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专题 02 圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。
模型1、切线长模型
图1 图2
1）切线长模型（标准类）
条件：如图1，P为 外一点，PA，PB是 的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
2）切线长模型（拓展类）
条件：如图2，AD，CD，BC是 的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
例1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将直尺、含 的直角三角尺和量角器按如图摆放， 角的
顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为
点C，则该量角器的直径是（ ）．
A．3 B． C．6 D．
例2．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，已知 ， 是圆 的两条切线， ， 为切点，线段
交圆 于点 ．下列说法不正确的是（ ）A． B． C． 平分 D．
例3．（2023·广东汕头·校考一模）如图， 为 的切线，A为切点，过点A作 ，垂足为点
C，交 于点B，延长 与 的延长线交于点D．(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，
求 的长．
模型2. 燕尾模型
条件：OA，OB是 的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径 分别交小圆于点
C，D，连结 ，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在
每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅
新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完
《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图， 及 外一点 ．求作：
直线 ，使 与 相切于点 ”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图
方法：（1）连接 ，以 为圆心， 长为半径作大圆 ；（2）若 交小圆 于点 ，过点 作小圆
的切线与大圆 交于 两点（点 在点 的上方）；（3）连接 交小圆 于 ，连接 ，则
是小圆 的切线．
[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保
留作图痕迹），并说明理由．(2)延长 交大圆 于 ，连接 ，若 ， ，求 的长．
例3．（2023秋·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图1， 与 是圆内接三角形， ， ，画出圆的一条直径．
(2)如图2， ， 是圆的两条弦， 且不相互平行，画出圆的一条直径．模型3. 蝴蝶模型
条件：OA，OE是 的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于 ，
两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7， ，则 的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦 交小圆于 ， 两点，若 ，求证 ．
例2．（2023·河南洛阳·统考一模） 概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解(1)如图1，在 中，半径是5，弦 ，则这条弦的弦心距 长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但
是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在 中， ， ，
，求证： ．
概念应用 如图3，在 中 ， 的直径为20，且弦 垂直于弦 于 ，请应用上面得
出的结论求 的长．
例3．（2022·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中 的平分
线：
（1）如图1， 的两边与一圆切于点 ，点 是优弧 的三等分点；
（2）如图2， 的两边与一圆交于 ，且 ．模型4. 手拉手（旋转）模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。
条件： 是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB= ，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当 =60°时，CD=CA+CB； 当 =90°时， CD=CA+CB；
例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形 中， ， 为直径，若四边
形 的面积是 ， 的长是 ，则 与 之间的数关系式是（ ）A． B． C． D．
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图 所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧
上任意一点（不与 重合），连接 、 、 ，求证： ．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得
、 、 三点在同一直线上，进而可以证明 为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明
的思路，请你完成证明．若圆的半径为 ，则 的最大值为______．
（3）类比迁移：如图 所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 、
重合），连接 、 、 ，若圆的半径为 ，试求 周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图 所示，等腰 ，点A、 在圆 上， ，圆 的半径为 连接 ，
试求 的最小值．例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共
点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足
怎样的数量关系，请直接写出结果．
课后专项训练
1．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，它的周长为22，若
与 三边分别切于E，F，D三点，则 的长为（ ）A．6 B．8 C．4 D．3
2．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2 ，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，
E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
3．（2023春·山东九年级课时练习）如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结
论中不一定成立的是（ ）
A． B． 平分 C． D．
4．（2022秋·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，
若 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
5．（2022春·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作
CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
6．（2022春·江苏九年级期中）如图，已知 ， ， 分别切 于点A，B，D，若 ，则
的周长是 ．若 ，则 ．
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 的半径为 2， 为圆上一动弦，以 为边作正方形
，求 的最大值 ．
8．（2022·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为 π，则点P运动的路径长为 ．
9．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径 ，射线 和 是它的两条切
线，D点在射线 上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足 ，连接 并延长交射
线 于点C．(1)求证： 是半圆O的切线；(2)设 ， ．①写出y与x的关系式；
②若 ，求阴影部分的面积．
10．（2023春·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段 为 的直径， ， 分别切 于点 ，
，射线 交 的延长线于点 ， 的延长线交 于点 ， 于点 ．若 ， ．
(1)求证： ；(2)求线段 的长．11．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图1，直线l是过圆心O的一条直线，
点M，N是直线l上关于点O对称的两点．AB，CD是圆O的两条直径，其中 ，过点A，B，
C，D作圆O的切线AN，BM，CN，DM．
(1)求证： 的角平分线垂直平分线段MN．(2)在若干个多边形组成的整体中，位于整体外侧的边的延
长线相交组成的边数最少的封闭多边形，其面积被称为该整体的延展面积．例如图2，虚线所示的矩形的
面积为两个小矩形所组成的整体的延展面积．则图1中，若 可发生变化且不为60°，要使由四边形
ANCO和四边形BMDO组成的整体的延展面积与 时的相同，求 可能的度数．
12．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图， 为圆 的弦，半径 ， 分别交 于点 ， ．
且 ．（1）求证： ．（2）作半径 于点 ，若 ， ，求 的长．13．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交
AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点， ．
(1)判断 的形状，并证明你的结论．(2)若 ，求 的长
15．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解
古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆
周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成
的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ．M是弧 的中点，则从M
向 所作垂线之垂足D是折弦 的中点，即 ．小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从C点截取一段线段 ，连接
．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作 于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明： ．
16．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系 内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过
这两点作圆D的切线．(1)求证： (2)若 ，求证：点D在 的垂
直平分线上．
