文档内容
微专题：圆的弦长问题
【考点梳理】
1．圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：
(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．
(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．
2．解决圆的弦长问题的方法
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的
距离为d，则有关系式：|AB|＝2
若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，则|AB|＝·＝·|y
A A B B A
代数法 －y |(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|
B A B
AB|＝|y －y |
A B
3．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它
和点到直线的距离公式结合起来使用．
【题型归纳】
题型一：圆的弦长
1．直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
2．已知直线 ： 恒过点 ，过点 作直线与圆C： 相交于A，B两点，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．已知抛物线 的焦点F、M是抛物线 上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若 的外接圆
D与抛物线 的准线相切，则圆D与直线 相交得到的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：弦心距
4．已知曲线 ，等边三角形 的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段
长的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
5．直线 与圆 相交于A，B两点，若 ，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于A、B两点，与 交于M、N两点，
若 ，则 ( )
A． B． C． D．
题型三：中点弦
7．已知圆 ： ，直线 过点 与圆 交于A，B两点，若点 为线段 的中点，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 为圆 内一动点，则以 为弦中点的弦长不小于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知A，B为圆 上的两个动点，P为弦 的中点，若 ，则点P的轨迹方
程为（）
A． B．
C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型四：已知圆的弦长求方程或参数
10．已知直线 与圆 相交于A，B两点 ，则k＝（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系 中，直线 被圆 截得的弦长为2，则实数a的值为
（ ）
A． B．2 C． 或 D．1或
12．已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于M，N两点，且 ，则此双曲线
的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
题型五： 圆内接三角形的面积
13．已知直线 与圆 交于 ､ 两点，点 在圆 上，则 面积的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
14．已知直线 与圆 （圆心为点C）交于A，B两点，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
15．点已知动直线 恒过定点 ， 为圆 上一点，若 （ 为坐
标原点），则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
16．已知两条直线 ， ，有一动圆（圆心和半径都在变动）与 都相交，并且
被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上一点A满足 ，则以点A为圆心， 为半径的圆被 轴
所截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
18．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线 所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-31
19．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2与直线x﹣y＝0交于A，B两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心
C，则圆C的半径r的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
20．已知圆 ， 为圆C的动弦，且满足 ， 为弦 的中点，两动点 在直线
上，且 ， 运动时， 始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．直线 与圆 交于 、 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．已知直线 ： 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则非零实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
23．过三点 ， ， 的圆交 轴于 ， 两点，则 （ ）
A． B．8 C． D．10
24．已知圆 ： ，直线 ： ，则当 的值发生变化时，直线被圆 所截的弦长的最小值为 ，
则 的取值为（ ）
A． B． C． D．
25．过点 的直线l与圆 相交于M、N两点，且线段 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知直线 被圆 所截得的弦长为4，则k为（ ）
A． B． C．0 D．2
27．若双曲线 ： 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则双曲线 的离心率为
（ ）
A．2 B．4 C． D．
28．若直线 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
29．若直线 与圆 所截得的弦长为 ，则实数 为（ ）．
A． 或 B．1或3 C．3或6 D．0或4
30．已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与 轴交于 两点，若
，则 （ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．2 B． C． D．4
【高分突破】
一、单选题
31．已知圆 内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
32．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他
证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波
罗尼斯圆，已知定点 、 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆
为圆 ，已知点 在圆 上（点 在第一象限）， 交圆 于点 ，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ，
当 时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
33．设 为实数，若直线 与圆 相交于M，N两点，且 ，则 （ ）
A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1
34．已知过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
35．直线 过点（0，2），被圆 截得的弦长为2 则直线l的方程是
A． B．
C． D．y= 或y=2
36．若直线 ： 被圆 所截得的弦长为2，则点 与直线 上任意一点 的距离的
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
37．已知圆 与圆 的公共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线
上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知点 ，若过点 的直线 交圆 ： 于 ， 两点， 是圆 上一动点，则
（ ）
A． 的最小值为 B． 到 的距离的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
39．（多选）已知圆 ，直线 .则以下几个命题正确的有
（ ）
A．直线 恒过定点 B．圆 被 轴截得的弦长为
C．直线 与圆 恒相交 D．直线 被圆 截得最长弦长时，直线 的方程为
40．已知直线 ： 和圆 ： ，则（ ）
A．存在 使得直线 与直线 ： 垂直
B．直线 恒过定点
C．若 ，则直线 与圆 相交
D．若 ，则直线 被圆 截得的弦长的取值范围为
41．已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的半径为
B．圆 截 轴所得的弦长为
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．圆 上的点到直线 的最小距离为
D．圆 与圆 相离
三、填空题
42．已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 切于点 ，则圆 被直线 截得
的弦长为___________.
43．已知直线 与圆 相交，且直线被圆所截得的弦长为 ，则实数 ______.
44．若直线l过点 且被圆 所截得的弦长是8，则l的方程为________.
45．经过 ， 两点，并且在x轴上截得的弦长等于6，则这个圆的方程是______．
46．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： 是圆Q的圆心，圆
Q过坐标原点O；点L、S均在 轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．
若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=_____．
47．已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_________．
四、解答题
48．如图，圆 内有一点 ， 为过点 的弦．
（1）当弦 的倾斜角为 时，求 所在的直线方程及 ；
（2）当弦 被点 平分时，写出直线 的方程．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司49．已知圆 ，点 ．
（1）若点 在圆 外部，求实数 的取值范围；
（2）当 时，过点 的直线 交圆 于 ， 两点，求 面积的最大值及此时直线l的斜率．
50．已知圆C的圆心在直线 上，且圆C与x轴相切，点 在圆C上，点 在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点 的直线l交圆C于A，B两点，且 ，求直线l的方程．
51．已知直线 与圆 相交于 两点．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 为圆 上的动点，求 的取值范围.
52．已知点 与两个定点 ， 之间的距离的比为 ，记点 的轨迹为曲线 .
（1）求点 的轨迹 的方程，并说明轨迹 是什么图形；
（2）过点 的直线 被轨迹 所截得的线段的长为8，求直线 的方程.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】
由题意圆心 ，圆C的半径为3，
故C到 的距离为 ，
故所求弦长为 .
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定 最小时直线与直线 的位置关系，即可得结果.
【详解】
由 恒过 ，
又 ，即 在圆C内，
要使 最小，只需圆心 与 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由 ，圆的半径为5，
所以 .
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
先求出圆 的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆 与直线相交得到的弦长，得到答案.
【详解】
因为 的外接圆与抛物线 的准线 相切，
所以 的外接圆的圆心到准线 的距离等于圆的半径，
又因为圆心在 的垂直平分线上， ，
所以圆的半径为 ，圆心的横坐标为 ，所以圆心的纵坐标为 ，
所以圆心到直线的距离 ，
所以圆 与直线 相交得到的弦长为 .
故选：D.
第 10 页4．D
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离公式以及垂径定理可以得到OC的长度公式，再根据公式即可求得最大值
【详解】
设圆心到直线AB的距离为d
则
令 ，
由 可得 ，所以 在 上为增函数
由 可得 ，所以 在 上为减函数
所以
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】
令圆 的圆心 到直线l的距离为d，而圆半径为 ，弦AB长满足 ，
则有 ，又 ，于是得 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 .
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
联立直线方程和抛物线方程，设 ， ，根据抛物线焦点弦长公式 和韦达定理可求出k，
第 11 页根据圆的弦长公式 即可求 ．
【详解】
由 得， ，
设 ， ，∵ ，∴ ，
∵ 过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴ ，∴ ，∴ ，解得 ，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时 相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离 ，∴ ﹒
故选：B．
7．B
【解析】
【分析】
由题知 ，进而得 ，再求直线的方程即可.
【详解】
解：由已知得 ，所以 .
因为 为弦 的中点，所以 ，所以 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据提议可知要使得 为弦中点的弦长不小于1，那么M点应该落在以O为圆心OM为半径的圆内，根据几何概
型的公式可求得答案.
【详解】
解：由题意得：
以 为弦中点的弦长不小于1的这些点落在如图所示阴影部分的区间内
第 12 页当以 为弦中点的弦长等于1时，以M为中点作弦长交圆与A、B两点，连接OM、OA、OB， 故在等腰三角形
中， ，
根据圆的方程可知：
又由垂径定理可知：
要使得 为弦中点的弦长不小于1，那么M点应该落在以O为圆心OM为半径的圆内
设以O为圆心OM为半径的圆的面积为 ，以O为圆心OA为半径的圆的面积为
故以 为弦中点的弦长不小于1的概率为
故选：A
9．B
【解析】
【分析】
在直角三角形中利用几何关系即可获解
【详解】
圆 即 ,半径
因为 ,所以
又 是 的中点,所以
所以点 的轨迹方程为
故选：B
第 13 页10．B
【解析】
【分析】
圆心 到直线 的距离为 ，则 ,而 ，所以 ，
解方程即可求出答案.
【详解】
圆 的圆心 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
而 ，所以 ，解得： .
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.
【详解】
圆心到直线 的距离为 ，
又 ，解得： 或 ．
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
先求出圆心到渐近线的距离为 ，再解方程 即得解.
【详解】
解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为
,圆的半径为 ， 圆心到渐近线的距离为 ，
第 14 页即
双曲线的离心率为 .
故选：D
13．A
【解析】
【分析】
直线过圆内的定点，点 在圆 上，则 即为圆的内接三角形，根据圆内接三角形面积最大时为正三角形，
即可求解.
【详解】
直线 即 ，
所以直线过定点 ，因为 ，故该点在圆内，
又点 在圆 上， 故 为圆的内接三角形，
当圆的内接三角形面积最大时，其为正三角形，
可知，圆 的内接正三角形边长为 ，
故 面积的最大值为 ，
故选：A
14．C
【解析】
【分析】
求出弦长 ，求出圆心到直线 的距离即得解.
【详解】
解：由题得圆心坐标为 .
所以圆心到直线的距离为 ，
所以弦长 .
所以 的面积为 .
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
求出点 的坐标，连接 ，分析可知 ，求出直线 的方程，可求出原点 到直线 的距离，并计算
出 ，利用三角形的面积公式即可求得结果.
【详解】
第 15 页将直线 的方程变形得 ，所以直线 过定点 ，易知点 在圆 上．
连接 ，因为 ， ， ，则 ，
所以， ，即 为 的角平分线，所以， ，
又 ，所以 ，则直线 的方程为 ，即 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ．
又 ，所以 ，
故选：C．
16．D
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.
【详解】
设动圆圆心 ，半径为 ，则 到 的距离 ， 到 的距离 ，因为 被截在
圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得 ，相减得 ，将 ，
代入后化简可得 .
故选：D.
17．B
【解析】
【分析】
先利用抛物线定义求得 ，得到点A的横纵坐标，再利用几何法求圆的弦长即可.
【详解】
第 16 页由抛物线 ，可得 ，
由抛物线定义可得 ，则 ， ，
则以点A为圆心， 为半径的圆被 轴所截得的弦长为 .
故选：B.
18．C
【解析】
【分析】
求得圆心坐标，判断圆心在直线 上，从而根据弦长求得 的值.
【详解】
圆的方程可化为 ，
所以圆心 ，圆心在直线 上，
所以 .
故选：C
19．C
【解析】
【分析】
转化以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C为AC⊥BC，可得弦心距 ，再用圆心到直线距离表示 ，
即得解
【详解】
由题意，AC⊥BC，则C（0，2）到直线x﹣y＝0的距离 ，
则 ，即r＝2．
故选：C
20．A
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，设 的中点 ，根据 恒为锐角，转化为以 为圆心，以 为半径的圆
与以 为圆心，以 为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ，
因为 ， 为弦 的中点，可得 ，
又由两动点 在直线 上，且 ，
设 的中点 ，当 在圆 上运动时，且 恒为锐角，
第 17 页可得以 为圆心，以 为半径的圆与以 为圆心，以 为半径的圆相外离，
则 ，即 ，解得 或 ，
所以线段PQ中点的横坐标取值范围是 .
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
求出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得 .
【详解】
圆心 到直线 的距离为 ，
圆 的半径为 ，
又 ，故 ，
故选：B.
22．C
【解析】
【分析】
圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长 ，利用勾股定理，即可求出实数k的值.
【详解】
圆 ，可化为 ，
∴圆心C的坐标 ，半径为
∴圆心到直线的距离为 ，
又圆心到直线的距离
∴ ，解得 （舍去）或
故选:C
23．C
【解析】
【分析】
设圆的方程为 ，将三个点的坐标代入可得圆的方程，令 ，弦长即为纵坐标之差的绝对值.
【详解】
设圆的方程为 ，
第 18 页则 ，
解得： ， ， ，
所以圆的方程为： ，
令 ，可得 ，解得： ，
，
故选：C.
24．C
【解析】
【分析】
由直线 过定点 ，结合圆的对称性以及勾股定理得出 的取值.
【详解】
直线 ： 恒过点 ，由于直线被圆 所截的弦长的最小值为 ，即当直线 与直线 垂直时（
为原点），弦长取得最小值，于是 ，解得 .
故选：C
25．A
【解析】
【分析】
设出直线 的方程，利用 ，再结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
解：设圆心到直线 的距离为 ，直线 的方程为： ，即 ，
因为 ，所以
因为圆 的圆心坐标为 ，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查直线圆的位置关系，圆中 ，点到直线的距离公式的运用，考查理解辨析能力，
属于中档题.
26．A
【解析】
【分析】
第 19 页利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.
【详解】
设圆心 到直线 的距离为d，则由点到直线的距离公式得 ，
由题意得： ，解得 ．
故选：A
27．A
【解析】
【分析】
首先得到双曲线的渐近线方程，不妨取其中一条为 ，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理及垂径定
理得到方程，即可求出 ，从而求出双曲线的离心率；
【详解】
解：双曲线 ： 的渐近线为 ，即 ，
根据对称性不妨取 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
可得圆心到渐近线的距离为 ，
则 ，化为 ，即 ，所以 ，即 ，
所以离心率 ．
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出 和 的关系，再根据均值不等式，即可求解.
【详解】
由题意得圆的标准方程为 ，且圆心为 ，半径为 .
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴ ，即 .
又 ， ，∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，∴ 的最小值是9.
故选：A.
29．D
【解析】
【分析】
第 20 页根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求解.
【详解】
解：圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心 到直线 的距离为 ，
又直线 被圆 所截的弦长为 ，
故 ，即 ，解得 或 .
故选：D.
30．B
【解析】
【分析】
由弦长为2，确定 是等边三角形，得圆心到直线 的距离，求得参数 后得直线的倾斜角 ，由
计算可得．
【详解】
直线过定点 在圆上．
圆半径为 ，所以 是等边三角形，圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ， ，
直线的斜率为 ，倾斜角为 ，
所以 ．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法利用弦长求得圆心到直线的距离，这是解题的关键，从
而得直线中的参数值．求得直线的倾斜角后，根据线段长之间的关系计算．
31．B
【解析】
【分析】
设圆心 ，由圆的对称性可知过点 与 垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】
由题意可知，当过圆心且过点 时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为 ， ，
第 21 页则由两点间斜率公式可得 ，
所以与 垂直的直线斜率为 ，
则由点斜式可得过点 的直线方程为 ，
化简可得 ，
故选：B
32．A
【解析】
【分析】
设点 ，根据 求出点 的轨迹方程，过圆心 作 于点 ，求出 、 ，可求出
的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线 的斜率.
【详解】
如图所示，设动点 ，则 ，
化简可得 ，化为标准方程可得圆 ．
因为 ， ，则 为等边三角形，
过圆心 作 于点 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
故选：A．
33．C
第 22 页【解析】
【分析】
化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.
【详解】
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
直线 的一般方程为
则由已知得 ，
解得 或
故选：C.
34．D
【解析】
【分析】
计算出圆心到直线 的距离 ，对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线 的方
程.
【详解】
圆 的圆心为点 ，半径为 ，圆心到直线 的距离为 .
①若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时圆心到直线 的距离为 ，合乎题意；
②若直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ，即 ，
圆心到直线 的距离为 ，解得 .
此时直线 的方程为 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
故选：D.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为 ，弦心距为 ，弦长为 ，则 ；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式 .
35．D
【解析】
【分析】
根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果.
【详解】
因为直线l被圆C： ， 截得的弦长为 ，所以圆心到直线距离为
，设直线l的方程为 ，（斜率不存在时不满足题意）则 或 ，即直
第 23 页线l的方程是 或 ,选D.
【点睛】
本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.
36．B
【解析】
【分析】
设圆心到直线 的距离为 ，进而根据弦长得与 关系解得 ，进而将问题转化为 与直线
的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆 的圆心为 ，半径为2，
设圆心到直线 的距离为 ，则 ，
若直线 被圆 所截得的弦长为2，则 ，
所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
点 与直线 上任意一点 的最小值为点到直线的距离 ，
故选:B．
37．A
【解析】
【分析】
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点 ，利用点在直线上可得 ，再代入 消元，转
化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆 ，圆 ，
得圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，求得定点 ，
又 在直线 上， ，即 .
∴ ，∴ 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
38．ABD
【解析】
【分析】
第 24 页对于A，由圆的性质可得当直线 与 轴垂直时， 有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线 与 垂
直时， 到 的距离有最大值；对于C，设 ，从而可得 ，进而可求
出其最小值；对于D，当 ， ， 三点共线时， 最大
【详解】
如图，当直线 与 轴垂直时， 有最小值，且最小值为 ，所以A正确；
设 ，则 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，所以C错误；
当 ， ， 三点共线时， 最大，且最大值为 ，所以D正确；
当直线 与 垂直时， 到 的距离有最大值，且最大值为 ，所以B正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形
结合的思想，属于中档题
39．ABC
【解析】
求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】
直线 方程整理得 ，由 ，解得 ，∴直线 过定点 ，A正确；
在圆方程中令 ，得 ， ，∴ 轴上的弦长为 ，B正确；
，∴ 在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线 被圆 截得弦最长时，直线过圆心 ，则 ， ，直线方程为
，即 ．D错．
故选：ABC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒
等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在
第 25 页圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，
直线所过定点是弦中点时，弦长最短．
40．AC
【解析】
【分析】
用直线与直线的位置关系和直线与圆的位置关系逐一判断选项即可.
【详解】
解：A：当 时，直线 ： ，即 ，斜率为 ，与直线 ： 垂直，故A
正确；
B：直线 ： ，恒过 ，故B不正确；
C：圆心到直线的距离为 ， ，则 ，若 ，则直线 与圆 相交，故C正确；
D： ，则直线 被圆 截得的弦长 ，
， ，则 ，所以弦长 .故D不正确；
故选：AC.
【点睛】
知识点点睛：直线与圆相交求弦长，则弦长 ，其中 为圆心到直线的距离.
41．BC
【解析】
【分析】
将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心 到直线的距离再
减去半径可判断C；求出圆 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由 可得 ，所以 的半径为 ，故选项A不正确；
对于B：圆心为 到 轴的距离为 ，所以圆 截 轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最小距离为
，故选项C正确；
对于D：由 可得 ，所以圆心 ，半径 ，因为
，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
42．
【解析】
第 26 页【分析】
设圆心坐标为 ，根据圆的几何性质可知，直线 与直线 垂直，可求得 的值，进而可求得圆的方程，求
出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
设圆心坐标为 ，则 ，
由圆的几何性质可得 ，直线 的斜率为 ，则 ，解得 ，
则圆心为 ，圆 的半径为 ，
所以，圆 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
因此，所求弦长为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为 ，弦心距为 ，弦长为 ，则 ；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式 .
43．
【解析】
【分析】
由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．
【详解】
因为圆 的圆心为 ，半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．
44． 或
【解析】
【分析】
根据直线l是否存在斜率分类讨论，利用圆的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
第 27 页当直线l不存在斜率时，直线l过点 ，所以直线l的方程为： ，
把 代入圆的方程中，得 ，因为 ，所以 符合题意；
当直线l存在斜率时，设为 ，因为直线l过点 ，
所以直线l的方程为： ，
因为 的半径为5，直线l被圆 所截得的弦长是8，
所以圆心 到直线l 的距离为： ，
即 ，所以 ，
故答案为： 或
45． 或
【解析】
【分析】
求出线段 的垂直平分线为 ，设圆心 ，求出半径 的表达式，利用圆心 到 轴的距离为
，由题意可得 ，解出 ，从而可求出圆的方程
【详解】
线段 的中点为 ， ，
所以线段 的垂直平分线为 ，即 ，
所以设 ，
圆的半径为 ，
圆心 到 轴的距离为 ，
由题意得 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 或 ，
当 时，圆心为 ， ，
所以圆的方程为 ，
当 时，圆心为 ， ，
所以圆的方程为 ，
故答案为： 或
第 28 页46．
【解析】
圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l方程，由三个弦长相等得直线
方程，从而可得弦长d．
【详解】
由题意圆 与圆 关于原点对称，设 ，则
即 ．
设方程为 ，则三个圆心到该直线的距离分别为：
， ， ，
则 ，
即有 ，解得 ，
则 ，即 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求
圆弦长的常用方法．
47．5
【解析】
【分析】
根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离 ，进而利用弦长公式
，即可求得 ．
【详解】
因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
48．（1） ： , ；（2）
【解析】
【分析】
第 29 页（1）由倾斜角可得斜率为-1,然后根据过点P，写成点斜式，然后化成一般式即可,先求出圆心到直线 的距离 ,
然后根据 求值即可；（2）根据 可求出 的斜率，然后根据直线过点P，写出点斜式，
转化为一般式方程即可.
【详解】
（1）过点 作 于 ，连结 ，当 时，直线 的斜率为-1，故直线 的方程
,
,
.
（2）当弦 被 平分时， ，
此时 ,
的点斜式方程为 ,即 .
【点睛】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了直线垂直斜率的关系，同时考查了直线的点斜式方程以及圆的弦长公
式、点到直线距离公式，,属于中档题
49．（1） ；（2）最大值为2， ．
【解析】
（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得 ，求解不等式组得答案；
（2）当 时，圆 的方程为 ，求出圆心与半径，设 ，则
，分析可得 面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线 的距离，
设直线 的方程为 ，即 ，由点到直线的距离公式列式求得 的值．
【详解】
解：（1）根据题意，圆 ，即 ，
若 在圆外，则有 ，
解得： ，
第 30 页即 的取值范围为 ；
（2）当 时，圆 的方程为 ，圆心为 ，半径 ，
设 ，则 ，
当 时， 面积取得最大值，且其最大值为2，此时 为等腰直角三角形，圆心到直线 的距离
，
设直线 的方程为 ，即 ，
则有 ，解得 ，
即直线 的斜率 ．
【点睛】
易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，
考查运算求解能力，是中档题.
50．（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）由题意设圆的方程为 ，再将点 的坐标代入方程中可求出 的值，众而
可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的
距离公式列方程求解即可
【详解】
（1）设圆心 ，半径 ，
则圆C的方程可设为 ，因为点 在圆C上，
所以 ，解得 或 ．
因为点 在圆C外，经检验 不符，舍去．
所以圆C的方程为 ．
（2）由（1）可知圆C的半径 ， ，所以圆心到直线的距离 ．
当k不存在时，直线方程 ，符合题意；
当k存在时，设直线方程为 ，整理得
所以圆心C到直线l的距离 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以直线l的方程为 ．
∴综上，直线方程为 或 ．
第 31 页51．（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 ，由 即可求解.
（Ⅱ）利用 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解.
【详解】
（Ⅰ） ，
所以圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离： ，
所以 .
（Ⅱ） 表示圆上的点 与原点构成直线的斜率，
如图：当直线与圆相切时取得最值，
，
则 ，
由图可知：
所以 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查了几何法求弦长、两点求斜率的计算公式、直线与圆的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于基础
题.
52．（1）点 的轨迹 的方程是 ，轨迹 是以 为圆心，5为半径的圆；（2） 或
第 32 页.
【解析】
【分析】
（1）根据点 与两个定点 ， 之间的距离的比为 ，由 求解；
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，易知成立；当直线 的斜率存在时，设 的方程
，然后由 求解.
【详解】
（1）由题意，得 ，即 ，
化简得 ，即 .
点 的轨迹 的方程是 ，
轨迹 是以 为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时所截得的线段的长为 ，符合题意.
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
即 ，
圆心 到直线 的距离 ，
由题意，得 ，解得 ，
直线 的方程为 ，即 .
综上，直线 的方程为 或 .
第 33 页第 34 页
