文档内容
专题 02 圆-垂经定理（2 个考点五大类型）
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
【题型4 同心圆与垂井定理综合】
【题型5 垂径定理的实际应用】
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
1.（2023•增城区二模）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，
CD＝8，则OE＝（ ）
⊙
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝4，
在Rt△OCE中，OE＝ ＝ ＝3．
故选：C．
2.（2023•长安区校级三模）如图，AB为 O的直径，半径OA的垂直平分线交
⊙
O于点C，D，交AB于点E，若 ，则BE的长为（ ）
⊙A． B．6 C． D．8
【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB为 O的直径，CD垂直平分OA，
⊙
∴CE＝ CD＝2 ，OE＝ OC，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴OE2+12＝4OE2，
∴OE＝2，
∴OB＝OC＝4，
∴BE＝2+4＝6．
故选：B．
3．（2023•安徽模拟）如图， O 的弦 AB 垂直于 CD，点 E 为垂足，连接
OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（ ）
⊙
A． B． C． D．【答案】A
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，
如图，则DF＝CF＝ CD＝3，AH＝BH＝ AB＝3，
∵AE＝1，
∴EH＝AH﹣AE＝2，
在Rt△OBH和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），
∴OH＝OF，
∵CD⊥AB，
∴∠HEF＝90°，
∵∠OHE＝∠OFE＝90°，
∴四边形OHEF为正方形，
∴OE＝ EH＝2 ．
故选：A．
4．（2022秋•泉港区期末）如图， O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的
长为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【解答】解：连接OA，∵OC为弦心距，
∴OC⊥AB，AB＝2AC，
在Rt△ACO中，由勾股定理，得 ，
∴AB＝2AC＝8．
故选：D．
5．（新昌县校级期中）如图， O的半径为4，以A为圆心，OA为半径的弧
交 O于B、C点，则BC＝（ ）
⊙
⊙
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，
∴四边形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，
∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，
∴BC＝2× ×4＝4 ，
故选：A．6．（嘉兴期末）如图， O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝
2，则CD的长为（ ）
⊙
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，
∴OC＝OB＝6，
∵PB＝2，
∴OP＝4，
在Rt△OPC中，CP＝ ，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∴CD＝2PC＝ ．
故选：C．
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
7.（2023•襄阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，
则该弧的圆心的坐标为（ ）A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）
【答案】B
【解答】解：如图所示：D（2，0）；
故选：B．
8.（2022秋•利通区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A、B、C作以
圆弧，则圆心的坐标是 （ 2 ， 1 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图知，圆心P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
9．（2022秋•长沙期中）如图，以点 P为圆心的圆弧与 x轴交于A，B两点，
点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 （ 6 ，
0 ） ．
【答案】（6，0）．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，
∴AC＝BC，
∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，
∴BC＝2，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（6，0）．故答案为：（6，0）．
10．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A
点的坐标为（0，4），C 点的坐标为（6，2），则圆心 M 点的坐标为
（ 2 ， 0 ） ．
【答案】（2，0）．
【解答】解：如图，作 AB和BC的垂直平分线，它们的交点为 M点，M点
的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
11．（东台市期末）如图，点 E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交
于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，
∴EB＝ED＝ CD＝5，OE＝5﹣1＝4，
∵AB⊥CD，
∴AO＝BO＝ AB，OB＝ ＝ ＝3，
∴AB＝2OB＝6；
故选：C．
【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
12．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB交于点
E．若BE＝10，CD＝8，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
【答案】C
【解答】解：连接OC，
设 O的半径为R，则OE＝10﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
⊙
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，
解得：R＝5.8，
即 O的半径长是5.8，
故选：C．
⊙13.（淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：
“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：
径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD 为 O 的直径，弦
AB⊥CD，垂足为点 E，CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长度是
⊙
（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．14．（2022秋•西城区期末）如图，AB是 O的一条弦，点 C是AB的中点，
连接 OC 并延长交劣弧 AB 于点 D，连接 OB，DB．若 AB＝4，CD＝1，求
⊙
△BOD的面积．
【答案】 ．
【解答】解：设 O的半径是r，
∵点C是AB的中点，OC过圆心O，
⊙
∴OC⊥AB，
∵AB＝4，CD＝1，
∴BC＝ AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，
∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝ ，
∴OD＝ ，
∴△BOD的面积＝ OD•BC＝ × ×2＝ ．
【题型4 同心圆与垂径定理综合】
15．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝
2．求BD的长．【答案】2．
【解答】解：作OH⊥AB于H，
∴AH＝BH，CH＝DH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴BD＝AC＝2．
16．如图，在两个同心圆 O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC＝BD；
⊙
（2）若AC＝2，BC＝4，大圆的半径R＝5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC•BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留 ）
π
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接OC、OA，如图2，
∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2+4＝6，
∴AE＝3，
∴CE＝AE﹣AC＝3﹣2＝1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2＝OA2﹣AE2＝52﹣32＝16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2＝CE2+OE2＝12+16＝17，
∴OC＝ ，即小圆的半径r为 ；
（3）解：连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE＝
BE．
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2＝（AE+CE）（AE﹣CE）＝（BE+CE）•AC＝
BC•AC＝12，
∴OA2﹣OC2＝12，
∴圆环的面积为： OA2﹣ OC2＝ （OA2﹣OC2）＝12 ．
π π π π
【题型5 垂径定理的实际应用】
17.（2023•南平模拟）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆
材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深 DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），
则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【解答】解：延长DE，交 O于点E，连接OA，
⊙
由题意知DE过点O，且OD⊥AB，
∵OD为 O半径，
⊙
∴ 尺＝5寸，
设半径OA＝OD＝r，
∵DE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△OAE中，根据勾股定理可得：
（r﹣1）2+52＝r．
解得：r＝13，
∴木材直径为26寸；
故选：D．
18.（2022秋•龙岩期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我
国古代劳动人民的智慧．如图 1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当
筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O（O在水面上方）为圆心的圆，
且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】D
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∵AB＝8米
∴AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4米，
∵DE＝2米，
∴设OD＝OA＝x米，则OE＝（x﹣2）米，
在Rt△AOE中，OE2+AE2＝OA2，即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
故OA＝5米．
故选：D．
19．（2022秋•龙亭区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的
半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：
OC＝ ＝3．
故选：A．
20．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其
截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接
OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝xcm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，故选：B．
21．（2022秋•黄冈期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为 E，拱桥的水面跨度
AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 1 0 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，
延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝ AB＝40，EF＝ED﹣FD＝
AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图
2所示
则MH＝NH＝ MN＝30，
∴EH＝ ＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．22．如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦
AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
即：圆的半径为13cm．
所以圆的面积为： ×132＝169 （cm2）．
π π
22．（2022秋•二七区校级月考）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长
方形的长BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡
车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：能通过，
在AD上取G，使OG＝2.3m，
过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆E，
则GF＝AB＝3m，圆的半径OE＝ AD＝6m，
由勾股定理，得EG＝ ＝5.54，
E点与BC的距离为5.54+3＝8.54＞8；故能通过．
23.（2022 秋•海曙区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度 AB 为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，
若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】（1）17m；
（2）不需要采取紧急措施．
【解答】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝ AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在 Rt△A′ON 中，由勾股定理可得 A′N＝ ＝ ＝8
（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
