×ℎ = AB×BC，即可求解．
△ABC 2 2
【详解】（1）解：如图，即为所求；
顶点C 的坐标为(4,−4)；
1
（2）解：根据题意得：
AB=❑√12+22=❑√5,BC=❑√42+22=2❑√5,AC=❑√42+32=5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
设点B到AC的距离为h，
1 1
∵S = AC×ℎ = AB×BC，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×5ℎ = ×❑√5×2❑√5，
2 2
解得：ℎ =2，
即点B到AC的距离为2．
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的△ABC，若每个小
方格的边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题．
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状？并说明理由．
【答案】(1)13
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，
（1）根据△ABC所在长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：先确
定最长边，算出最长边的平方；计算另两边的平方和比较最长边的平方与另两边的平
方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．．
【详解】（1）解：∵正方形网格中的每个小方格的边长为1，
1 1 1
∴S =4×8− ×8×1− ×3×2− ×6×4
△ABC 2 2 2
=32−4−3−12
=13，
∴△ABC的面积为13；
（2）△ABC是直角三角形．
理由：∵正方形网格中的每个小方格的边长为1，
∴AB2=32+22=13，AC2=12+82=65，BC2=62+42=52，
∴AB2+BC2=13+52=65=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
11．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边
长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2❑√5，BC=❑√5．
(1)画出△ABC；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理与网格问题：
（1）根据网格的特点和勾股定理作图即可；
（2）证明AC2+BC2=AB2，即可利用勾股定理的逆定理得到结论．【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求．
（2）解：△ABC是直角三角形．
理由如下：∵AB=❑√32+42=5，AC=2❑√5，BC=❑√5，
∴AC2+BC2=(2❑√5) 2+(❑√5) 2=25，AB2=25．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
12．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长
为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
(1)AB=________；AC=________；BC=________；
(2)求△ABC的面积；
(3)判断△ABC是什么形状，并说明理由．
【答案】(1)❑√5,2❑√5,5
(2)5
(3)直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，割补法求三角形的面积，熟练掌握勾股定
理及其逆定理是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）用割补法求解即可；
（3）根据勾股定理逆定理求解即可．【详解】（1）AB=❑√12+22=❑√5，AC=❑√22+42=2❑√5，BC=❑√32+42=5
故答案为：❑√5,2❑√5,5
1 1 1
（2）△ABC的面积=4×4− ×3×4− ×4×2− ×1×2=5
2 2 2
故答案为：5
（3）∵(❑√5) 2+(2❑√5) 2=52
∴△ABC是直角三角形．
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
13．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形ABCD中，AB⊥BC于点B，
AB=9，BC=12，CD=15，DA=15❑√2，求四边形ABCD的面积．
333
【答案】
2
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定
理是解题的关键．先利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理逆定理判断△ACD为直
角三角形，且∠ACD=90°，再分别求Rt△ABC和Rt△ACD的面积即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，AB=9，BC=12，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=15，
∵CD=15，DA=15❑√2，
∴CD2=152=225，DA2=(15❑√2) 2=450，AC2=225，
∴CD2+AC2=DA2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
1 1
∴S = AB⋅BC= ×9×12=54，
△ABC 2 2
1 1 225
S = AC⋅CD= ×15×15= ，
△ACD 2 2 2
225 333
∴四边形ABCD的面积=S +S =54+ = ．
△ABC △ACD 2 2
14．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）在四边形ABCD中，已知AB=3，AD=4，
CD=13，BC=12，且∠BAD=90°，求：四边形ABCD的面积．
【答案】36
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出BD的长，再利
用勾股定理的逆定理证明∠DBC=90°，最后根据S =S +S 进行求
四边形ABCD △ABD △BCD
解即可．
【详解】解：如图所示，连接BD，
Rt△ABD BD=❑√AB2+AD2=5
在 中， 由勾股定理得 ，
∵CD=13，BC=12，
∴BD2+BC2=52+122=25+144=169=132=CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°，
1 1
∴S =S +S = ×3×4+ ×5×12=36．
四边形ABCD △ABD △BCD 2 2
15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=12，点
D为边AC的中点，点E在边BC上，连接DE．(1)若DE=2❑√3，CE=4❑√3，求△CDE的面积；
(2)若AB=6，ED⊥AC，求CE的长．
【答案】(1)6❑√3
(2)4❑√3
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解
题的关键．
（1）通过勾股定理逆定理得到∠CDE=90°，再由三角形的面积公式即可求解；
（2）连接AE，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=6❑√3，可得ED是AC的垂直平分
线，则设BE=x，则EA=EC，AE=EC=6❑√3−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得，
x2+62=(6❑√3−x) 2 ，求出x，即可得到CE的长．
【详解】（1）解：∵AC=12，点D为边AC的中点，
∴CD=6，
∴CD2+DE2=36+12=48，
而CE2=(4❑√3) 2=48,
∴CD2+DE2=CE2，
∴∠CDE=90°，
1 1
∴S = CD×DE= ×6×2❑√3=6❑√3；
△EDC 2 2
（2）解：连接AE，
∵∠B=90°，AC=12,AB=6∴在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=6❑√3，
∵点D为AC的中点，ED⊥AC，
∴EA=EC，
设BE=x，则AE=EC=6❑√3−x，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得，x2+62=(6❑√3−x) 2 ，
解得：x=2❑√3，
∴EC=6❑√3−2❑√3=4❑√3．
16．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在四边形ABCD中，CD=4，AD=3，
AD⊥CD，AB=13，BC=12，若∠CAB=67.4°，求∠B的大小．
【答案】22.6°
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理求
出∠ACB=90°，进而求出∠B的大小即可．
【详解】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，
∴AC=❑√32+42=5，
∵AB=13，BC=12，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=67.4°，
∴∠B=22.6°．
17．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，
AD=12，CD=13，∠B=90°，请计算四边形ABCD的面积．【答案】36
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，根据勾股定理得AC=5，可
得S ，根据勾股定理的逆定理可确定△ACD是直角三角形，可得S ，再由
△ABC △ACD
S =S +S 可得结论．解题的关键是掌握勾股定理及勾股定理的逆定
四边形ABCD △ABC △ACD
理
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√42+32=5，
1 1
S = AB⋅BC= ×4×3=6，
△ABC 2 2
∵在△ACD中，AD=12，CD=13，AC=5，
又∵AD2+AC2=122+52=132=CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
1 1
∴S = AC⋅AD= ×5×12=30，
△ACD 2 2
∴S =S +S =6+30=36，
四边形ABCD △ABC △ACD
∴四边形ABCD的面积为36．
18．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，△ABD内有一点C，∠ACB=90°．已
知AC=3cm，BC=4cm，AD=13cm，DB=12cm，求图中阴影部分的面积S．
【答案】S=24cm2．
【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是判断出△ABD
为直角三角形．先利用勾股定理求出AB，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，从而求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即AB=❑√32+42=5，
在△ABD中，AB2+BD2=52+122=25+144=169=AD2，
∴∠ABD是直角，
1 1 1 1
∴S=S −S = AB⋅BD− AC⋅BC= ×5×12− ×3×4=24(cm2)．
△ABD △ABC 2 2 2 2
19．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，
AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．
(1)请说明AD⊥BC；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得
出AD⊥BC是解题的关键．
（1）已知△ABD三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出AD⊥BC；
（2）在直角△ADC中，应用勾股定理求出CD，则BC=BD+DC，最后根据三角形
的面积公式得出△ABC的面积．
【详解】（1）证明：∵AD2+BD2=122+52=144+25=169，AB2=132=169，
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD为直角三角形，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵△ABD为直角三角形，
∴∠ADC=90°，
∴CD=❑√AC2−AD2=❑√152−122=9，
∴BC=CD+BD=9+5=14，1 1
∴△ABC的面积= BC⋅AD= ×14×12=84．
2 2
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
20．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场
地上铺上地胶．经过测量得知：∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，
AD=20m．
(1)判断∠D是不是直角，并说明理由；
(2)铺地胶每平米：30元，求四边形ABCD场地铺上地胶需要多钱？
【答案】(1)是直角，理由见解析；
(2)需要7020元．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，有理数的混合运算的应用，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理分析得出答案；
（2）直接利用直角三角形面积求法分析得出答案．
【详解】（1）解：∠D是直角，理由如下：
连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC=❑√72+242=25，
在△ADC中，∵AD2+DC2=625，AC2=625，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠D=90°，1 1
（2）解：S =S +S = ×7×24+ ×15×20=234(m2)，
四边形ABCD △ABC △ADC 2 2
∴四边形ABCD需要铺的草坪的面积为234m2，
∵铺地胶每平米30元，
∴234×30=7020（元），
答：四边形ABCD场地铺上地胶需要7020元．
21．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一
条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14m，DC=48m，AB=40m，
CB=30m．
(1)求小路AC的长；
(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2m/s的速度在小
路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，
小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？
【答案】(1)50m
(2)24秒
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．
（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明∠ABC=90°，再运用面积法，得出BH=24，根据勾股定理列式计算得
出HC=❑√BC2−HB2=18m，最后结合运动速度，即可作答．
【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48m，
∴在Rt△ADC中，AC=❑√AD2+DC2=50(m)，
∴小路AC的长为50m；
（2）解：如图所示：过B作BH⊥AC，依题意，当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近．
∵AB=40m，CB=30m．AC=50m，
∴AC2=2500,AB2+BC2=2500，
即AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
1 1
则S = AB×BC= AC×BH，
△ABC 2 2
AB×BC 40×30
即BH= = =24(m)，
AC 50
∴HC=❑√BC2−HB2=18m
∵小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停
止奔跑，
∴HC+BC=18+30=48(m)，
则48÷2=24(s)
∴当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近．
22．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路
线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A−B−D和A−C−D．已知AB=90米，
AC=150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由：(2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：❑√5≈2.2）
【答案】(1)AB⊥BC，理由见解析
(2)路线A−C−D更短
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出BD=❑√BC2+CD2=❑√1202+602=60❑√5，分别计算两条路
线的长度，即可得到结论．
【详解】（1）解：AB⊥BC，理由如下：
由题意可知，AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，即BC=120米
∵AB2+BC2=902+1202=1502=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
即AB⊥BC；
（2）由题意可知，BC⊥CD，
∴BD=❑√BC2+CD2=❑√1202+602=60❑√5（米），
∴AB+BD=90+60❑√5≈222（米）
而AC+CD=150+60=210（米）
∵AB+BD>AC+CD，
∴路线A−C−D更短
23．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，
河边原有两个取水点A、B，其中AB=AC由于某种原因，由C到A的路已经不通，该
村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占H(A,H,B)在同一条直线上），并
修建一条路CH，测得CB=2.5千米，CH=2千米，HB=1.5千米，
(1)问CH是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．【答案】(1)是，理由见解析
25
(2) 千米
12
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确计算是解题
的关键．
（1）由题意得CH2+HB2=CB2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得出AC2=CH2+(AC−AH) 2，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：CH是村庄C到河边最近的一条路，理由如下：
∵CH2+HB2=22+(1.5) 2=6.25（千米），
CB2=(2.5) 2=6.25（千米），
∴CH2+HB2=CB2，
∴CH⊥HB，
∴ CH是村庄C到河边最近的一条路；
（2）解：由（1）知，CH⊥HB，
∴∠AHC=90°，
∵AC=AB,
∴AC2=CH2+AH2=CH2+(AC−BH) 2，
∴AC2=2❑2+(AC−1.5) 2，
25
∴AC= （千米）．
12
24．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖
的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B
行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且
AB=100m，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号．(1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
(2)若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？
【答案】(1)能，理由见详解
(2)2.8秒
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积．
（1）过点C作CD⊥AB于点D，根据AC，BC，AB的长，可得出
AC2+BC2=AB2，进而可得出∠ACB=90°，再结合三角形的面积公式，即可求出
CD的长，再和50m相比即可得出答案．
（2）设点E，F在直线AB上，且AE=AF=50m利用勾股定理，可求出DE长，进而
可得出DF，EF的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论
【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下
∶
过点C作CD⊥AB于点D，如下图1所示：
∵AC=60cm，BC=80m，AB=100m，602+802=1002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∵ AC⋅BC= AB⋅CD
2 2
AC⋅BC 60×80
∴CD= = =48m
AB 100
∵48m<50m，
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号
（2）解：设点E，F在直线AB上，且CE=CF=50m，如图2所示．在Rt△CDE中，CD=48m，CE=50m，
∴DE=❑√CE2−CD2=❑√502−482=14(m)，
同理∶DF=DE=14m，
∴EF=DE+DF=14+14=28(m)，
∴28÷10=2.8(秒)．
答∶有2.8秒可以接收到5G信号
25．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民
生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，
以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社
区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，
BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术
人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居
民从点A到点C将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
【答案】(1)居民从点A到点C将少走6m路程
(2)这片绿地的面积是 114m2
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等
知识．
（1）连接AC，求出AB+BC−AC的长即可；（2）由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后由三角形面
积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90° AB=9m BC=12m
， ， ，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15(m)，
∴AB+BC−AC=9+12−15=6(m)，
答：居民从点A到点C将少走6m路程；
（2）解：∵CD=17m，AD=8m，AC=15m，
:AD2+AC2=DC2
∴ △ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
1 1
∴S = AD⋅AC= ×8×15=60(m2 )，
△DAC 2 2
1 1
S = AB⋅BC= ×9×12=54(m2 )，
△ACB 2 2
∴S =60+54=114(m2)，
四边形ABCD
答：这片绿地的面积是114m2．
26．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中山路MN一侧有A,B两个送奶站，C
为中山路上一供奶站，测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠ACM=30°．
小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．15❑√3
【答案】小明与B送奶站的最近距离为 km
2
【分析】由勾股定理逆定理，即可得到∠ACB=90°；过点B作BD⊥MN于点D，
利用含30度角的直角三角形的性质，和勾股定理求出BD的长即可得解．
【详解】解：∵AC2=64，BC2=225，AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°；
过点B作BD⊥MN于点D，则BD的长即为小明与B送奶站的最近距离，
∵∠ACM=30°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=60°．
在Rt△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=30°，
1 15
∴CD= BC= km，
2 2
15❑√3
∴BD=❑√BC2−CD2= km，
2
15❑√3
即小明与B送奶站的最近距离为 km．
2
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，含30度角的直角三角形，垂线段最短．熟练掌
握相关定理和性质，是解题的关键．
27．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，
D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路AB，AD，BD，DC，已知
AB=20km，AD=12km，BD=16km，CD=30km．(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E
处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），
且DE⊥BC．若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互
通大道BC，DE的总费用．
【答案】(1)公路BD与AD垂直，计算见解析
(2)818万元
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解
题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论；
（2）根据勾股定理及面积法求得BC+DE，于是得到结论．
【详解】（1）解：在△ABD中，∵AB=20km，AD=12km，BD=16km，
∴122+162=400=202，即AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴公路BD与AD垂直．
（2）解：由（1）知∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°．
在Rt△BCD中，CD=30km，BD=16km，
∴BC=❑√BD2+CD2=❑√162+302=34(km)，
∵DE⊥BC，
1 1 1 1
∴S = CD⋅BD= BC⋅DE，即 ×30×16= ×34×DE，
△BCD 2 2 2 2
240
解得DE= ，
17
240
∴34×17+ ×17=578+240=818（万元）．
17
答：修建互通大道BC，DE的总费用是818万元．
28．（23-24八年级上·河南郑州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙
各有不同． 在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如
下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别
为a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
(2)一个零件的形状如图③，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得
这个零件各边尺寸（单位：cm）如图④所示，这个零件符合要求吗？
【答案】(1)见解析
(2)这个零件不符合要求.
【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理：
（1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系
即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理判断△ABD不是直角三角形，∠A不是直角，进而可求
解；
熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：正方形面积表示为：c2，
1
根据图②，正方形面积可以表示为： ab×4+(b−a) 2 ，
2
1
所以，c2= ab×4+(b−a) 2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2 ，
2
即a2+b2=c2．
（2）在△BDC中，BC2+DC2=152+202=225+400=625=BD2，
所以△BCD是直角三角形，∠C是直角，
在△ABD中，AB2+AD2=232+82=529+64=593，BD2=252=625，
AB2+AD2≠BD2，
所以△ABD不是直角三角形，∠A不是直角，
因此，这个零件不符合要求．
29．（22-23八年级下·江西赣州·期中）如图，某小区有一矩形（白色部分）休闲地方，在
它边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，
求空地（阴影部分）需要绿化部分的面积．【答案】24
【分析】连接AC．根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明△ACB
是直角三角形，则需要绿化部分的面积=S −S ．
△ABC △ACD
【详解】解：如图，连接AC．
由题意知△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD=3，AD=4，
由勾股定理得AC=❑√CD2+AD2=❑√32+42=5，
∵在△ABC中，AC2+BC2=25+144=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，
1 1
∴需要绿化部分的面积=S −S = ×5×12− ×3×4=24．
△ABC △ACD 2 2
答：需要绿化部分的面积为24．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是证明△ACB是直角三角
形．
