文档内容
微专题：利用导数研究方程的根
【考点梳理】
利用导数研究方程根(函数零点)的技巧
(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.
(2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.
(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
【典例分析】
典例1．已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 与 的图象在区间 上有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
典例2．已知函数 ．
(1)求证： 的极小值为0；
(2)讨论方程 实数解的个数．
典例3．已知函数
(1)若关于x的方程 有3个不等实根，求 的取值范围；
(2)若关于x的不等式 对一切实数x恒成立，求ab的最大值.
【双基达标】
4． 和 是关于 的方程 的两个不同的实数根.
(1)求实数 的取值范围；
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若 ，求证： .
5．已知函数 ，其中 为常数， ．
(1)求 单调区间；
(2)若 且对任意 ，都有 ，证明：方程 有且只有两个实根．
6．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求实数a的取值范围．
7．已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
8．已知函数 在区间 内存在极值点 ．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：在区间 内存在唯一的 ，使 ，并比较 与 的大小．
9．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围.
10．已知函数 ， ， ．
(1)当 时，函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)当 时，不等式 有且仅有两个整数解，求 的取值范围．
【高分突破】
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
12．已知函数 （其中a，b为实数）的图象在点 处的切线方程为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程 有且只有一个实根．
13．已知函数 ．（ ）在 处的切线l方程为 ．
(1)求a，b，并证明函数 的图象总在切线l的上方（除切点外）；
(2)若方程 有两个实数根 ， ．且 ．证明： ．
14．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，方程 有四个根，求实数 的取值范围．
15．已知函数 （ ，e为自然对数的底数）．
(1)求函数 的极值；
(2)若方程 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明： ．
16．已知函数 ， ．
(1)当a＝2时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程 的实根个数．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，
①证明： ；
②方程 有两个实根 ，且 ，求证： .
18．已知：
(1)若 在 上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若 ，试分析 ， 的根的个数.
19．已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若关于x的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
20．已知函数 （ …是自然对数的底数）．
（1）若 在 内有两个极值点，求实数 a的取值范围；
（2） 时，讨论关于x的方程 的根的个数．
21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再
经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个
体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最
小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．已知函数 .
（1）求函数 的最大值；
（2）若关于 的方程 有两个不等实数根 ，证明： .
23．已知函数 有两个不同的零点 ，且 .
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的最大值；
（Ⅲ）求证： .
24．已知函数 .
(1)当 时，证明：函数 的图象恒在函数 的图象的下方；
(2)讨论方程 的根的个数.
25．已知 ．
(1)若2是函数 的极值点，求a的值，并判断2是 的极大值点还是极小值点；
(2)若关于x的方程 在 上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：
26．已知函数 ．其中实数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求证：关于x的方程 有唯一实数解．
27．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)讨论方程 根的个数.
28．已知 ， ．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)存在 满足： ， ，求 的值；
(2)当 时，讨论 的零点个数．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求导数，利用导数的意义可得切线方程；
（2）把两个图象有两个不同的交点转化为 在 上有两个不同的实数根，利用导数判断单调性，求
解极值和端点值可得答案.
(1)
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴所求切线方程为 ，即 ．
(2)
当 时，令 ，得 ，即 ，
则函数 与 的图象在 上有两个不同的交点，等价于方程 在 上有两个不同的实数根．
设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
∵ ， ， ，且 ，
∴要使 在 上有两个不同的实根，则 ，
∴实数k的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义和应用，利用导数解决曲线的切线问题的关键是切点处的导数值是切线的斜率；图
象的交点个数问题一般是利用分离参数进行转化，转化为函数的极值、最值问题.
2．(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
第 7 页【分析】
（1）利用导数求解函数 的单调性，即可判断 的极小值；
（2）由题意可知方程 等价于 或 时 ，构造函数 ，利用导数求解函
数 的单调性及最值，分类讨论 的取值范围即可.
(1)
解：由题得 ，
所以当 时， ， 在 单调递增；
所以当 时， ， 在 单调递减．
所以， 的极小值为 ．
(2)
解：方程 等价于 或 时 ．
令 ，则 ，由 ，
随x的变化可得 ， 情况变化如下：
2
- + 0 -
极大值
故极大值 ，
先证明一个结论：当 ，不等式 恒成立.
证明：设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故不等式 恒成立.
对任意的 ，则当 时，有 ①.
又当 时，方程 无实数解；
当 时， ， ，
故 在 上有一个零点，
而 ， ， ，
结合①可得 在 上有两个零点，故方程 有3个实数解；
当 时， ， ，
第 8 页故 在 上有一个零点，
而 ，故 在 上有一个零点即方程 有2个实数解；
当 时，同理有 在 上有一个零点，
而 ，故 在 上无零点即方程 无实数解；
故方程 有1个实数解；
综上：当 时，方程 有1个实数解；
当 时，方程 有4个实数解：
当 时，方程 有3个实数解；
当 时，方程 有2个实数解；
3．(1)
(2)
【解析】
【分析】
根据题意得到 ，求得 ，得出函数的单调性，结合方程
有3个不等实根，列出不等式组求得 ，进而求得 的取值范围；
（2）由 对 恒成立，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与
，得到 ，令 ，利用导数求得单调性，得到
，即可求解.
(1)
解：由题意，函数 ，
可得 ，
则 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，在 上单调递减，
因为方程 有3个不等实根，
则满足 ，即 ，解得 ，
所以 .
(2)
解：记 对 恒成立，
由 ，
当 时， ， 单调递增；
第 9 页当 且 时， ，所以不满足 恒成立，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
可得 ，所以 ，
记 ，可得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 最大值为 .
4．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分离参数a，设新的函数，利用导数判断其单调性，求出最值，即可求得实数 的取值范围；
（2）设 ，从而将 变形为 ，再利用对数运算确定 的范围，再利用换元法，结合
方程的跟满足方程，构造新的函数，利用导数求该函数的最小值，则问题可得到证明.
(1)
当 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 时递增，
当 时， ，所以 在 时递增，
故x=-1时， 取得最大值 ，
又 时， ，
当 时， ，且当 时， ，
所以由关于 的方程 有两个不同的实数根.可得： ；
(2)
设 ，则
，
，设 ，则 ，
第 10 页，
，
设 ，
，
设 ，则 ，
则 在 递增，而 ，
时， ，即
在 上递减，则 ，
.
5．(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，谈论参数的范围，根据导数的正负，可得单调区间；
（2）由已知可解得 ，构造函数 ，再根据（1）的结论，可知函数 的
单调性，结合零点存在定理，可证明结论.
(1)
定义域为 ，
因为 ，
若 ， ，所以 单调递减区间为 ，
若 ， ,
当 时， ，当 时， ，
所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)
证明：若 且对任意 ，都有 ，
第 11 页则 在 处取得最小值，由（1）得 在 取得最小值，得 ，
令 ，则 单调性相同，
单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
且 ， ， ，
1
所以 在( ，1)和 上各有且仅有一个零点，
e2
所以 在 和 各有且仅有一个零点，
即方程 有且只有两个实根．
6．(1)见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
(1)求f(x)导数 ，讨论 的正负，由此可判断f(x)单调性；
(2) 参变分离为 ，问题转化为求 的值域.
(1)
，
时， ， 在R上单调递减；
时， ， ， 单调递增，
， ， 单调递减；
综上， 时， 在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在 单调递增，在 单调递减.
(2)
，
令 ，
则 ，
∴g(x)在(1，e)上单调递增，
∴
∴ .
【点睛】
第 12 页本题关键是参变分离，构造新函数 ，将方程有解问题转化为求函数的值域问题.
7．（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为方程
有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究 的单调性，并结
合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是 ，然后根据
的图象和单调性得到 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是
,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程
第 13 页在区间 内有两个解．
构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在 内最
多只有一个零点，不符合题意；
当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ；所以，
函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以
，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
所以，实数a的取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且仅有两个
交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为
，即 ．
当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所当 且 时有
第 14 页．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意；
当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得 在区
间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即 ，两边
取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间 内
单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ．
故实数a的范围为 ．]
【整体点评】
本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合
思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与
一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
8．(1)
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）求导后构造函数，研究其值域进而求出实数k的取值范围；（2）结合第一问先得到 在
上递减，在 上递增，从而证明出存在唯一的 使 ．再证明出 ，由函
第 15 页数单调性得到 .
(1)
函数 在区间 内存在极值点 ，则 在 有零点 ，且在零点 两边符号相反，
由题意 ， ，
令 ， ， 在 恒成立，所以 在区间 内单调
递增，且 ， ，且当 时， ， ，可知 ，即 ．
(2)
要证在区间 内存在唯一的 使 ，
只需证 在 上有唯一零点 ，
则 ．
由（1）可知， 在 上递减，在 上递增，
又因为 ， ，即 在 上递增，
综上， 在 上递减，在 上递增，
而 ， ，故 在 上存在唯一零点，
故存在唯一的 使 ．
由（1）知 ，
∴ ， ，
则 ， ，
，
令 ，则 在 恒成立，所以 在
上单调递增，则 ，则 ， ，
所以 ，即有 ， 在 上递增，
第 16 页则 ，所以 ．
【点睛】
导函数研究函数零点问题，要先研究函数的单调性，通常情况下要对要研究的函数进行变形，另外特别注意一些
特殊点，往往是解题的突破口.
9．（1）单增区间是 ，单减区间是 ，极小值 ，无极大值；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解单调区间和极值即可；
（2）根据（1）得到当 ， ， ， ， ，即可得到实数a的取值范围.
【详解】
（1） 的定义域是 ， ，
可得 ，
x -2
0
减函数 极小值 增函数
所以 的单增区间是 ，单减区间是
当 时， 取得极小值 ，无极大值.
（2）由（1）以及当 ， ，
， ， ，
因为方程 有两个不同的解，
所以a的取值范围为 .
10．(1) ；
(2) , .
【解析】
【分析】
（1）令 ，可得 ，将问题转化为 与 有两个交点，
应用导数研究 的单调性、极值，进而确定区间值域，即可得 的取值范围；
（2）由题设可得 ，构造 ，应用导数研究 的单调性且极小值为 ，
第 17 页进而讨论a判断 的整数解个数求 的取值范围．
(1)
当 时， ，
由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
∴ 时 ， 在 内递增，
时 ， 在 内递减，
时 ， 在 内递减，
时 ， 在 内递增，
∴极大值 ，极小值 ，
∴在 上值域为 ，在 上值域为 ，在 上值域为 ，在 上值域为 ，
∴要使函数 有两个零点，则 ；
(2)
当 时，由 得： ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，即 在 上单调递增，又 ， ，
∴ 在 上有唯一零点 ，此时 在 上递减，在 , 上递增．
，
令 ，则 ，故 上 ，在 上 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，则 ，即 ，
∴ ．
当 时， ；当 时， ．
①若 ，则 ，此时 有无穷多个整数解，不合题意；
②若 ，即 ，因为 在 , 上单调递减，在 , 上单调递增，
所以 时， ， ，所以 无整数解，不合题意；
第 18 页③若 ，即 ，此时 ，故0，1是 的两个整数解，
又 只有两个整数解，因此 且 ，解得 ．
∴ , ．
【点睛】
关键点点睛：第二问，通过构造中间函数研究其单调性、极值，进而讨论参数判断 的整数解个数是否符
合题设.
11．(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
(2) ；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】
(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
第 19 页则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中 ）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
第 20 页又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且 ．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
因为 ，
所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即 ，注意 时有
，故不等式成立．
【整体点评】
本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零点反代法，换为关于
的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为 与0比较大小，代入函
数放缩得到结论.
12．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，得 ，由题知 ，解方程得解.
（2）令 ， 分三种情况讨论：当 ， ， 时
第 21 页的零点情况；令 ，分两种情况讨论：当 ， 时，对 求导，借
助 单调性及零点存在性定理，判断 的零点情况，进而得证.
(1)
因为 ，所以 ．
因为 的图象在 处的切线为 ，
所以 解得
(2)
令函数 ，定义域为 ．
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时，由 知 在 上单调递增，
又 且函数连续不间断，
所以 ，有 ．
综上所述，函数 在 有唯一的零点 ，且 在 上恒小于零，在 上恒大于零．
令函数 ，讨论如下：
①当 时， ，
求导得 ．
因为 ，所以 ，
即函数 在 单调递增．
又因为 ，
，
所以函数 在 存在唯一的零点，
所以方程 在 上有唯一的零点．
②当 时， ．
法一：由（1）易证 在 上恒成立．
事实上，令 ，则 ．
第 22 页因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 在 上恒成立．
从而 ，
所以方程 在 上无零点．
综上所述，方程 有且只有一个实根．
法二：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以方程 在 上无零点．
综上所述，方程 有且只有一个实根．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的
几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形
结合思想的应用．
13．(1) ；证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得 ， ，即可解得 、 ，从而得到
，设 在 处的切线 方程为 ，令 ，利用导数说明函数的
单调性，即可得证；
（2）由（1）知 ，设 的根为 ，则 ，即可得到 ，在设 在
处的切线方程为 ，令 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到 ．设
的根为 ，则 ，再说明 ，即可得证；
(1)
解：将 代入切线方程 ，有 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
第 23 页若 ，则 ，与 矛盾，故 ， ．
∴ ， ， ，
设 在 处的切线 方程为 ，
令 ，
即 ，所以 ，
当 时， ，
当 时，设 ， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
综合得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，
即函数 的图象总在切线 的上方（除切点外）．
(2)
解：由（1）知 ，
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递减，故 ，故 ，
设 在 处的切线方程为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ．
令 ， ，
当 时， ，
当 时，设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
综合得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 ．
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递增，故 ，
第 24 页故 ，又 ，
所以 ．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分
类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
14．(1)答案见解析
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）求导 ，分 ， ， ，讨论求解；
（2）将方程转化为 ，令 ， ，作出其图象，将方程
有四个根，转化为方程 有两根 ，分① ，② ，
③ ，④ 讨论求解.
(1)
解： ，
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递减区间 ， ，单调递增区间 ；
当 时， 恒成立，所以 在 上递减；
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递减区间 ， ，单调递增区间 ；
(2)
当 时，方程 即为 ，
令 ，则 ，
在坐标系中 的图像分别如下所示：
第 25 页结合（1）作出函数 的图象如下：
要使方程 有四个根，则方程 有两根 ，
有以下情况：
①当 时，因为 的对称轴 ，
若 ，则 ， ，舍去；
②当 时， ，得 ；
③当 时， ，无解；
④当 时，因为 的对称轴 ，
若 ，则 ，因为 ，
所以符合题意，则 ；
综合以上情况， 或 .
第 26 页【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是根据不等式的形式，把证明不等式的问题转化为复合函数的零点问题.
15．(1)见解析
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据极值的定义及利用导数求函数极值的步骤即可求解；
（2）根据已知条件转化为 有两个根，利用导数法求函数的最值得出 的范围，要证 转化为
证 成立，利用分析法将问题转化为利用导数求函数的最值即可.
(1)
函数 的定义域为 ，且 .
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，无极值.
当 时，由 ，得 ，所以 )在 上单调递增；
由 ，得 ，所以 在 上单调递减.
所以当 时，函数 取得极大值，且极大值为 .
综上所述，当 时，函数 无极值；当 时，函数 的极大值为 ，无极小值.
(2)
方程 ，即为方程 .
由题意，得方程 在区间 内有两个不相等的实数 ，不妨设 .
令 ，则 .
令 ，即 ，解得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因为 ，所以 即 .
要证 ，只需证 .
第 27 页又因为 ，所以 .
所以只需证 ，只需证 .
因为 ，所以 .所以 .
所以只需证 ，只需证 .
只需证 ， 只需证 .
令 ，则 ，所以只需证 .
令 ，则 .
令 ，则 恒成立.
所以 在 上单调递减.所以 .
所以 .所以 在 上单调递增.
所以 .所以 .
所以 .
【点睛】
解决此题的关键第一问直接利用导数法求函数的极值的步骤即可但要注意分类讨论，第二问，根据方程根问题利
用分离参数法转化为函数交点问题，进而得出参数的范围从而将证明要证 转化为证 成立，
逐步根据已知条件，利用分析法将问题转化为利用函数单调性求函数的最值即可.
16．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）由a＝2，利用导数的几何意义求解；
（2）由 得到 ，令 ，利用导数法求解.
(1)
当a＝2时， ， ，
则切线的斜率为 ，
第 28 页又 ，所以曲线 在 处的切线方程是 ，
即 ．
(2)
即为 ，化简得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ．
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减．
①当 时， ，即 ，
所以 在R上单调递减．
又 ，所以 有唯一零点0；
②当 时， ， ，所以存在 ， ，
又 ，
令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ，所以存在 ， ，
x n m
－ 0 ＋ －
单调递减 单调递增 单调递减
则 ，又 ，所以存在 ， ；
同理， ，又 ，所以存在 ， ，
由单调性可知，此时 有且仅有三个零点0， ， ．
综上，当 时， 有唯一零点，方程 有唯一的实根；
当 时， 有且仅有三个零点，方程 有3个实根．
【点睛】
第 29 页方法点睛：用导数研究函数的零点（方程的根），一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；
另一方面，也可将零点问题（方程的根）转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
17．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求解函数 ，利用导数求解函数 的单调区间即可.
（2）①证明不等式恒成立，通过构造函数 ，求函数 的导数，利用导数求解函数 的单调性及极值即
可证明；②根据函数的单调性及极值点，数形结合判断方程有两个根的情况 的取值范围及两根的取值范围，联
立直线 与 ，求解交点横坐标 ，则 ，转化不等式，构造函数，利用导数求解函数
的最值即可证明.
(1)
解：函数的定义域为 ，
函数的导数 ，解得 ，
所以当 时，此时 ，函数 单调递减区间为 ，
所以当 时，此时 ，函数 单调递增区间为 ，
所以函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
当 时，
①要证不等式 成立，即证明 成立.即证明 成立.
令
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增
所以 最小值为 ，
恒成立，即 恒成立得证.
②由①得 恒成立，即直线 始终在曲线 下方或有唯一切点，
第 30 页又结合（1）可知 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以当 时 取最小值 ，
且当 时， ；当 时， ；当 时， .
所以方程 有两个实根 ，则 ，且 .
由直线 与 联立解得交点的横坐标 ，显然
因此，要证 ，只要证 即可
即证 ，即证 即可
又因为 ，所以只要证
令 恒成立
所以 在 单调递增，即
所以 得证，原命题得证.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主
要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
18．(1)
(2)无实根
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，即 在 上恒成立，令 ， ，根据函数的单调性求出m
的范围即可；
第 31 页（2）求出函数 的导数，根据函数的单调性求出 的最小值，根据函数的单调性结合m的范围判断即可.
(1)
解：
由于 在 上递增得： 在 上恒成立，
即 在 上恒成立
令 ， ，
则 ，
故 在 上递减，于是 ，
故 ；
(2)
解： ， ，故 在 上递增，
又 ， ，
故唯一 ，使得 在 上递减，在 上递增.
故 且
故 ，
令 ，
则
故 在 上递减
当 时，由 递减知 ，
故 ，
即 ，
从而有 在 上恒成立.
故 时， 无实根.
19．（1）单调递增区间是 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导函数，令导函数大于零，解不等式得解.
（2）构造新函数，判断新函数的单调性，由单调性建立符合满足题设的不等式，进而可得参数范围.
【详解】
第 32 页（1）函数 在定义域是 .
因为 ，
令 ，又 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间是
（2）由 ，得
令
则
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以函数 在 内单调递减，在 内单调递增，
由题可知方程 在区间 内恰有2个相异的实根，
则 ，即 ，
由
解得 ，
综上所述，实数a取值范围是 .
【点睛】
思路点睛：方程根的个数转化为函数单调性探究，以及最值的符号讨论.
20．（1） ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）若 在 内有两个极值点，则 在 内有两个不相等的变号根，等价于 在
上有两个不相等的变号根．令 ，分类讨论 有两个变号根时 的范围；（2）化简原式可
得： ，分别讨论 和 时 的单调性，可得 的最小值，分类
讨论最小值与0的关系，结合 的单调性可以得到零点个数.
【详解】
（1）由题意可求得 ，
因为 在 内有两个极值点，所以 在 内有两个不相等的变号根，
即 在 上有两个不相等的变号根．
设 ，则 ，
第 33 页①当 时， ，
所以 在 上单调递增，不符合条件．
②当 时，令 得 ，
当 ，即 时， ，
所以 在 上单调递减，不符合条件；
当 ，即 时， ，
所以 在 上单调递增，不符合条件；
当 ，即 时， 在 上单调递减， 上单调递增，
若要 在 上有两个不相等的变号根，则 ，解得 ．
综上所述， ．
（2）设 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
（ⅰ）当 时， ，则 ，所以 ．
因为 ，所以 ，因此 在 上单调递增．
（ⅱ）当 时， ，则 ，所以 ．
因为 即 ，又 所以 ，因此
在 上单调递减．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当 时， ，
当 ，即 时， 没有零点，故关于x的方程根的个数为0，
当 ，即 时， 只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，
当 ，即 时，
①当 时， ，要使 ，可令 ，即
；
②当 时， ，要使 ，
第 34 页可令 ，即 ，
所以当 时， 有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2，
综上所述：当 时，关于 x的方程根的个数为0，
当 时，关于x的方程根的个数为1，
当 时，关于x的方程根的个数为2．
【点睛】
本题考查已知极值点的个数求参数，以及分类讨论求函数的零点个数问题，属于难题.
关键点点睛：分类讨论求函数的零点时，（1）先从函数有无零点得到参数的一个范围；（2）函数有零点时，再
判断函数零点是否在给定区间内，得到参数下一步的范围.
21．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
第 35 页故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则
若干代后被灭绝的概率小于1.
22．（1）2；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求函数的导数，判断含的单调性，再求函数的最大值；（2）首先方程变形为
，再构造函数 ，判断函数的单调性，转化为 有两个实数根
， ，再利用分析法，转化不等式证明为 ，转化为证明 ，利
用换元转化为证明 .
【详解】
（1）解：因为 ，所以 .
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）证明：方程 可化为 .
设 ，显然 在 上是增函数，又 ，
所以有 ，即方程 有两个实数根 ， .
由（1）可知 ，则有 ，所以 的取值范围为 .
因为方程 有两个实数根 ， ，所以 ，则 ，要证
，即证 .
，需证 .
第 36 页需证 .不妨设 ，令 ，则 ，即要证
.
设 ，则 ，所以 在 上是增函数， ，即
成立，故原式成立.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式双变量问题，属于难题.
难点一：方程实根个数转化为 有两个实数根 ， ，
难点二：通过变形，消去 并得到关于要证不等式不等号右边 和 的关于 的表达式，进而
整理为由 表达的形式，利用换元得到关于单变量 的函数表达式.
23．（Ⅰ） ；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意转化为 ，利用导数分析 的单调性即可求解；
（Ⅱ）由题意转化为 ，由 只需证明 单调递增即可；
（Ⅲ）由题意可放缩得 ，即只需证 ，构造函数 ，利用导数求出函数
最小值即可求证.
【详解】
（Ⅰ） 有两个不同的零点 有两个不同的根，显然0不是根，
，
记 ，令
在 上递减，在 上递增，如图，
第 37 页，
（Ⅱ）由 在 恒成立，
，
因此 的一个必要条件是 ，
而当 时， ，
令 ， ，则 ，
所以 是增函数且 ，
因此 在 上递增， ，符合，
所以
（Ⅲ）易得 ，由（Ⅱ）
①，用 换①中的x，可得
，
只需证 ，
即证 ，记 ，
在 上增函数，
，得证!
【点睛】
关键点点睛：函数中不等式的证明，需要转化为函数不等式恒成立，构造恰当函数，利用导数求出函数的最值，
转化为最值有关的不等式，一般技巧性较强，属于难题.
第 38 页24．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）构造函数 ，利用导数判断单调性，并求出函数的最大值小于零，即 ，即可得
证；
（2）将方程根的个数转化为函数图象 与 交点的问题，大致画出函数 的图象，即可
求解.
(1)
设 ，其中 ，
则 ，
在区间 上， 单调递减，
又∵ ，即 时， ，∴ ，
∴在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方.
(2)
由 得 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
∴ 在 处取得最小值 ，∴ ，
又∵当 时， ，当 时， ，有零点存在性定理可知函数有唯一的零点 ，
∴ 的大致图象如图所示，
∴当 时，方程 的根的个数为0；
第 39 页当 或 时，方程 的根的个数为1；
当 时，方程 的根的个数为2.
25．(1) ；2是 的极小值点；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据2是 的极值点，求得 ，再求 的单调性进行验证即可；
（2）对 分离参数，构造函数 ，求其在 的值域，即可求得求得参数的范
围.
(1)
因为 ，所以 ．
因为2是 的极值点，所以 ，解得 ．
此时 ．
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
所以2是 的极小值点．
(2)
由 ，得 ，
令 ，
则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值是 ，
而 且 ，
故实数a的取值范围是 ．
【点睛】
本题考察利用导数研究函数的极值点以及利用导数研究函数在区间上的值域，属中档题.
26．(1)当 时， 在 上单调递增；
第 40 页当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 单调递减.
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出 ，然后分 ， ， 三种情况讨论，
研究 的正负，由此判断函数的单调性即可；
（2）将方程进行变形可得 ，
令 ，利用导数研究函数的单调性，
结合零点的存在性定理进行证明即可.
(1)
（1）函数 ，
则 ，
当 时，当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，则 单调递增，
当 时， ,则 单调递减，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以 在 ， 上单调递增，在 单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 单调递减.
(2)
证明由 ，得 ，
令 ，则 ，
第 41 页当 时， ，故函数 在 上单调递增.
， ，
故 时， 恰有1个零点.
当 时，令 ，则 在 上单调递增，
因为 ， ，令 ，
可得 时， 单调递增，
所以 ，故 ，
则存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
，
故当 时，函数 恰有1个零点.
当 时， ， 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
故当 时，函数 只有 个零点.
当 时，
，
由 ，解得 ，
所以
，
第 42 页令 ， ，
， 故 在 上单调递增，
，
，当 时， 函数 无零点.
因此，当 时，函数 只有一个零点.
即证当 时，关于x的方程 有唯一实数解
【点睛】
此类问题解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:
（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；
（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；
（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.
27．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件去掉绝对值，再利导数法求函数的最值即可求解；
（2）根据已知条件及对数恒等式，利用导数法求出函数的单调性进而得出自变量的关系，再结合方程的根转化为
函数与函数的交点即可求解.
(1)
时， .
① 时， ，
，
所以 ，即 在 时单调递减；
② 时 ， .
所以 ，即 在 时单调递增；
当 时， 取得最小值为
第 43 页所以 的最小值是 .
(2)
由题 ， ，
则 ，
即 .
所以 .由 ，得 .
当 时， ；
当 时， ；
所以， 在 上递减；在 上递增.
又因为 ，所以 ，当且仅当 或 .
又 ，故 和 不可能同时成立.
所以方程根 的个数是两函数 和 的零点个数之和，其中
当 时，函数 的零点个数转换为直线 与函数 图象的交点个数，
，令 ，即 ，解得 .
当易知 时， , 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
在 处取得最小值为 ，
所以 时，直线 与函数 图象无交点，函数 无零点；
时，直线 与函数 图象有一个交点，函数 有1个零点；
时，直线 与函数 图象有2个交点函数， 有2个零点.
同理：函数 的零点个数转化为直线 与函数 图象交点个数，
设 ，则
所以函数 在 单调递增，
第 44 页在 处的函数值为 ，
所以故 时， 在 上必有1个零点.
综上所述， 时，方程有1个根；
时，方程有2个根； 时，方程有3个根.
【点睛】
解决此类型的关键第一问去掉绝对值分别讨论单调性，但要注意分段函数是一个函数，利用导数法求函数的最值
的步骤即可，第二问先对方程变形，然后利用导数法得出函数单调性进而出自变量与函数值的关系，再结合方程
的根转化为函数与函数交点的问题即可.
28．(1) 或4；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）在 有 ，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a，在 上根
据已知列方程组求参数a，即可得结果.
（2）讨论a的范围，利用导数研究 的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数.
(1)
时 ，原条件等价于 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 为增函数，由 ，则 有唯一解 ，所以 ，
时， ，解得： ．
综上， 或4．
(2)
ⅰ. 时 ，则 ， ，
而 ， ，即 为增函数，又 ，
当 时 ；当 时 ，故 ，
∴ 恒成立，故 时零点个数为0；
ⅱ. 时， ，由①知：仅当 时 ，此时零点个数为1．
ⅲ. 时， ，则 ， ，
第 45 页∴ 为增函数， ， ，
∴ 仅有一解，设为 ，则在 上 ，在 上 ，
所以 最小值为 ，故 ．
又 ， ，故 、 上 各有一零点，即 有2个零
点．
ⅳ. 时， 上 ，
，
∴ 无零点，则 上 ， ， ，
∴ 为增函数， ， ，
∴ 有唯一解，设为 ，则 ，
又 ， ，故 、 上， 各有一个零点，即 有2个零
点．
ⅴ. 时，由（1）知： 上 有唯一零点： ；
在 上 ，则 ， ，
所以 为增函数， ， ，故 使 ，
则 上 ， 递减； 上 ， 递增；
故 ，而 ，
又 ， ，故在 、 上 各有一个零点，
所以 共有3个零点．
综上： 时 零点个数为0； 时 零点个数为1； 时 零点个数为2； 时 零点个
数为3．
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据分段函数的定义域讨论x，结合函数、方程思想求参数.
（2）讨论参数a，利用二阶导数研究 的单调性，进而判断其符号研究 单调性，并结合零点存在性定理判
断区间零点的个数.
第 46 页第 47 页
