文档内容
微专题：利用导数解决函数的最值问题
【考点梳理】
1. 函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若
函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值.
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大
值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【题型归纳】
题型一：由导数求函数的最值（不含参）
1．使函数 在 上取得最大值的 为（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知函数 ，则函数 在 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知函数 ，则函数 在 上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
题型二：由导数求函数的最值（含参）
4．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．若关于x的不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，函数 的最小值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：已知函数最值求参数
7．若函数 在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．
8．若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【双基达标】
10．函数y＝ 的最大值为（ ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
11．已知等差数列 满足 ， ，公差为d（不为0），数列 满足 ，若对任意的
都有 ，则公差d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．若函数 在区间 内存在最大值，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数 ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．函数 在 上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
17．已知函数 的值域与函数 的值域相同，则 的取值范围为
A． B． C． D．
18．对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
19．已知对任意的 ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．设函数 在R上存在最小值，则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
21．已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 、 ，现给出下述结论：①
；② ；③ ；④ ，则其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
22．已知实数 满足 ，则 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知函数 ，函数 ，直线 分别与两函数交于 、 两点，则 的最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
24．函数y＝(x＋1)ex＋1，x∈[－3，4]的最大值为 ( )
A. 2e－2 B. 5e5 C. 4e5 D. －e－1
25．函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【高分突破】
一、单选题
26．设函数 在R上可导，其导函数为 ，且 ．则下列不等式在R上恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
27．函数 ， 的图象与直线 分别交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．已知函数 ，则 是 恒成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分不必要条件
29．已知函数 有两个零点 ，且存在唯一的整数 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．已知 是 的极值点，则 在 上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数 ， ，对任意 ，存在 ，使得 ，则 的最小
值为（ ）
A．1 B． C． D．2
32．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增
加1万元销售额 （单位：万元）与莲藕种植量 （单位：万千克）满足 （ 为常数），若种植
3万千克，销售利润是 万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克
33．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体
积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．设函数 ，则（ ）
A． 有极大值，且有最大值 B． 有极小值，且有最小值
C．若方程 恰有一个实根，则 D．若方程 恰有三个实根，则
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司35．已知函数f(x)= ，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）
A．点（0，0）是函数f（x）的零点
B． ∈（1，3），使f（ ）>f（ ）
C．函数f（x）的值域为[
D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ∪（ ）
36．已知函数 ，若 区间 的最小值为 且最大值为1，则 的值可以是（ ）
A．0 B．4 C． D．
37．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 时， 取得最大值 D． 时， 取得最小值
三、填空题
38．若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为___________.
39．已知函数 ，若存在唯一的整数 ，使 ，则实数 的取值范围是________．
40．设函数f(x)＝ ，若对任意x∈(－∞，0)，总存在x∈ 使得 ，则实数a的范围
1 2
_____
41．已知函数 ，当 时，函数 有极值，则函数 在 上的最大值为
_________.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司42．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围可以是
___________.
43．已知 ， ， ，则 的最小值是______.
四、解答题
44．已知 ，其中 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
45．已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 时的最大值和最小值；
(2)若函数 在区间 存在极小值，求a的取值范围.
46．已知函数 ．
(1)设函数 ，若 在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程 恰有两个相异的实根 ， ，试求实数a的取值范围，并证明 ．
47．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在区间 上的最小值小于零，求a的取值范围．
48．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在 上恒成立.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性、最值.
【详解】
由 有： ；由 有： ；
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上取得最大值的 为 ，故A，C，D错误，B正确.
故选：B.
2．A
【解析】
【分析】
利用导函数求得函数 在 上的单调区间，进而求得函数 在 的最小值
【详解】
， ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
则 在 时取得最小值
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
求导确定函数在 上的单调性，求出最小值即可.
【详解】
，当 时， ，则 在 上单调递增，
则 在 上的最小值为 .
故选：A.
4．A
【解析】
第 8 页【分析】
问题转化为 在 上恒成立，当 时，上式显然成立，当 时，令
， ，对函数求导后，分 和 两种情况求函数最小值，使基本最小值大
于等于零即可
【详解】
由 在 上恒成立，得
在 上恒成立，
当 时，上式显然成立，
当 时，令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上递增，
而当 时， ，不合题意，
当 时，由 ，得 ，
令 ， ，作出两函数的图象，如图所示
由图象可知，存在 ，使 ，所以 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值，
所以
，
由 ，得 ，得 ，
综上， ，
第 9 页故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为
在 上恒成立，构造函数 ，利用导数求出函数的最小值，考
查数学转化思想和计算能力，属于较难题
5．A
【解析】
【分析】
令 ，故 ，原不等式变为 ，进而令 ，利
用最值分析法，通过对 的导数进行讨论，即得.
【详解】
由题意得， ，令 ，故 ，
故 .
令 ，则 .
若 ，则 ，则 在 上单调递增，
又 ，则当 时， ，不合题意，舍去；
若 ，则当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，
所以若 ，则当 ， ，舍去；
若 ，则当 ， ，舍去；
若 ，则 ，符合题意，故 .
故选：A
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 在区间D上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
6．A
第 10 页【解析】
【分析】
方法一：求导后，令 ，结合导数和零点存在定理可得 单调性，由此可得
，由 可化简得到 ，利用导数可求得 的最小值，
则 ，由此可得结果；
方法二：令 ，由二次函数性质可知 ，令 ，利用导数可求得 ，即
为 .
【详解】
方法一：由题意得： ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ，当 时， ， ，使得 ，
则当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
；
由 得： ，
即 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
， .
方法二：令 ，则当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 .
故选：A.
7．C
【解析】
第 11 页【分析】
对函数求导后，分 和 两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而
可出实数a的值
【详解】
由 ，得 ，
当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上递增，
所以 ，解得 （舍去），
当 时，由 ，得 或 ，
当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上递增，
所以 ，解得 （舍去），
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值，所以 ，解得 （舍去），
当 时，当 时， ，所以 在 上递减，
所以 ，解得 ，
综上， ，
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
求导 ，求得其最小值点，再根据 在区间 上有最小值，由最小值点在区间 内
求解可得.
【详解】
因为函数 ，所以 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值，
因为 在区间 上有最小值，且
所以 ，
解得 ，
第 12 页所以实数 的取值范围是 .
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，
即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足
题意，即有 ．
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
先求导找极大值，再得最大值.
【详解】
令 当 时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
11．B
【解析】
【分析】
根据题意构造函数 ，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当 距离 最近时， 取得最小值，
根据 为最小值可得 距离 最近，建立绝对值不等式求解即可.
【详解】
令 ，构造函数 ，
，
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
则对于 ，当 ，即 时， 单调递增，
当 ，即 时， 单调递减，
所以当 距离 最近时， 取得最小值，
第 13 页根据题意知， 为最小值，所以 距离 最近，
而等差数列 满足 ， ，所以 ，所以 是递增数列，
∴ ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题的核心是利用函数导数思维根据 的表达式求出当 距离 最近时， 取得最小值，根据题意可得 距离
最近，再根据已知可得 是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，
解不等式组即可.
12．A
【解析】
【分析】
利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解 的范围即可．
【详解】
，
或 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
∴f(x)有极大值 ，
要使f(x)在 上有最大值，则极大值3即为该最大值，
则 ，
又 或 ，
∴ ，
综上， .
故选：A.
13．A
【解析】
【分析】
构造函数 ，根据单调性比较大小即可.
【详解】
令 ，则 ， ， ，
而 且 ，
第 14 页即 时 单调增， 时 单调减，
∵ ，则 .
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
求出函数 在 时值的集合， 函数 在 时值的集合，再由已知并借助集合包含关系
即可作答.
【详解】
当 时， 在 上单调递增， ， ，则 在 上值的集合是
，
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，则 在 上值的集合为 ，
因函数 的值域为 ，于是得 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
15．C
【解析】
【分析】
先将参数分离得 在 时恒成立，转化为 在 时恒成立，再构造函数 ，
利用导数研究其最大值，即得 .
【详解】
函数 ， ， ，
恒成立，即 ，即 在 时恒成立，
令 ，即 在 时恒成立，即
设 ，则 得 ，
则 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.
所以 时，函数 取得最大值 ，即 ，
第 15 页所以 .
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时的常用方法：
（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出
结果；
（2）根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
16．B
【解析】
【分析】
求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.
【详解】
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
故答案为：B.
17．C
【解析】
【分析】
求出f（x）的单调区间和值域，从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围．
【详解】
f（x）的定义域为（0，+∞）．
，在（0，+∞）递增．
而f′（1）=e0﹣a+a﹣1=0，
则f（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，f（1）=2a．
∴f（x）的值域为[2a，+∞）．
要使y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，解得0＜a ．
故选C．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计
算能力，属于难题．
18．C
【解析】
【分析】
通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.
【详解】
第 16 页原不等式可化为 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．
∵函数 在区间 上递增，∴ ，
∴ ．
，使得 ，即 ， ，
， 递减， ， 递增，
∴ ，
∴ ，恒有 ， 在区间 上递增，
∴ ，
∴ ．
故选：C.
19．A
【解析】
【分析】
不等式中出现的指数式 ，对数式 ，故可以考虑同构，将原不等式变形为 ，以实现不
等式左、右两边统一于函数 ，再利用导数研究函数 的单调性，从而由 可得
，再分离参数求最值即可.
【详解】
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
设 ，则 ，
因为 ，又 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
第 17 页所以 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，
令 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 .
故选:A
20．A
【解析】
【分析】
先求出 ，利用 存在最小值求出 的范围，即可判断 的零点情况.
【详解】
由 可得 ，
令 ，得 ，其判别式 ．
当 时， ， 在R上恒成立，
故 在R上恒成立， 没有最小值；
当 时， ，令 ，得 ，
，且 ，函数值的变化情况如下表所示：
x
+ 0 － 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
当 时， ，要使 有最小值，只需 ，
即 ，故 ，
故 ，故 的判别式 ，因此 有两个零点．
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
根据函数 和 的图象关于 对称，直线 与 垂直，可得 ， 、 ， ，关于
对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造 ，判断其单调性，即可判断③，由
第 18 页，判断其单调性，即可判断④．
【详解】
由题意直线 与 垂直，函数 和 的图象关于 对称，
， 、 ， ，关于 对称，则 ； ①正确；
对于②：由 ，因为 ，则 ； ②正确；
对于③：构造函数 ；则 ，
当 时，可得 ， 函数 在 单调递增；
当 时，可得 ， 函数 在 单调递减；
， ， ， ③正确；
对于④： ， ，令函数 ，则
当 时，可得 ， 函数 在 单调递减；
当 时，可得 ， 函数 在 单调递增；
， 不对，即④不对．
故选：B
22．D
【解析】
先分析得到 ，再构造函数利用导数比较 的大小即得解.
【详解】
，
，
设 ，
所以 ，
所以函数 在 单调递减，
设
所以 ，
所以 ，
第 19 页因为函数 在 单调递减，
所以 ，
故选：D
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是两次构造函数，第一次是构造函数 ，得到函数 在 单调递
减，第二次是构造函数 得到 .在解答函数的问题时，经常要观察已
知条件构造函数解决问题.
23．A
【解析】
【分析】
设 ， ，则可以用 表示 ，利用导数可求 的最小值.
【详解】
设 ， ，则 ， ，消去 得 ．
所以 ，其中 .
令 ， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ．
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，所以 的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】
思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算
公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
24．B
【解析】y′＝(x＋2)ex＋1，
当－30，
所以函数y＝(x＋1)ex＋1在(－3，－2)上单调递减，在(－2，4)上单调递增，
因为f(－3)＝－2e－20,a=0,a<0，结合导数求得最小值，解不等式即可得到所求范围.
【详解】
若对任意x∈(－∞，0)，总存在x∈ 使得 ，即 .
1 2
当a≠0时，当x＝ 时， －ax2＝0.
①当a＝0时，f(x)＝ 在(－∞，0)上的值域为(0，＋∞)，满足要求；
②当a<0时，f(x)min＝f( )＝0，而f(x)>0恒成立，所以不可能有f(x)≤f(x)；
1 2 2 1
③当0 时，设g(x)＝ －ax2，则g′(x)＝－ －2ax＝
第 32 页易得g(x)在 上递增，在 上递减，在(2, )单调递减
所以 ,
所以
综上：
【点睛】
本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.
41．13
【解析】
由题可得 在 的导数值等于0，可求得 ，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.
【详解】
，当 时，函数 有极值，
，解得 ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 处取得极大值 ，
且 ， ，
在 上的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】
方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
42．
【解析】
分段求导得到函数单调区间，画出函数图像， ，即 ，根据图像得到答案.
【详解】
第 33 页当 时， ， ，
令 ，解得 ， (舍去).
， ， 为减函数，
， ， 为增函数.
.
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数.
，且当 时， .
函数 的图像如图所示：
因为方程 有两个不相等的实根，
等价于函数 与 有2个交点，
所以 或 .
故答案为： .
【点晴】
关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键.
43． .
【解析】
由题意有 且 ，结合已知有 ，令 ， ，利用导数研究其单调性求最
值即可.
第 34 页【详解】
由题意， ，即有 且 ，
将 代入 化简得： ，令 ，
∴ ，则有 ，
当 ，有 ， 单调递减；当 ，有 ， 单调递增；
∴ ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了通过构造函数，利用其导函数研究单调性求函数最值，属于难题.
44．(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)
【解析】
【分析】
（1）当 时，求得 ，设 ，求得 ，进而得到 的符号，即
可求解；
（2）由 ，得到 恒成立，设 ，利用导数求得函数 的单调性和最值，
转化为 恒成立，集合 ，即可求解.
(1)
解：当 时， 的定义域为 ，
可得 ，
设 ，可得 ，故 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)
解：若要使得 ，只需 恒成立，
设 ，可得 ，
第 35 页由 ，可得 ；由 ，可得 ，
所以 在 为单调递减，在 上单调递增，所以 ，
于是需要 恒成立，即 恒成立，
由（1）可得：当 时， ，从而 ，即 ，
用 替换上式中的 ，可得 ，
结合 时， ，所以 恒成立，
要使得 恒成立，则 ，即实数 的取值范围 .
45．(1)最大值为9，最小值为 ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定 在 的极值、端点值，比较它们的大小即可知最值.
（2）讨论参数a的符号，利用导数研究 的单调性，结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.
(1)
由题， 时， ，则 ，
令 ，得 或1，则 时， ， 单调递增； 时， ， 单调
递减； 时， ， 单调递增.
∴ 在 时取极大值 ，在 时取极小值 ，又 ， ，
综上， 在区间 上取得的最大值为9，最小值为 .
(2)
，且 ，
当 时， 单调递增，函数 没有极值；
当 时， 时 ， 单调递增； 时 ， 单调递减； 时， ，
单调递增.
∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，则 ；
当 时， 时 ， 单调递增； 时 ， 单调递减； 时， ，
第 36 页单调递增.
∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，由 得： .
综上，函数 在区间 存在极小值时a的取值范围是 .
46．(1)
(2) ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题 在 上恒成立，利用导数求函数最值即得；
（2）由题 有两个相异的实根，设 ，利用导数可得 ，即求实数a的取
值范围，然后结合 ，构造函数 ，利用函数单调
性即可求证．
(1)
由 ，得 在 上恒成立，
设 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，
∴ ，即 ，
∴实数a的最小值为 ．
(2)
由 ，得 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，又 ，
∴在 上 ，故 单调递增，在 上 ，故 单调递减，
∴ ，
由方程 恰有两个相异的实根 ， ，得 ，
∴ ，即实数a的取值范围为 ．
第 37 页下面证明 ，
不妨设 ，则 ， ，
要证 ，只需证 ，
由于 在 上单调递增，故只需证 .
由 ，
得
，
令 ，则 恒成立，
因此 在 上单调递增，函数 ，
即 ，故 ，即证 ．
【点睛】
导数求参问题常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
47．(1)答案见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）对 求导并求定义域，讨论 、 分别判断 的符号，进而确定单调区间.
（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论 、 、 分别确定 在给定区间上的最小值，
根据最小值小于零求参数a的范围.
(1)
由题设， 且定义域为 ，
当 ，即 时，在 上 ，即 在 上递增；
当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，所以 在 上递减，在
上递增；
(2)
第 38 页由（1）知：
若 ，即 时，则 在 上递增，故 ，可得 ；
若 ，即 时，则 在 上递减，在 上递增，故
，不合题设；
若 ，即 时，则 在 上递减，故 ，得 ；
综上，a的取值范围 .
48．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
(1)
函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， 在 上恒成立，所以此时 在 上为增函数，
当 时，由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
综上：当 时， 在 上为增函数，
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数；
(2)
由（1）知:当 时， 在 上为增函数， 无最小值.
当 时， 在 上上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，即 ，
则 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 ，
第 39 页即 在 上恒成立.
第 40 页第 41 页
