文档文本内容
第 5 节 指数与指数函数
考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实
数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数
函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指
数函数是一类重要的函数模型.
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分
数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0
的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ a r + s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，
s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的
定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0 ，＋ ∞ )
过定点 (0 ， 1) ，即x＝0时，y＝1
当x>0时， y >1 ；当 x<0时，
性质 当x<0时， y >1 ；当x>0时， 0< y <1
0< y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
1.画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，
1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分
a>1与0<a<1来研究.
3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错误.
(2)当<1时，不可以，故(2)错误.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错误.
2.(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.答案 2
解析 ∵f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，
∴a2－3＝1且a>0，a≠1，∴a＝2.
3.(易错题)函数y＝2的值域是________.
答案 (0，1)∪(1，＋∞)
解析 ∵≠0，∴y＝2≠1，
而y＝2恒大于0，则函数y＝2的值域为(0，1)∪(1，＋∞).
4.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
答案 (1，3)
5.(2021·贵阳一中月考)计算：×＋8×－________.
答案 2
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
6.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
答案 c<b<a
解析 ∵y＝是R上的减函数，
∴>>，即a>b>1，
又c＝<＝1，∴c<b<a.
考点一 指数幂的运算
1.计算：8－＋＋[(－2)6]＝________.
答案 π＋8
解析 原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
2.[(0.064)－2.5]－－π0＝________.
答案 0
解析 原式＝－－1＝－－1
＝－－1＝0.
3.(2021·沧州七校联考) ·(a>0，b>0)＝________.
答案
解析 原式＝＝.
4.已知f(x)＝3x＋3－x，f(b)＝4，则f(2b)＝________.答案 14
解析 ∵f(b)＝3b＋3－b＝4，
∴f(2b)＝32b＋3－2b＝(3b＋3－b)2－2＝42－2＝14.
感悟提升 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利
用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后
顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
例1 (1)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，下列等式一定不成立的是( )
A.a＝b＝0 B.a<b<0
C.0<a<b D.0<b<a
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
答案 (1)C (2)(0，2)
解析 (1)如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.
∴b的取值范围是(0，2).
感悟提升 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图
象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数 a与1的大小关系不
确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结
合求解.
训练1 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的
是( )
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0
(2)如果函数 y＝|3x－1|＋m 的图象不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是
________.
答案 (1)D (2)(－∞，－1]
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0<a<1.
又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.
由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则 y＝|3x－1|与y＝－m在第二象
限没有交点，
由图象知－m≥1，即m≤－1.
考点三 解决与指数函数性质有关的问题
角度1 比较指数式的大小
例2 (1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A.a＋b≤0 B.a－b≥0
C.a－b≤0 D.a＋b≥0答案 (1)C (2)D
解析 (1)∵函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，∴1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.
∵函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，∴1.50.6>1.50＝1，即c>1.
综上，b<a<c.
(2)∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
角度2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.
(2)(2022·兰州模拟)已知函数f(x)＝，则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为( )
A.(－4，1) B.(－1，4)
C.(1，4) D.(0，4)
答案 (1) (2)B
解析 (1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立，故a的值为.
(2)由题意f(x)为减函数，
由f(a2－4)>f(3a)，
可得a2－4<3a，整理得
a2－3a－4<0，解得－1<a<4.故选B.
角度3 指数函数性质的综合应用
例 4 (1)不等式 4x－2x+1＋a>0，对∀x∈R 都成立，则实数 a 的取值范围是
________.
(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的
解集为________.
答案 (1)(1，＋∞) (2)∪(1，＋∞)
解析 (1)由题意得a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1.
∴a>1.
(2)由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，
则f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，
即f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2).
所以t2－2t>1－2t2，解得t>1或t<－.
感悟提升 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，
再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大
小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函
数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性
质分析判断.
训练2 (1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log 2)，
0.3
则a，b，c的大小关系为( )
A.c<b<a B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是______.
(3)函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________.
答案 (1)A (2)(－∞，－1] (3)
解析 (1)因为f(x)＝＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，
故函数f(x)是奇函数，
又y＝2x在定义域上单调递增，
y＝2－x在定义域上单调递减，
所以f(x)＝2x－2－x在定义域上单调递增，
由20.3>1，0<0.20.3<1，log 2<0，
0.3
可得f(20.3)>f(0.20.3)>f(log 2)，则a>b>c.
0.3
(2)∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，
∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解之得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
(3)因为x∈[－3，2]，所以若令t＝，
则t∈，
故y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，y ＝；
min
当t＝8时，y ＝57.
max
故所求函数值域为.
1.若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝( )
A.1 B.2 C. D.3
答案 C
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝，
所以f(－1)＝＝.
2.(2021·成都诊断)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐
标是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y＝(a－1)2x－变为a－(2x＋y)＝0，
依题意，对a∈R，a－(2x＋y)＝0恒成立，
则2x－＝0，且2x＋y＝0，
∴x＝－1且y＝－，
即恒过定点.
3.(2022·哈尔滨质检)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )答案 D
解析 当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，此时四个选
项均不对；当0<a<1时，函数y＝ax－是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax
的图象向下平移个单位长度得到，选项D适合.
4.(2020·天津卷)设a＝30.7，b＝，c＝log 0.8，则a，b，c的大小关系为( )
0.7
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
答案 D
解析 因为a＝30.7＞30＝1，
b＝＝30.8＞30.7，
c＝log 0.8＜log 0.7＝1，
0.7 0.7
所以b＞a＞c.
5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，
则实数m的取值范围是( )
A.(－2，1) B.(－4，3)
C.(－3，4) D.(－1，2)
答案 D
解析 原不等式变形为m2－m<，
因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.
6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参
0
数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需
的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染
病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R ＝1
0 0
＋rT.有学者基于已有数据估计出R ＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶
0
段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
解析 由R ＝1＋rT，R ＝3.28，T＝6，
0 0
得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t )＝2I(t )，
2 1
即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t －t )＝ln 2，
2 1
∴t －t ＝≈≈1.8.
2 1
7.化简：(a>0，b>0)＝________.
答案
解析 原式＝＝a－－－·b＋－＝.
8.设偶函数 g(x)＝a|x+b|在(0，＋∞)上单调递增，则 g(a)与g(b－1)的大小关系是
____________.
答案 g(a)>g(b－1)
解析 由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1).
9.已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.
答案 [－3，0)
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以[－8，1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3，0).
10.已知定义域为R的函数f(x)＝为奇函数.
(1)求b的值；
(2) t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
∀所以f(0)＝0，则b＝1(经检验，b＝1时f(x)为奇函数，满足题意).
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
因为f(x)是奇函数，所以不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k).
易知f(x)是R上的减函数，
所以t2－2t>－2t2＋k.
即对任意的 t∈R有3t2－2t－k>0 恒成立，从而对应方程的根的判别式 Δ＝4＋
12k<0，解得k<－.
所以k的取值范围为.
11.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围.
解 (1)∵f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，得m＝－1，
经检验当m＝－1时，f(x)为奇函数，
∴m＝－1.
(2)令＝2x＋1－a，
令t＝2x，∴t>0，
∴＝2t－a，即a＝t＋，
∴方程a＝t＋有正实数根，
∵t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号.
∴a≥2.
即实数a的取值范围是[2，＋∞).
12.若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则 a的取值
范围是( )
A.∪(1，＋∞) B.
C. D.(1，＋∞)
答案 B
解析 方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根转化为函数 y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点.
(1)当0<a<1时，如图①，所以0<2a<1，即0<a<；
(2)当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求.
所以0<a<.
13.(2022·邯郸模拟)设f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则
2a＋2b＋2c的取值范围是( )
A.(16，32) B.(18，34)
C.(17，35) D.(6，7)
答案 B
解析 画出函数f(x)的图象如图所示.
不妨令a<b<c，则1－2a＝2b－1，
则2a＋2b＝2.
结合图象可得4<c<5，故16<2c<32，
所以18<2a＋2b＋2c<34.选B.
14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，
2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
又y＝－22t－1，t∈[1，2]为减函数，
所以y ＝－22－1＝－5，故m≥－5.
max
即m的取值范围是[－5，＋∞).
