文档内容
微专题：直线交点系方程及应用
【考点梳理】
1、常见直线系方程
(1)过定点(x，y)的直线系方程：y－y＝k(x－x)和x＝x.
1 1 1 1 1
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
＝0(不包括直线Ax＋By＋C ＝0)和Ax＋By＋C ＝0.
2 2 2 2 2 2
2、对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等
式形式，利用参数为R，则恒等式的系数为0，列出关于x，y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标；特殊直
线法就是取两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方程检验，即
得定点.
【题型归纳】
题型一： 求直线系方程所过的定点
1．无论k为何值，直线 都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是 ，直线 总经过点（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线 ： ，点 ， ，若直线 与线段 相交，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
题型二： 与距离有关的最值问题
4．点 到直线的 距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知直线 与直线 相交于点A，点B是直线 的动点， ，则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在直角坐标平面内，过定点 的直线 与过定点 的直线 相交于点 ，则
的值为
A． B． C．5 D．10
【双基达标】
7．若直线l： 与曲线y＝－2＋ 有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过两直线 和 的交点，并与原点的距离等于 的直线有条
A．0 B．1 C．2 D．3
9．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为( )
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
10．经过直线 和 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
11．若P(2,3)既是 的中点,又是直线 与直线 的交点,则线段
AB的中垂线方程是（ ）
A． B．
C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．点 到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
13．已知两直线 和 的交点为 ，则过 两点的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
14．原点到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．设直线系 ,则下列命题中是真命题的个数是
①存在一个圆与所有直线不相交
②存在一个圆与所有直线相切
③ 中所有直线均经过一个定点
④存在定点 不在 中的任一条直线上
⑤ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
A．1 B．2 C．3 D．4
16．过两直线 和 的交点和原点的直线方程为
A． B．
C． D．
17．已知定点 和直线 ，则点 到直线 的离 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
18．动直线 与圆 交于点A,B,则弦 最短为（ ）.
A．3 B．6 C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．已知 与 是直线 为常数)上两个不同的点，则关于 和 的方程组的解的情况是
（ ）
A．无论 如何，总是无解 B．无论 如何，总有唯一解
C．存在 ，使之恰有两解 D．存在 ，使之有无穷多解
【高分突破】
一、单选题
20．圆 截直线 所得的最短弦长为（ ）
A．4 B． C． D．
21．已知P（a，b）与P（a，b）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l：ax+by﹣1＝0和
1 1 1 2 2 2 1 1 1
l：ax+by﹣1＝0的交点情况是（ ）
2 2 2
A．存在k，P，P 使之无交点
1 2
B．存在k，P，P 使之有无穷多交点
1 2
C．无论k，P，P 如何，总是无交点
1 2
D．无论k，P，P 如何，总是唯一交点
1 2
22．已知定点 和直线 ，则点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
23．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．直线m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0(m，n∈R且m，n不同时为0)经过定点 ( )
A．(-1，1) B．(1，-1)
C．(2，1) D．(1，2)
25．已知圆 ，直线 ， 为任意实数，则直线与圆的位置关
系是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．相切 B．相交 C．相离 D．与m的值有关
26．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点
A．(0,0) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， )
二、多选题
27．设直线 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A．直线 或 可以表示平面直角坐标系 内任意一条直线
B． 与 至多有无穷多个交点
C． 的充要条件是
D．记 与 的交点为 ，则 可表示过点 的所有直线
28．设直线系 ： ，则下面四个命题正确的是（ ）
A．点 到 中的所有直线的距离恒为定值
B．存在定点 不在 中的任意一条直线上
C．对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D． 中的直线所能围成的三角形面积都相等
29．已知直线 ， ，则（ ）
A． 恒过点 B．若 ，则
C．若 ，则 D．当 时， 不经过第三象限
30．已知圆 ，直线 ，( )．则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上有且仅有三个点到直线 的距离都等于1
C．圆 与曲线 恰有三条公切线，则
D．当 时，直线 上一个动点 向圆 引两条切线 ， ，其中 ， 为切点，则直线 经过点
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
31．已知直线 过定点 ，曲线 ，则过点 的曲线 的切线方程为__________．
32．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的最大值是______.
33．无论 为何值，直线 必过定点坐标为__
34．已知直线 的方程为 ，求坐标原点 到 的距离的最大值________.
35．已知两直线 和 的交点为 ，则过 两点的直线方程为
_________ .
36．经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.
四、解答题
37．求经过直线l：2x﹣y+4＝0和直线l：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．
1 2
（1）与直线x﹣4y+4＝0垂直；
（2）到原点的距离等于1．
38．已知直线 和 的交点为 ，求：
(1)过点 且与直线 垂直的直线 的方程；
(2)以点P为圆心，且与直线 相交所得弦长为 的圆的方程；
(3)从下面①②两个问题中选一个作答，
①若直线ｌ过点（1，2），且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为 ，求直线ｌ的方程．
②求圆心在直线 上，与 轴相切，被直线 截得的弦长 的圆的方程．
注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分．
39．已知直线 ，圆 .
（1）求证：直线 过定点 ，并求出点 的坐标；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点，当弦长 最短时，求此时直线 的方程.
40．已知直线 ： （ ）．求证：直线 恒过定点 ，并求点 的坐标．
41．直线 过点 且与 轴、 轴正半轴分别交于 、 两点.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若直线 的斜率为 ，求△ 的面积；
（2）若△ 的面积 满足 ，求直线 的斜率 的取值范围；
（3）如图，若点 分向量 所成的比的值为2，过点 作平行于 轴的直线交 轴于点 ，动点 、 分别在
线段 和 上，若直线 平分直角梯形 的面积，求证：直线 必过一定点，并求出该定点坐标.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
把直线 都过一个定点转化为求直线 和直线 的交点，联立方程
组即可求解.
【详解】
直线方程可化为 ，则此直线过直线 和直线 的交点．由
解得 因此所求定点为 ．
故选：D．
2．B
【解析】
把 整理成 ，根据方程特点可得答案.
【详解】
由 得 ，
对于 总成立， ，所以 ，
即总经过点是 .
故选：B.
3．C
【解析】
根据题意得直线 恒过点 ，进而得直线 的斜率 的取值范围为： 或 ，再根据 ，解
不等式即可得答案.
【详解】
直线 方程变形得： .
由 得 ，∴直线 恒过点 ，
， ，
由图可知直线 的斜率 的取值范围为： 或 ，
又 ，
第 8 页∴ 或 ，即 或 ，
又 时直线的方程为 ，仍与线段 相交，
∴ 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键在于根据直线系方程 得直线 恒过点 .考查数形结合思想，运
算求解能力，是中档题.
4．B
【解析】
【分析】
根据条件先判断出直线 所过的定点 ，此时 到 距离的最大值即为 的距离.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以直线 过定点 ，
所以 到直线 的距离的最大值为： ，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线过定点以及直线外一点到动直线的距离的最大值，解答本题的关键是能通过分析直线 的方程确定出
所过的定点，难度一般.
5．D
【解析】
由题意可知点 为圆 上的点，由于 两点在直线 的同侧，所以求出点 关于直线
的对称点为 ，则 ，然后利用两点间线段最短可得答案
第 9 页【详解】
解：由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ，化简得 ，
所以点 为圆 上的点，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即
因为 ，所以当点 共线，且过点 时， 取最小值，
所以 的最小值为
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点 关于直线 的对称点为
，将 的最小值转化为 的最小值，属于中档题
6．D
【解析】
【分析】
由已知得 ， ，过定点 的直线 与过定点 的直线 垂直， 位于以 为直径
的圆上，由此能求出 的值即可．
【详解】
在平面内，过定点 的直线 与过定点 的直线 相交于点 ，
， ，
过定点 的直线 与过定点 的直线 垂直，
位于以 为直径的圆上，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
7．B
【解析】
【分析】
找出直线恒过的定点，画出曲线y＝－2＋ ，数形结合进行判断.
【详解】
第 10 页整理化简为：
根据交点直线系方程，
该直线恒过直线 与直线 的交点.
联立方程组，解得直线 恒过定点
对曲线y＝－2＋
整理化简为：
故其为一个以 为圆心，半径为3的半圆，
在同一直角坐标系下绘制图像如下图所示：
由图可知，直线与曲线有两个交点的临界情况如上图的 和
当直线 为 的状态时，斜率为0，此时只有一个交点，故不取0；
当直线 为 的状态时，斜率为 ，此时有两个交点，故可取 .
综上所述： .
故选：B.
【点睛】
本题考查直线恒过定点，圆方程，以及直线与圆的交点的个数问题，属综合中档题；需要数形结合.
8．C
【解析】
【详解】
由 ，求得 ，故两直线 和 的交点 ，再根据
，可得过点 且与原点的距离等于 的直线有两条，故选C.
第 11 页9．A
【解析】
【分析】
联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.
【详解】
解得
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直
所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0
故选A
【点睛】
本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确
定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.
10．C
【解析】
【分析】
设直线方程为 ，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【详解】
解：设直线方程为 ，
即
令 ，得 ，
令 ，得 .
由 ，
得 或 .
所以直线方程为 或 .
故选：C.
【点睛】
此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情
况忽视导致答案不完整.
11．A
【解析】
【分析】
直线 与直线 方程相减可得： ，把点 代入可得：
第 12 页，进而得出线段 的中垂线方程．
【详解】
解：直线 与直线 方程相减可得：
，
把点 代入可得： ，
线段 的中垂线方程是 ，化为： ．
故选 ．
【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．B
【解析】
【分析】
首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离.
【详解】
直线 恒过点 ， ,
点 到直线 距离 ，
即点 到直线 距离的最大值为 .
故选：B
13．B
【解析】
【分析】
根据两直线 和 的交点列方程，对比后求得直线 的方程.
【详解】
依题意两直线 和 的交点为 ，
所以 在直线 上，
所以过 两点所在直线方程为 ，
故选：B
14．C
第 13 页【解析】
【分析】
求出直线 过的定点 ，当 时，原点到直线 距离最大，则可求出原点到直线 距离的最大值；
【详解】
因为 可化为 ，
所以直线 过直线 与直线 交点，
联立 可得
所以直线 过定点 ，
当 时，原点到直线 距离最大，最大距离即为 ，
此时最大值为 ，
故选：C.
15．C
【解析】
【详解】
根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；
可取圆心为（0，2），半径分别为2， ，1得到①②正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，③错；存
在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以④正确；⑤可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积
相等；
故选C.
16．D
【解析】
【详解】
试题分析：过两直线交点的直线系方程为 ，代入原点坐标，求得 ，故所求直线
方程为 ，即 .
考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．
【易错点晴】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以
求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方
程 ，代入原点坐标，求得 ，即可得到所求，这样运算量非常小.
17．D
【解析】
【分析】
直线 ，
可化为： ，令 可得直线 经过定点 ,可得点 到直线 的距离 的
第 14 页最大值为 .
【详解】
直线 ，
可化为： ，令 解得：
因为直线 经过定点 ,
所以点 到直线 的距离 的最大值为
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
动直线 过定点 ，圆 的圆心 ，半径 ，
，所以弦 最短为 ，从而求得结果.
【详解】
因为动直线 ，
所以 ，
所以动直线 过定点 ，
由 可得 ，
所以圆 的圆心 ，半径 ，
，
因为直线 与圆 交于 两点，
所以弦 最短为 ，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的有关知识，涉及到的知识点有直线过定点问题，点到直线的距离，圆中的特殊三角
形，过定点的最短弦，属于中档题目.
19．B
【解析】
【分析】
将 与 代入直线方程，可得方程 有唯一的解，即可得答案；
【详解】
解： 与 是直线 为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即 ，并且 ，
第 15 页① ② 得： ，
即 .
方程组有唯—解.
故选︰B.
20．A
【解析】
先判断圆心，半径，以及直线所过定点，当定点是弦的中点时，弦长最短，根据弦长公式求解.
【详解】
，圆心 ，半径 ，
，所以直线过定点 ，
，所以点 在圆内，根据弦长公式 ，当点 是弦的中点时，圆心到直线的
距离 最大，弦长最短，此时 ，
.
故选：A
【点睛】
结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：
（1）设 为圆的圆心，半径为 ，圆外一点 到圆上的距离的最小值为 ，最大值为 ；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为 ，最小值为
；
21．D
【解析】
【分析】
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a，b，P，a，b 的关系，然后求解方程组的解即可．
1 1 2 2 2
【详解】
解：P（a，b）与P（a，b）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，
1 1 1 2 2 2
∴k ，即a≠a，并且b＝ka+1，b＝ka+1，
1 2 1 1 2 2
∴ab﹣ab＝kaa﹣kaa+a﹣a＝a﹣a，
2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
，解得：（ab﹣ab）x＝b﹣b，
1 2 2 1 2 1
即（a﹣a）x＝b﹣b．
1 2 2 1
∴方程组有唯一解．
故选：D．
22．B
第 16 页【解析】
【分析】
根据直线 的方程先确定出直线所过的定点 ，然后判断出点 到直线 的距离的最大值为 ，结合点的坐标求
解出结果.
【详解】
将 变形得 ，
所以 是经过两直线 和 的交点的直线系.
设两直线的交点为 ，由 得交点 ，
所以直线 恒过定点 ，
于是点 到直线 的距离 ，
即点 到直线 的距离的最大值为 .
故选：B.
23．A
【解析】
【分析】
求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到 与 的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】
直线 可整理为 ，故恒过定点 ，即为A的坐标；
直线 整理为 ，故恒过定点 ，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得 ，
即
整理得
解得 ，当且仅当 时取得最大值.
故选：A.
24．A
【解析】
【详解】
由题意可知直线 表示过两直线 交点的直线系方程
∴解方程组 可得
∴直线 且 不同时为0)经过定点为
故选A
第 17 页点睛：直线含参求过定点问题一般是将参数全部提出来，让参数的系数为零，其余项也为零，列方程(组)即可求解
定点.
25．B
【解析】
【分析】
将 ，转化为 ，利用
，可以确定直线 过定点，再利用定点在圆内部即可得出结论.
【详解】
将直线 的方程整理为 ，
由 得 ，
所以直线 过定点 ，
因为 ，
所以点 在圆内部，
所以直线和圆恒有 个交点，即直线和圆相交.
故选：B
【点睛】
本题考查直线系方程的应用，考查了直线和圆的位置关系，属于中档题.
26．C
【解析】
【详解】
直线方程变形为 ，则直线通过定点 ，故选C．
27．ACD
【解析】
【分析】
利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D；
【详解】
解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为 （ 为直线与 轴的交点的横坐标）此时直线 或 的方程
无法表示，故A错误；
对于B：当 且 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当 且 时 ，故C错误；
对于D：记 与 的交点为 ，则 的坐标满足 且满足 ，则
不表示过点 的直线 ，故D错误；
故选：ACD
28．ABC
第 18 页【解析】
【分析】
先利用点到直线的距离公式得出直线系 ： 表示的是圆 的切线的
集合，这样ABC选项能直接判断；D选项需要数形结合判断
【详解】
点 到 中的直线 的距离设为d，则 为定值，故直线
系 ： 表示圆 的切线的集合.
显然选项A正确； 一定不在 中的任意一条直线上，B选项正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆
的切线，所以对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上，C选项正确；
如图所示， 中的直线所能围成的三角形有两类，一种是圆的外切三角形，如 ADE，此类三角形面积均相等，
另一种是在圆的同一侧，如 ABC，这类三角形面积也相等，但两类三角形面积不等，故D选项不正确.
△
△
故选：ABC
29．BD
【解析】
【分析】
A.直线写成 ，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有 ；C.两直线垂
直，根据公式有 ；D.根据直线 不经过第三象限，求实数 的取值范围.
【详解】
，
当 ，即 ，即直线恒过点 ，故A不正确；
若 ，则有 ，解得： ，故B正确；
若 ，则有 ，得 ，故C不正确；
若直线 不经过第三象限，则当 时， ， ，解得： ，
第 19 页当 时，直线 ，也不过第三象限，
综上可知： 时， 不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
30．ACD
【解析】
利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判
断C的正误.
【详解】
直线 可化为： ，
由 可得 ，故直线 恒过定点 ，故A正确.
当 时，直线 ，圆心到该直线的距离为 ，
因为 ，故圆 上有且仅有四个点到直线 的距离都等于1，故B错.
因为圆 与曲线 恰有三条公切线，故两圆外切，
故 ，故 ，故C正确.
当 时，直线 ，设 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，
而圆 ，故 的直线方程为 ，
整理得到 ，由 可得 ，
故直线 经过点 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求
其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.
31．
【解析】
【分析】
首先求直线所过的定点，再根据导数的几何意义求曲线的切线方程.
【详解】
由 可得 ，令 ，解得 ，所以点 的坐标为 ，显然
第 20 页点 在曲线 上，因为 ，所以过点 的曲线 的切线的斜率 ，故所求切线
的方程为 ，即 ．
故答案为: ．
32． .
【解析】
【分析】
先求出定点 , 的坐标，再判断出两直线互相垂直，从而利用基本不等式 求 的最大值.
【详解】
由题意知，直线 过定点 ，
直线 可化为 ，所以过定点 ,
因为 ，所以直线 与直线 互相垂直，
所以 ，且 ,
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立,
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故答案为： .
33．
【解析】
【分析】
把直线方程变形可得 ，联立方程组 ，即可求解.
【详解】
根据题意，直线 ，即 ，
变形可得 ，联立方程组 ，解得 ，
即直线 必过定点 .
故答案为： .
34．
【解析】
【分析】
整理直线 的方程得 令 ，解方程组即可求得定点 的坐标，原点 到直线 的
距离， ，计算可得结果.
第 21 页【详解】
直线 的方程为 ，即
令 ，解得：
所以直线 恒过定点 ，
所以原点 到直线 的距离 ，即 到直线 的距离的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了直线过定点问题，考查定点到动直线距离最值问题，考查转化能力和计算能力，属于中档题.
35．
【解析】
【分析】
根据两直线 和 的交点列方程，对比后求得直线 的方程.
【详解】
依题意两直线 和 的交点为 ，
所以 在直线 上，
所以过 两点所在直线方程为 .
故答案为：
36．x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】
【详解】
由题意可设所求直线方程为 ，即
令 ，得
令 ，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴ ，即 或
∴所求直线方程为 或
故答案为 或
37．（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）设所求直线为 ，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求 ，即得解
（2）设所求直线为 ，整理为一般方程后利用点到直线距离求解 ，即得解
第 22 页【详解】
（1）由于直线l：x﹣y+5＝0与直线x﹣4y+4＝0不垂直
2
故设所求直线为 ，
故 ，
因为此直线与直线x﹣4y+4＝0垂直，
故 ，故 ，
故所求直线为 .
（2）由于原点到直线l：x﹣y+5＝0的距离
2
故设所求直线为 ，
故 ，
解得 或
故直线方程为： 或
38．(1)
(2)
(3)① 或 ；② 或
【解析】
【分析】
(1)联立两直线方程求出交点P，根据两直线垂直，斜率相乘等于－1得直线斜率，即可根据直线点斜式方程求得直
线方程；
(2)根据垂径定理求圆的弦长，列出方程解答；
(3)①：用截距式方程求解；②：由直线和圆的位置关系和圆的弦长公式求解﹒
(1)
由 ，解得： ，∴ ，
∵ 与 垂直，
∴ 的斜率 ，
故过点P且与直线 垂直的直线l的方程为 ，
即 ；
(2)
第 23 页P(3，5)到直线 的距离为
∴半径
∴圆的方程为
(3)
①设过点(1，2)且与两坐标轴正半轴围成三角形面积为 的直线的斜率为k，k＜0，
可得它的方程为 ，即 ，
它与两个坐标轴的交点分别为(0，2－k)， ，
由 可得 ，
当 时，它的方程为 ；
当 时，
综上所述，直线l的方程为： 或
②设圆心为 ，与 轴相切则 ，
∴圆心到直线的距离为 ，
∴
∴ ，r＝3
∴圆心为
∴圆的方程为 或 ﹒
39．（1）证明见解析， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将直线 化为 ，利用 ，求得直线所过的定点坐标；
（2）根据圆的几何性质可知，当直线 时，弦长最短，根据直线 的斜率为 ，可得直线 的斜率为1，
从而求得直线的方程.
【详解】
（1）直线 可化为：
，可得
所以直线 过定点 .
第 24 页（2）由圆的几何性质可知，当直线 时，弦长最短，因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为1，此
时直线 的方程为 .
【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，过一定点圆的最短弦所在直线方程的求
解问题，属于简单题目.
40．证明见解析，
【解析】
【分析】
整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线 恒过定点 的坐标.
【详解】
证明：原方程整理为 ，则由 得
所以 点坐标为 ．
41．（1） ；（2） ；（3）证明见解析，定点 .
【解析】
（1）根据直线的点斜式方程得直线 的方程 ，进而得 、 ，故△ 的面积为 ；
（2）根据题意设直线 的方程为： ，进而得 、 ，进而得 ，△
的面积 ，再结合 解不等式即可得答案；
（3）根据题意结合（2）得 ，设 ， ，故直线 的一般式方程为：
，再根据 得 ，进而得直线 的式方程为：
，再根据直线系方程即可得答案.
【详解】
解：（1）因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，
整理得： ，
所以直线与 轴、 轴正半轴的交点为 、 ，
故△ 的面积为 .
（2）根据题意，直线 的斜率 存在且 ，
所以直线 的方程为： ，
整理得：
第 25 页所以直线与 轴、 轴正半轴的交点为 、 ，
所以 ，解得 ，
所以△ 的面积 ，
由于△ 的面积 满足 ，
所以 ，整理得： ，
解不等式得： ，
故直线 的斜率 的取值范围 .
（3）由（2）知 、 ，
由于点 分向量 所成的比的值为2，
所以 ，由于 ，
所以 ，即 .
所以 、 ， ，
故设 ， ，
所以直线 的一般式方程为： ，
由于直角梯形 的面积为 ，
直线 平分直角梯形 的面积，
所以直角梯形 的面积为 ，
所以 ，即 ，
所以直线 的式方程为： ，
整理得： ，
所以直线 过直线 与直线 的交点，
所以直线 过定点 .
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查直线的方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题.解题的过程中需要注意的关
第 26 页键点在于第（2）问应先设出过点 的直线 的斜率 ，进而利用斜率 表示三角形的面积 ，
再根据 解不等式；（3）设出设 ， ，根据面积关系求得 ，进
而根据直线系方程求解.
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