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第 4 节 幂函数与二次函数
考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图
象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、
不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) .
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) .
零点式：f(x)＝a(x－x )(x－x )(a≠0)，x ，x 为f(x)的零点.
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物
线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是
原点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错误.
(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析
式.
(4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误.
2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)＝－x B.f(x)＝
C.f(x)＝x2 D.f(x)＝
答案 D解析 取x ＝－1，x ＝0，对于A项有f(x )＝1，f(x )＝0，所以A项不符合题意；
1 2 1 2
对于B项有f(x )＝，f(x )＝1，所以B项不符合题意；对于 C项有f(x )＝1，f(x )
1 2 1 2
＝0，所以C项不符合题意.故选D.
3.(易错题)若函数 y＝mx2＋x＋2 在[3，＋∞)上是减函数，则 m 的取值范围是
________.
答案
解析 当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当 m≠0时，二次函数的对称
轴为直线x＝－，
依题意知∴m≤－.
4.(易错题)已知幂函数 f(x)＝x－，若 f(a＋1)1，03－2a>0 或 3－2a1的取值
确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较.
3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x轴(简记为“指大图
低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
考点二 二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定
该二次函数的解析式.
解 法一 (利用“一般式”)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x ＝2，x ＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
感悟提升 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰
当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值
为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任
意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
答案 (1)x2＋2x＋1 (2)x2－4x＋3
解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
考点三 二次函数的图象和性质
角度1 二次函数的图象
例2 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.则下列结论正确的是______(填
序号).
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
答案 (1)①②⑤ (2)C
解析 (1)由题图知，a<0，－>0，c>0，
∴b>0，ac<0，
故②正确，③④错误.
又函数图象与x轴有两交点，
∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；
又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确.
(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，
所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－10>－，
所以f(m＋1)>f(0)>0.
角度2 二次函数的单调性与最值例3 (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取
值范围是( )
A.[－3，0) B.(－∞，－3]
C.[－2，0] D.[－3，0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.
当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0].
(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
解 ①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，
∴f(x) ＝f(1)＝－2.
min
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
(ⅰ)当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，
∴f(x)在上递减，在上递增.
∴f(x) ＝f＝－＝－.
min
(ⅱ)当>1，即01)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的
最大值为________.
答案 (1) (2)2
解析 (1)由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立，
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a<－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，
所以a<.
综上， 实数a的取值范围是.
(2)令ax＝t，因为a>1，x∈[－1，1]，
所以≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，
显然g(t)在上单调递增，
所以f(x)≤8恒成立，即g(t) ＝g(a)≤8成立，
max
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以11或x<0时，y＝－x2＋x＋1＝－＋，因此，结合图象，选项C正确.
4.(2021·西安检测)已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a0时，要使函数y
＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2；当k<0时，<0，
此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上
是减函数，不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞).
6.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的
曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函
数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A.0 B.1 C. D.2
答案 A
解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝log，b＝log，
∴a－＝log－＝0.
7.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实
数m的取值范围是________.答案
解析 因为函数图象开口向上，
所以根据题意只需满足
解得－1)的定义域和值域都为[1，a]，则
b＝________.
答案 5
解析 f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，
所以f(x)在[1，a]上为减函数，
又f(x)的值域为[1，a]，
所以
消去b，得a2－3a＋2＝0，解得a＝2(a>1)，
从而得b＝3a－1＝5.
9.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x的值都有f(x)＞0，则实数
a的取值范围为________.
答案
解析 由题意得a>－对1.
10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).
(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表
达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[3，5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值
范围.
解 (1)因为f(－2)＝1，
即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.
由g(x)的图象知，要满足题意，
则≥5或≤3，即k≥12或k≤8，
所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).
11.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实
数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.
故实数m的取值范围为(－∞，－1).
12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x ，x ∈[0，t＋
1 2
1]，总有|f(x )－f(x )|≤2，则实数t的取值范围是( )
1 2
A.[－，] B.[1，]
C.[2，3] D.[1，2]
答案 B
解析 由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，
所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x) ＝f(0)＝1，
max
f(x) ＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
min要使对任意的x ，x ∈[0，t＋1]，都有|f(x )－f(x )|≤2，
1 2 1 2
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.
13.(2022·太原调研)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实
数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数y ＝(a－1)x－1与y ＝x2－ax－1；
1 2
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题.
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为
______.
答案
解析 选丙.画出y ＝x2－ax－1的草图，y ＝x2－ax－1过定点C(0，－1).
2 2
∴y ＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，
2
又y ＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，
1
故直线y ＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，
1
∴a－1>0，即a>1，
令y ＝0得x＝，
1
将点代入y ＝x2－ax－1，
2
即－－1＝0，
解得a＝0(舍)或a＝.
14.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]，
∴f(x) ＝f＝－－3＝－，
minf(x) ＝f(3)＝15，
max
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x) ＝f(3)＝6a＋3，
max
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x) ＝f(－1)＝－2a－1，
max
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
