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专题 03 反比例函数与特殊四边形存在性问题
类型一、平行四边形形存在性问题
例．如图，在 中， ， ， ．一次函数交 轴于点 ，
交反比例函数于 、 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】．如图1，已知 ， ，平行四边形 的边 、 分别
与 轴、 轴交于点 、 ，且点 为 中点，双曲线 为常数， 上经过 、
两点．
(1)求 的值；
(2)如图2，点 是 轴正半轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线，分别交反比例函数为常数， 图像于点 ，交反比例函数 的图像于点 ，当
时，求 点坐标；
(3)点 在双曲线 上，点 在 轴上，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四
边形，试求出满足要求的所有点 的坐标．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中， 的直角边在 轴上， 轴，
， ，反比例函数 的图象经过线段 的中点 ，与
交于点 ．
(1)求点 的坐标．
(2)求反比例函数 的表达式及点 的坐标．
(3)在坐标平面上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，诸说明理由．【变式训练3】．如图， 在平面直角坐标系中，已知 ， ，已知
点 、 ，且点B在第二象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)将 以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，
使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值
以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、
Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2， )，反
比例函数 （x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝ ．
(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；
(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；
(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并
判断点G是否在反比例函数图象上．【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA
＝6，OB＝3，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 ，点 恰好
落在反比例函数的图象上，求此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 、P、Q
为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形， ， ，
点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒
2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终
点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示： _______cm， _______cm；
(2)函数 的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出
△POM的面积为7.5 ，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、
E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【变式训练4】．综合与探究
如图1，反比例函数的图象 经过点 ，点 的横坐标是－2，点 关于坐标原点
的对称点为点 ，作直线 ．
(1)判断点 是否在反比例函数 的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点 作直线交反比例函数 的图象于点 和点 ，点 的横坐
标是4，顺次连接 ， ， 和 ．求证：四边形 是矩形；
(3)已知点 在 轴的正半轴上运动，点 在平面内运动，当以点 ， ， 和 为顶点的
四边形为菱形时，请直接写出此时点 的坐标．
类型三、矩形存在性问题
例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝ 交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．
(1)求双曲线的表达式；
(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一
个动点，求AP＋PQ的最小值；
(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是
矩形时，直接写出点N的坐标．【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图像交于
、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线 向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，
如果 的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是
矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C
在x轴上，AD//BC，BD平分 ，交AO于点E，交AC于点F， ．若
OB，OC的长分别是一元二次方程 的两个根，且 ．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
(2)若反比例函数 图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为 的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B
在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为（4，
3），设AB所在直线解析式为 ．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边
AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请
说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点 ，点 是反比例函数 的图象上一动点，过点 作
直线 轴交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，连接 ， ．
(1)求 ， 的值．
(2)当 的面积为3时，求点 的坐标．
(3)设 的中点为 ，点 为 轴上一点，点 为坐标平面内一点，当以 ， ， ，为顶点的四边形为正方形时，求出点 的坐标．
【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，直线AB与反比例
函数 的图象在第一象限相交于点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点 ，连接 ，点E是反比例函数 图象第一象限内一点，且
点E在点C的右侧，连接 ， ，若 的面积与且 的面积相等，求点E的坐
标；
(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接 ，并在
左侧作正方形 ，当顶点F或顶点N恰好落在直线 上，直接写出点M的坐标．
【变式训练2】．如图，直线 分别与反比例函数 和 的图像交于
A，B两点，点B横坐标为2．
(1)求n的值．
(2)若点C为 图像上一点，过点C作直线 轴，交反比例函数 于点D，当
时，求C点横坐标．
(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于点 ，与y轴交于点 ，点P是反比例函数 的图象上一
动点，过点P作直线 轴交直线 于点Q，设点P的横坐标为t，且 ，
连接
(1)求k，b的值.
(2)当 的面积为3时，求点P的坐标.
(3)设 的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶
点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
【变式训练4】．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并
与反比例函数y= (k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y= (k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=
(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG
左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横
坐标．
