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专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共
圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点
共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四
点共圆的四种重要模型。
.................................................................................................................................................1
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）..................................................................................................2
模型2.定边对双直角共圆模型.................................................................................................................6
模型3.定边对定角共圆模型...................................................................................................................11
模型4.对角互补共圆模型......................................................................................................................14
.......................................................................................................................................19
【知识储备】
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。
那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形
的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
证明：∵OA=OB=OC=OD
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
例1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在 中， ，AB=AC=5，点 在 上，且
，点E是AB上的动点，连结 ，点 ，G分别是BC，DE的中点，连接 ， ，当AG=FG
时，线段 长为（ ）
A． B． C． D．4
变式1．（2023·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相
等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°变式2．（2023·湖北·三模）问题背景：如图1，等腰 中， ，作 于点
D，则D为 的中点， ，于是 ；
迁移应用：如图2， 和 都是等腰三角形， ，D，E，C三点在同一条直线
上，连接 ．①求证： ；②请直接写出线段 之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形 中， ，在 内作射线 ，作点C关于 的对称点
E，连接 并延长交 于点F，连接 ， ．证明 是等边三角形；
模型2.定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。
证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵ ，BE=CE= AD=AE=ED，
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
例1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段 ，以 为斜边构造等腰直角 和直角 ，
、 在 两侧， 平分 交 于点 ，则 的最小值为 ．
例2．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，
4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则 的值是 ．
变式1．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了
探究，在等腰直角三角形 中， ，过点 作射线 ，垂足为 ，点 在 上．
(1)【动手操作】如图②，若点 在线段 上，画出射线 ，并将射线 绕点 逆时针旋转 与 交
于点 ，根据题意在图中画出图形，图中 的度数为_______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若点 在射线 上移动，将射线 绕点 逆时针旋转 与 交于点 ，探
究线段 之间的数量关系，并说明理由．
变式2．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ，
是 的中点， 是 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
模型3.定边对定角共圆模型
定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。
图1 图2
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆。
条件：如图2，AC、BD交于H， ，结论： 四点共圆。
证明：∵ ，∴ ，
又∵ ， 。∴
，
∴A、B、C、D四点共圆。
例1．（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将 ABC绕A点顺时针旋转得到 ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共
圆．
变式1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形 中， ，对角线 平分
， ，且 ．(1)证明： ；(2)若 ，
，求 的长．
变式2．（2022·江苏无锡·中考真题） ABC是边长为5的等边三角形， DCE是边长为3的等边三角形，
直线BD与直线AE交于点F．如图，若△点D在 ABC内，∠DBC=20°，则△∠BAF＝________°；现将 DCE
绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF△长度的最小值是________． △模型4.对角互补共圆模型
图1 图2
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P， ， 结论：A、B、C、D四点共圆.
证明：∵ ，∴ ，
又∵ ， 。∴ ∵ ∴
， ，∴A、B、C、D四点共圆。
例1．（23-24九年级上·云南昆明·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，
得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1所示，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那
么 ， ， ， 四点在同一个圆上．
探究展示：如图2所示，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），
连接 ， ，则 ，（依据
， ，
点 ， ， ， 四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点 ， 在点 ， ， 所确定的 上，（依据
点 ， ， ， 四点在同一个圆上；
反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）
依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补；
②对角互补的四边形四个顶点共圆；
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；
（2）如图3所示，在四边形 中， ， ，则 的度数为______．
变式1．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M是 外一动点，满足，若 ， ， ，则 的长度为 ．
变式2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上
的动点，以 为斜边向上作等腰 ， ，连接 ，则 的最小值为 ．
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三
角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（
）A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 是 的直径，点E在 上， 垂足为C，
点G在 上运动（不与E重合），点F为 的中点，则 的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，B在 上，P为 外一点，且 ，
，连接OP，OP与 相交于点C，与AB交于点D，连接 ， ，有下列结论：① ；
② ；③C为 中点；④四边形 为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有
（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形 的边长为 ，小正方形
的边长为 ，点 在 边上，且 ，连接 ， ， 交 于点 ，将绕点 旋转至 ，将 绕点 旋转至 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ， ， ， 四点共圆．其中结论
正确的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④
6．（2023·江苏无锡·统考一模）如图， 是 的直径，点C在 上， ，垂足为D，
，点E是 上的动点（不与C重合），点F为 的中点，若在E运动过程中 的最大值为4，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·安徽合肥·校联考二模）动点 在等边 的边 上， ，连接 ， 于 ，以
为一边作等边 ， 的延长线交 于 ，当 取最大值时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，
∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．9．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形 的边长为8，M、N为 边上的动点，以 为斜边
作等腰 （其中 ），点E在 边上，且 ，连接 ，则
的周长最小值为 ．
10．（2023·重庆·九年级统考期中）如图，在 中， ，点 是边 的中点，连结 ，
将 沿直线 翻折得到 ，连结 ．若 ，则线段 的长为 ．
11．（2024·浙江杭州·九年级月考）如图，已知 ， 的内切圆 分别切边 于点
直线 分别与直线 相交于点 .求证： ．12．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， 是 的高， ， 相交于点 ， 是 的中
点， 是 的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．
(2)若 ， ，求 外接圆的半径长．
13．（2023上·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）（1）【基础巩固】如图1， 内接于 ，若
，弦 ，则半径 ______；
（2）【问题探究】如图2，四边形 的四个顶点均在 上，若 ， ，点 为弧
上一动点（不与点 ，点 重合）．
求证： ；
（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段 、 、 ）和一条道路劣弧CD围成，已知千米， ，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入
口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点 在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中
的线段 、 、 、 ，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮
他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形
的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．
14．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图所示中， ， ， 分别在边 和 上，且
， ， 垂足分别为 ， ，求 的长.15．（2022春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线
相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在
BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
16．（2023·广东九年级统考期末）如图，在 中， ，点 为线段 一点，连接 ，
将 绕点 旋转至 ，连接 和 （ ）．
(1)如图1，若 ， ，点P是 延长线一点，连接 ，若 ， ，
，求 的长；(2)如图2， ，作 于点 交 于点 ，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，点 是直线 上一动点，连接 ，当点 运动到
中点时，将 沿 翻折至 ，连接 ，请直接写出 面积的最大值．17．（2023·江苏盐城·九年级校考阶段练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC
以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点
C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于 cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P
在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求
出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．
18．（2023·绵阳市九年级课时练习）如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ，
于点 ，直线 与直线 于点 ．
（1）若点 在 内，如图1，求证： 和 关于直线 对称；
（2）连接 ，若 ，且 与 相切，如图2，求 的度数．
