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微专题：指数与指数幂的运算
【考点梳理】
1. n次方根与分数指数幂
(1)n次方根：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数. 这时，正数a的正的n次方根用符号表示，
负的n次方根用符号－表示. 正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a＞0).
③负数没有偶次方根.
④0的任何次方根都是0，记作＝0.
(2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 根式的性质有：
①当n为奇数时，＝a；
②当n为偶数时，＝|a|＝
(3)分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，n>1).
②正数的负分数指数幂的意义是a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1).
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
2. 无理指数幂及实数指数幂的运算性质
(1)一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，我们就将指数幂ax(a＞0)中指数x的
取值范围从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
【题型归纳】
题型一：根式的化简求值
1．若 ，则 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．把代数式 中的 移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中正确的是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型二：指数幂的运算
4．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：分数指数幂与根式的互化
7．式子 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
8．下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式中成立的一项（ ）
A． B．
C． D．
题型四：指数幂的化简、求值
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
11．计算： （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．设a，b为正实数， ， ，则 （ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【双基达标】
13．下列说法正确的个数是（ ）
（1）49的平方根为7； （2） ＝a(a≥0)；
（3） ； （4） ．
A．1 B．2
C．3 D．4
14．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
17．计算 的值为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．2
18．将 化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
19．函数y= 在[-2，2]上的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
20． 值为（ ）
A． B． C． D．
21． 可以化简成（ ）
A． B． C． D．
22．设a>0，b>0，化简 的结果是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．-3a
23．若 ，求 （ ）
A． B． C． D．
24．某工厂使用过滤仪器过滤排放的废气，过滤过程中体积一定的废气中的污染物浓度 与过滤时间
之间的关系式为 （ ，k为常数），且根据以往的经验，前2个小时的过滤能够消除 的污染物.现
有如下说法：① ；②经过1个小时的过滤后，能够消除 的污染物；③经过5个小时的过滤后，废气中剩
余的污染物低于原来的 .则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
25． （ ）
A． B．5 C． D．25
26．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
28．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
29． （ ）
A．2 B． C． D．
30．若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
31．已知函数 （ ， ），且 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
32．下列式子的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
34．已知函数 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
35．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
37．若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
39．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则数列 的前 项和为
C．若 ，则 是等比数列
D．若 ，则
40．(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
41．给出下列三个等式： ， ， ，下列函数中至少满足
一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
42．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式
为： ．已知新丸经过50天后，体积变为 ．若一个新丸体积变为 ，则需经过的天数为______．
43．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈指数增长，引发了蝗灾．到
2020年春季，蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为 ，最初有 只，则经过152天后约达到最
初的______倍（参考数据： ）．
44．设 为方程 的两个根，则 ________．
45． ___________．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．计算： ________.
47． ， ， ，由小到大排列为__________
四、解答题
48．计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
49．（1）计算： ；
（2）计算： .
50．计算：（1） ；
（2） .
51．计算.（1）
（2）
52．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
将 两边同时平方，化简即可得出结果.
【详解】
，
而 ，
故选： .
2．A
【解析】
【分析】
首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出 的取值范围，然后确定 的正负情况，再将 移入根号
内即可.
【详解】
，即 ， ，
.
故选：A .
3．C
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误.
【详解】
对于A， ，所以 ，错误；
对于B，因为 ，所以 ，则 ，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，错误．
故选：C．
4．C
【解析】
第 9 页【分析】
利用指数幂的性质运算即可.
【详解】
，则 ．
故选：C．
5．A
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则求解即可
【详解】
由 得 ，故
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则解答即可.
【详解】
A、 ，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确.
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
由指数运算法则直接计算可得结果.
【详解】
.
故选：D.
8．D
【解析】
【分析】
按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】
第 10 页对于A，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，错误；
对于B， ，错误；
对于C， ，错误；
对于D， ，正确.
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.
【详解】
对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
11．B
【解析】
【分析】
根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】
解：
；
第 11 页故选：B
12．C
【解析】
【分析】
根据 ， ，得到 ，求得a即可.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
13．A
【解析】
【分析】
（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为 ；（4）符号错误
【详解】
49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确； ，（3）错； ，(4)错，正确个数为1个，
故选：A
14．C
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.
【详解】
A.函数 的定义域是 ，所以函数是非奇非偶函数，故错误；
B. 在 上单调递减，故错误；
C.因为 ，所以函数是奇函数，且在 上单调递增，正确；
D.因为 ，所以函数是偶函数，故错误；
故选： C．
15．B
【解析】
【分析】
利用零点判断定理判断即可.
第 12 页【详解】
由函数 为增函数， 也为增函数，
所以函数 为连续增函数，
又 ， ，
可得 ，
由零点判断定理可得函数 的零点所在区间为 ，
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
先求出 的值，再求出 即可
【详解】
因为
所以 ．
故选： ．
17．B
【解析】
【分析】
利用指数幂和根式进行化简得出答案．
【详解】
原式= =e，
故选：B
【点睛】
本题考查指数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
18．A
【解析】
【分析】
直接根据根式和指数幂的关系计算即可.
【详解】
第 13 页，
故选：A.
19．B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到
，考察当 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出
CD.
【详解】
,
当 趋近于0时，函数值趋近于 ,故排除A;
,故排除CD,
故选：B
20．B
【解析】
【分析】
利用指数运算的性质化简求值即可.
【详解】
.
故选：B.
21．B
【解析】
【分析】
根据指数幂和根式的运算性质转化即可．
【详解】
解： ，
故选：B．
22．D
【解析】
【分析】
由分数指数幂的运算性质可得结果.
【详解】
因为 ， ，所以 .
第 14 页故选：D.
23．A
【解析】
【分析】
根据 ，求得 ，再利用指数幂及对数的运算即可得出答案.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
24．B
【解析】
【分析】
利用 时 来求得 的值，进而判断出三个说法的正确性.
【详解】
初始状态下， ， ，即废气中的污染物浓度为 ，
则 时， ，则 ，解得 ，故①错误；
当 时， ，此时消除的污染物为原来的 ，故②错误；
当 时， ，故③正确.
故选：B
25．C
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质求解即可
【详解】
故选：C
26．C
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
【详解】
对于A， ，故A错.
第 15 页对于B， ，故B错.
对于C， ，故C正确.
对于D， ，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.
27．C
【解析】
【分析】
根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.
【详解】
原式 ，
， ， ，
原式 ．
故选：C
【点睛】
本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.
28．B
【解析】
【分析】
算出 后可得它们的大小.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题考查指数幂的大小比较，属于容易题.
29．B
【解析】
根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算法则，直接化简，即可得出结果.
【详解】
.
故选：B
30．B
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂的运算性质，化简得到 ，即可求解.
第 16 页【详解】
根据根式和指数幂的运算性质，因为 ，
可化为 ，即 ，
可得 ，所以 ，即 ．
故选：B.
31．C
【解析】
【分析】
令 ，由 ，可得 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解.
【详解】
解：令 ，
因为 ，
所以 为奇函数，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
故选：C.
32．C
【解析】
根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.
【详解】
根据分数指数幂的运算可知，
， ， ， ，
故选：C
33．B
【解析】
【分析】
直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【详解】
故选：B
第 17 页34．D
【解析】
【分析】
由二次函数 的对称性求出 ，即可求出 .
【详解】
因为函数 满足 ，所以对称轴为 ，即 .
所以 .
故选：D
35．C
【解析】
【分析】
取特例 ，A和B不成立；当 时，D不成立；
【详解】
当 时，A和B不成立；当 时，D不成立；且 ，故C成立；
故选：C
36．A
【解析】
由指数的运算求出 ，再由对数运算求解即可.
【详解】
， ，所以， .
故选：A
37．A
【解析】
【分析】
利用对数与指数的互化，指数的运算性质可求得结果.
【详解】
因为 ，则 ，所以， ，故 .
故选：A.
38．BD
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算以及根式与分数指数幂的互化逐一判断即可.
【详解】
， 错误； ， 正确；
第 18 页， 错误； ， 正确
故选：
39．ACD
【解析】
当 时，化简得 ，得到 ，求得 ，进而求得 ，得到A正确，B不正确；当
时，得到 ，求得 ，求得 ，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列 的前 项和为 ，且满足 ，
当 时，可得 ，
即 ，所以 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，可得 ，
故A正确，B不正确.
当 时，由已知得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为 （常数）或 （常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为 的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为 的数列，并且容易求数列 前 项积时，通常采用累乘法求其通项公
式；
4、对于递推关系式形如 的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
40．BC
【解析】
第 19 页【分析】
根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.
【详解】
A不符合题意， 和 不符合分数指数幂的定义，但(-1 =-1，(-1 =1;
B符合题意， .
C符合题意， ;
D不符合题意， 和 均符合分数指数幂的定义，但 ， =23=8.
故选：BC
【点睛】
本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.
41．ABD
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质，对各个选项中的函数进行逐一判断，找出至少满足一个等
式的函数，从而得出结论.
【详解】
对A： ，符合；
对B： ，符合；
对C：不满足任何一个等式；
对D： ，符合.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质的应用，属于中档题.
42．75
【解析】
【分析】
由题意，先算出 ，由此可算出一个新丸体积变为 需经过的天数.
【详解】
由已知，得 ，
∴ ．
设经过 天后，一个新丸体积变为 ，
第 20 页则 ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：75.
43．1681
【解析】
【分析】
由题设可得x天后蝗虫的数量 ，则152天后约达到最初的 倍，利用指数的运算性
质求值即可.
【详解】
依题意知：经过x天后蝗虫的数量为 ，
∴经过152天后蝗虫的数量为 ，
又 ，
∴经过152天后约达到最初的1681倍．
故答案为：
44．8
【解析】
【分析】
由已知可得 ，再由指数幂的运算法则可求.
【详解】
为方程 的两个根， ，
.
故答案为：8.
45．
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算即可得解.
【详解】
第 21 页故答案为：
46．
【解析】
根据指数幂的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】
原式 .
故答案为： .
47．
【解析】
【分析】
由根式、指数幂的化简可得.
【详解】
∵ ， ，
又 ，
∴ .
故答案为：
48．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
直接利用指数和对数的运算性质和法则求解.
【详解】
（1） ，
，
.
（2） ，
，
第 22 页【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算性质和法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
49．（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）根据对数的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据指数幂与对数的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】
（1）由对数的运算性质，原式
.
（2）由指数幂与对数的运算公式，原式
.
50．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数运算法则运算求解即可.
【详解】
解：（1）原式 .
（2）原式
.
51．（1） ；（2）5．
【解析】
（1）根据幂的运算法则计算；
（2）根据对数的定义计算．
【详解】
（1）原式＝ ；
第 23 页（2）原式＝ ．
52．(1)0
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）（3）结合指数恒等式、对数运算性质化简；（2）只需结合对数运算性质化简.
(1)
原式 ；
(2)
解法一： ；
解法二： ；
(3)
原式 ．
第 24 页第 25 页
