文档内容
专题 02 圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。
模型1、切线长模型
图1 图2
1）切线长模型（标准类）
条件：如图1，P为 外一点，PA，PB是 的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
2）切线长模型（拓展类）
条件：如图2，AD，CD，BC是 的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
例1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将直尺、含 的直角三角尺和量角器按如图摆放， 角的
顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为
点C，则该量角器的直径是（ ）．
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】连接 ， ， ，根据题意有： ， ，根据 、 是圆O的切线，
可得 ， ，证明 ，可得 ，即，问题得解．
【详解】连接 ， ， ，如图，
根据题意有： ， ，∵ 、 是圆O的切线，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴量角器的直径是 ，故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形等知识，明确题意，灵活运用切线的性质是
解答本题的关键．
例2．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，已知 ， 是圆 的两条切线， ， 为切点，线段
交圆 于点 ．下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
【答案】D
【分析】先根据 证明 ，然后利用等腰三角形三线合一、全等三角形性质对四个选项逐
一判断．
【详解】∵ ， 是圆 的两条切线∴
∵ ∴ （ ）∴ ，故A正确，不符题意；
∴ ，故C正确，不符题意；∵ ∴在 中 ，故B正确，不符题意；
若 ，连接 ，∵ ，∴ ∴ 是等边三角形，
∴ ，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形三线合一、全等三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．
例3．（2023·广东汕头·校考一模）如图， 为 的切线，A为切点，过点A作 ，垂足为点
C，交 于点B，延长 与 的延长线交于点D．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)10
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，证明 ，根据全等三角形的性质
得到 ，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）先根据勾股定理求出 ，再求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
， ， ， 是 的切线， ，在 与 中， ， ，
， ， 是半径， 是 的切线；
（2）解： ， ，
在 中， ，
、 为 的切线， ，
在 中， ，即 ，
解得 ， ．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应
用，切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
模型2. 燕尾模型
条件：OA，OB是 的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径 分别交小圆于点
C，D，连结 ，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质逐项分析即可．
【详解】解：由圆的基本性质可知： ， ，
∴ ，即： ，故A正确；∴ 和 均为等腰三角形，
∵ 和 的顶角均为 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，故B正确；
∵当 是 的中位线时，满足 ，由于 不一定为 的中点，
∴ 不一定等于 ，故C错误；
在 和 中， ∴ ，∴ ，故D正确；故选：C．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解圆的基本
性质，熟练运用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解题关键．
例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．
[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在
每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅
新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完
《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图， 及 外一点 ．求作：
直线 ，使 与 相切于点 ”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图
方法：（1）连接 ，以 为圆心， 长为半径作大圆 ；（2）若 交小圆 于点 ，过点 作小圆
的切线与大圆 交于 两点（点 在点 的上方）；（3）连接 交小圆 于 ，连接 ，则
是小圆 的切线．
[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保
留作图痕迹），并说明理由．(2)延长 交大圆 于 ，连接 ，若 ， ，求 的长．【答案】(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析(2)
【分析】（1）作图方法正确，作出图形，如图所示，要证 是小圆 的切线，由图及“连半径、证垂
直”的方法，先根据条件判定 ，进而得到 ，即可确定
，从而得证；
（2）连接 ，如图所示，在 中， ， ，利用勾股定理得到
，再由垂径定理得到 ，结合 ，利用三角形中位线定理得到
，在 中，由勾股定理可得 ．
【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：
以上即为所求作的图形；理由如下：
∵ 是小圆 的切线，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又 为半径，∴ 是小圆 的切线；（2）解：连接 ，如图所示：
在 中， ， ，∴ ，
∵ ， 为圆的半径， ，
，∴ ，∵ 为大圆 的直径，∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线证明、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角形
中位线的判定与性质等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握切线判定、垂径定理及勾股定理的运用是解
决问题的关键．
例3．（2023秋·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图1， 与 是圆内接三角形， ， ，画出圆的一条直径．
(2)如图2， ， 是圆的两条弦， 且不相互平行，画出圆的一条直径．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）设 、 交于点G，连接 ，交圆于点F，即可作答；
（2）连接 、 ，交于点F，延长 、 ，两线交于点E，作直线 ，交圆于点M、N，即可作答．
【详解】（1）如图，设 、 交于点G，连接 并延长，交圆于点F，线段 即为所求；
证明：如图， 、 交于点Q， 、 交于点P，连接 ，交 于点H，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分弦 ，∴ 是圆的直径；
（2）如图，连接 、 ，交于点F，延长 、 ，两线交于点E，作直线 ，交圆于点M、N，
线段 即为所求． 证明方法同（1）．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握圆周角定理以
及垂径定理是解答本题的关键．模型3. 蝴蝶模型
条件：OA，OE是 的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于 ，
两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7， ，则 的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦 交小圆于 ， 两点，若 ，求证 ．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）连接 ， ，过 点作 ，则 为 ， 的中点，得出 ，
，根据勾股定理即可求出 的长；（2）过 作 ，作 ，垂足分别为 、 ，
得出 ， ， ， ，连接 、 、 、 ，通过证明
和 ，即可得证 ．
【详解】（1）连接 ， ，过 点作 ，则 为 ， 的中点，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为：
（2）过 作 ，作 ，垂足分别为 、 ，
∴ ， ， ， ，
又∵ ，∴ ，连接 、 、 、 ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题
的关键．
例2．（2023·河南洛阳·统考一模） 概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解(1)如图1，在 中，半径是5，弦 ，则这条弦的弦心距 长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但
是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在 中， ， ，
，求证： ．
概念应用 如图3，在 中 ， 的直径为20，且弦 垂直于弦 于 ，请应用上面得
出的结论求 的长．
【答案】(1)3；(2)证明见解析；
【分析】（1）根据垂径定理得出 ，然后再根据勾股定理求出结果即可；
（2）连接 、 ，证明 ，即可得出答案；
概念应用 过点 作 交于 ，过点 作 交于 ，连接 ，证明四边形 是正方
形，得出 ，根据垂径定理得出 ，根据勾股定理求出 ，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：连接 ， ， ， ，
， ， ， ，故答案为：3；
（2）证明：连接 、 ，
， ， ，， ， ，
， ， ，
， ；
概念应用 解：过点 作 交于 ，过点 作 交于 ，连接 ，
， ，
， ， 四边形 是正方形， ，
， ， 的直径为20， ，
， ， .
【点睛】本题主要考查了垂径定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的
关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性质．
例3．（2022·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中 的平分
线：
（1）如图1， 的两边与一圆切于点 ，点 是优弧 的三等分点；
（2）如图2， 的两边与一圆交于 ，且 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用点 、 是优弧 的三等分点，连接 ， ，其交点为 ，即可得出答案；
（2）利用 ，连接 ， ，其交点为 ，即可得出答案．
【详解】解：（1）射线 即为所求，如图：
证明：连接 、 ，如图：
∵ 的两边与一圆切于点 ， ∴
∵点 ， 是优弧 的三等分点∴
∴在 和 中 ∴
∴ ∴射线 为 的平分线；
（2）射线 即为所求，如图：证明：∵ ， ，
∴ ∴ ，
∴ 即
∵ ，
∴ ∴
∴ 即
∵ ∴
∴射线 为 的平分线．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，涉及到的知识点有切线长定理、同弧或等弧所对的弦相等、全等三角
形的判定和性质、角平分线的定义、等式性质等知识点，利用角平分线的定义得出角平分线上的点 是解
题关键．
模型4. 手拉手（旋转）模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。
条件： 是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB= ，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当 =60°时，CD=CA+CB； 当 =90°时， CD=CA+CB；
例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形 中， ， 为直径，若四边形 的面积是 ， 的长是 ，则 与 之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 到 ，使 ，连接 ，先证明 ，得到
，再证明 ， ，最后得到
．
【详解】解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
四边形 是圆内接四边形， ， ，
在 和 中， ，
，
，
即 ， ，故选：C．【点睛】本题考查圆的内接四边形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图 所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧
上任意一点（不与 重合），连接 、 、 ，求证： ．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得
、 、 三点在同一直线上，进而可以证明 为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明
的思路，请你完成证明．若圆的半径为 ，则 的最大值为______．
（3）类比迁移：如图 所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 、
重合），连接 、 、 ，若圆的半径为 ，试求 周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图 所示，等腰 ，点A、 在圆 上， ，圆 的半径为 连接 ，
试求 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）8；（3） ；（4）
【分析】（1）由旋转得 ， ， ，则 ，
所以 、 、 三点在同一条直线上，再证明 是等边三角形，则 ；
（2）当 是 的直径时， ，此时 的值最大，所以 的最大值是 ；
（3）先由 证明 是 的直径，且圆心 在 上，则 ， ，再证明 、 、
三点在同一条直线上，则 ，当 是 的直径时， ，此时 的
值最大，则 ，即可求得 周长的最大值是 ；
（4）连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ，先求得 ，再连接 、 ，
证明 ≌ ，得 ，所以 ，则 ，所以 的最小值为 ．
【详解】（1）证明：由旋转得 ， ， ， ，
， ，
、 、 三点在同一条直线上， ，
是等边三角形， ，
， 是等边三角形， ， ；
（2） 是 的弦，且 的半径为 ，
当 经过圆心 ，即 是 的直径时， ，此时 的值最大，
的最大值是 ，故答案为： ．（3） 类比迁移 解：如图 ， ， ，
是 的直径，且圆心 在 上， ， ，
将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，则 ， ， ，
， ，
、 、 三点在同一条直线上，
， ，
当 经过圆心 ，即 是 的直径时， ，此时 的值最大，
， 的最大值是 ，
， 周长的最大值是 ．
（4） 拓展延伸 解：如图 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ，
， ， ，
连接 、 ， ， ，， ， ，
， ， ， 的最小值为 ．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、
勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共
点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足
怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝ BD
【分析】（1）①由圆周角性质得出∠ADB＝∠CDB，即可得出结论；②延长DC至点E，使得CE＝AD，
连接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，由等边三角形的判定得△BDE为等边三角形即可得出结
论；（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，易判断△BDE
为为等腰直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝ BD ，理由如下：
延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝ BD ，即AD＋CD＝ BD．
【点睛】本题考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，
等腰直角三角形性质和判定等知识，读懂题意正确理解题中圆中“爪形A”是解题的关键．课后专项训练
1．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，它的周长为22，若
与 三边分别切于E，F，D三点，则 的长为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．3
【答案】D
【分析】由切线长定理得 ．从而得到 ，再由 的周长
为22，可得到 ，从而得到 ．再由 ，可得 是等边三角
形，即可求解．
【详解】解：∵ 与 三边分别切于E，F，D三点，
∴ ，∵ ，∴ ．
∵ 的周长为22，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ．故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，等边三角形判定和性质，熟练掌握切线长定理，等边三角形判定和
性质是解题的关键．
2．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2 ，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，
E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（ ）A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】 ，先证明 ，得出 ， ，得出
，过点 作 ，在 中，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，即可求
解．
【详解】解：连接 ，
在 和 ， PA，PB，分别切⊙O于点A，B，
， ，
， ，
， 是等边三角形，
，
，
又 ，
，
， ，
过点 作 ，如下图
根据等腰三角形的性质，点 为 的中点， ，在 中，设 ，则 ， ，
，解得： ， ， ，故选：A．
【点睛】本题考查了圆的切线，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，
掌握切线的性质来求解．
3．（2023春·山东九年级课时练习）如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结
论中不一定成立的是（ ）
A． B． 平分 C． D．
【答案】D
【分析】利用切线长定理证明△PAG≌△PBG即可得出．
【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．
【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．
4．（2022秋·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，
若 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得 ，证 ，利用全等的性质可得结果．
【详解】解： ，
， ，
在 和 中， ，
， ，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的半径相等，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．
5．（2022春·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作
CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然
后通过证得 AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】解△：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在 AEO和 ODC中， ，
△ △
∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，∴OD＝ ＝ ＝3．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练
掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
6．（2022春·江苏九年级期中）如图，已知 ， ， 分别切 于点A，B，D，若 ，则
的周长是 ．若 ，则 ．
【答案】 30
【分析】（1）根据切线的性质可得 ， ， ，再根据
，即可求出结果；
（2）连接 、 、 ，证明 ， ，可得 ， ，
从而可得 ，再根据切线的性质可得 ，利用四边形的内角和求得
，即可求得结果．
【详解】解：连接 、 、 ，∵ ， ， 分别切 于点A，B，D，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 、 分别与 相切于点A、B，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵ 与 相切于点D，∴ ，在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为：30； ．
【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 的半径为 2， 为圆上一动弦，以 为边作正方形
，求 的最大值 ．
【答案】 /
【分析】把 绕点A顺时针旋转 得到 ，得到 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的
性质求出 ，再根据正方形的性质可得 ，再求出 ，然后利用“边角边”证明和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据三角形的任意两边之和大于第三
边求解即可．
【详解】如图，连接 、 、把 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
在正方形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当O、 、D三点共线时，取 ，
此时， 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助
线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
8．（2022·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为 π，则点P运动的路径长为 ．
【答案】π．
【分析】连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．由圆周角定理可知∠DOC＝2∠DAC，
∠AOB＝2∠ADB，即可推出∠DOC+∠AOB＝180°．由OH⊥AB，DP＝PC，可证明AH＝HB＝ AB＝3，
OP⊥CD．根据同圆半径相等可证明∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，即推出∠AOH+∠COP＝90°，又因
为∠AOH+∠OAH＝90°，所以∠COP＝∠OAH，即可利用“AAS”证明 OHA≌△CPO，推出OP＝AH＝3，即
点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，再根据题意知OD，△OP的旋转角度相等，即可求出其圆
心角，最后根据弧长公式即可求出答案．
【详解】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，
∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，
∴AH＝HB＝ AB＝3，OP⊥CD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，
∴∠AOH+∠COP＝90°，∵∠AOH+∠OAH＝90°，
∴∠COP＝∠OAH，
在△OHA和△CPO中 ，
∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，
∵点D在圆上逆时针运动的路径长为 π，设圆心角为n，
∴ ，
∴n＝60°，
∵OD，OP的旋转角度相等，
∴点P的运动路径的长 ．
故答案为：π．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质以及
弧长公式等知识．正确的画出其辅助线是解答本题的关键，本题较难．
9．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径 ，射线 和 是它的两条切
线，D点在射线 上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足 ，连接 并延长交射
线 于点C．
(1)求证： 是半圆O的切线；
(2)设 ， ．
①写出y与x的关系式；②若 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ．
【分析】（1）连接 ，利用圆的切线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①过点D作 于点F，利用（1）中的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
②依题意画出图形，利用 解答即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵射线 是半圆O的切线，E点在半圆O上，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ 是半圆O的切线；
（2）解：①过点D作 于点F，如图，
∵ 、 是半圆O的两条切线，
∴ ，
∵ ，∴四边形 为矩形，
∴ ．
∴ ， ．
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴y与x之间的函数关系式为 ；
②当 时，
∵ ，
∴ 与 重合，此时四边形 为矩形，
连接 ，则四边形 为正方形，如图，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正
方形，扇形的面积，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2023春·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段 为 的直径， ， 分别切 于点 ，
，射线 交 的延长线于点 ， 的延长线交 于点 ， 于点 ．若 ， ．(1)求证： ；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理，对顶角的性质，切线的性质计算即可．
（2）连接 ，运用切线的性质定理，勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵线段 为 的直径， ， 分别切 于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ，
∵ ， 是圆的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 是圆的切线， 是圆的切线，
∴ ， ，
设 ，
则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故 ．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，对顶角的性质，熟练掌握切线长定理，切
线的性质定理，勾股定理，是解题的关键．
11．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图1，直线l是过圆心O的一条直线，
点M，N是直线l上关于点O对称的两点．AB，CD是圆O的两条直径，其中 ，过点A，B，
C，D作圆O的切线AN，BM，CN，DM．(1)求证： 的角平分线垂直平分线段MN．
(2)在若干个多边形组成的整体中，位于整体外侧的边的延长线相交组成的边数最少的封闭多边形，其面积
被称为该整体的延展面积．例如图2，虚线所示的矩形的面积为两个小矩形所组成的整体的延展面积．则
图1中，若 可发生变化且不为60°，要使由四边形ANCO和四边形BMDO组成的整体的延展面积与
时的相同，求 可能的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【分析】（1）由切线的性质可得△MDO≌△MBO，从而易得∠AON=∠DOM，再由角平分线的性质可得结
论成立；
（2）分别延长整体外侧的边的延长线分别相交于点E、F，如图3与如图4，则所得的四边形为菱形，对
于图3，过点E作EP⊥MB于点P，则可求得菱形的边长，从而可得菱形的面积，即可该整体的延展面积；
当∠AOD不为60°时，如图4，则由题意知，菱形的边长与图3中菱形边长相等，由三角函数知识可求得
∠E的度数，从而可求得∠AOD的度数．
【详解】（1）如图，设OG是∠AOD的角平分线，则∠1=∠2
∵MB、MD分别是⊙O的两条切线
∴OD⊥MD，OB⊥MB
∵OD=OB，OM=OM
∴△MDO≌△MBO(HL)
∴MD=MB，∠MOD=∠MOB∵∠NOA=∠MOB
∴∠NOA=∠MOD
∵∠1+∠2+∠NOA+∠MOD=180°
∴2∠1+2∠NOA=180°
即∠1+∠NOA=90°
∴∠GON=90°
即OG⊥MN
∵点M，N是直线l上关于点O对称
∴OM=ON
∴OG垂直平分线段MN
即 的角平分线垂直平分线段MN
（2）分别延长整体外侧的边的延长线分别相交于点E、F，如图3与如图4
∵AN⊥AB，BM⊥AB
∴AN∥BM
同理：DM∥CN
∴四边形MENF是平行四边形
∵OA=OB，OM=ON，∠AON=∠BOM
∴△AON≌△BOM
∴NA=MB
∵MB、MD、EA、ED分别是⊙O的切线
∴MB=MD，EA=ED
∴ME=MD+ED=MB+EA，NE=NA+EA=MB+EA
即ME=NE
∴四边形MENF是菱形图3中，当∠AOD=60°时，∠DOB=180°−∠AOD=120°
∵OB⊥MB，OD⊥DM
∴∠DMB=60°
过点E作EP⊥MB于点P，则可得EP=AB
在Rt△EPM中，
则此时四边形MENF的面积为
当∠AOD不等于60°时，如图4，过点M作MH⊥EN于H，则MH=AB
由题意知，
∴ 即
∴
在Rt△MHE中，
∴∠E=60°
∵OA⊥AE，OD⊥DE
∴∠AOD=180°−∠E=120°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线长定理，锐角三角函数，菱形的判定与性质，菱形的
面积计算等知识，属于圆的综合题，关键是读懂（2）中题目的含意并正确理解题意，抓住问题的实质，
画出图形．12．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图， 为圆 的弦，半径 ， 分别交 于点 ， ．
且 ．
（1）求证： ．
（2）作半径 于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）3．
【分析】（1）连接OA、OB，证明 ，即可得到 ；
（2）设OM=x，则OA=ON=x+2，在Rt AOM中，根据勾股定理，列出方程，求出x，即可．
【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示：
∵
∴∠AOE=∠BOD
∵OA=OB
∴∠OAE=∠OBF
∴
∴
（2）∵
∴AM=BM=4
设OM=x，则OA=ON=x+2在Rt AOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，
解得：x=3
∴OM=3．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，全等三角形判定，垂径定理以及勾股定理，熟练各知识点以及准确计
算是解决本题的关键．
13．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交
AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝ OB＝ OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角 OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【详解】（1△）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴ ，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即： ACD是等边三角形，
∴∠F△CD＝30°，在Rt COE中，OE＝ OC，
△
∴OE＝ OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt OCE中，AB=8
△
∴OC＝ AB＝4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE＝ ，
∴CD＝2CE＝ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判
定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点， ．
(1)判断 的形状，并证明你的结论．
(2)若 ，求 的长
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析
(2) ．
【分析】（1）由圆周角定理得到 ，即可证明问题；
（2）作 于M， 交 延长线于N，推出 ，得到AM=AN，PN=PM，即可证明Rt ABN≌Rt ACM，得到 ，从而求出 的长，得到 的长，于是求出
的长． △ △
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：作 于M， 交 延长线于N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是通
过作辅助线构造全等三角形．
15．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解
古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆
周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成
的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ．M是弧 的中点，则从M
向 所作垂线之垂足D是折弦 的中点，即 ．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从C点截取一段线段 ，连接
．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作 于点H，连接
任务：
(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先证明 ，进而可得 ，即可得到解答；
（2）由（1）可知， ，整理等式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取 C，连接 ，
∵ 是 的中点，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ；
（2）证明：在 中， ，
在 中， ，
由（1）可知， ，
∴
；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系 内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过
这两点作圆D的切线．(1)求证： (2)若 ，求证：点D在 的垂直平分线上．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）设直线 交于T，由切线的性质得到 ，再由四边形内角和定理
得到 ，由三角形外角的性质得到 ，由此即可推出
，即可证明结论；
（2）如图所示，连接 ，证明 ，得到 ，即可证明点D在 的
垂直平分线上．
【详解】（1）证明：设直线 交于T，
∵ 是圆D的两条切线，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；（2）解：如图所示，连接 ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，∴点D在 的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，四边形内角和
定理，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
