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微专题：等差数列的性质
【考点梳理】
1. 等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{a}中，若公差为d，则a＝a ＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
n n m
②在等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a. 特别地，若m＋n＝2p，则a ＋ a
n m n p q m n
＝ 2 a.
p
③若数列{a}是公差为d的等差数列，则数列{λa＋b}(λ，b为常数)是公差为λd 的等差数列.
n n
④若数列{a}，{b}是公差分别为d ，d 的等差数列，则数列{λa ＋λb}(λ ，λ 为常数)也是等差数列，且公差
n n 1 2 1 n 2 n 1 2
为λd ＋ λd.
1 1 2 2
⑤数列{a}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项a，a ，a ，…，组成的数列仍是等差数列，公差
n k k＋m k＋2m
为md.
注：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将 a ＋a ＝2a(m＋n＝2p，m，n，
n m p
p∈N*)与a ＋a＝a＋a(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量.
m n p q
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和S，S －S，S －S ，…组成公差为 k 2 d 的等差数列.
k 2k k 3k 2k
②记S
偶
为所有偶数项的和，S
奇
为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S
2n
＝n(a
n
＋a
n＋1
)，S
偶
－
S
奇
＝nd，＝(S
奇
≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S
2n－1
＝(2n－1)a
n
(a
n
是数列的中间项)，S
奇
－S
偶
＝a
n
，
＝(S ≠0).
奇
③{a}为等差数列⇒ 为等差数列.
n
④两个等差数列{a}，{b}的前n项和S，T 之间的关系为＝ (b≠0，T ≠0).
n n n n n 2n－1
2. 关于a 的结论
n
(1)在等差数列{a}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，
n
表示为a ＝，等价于a＋a ＝2a ，以及a －a＝a －a .
n＋1 n n＋2 n＋1 n＋1 n n＋2 n＋1
(2)若a＝pn＋q(p，q为常数)，则{a}一定是公差为p的等差数列.
n n
3. 关于S 的结论
n
(1)等差数列前n项和的最值与{a}的单调性有关.
n
①若a>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得S 的最大值.
1 n
②若a<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得S 的最小值.
1 n
③若a>0，d>0，则{S}是递增数列，S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则{S}是递减数列，S 是{S}的最大
1 n 1 n 1 n 1 n
值.
(2){a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B是常数). 若S＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{a}从第2项起成等差数列.
n n n n
【题型归纳】
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型一：等差中项的应用
1．等差数列 的前 项和为 ， 则 （ ）
A．42 B．56 C．63 D．70
2．在等比数列 中，各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列 是等差数列，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：利用等差数列的性质计算
4．设等差数列 的前n项和为 ， ，公差为d， ， ．则下列结论不正确的是（ ）
A． B．当 时， 取得最小值
C． D．使得 成立的最大自然是n是17
5．等差数列 的前 项和为 ， 则 （ ）
A．42 B．56 C．63 D．70
6．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．40 B．45 C．80 D．90
题型三：等差数列片段和的性质及应用
7．在等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
9．已知数列 是等差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．已知数列 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
11．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ， ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知等差数列 的第5项是 展开式中的常数项，则 （ ）
A．20 B． C．40 D．
13．两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a+a=7，am+am =73(m≥3)，Sm=2020则m的值为（ ）
1 2 -1
A．100 B．101 C．200 D．202
15．若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，
右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上､中､下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和
a=9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（ ）种.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．12 B．24 C．16 D．32
17．设等差数列 前 项和为 ，等差数列 前 项和为 ，若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知等差数列 为递增数列，若 ， ，则数列 的公差 等于（ ）
A．1 B．2 C．9 D．10
19．已知等差数列 的前n项和为 ， ，若 ，且 ，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
20．在等差数列 中，已知 ，则该数列第 项 （ ）
A． B． C． D．
21．已知各项均为正数的等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 （ ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
22．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b=S，bn+=S2n+–Sn， ，下列等式不可能成
1 2 1 2 2
立的是（ ）
A．2a=a+a B．2b=b+b C． D．
4 2 6 4 2 6
23．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 ＝（ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
24．设等差数列的前 项和为 ，已知 ， ， ，则 的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
25．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，
通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对应的宽为 (单位: cm),且长
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【高分突破】
一、单选题
26．在数列 中，若 ， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知等差数列 满足 ， ，公差为d（不为0），数列 满足 ，若对任意的
都有 ，则公差d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
29．已知 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 （ ）
A．35 B．33 C．16 D．29
30．设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
31．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， 是方程 的两根，则 （ ）
A．8 B．52
C．45 D．72
32．已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足 、 、 成等差数列.其前 项和为 ，且 ，
则（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
33．在正项等比数列 中，若 依次成等差数列，则 的公比为
A．2 B． C．3 D．
34．等差数列的前 项和为 ，若 ， ，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
二、多选题
35．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 .已知 ， ， ，则（ ）
A．数列 的最小项为第 项 B．
C． D． 时， 的最大值为
36．已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，则 成等比数列
37．(多选)等差数列{an}中，a＝3，a＋a＋a＝21，则（ ）
1 1 2 3
A．公差d＝－4
B．a＝7
2
C．数列{an}为递增数列
D．a＋a＋a＝84
3 4 5
38．首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前n项和为 ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则使 的最大的n为15
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ，则
三、填空题
39．已知 是 的等差中项， 是 ， 的等比中项，则 等于___________.
40．在等差数列 中，已知 ，则 ___________.
41．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，有下列结
论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号）
42．已知数列 满足： ， ， ，（ ），则 _______.
43．在等差数列 中，若 ，则该数列的前2021项的和为_______.
44．等比数列{an}各项为正，a，a，－a 成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则 ＝______.
3 5 4
四、解答题
45．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
46．已知实数 成等差数列，求证： 成等比数列.
47．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满足 ， .
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)若对于 ，总有 成立，求实数m的取值范围.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司48．在正项等比数列 中， ，且 ， 的等差中项为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 ．
49．已知公差不为0的等差数列 ， ， ．记 ，其中[x]表示不超过x的最大整
数，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 前101项和．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，可得 的值，代入等差数列前n项和公式，即可得答案
【详解】
因为 为等差数列，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
利用等比数列的基本量即可完成相应的计算.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，由题意， ，即 ，
，则 ， ，
则 ，所以D正确.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质可求得结果.
【详解】
由等差中项的性质可得 ，则 ，因此， .
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为等差数列 中， ， ，
所以 ，所以公差 ，所以A正确，
对于B，由于 ， ， ，所以前9项均为负数，所以当 时， 取得最小值，所以B正确，
对于C， ，所以C正确，
第 9 页对于D，因为 ，所以 ， ，
， ，所以使得 成立的最大自然是n是18，所以D错误，
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，等差数列前n项和公式，即可得答案
【详解】
因为 为等差数列，
所以 .
故选：C
6．B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
．
故选：B．
7．D
【解析】
【分析】
根据等差数列前 项和的性质求解即可
【详解】
由等差数列前 项和的性质可得， 成等差数列，设 ，则 ，即
成等差数列，故 ，解得 ，故 即 ，
故 ， ，故
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
利用数列的运算性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.
【详解】
，
第 10 页，则 .
故选：C
9．A
【解析】
【分析】
利用等差数列前 项和的性质求解即可
【详解】
由 ，得 ，设 ，则 ，
因为数列 是等差数列，
所以 ，……，是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A
10．C
【解析】
用 和 表示出 和 代入 求得 ，再根据 ，求得 ，进而求得 到 的值，即得解.
【详解】
，
故 ，
所以 ，
所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为 .
故选：C
【点睛】
结论点睛：等比数列 中，如果 ，求 的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到
大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.
11．B
【解析】
第 11 页【分析】
利用等差中项和等比中项的性质分别求得 、 的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得 ， ，
由等比中项的性质可得 ， ，
因此， .
故选：B.
12．D
【解析】
【分析】
根据二项式定理求得 展开式中的常数项，然后由等差数列的性质可得结论．
【详解】
由二项式定理， 展开式中的常数项是 ，
即 ，因为 是等差数列，所以 ．
故选：D．
13．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.
【详解】
两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且 ，
所以 .
故选：A
14．B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得 ，再由等差数列前 项和公式列式可算出结果.
【详解】
，由等差数列的性质可知，
故
第 12 页故
故选：B
【点睛】
解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：
1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；
2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的
前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少
运算量”的方法.
15．D
【解析】
【分析】
对选项A，令 即可检验；对选项B，令 即可检验；对选项C，令 即可检验；对选项D，设
出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若 ，则
可得： ，故选项A错误；
若 ，则
可得： ，故选项B错误；
若 ，则
可得： ，故选项C错误；
不妨设 的首项为 ，公差为 ，则有：
则有： ，故选项D正确
故选：D
16．D
【解析】
【分析】
， ， 的取值范围都是从 ，可以根据公差 的情况进行讨论．
【详解】
解：根据题意， ， ， 的取值范围都是从 共8个数字，故公差 范围是 到3，
①当公差 时，有 种，
第 13 页②当公差 时， 不取7和14，有 种，
③当公差 时， 不取7，8，13，14，有 种，
④当公差 时， 只能取10或11，有 种，
综上共有 种，
故选：D．
17．B
【解析】
本题首先可令 ，得出 ，然后通过等差数列的性质得出 以及 ，代入 中，即可得出
结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 是等差数列 前 项和， 是等差数列 前 项和，
所以 ， ，
则 ， ，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前 项和公式以及等差中项的应用，若等差
数列 前 项和为 ，则 ，当 时， ，考查化归与转化思想，是中档题.
18．A
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等差数列性质计算出 ，进而求出 与 即可得解.
【详解】
在等差数列 中，依题意， ，
解得 ，而 ，且 为递增数列，即 ，则 ， ，
所以数列 的公差 .
故选：A
19．C
【解析】
由等差数列性质求出 ，由等差数列前n项可求得m．
【详解】
第 14 页∵ 是等差数列，∴ ， ，
∴ ， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
20．B
【解析】
【分析】
根据等差数列下标和的性质得 ，即可求出答案.
【详解】
因为数列 是等差数列，由等差数列的性质得 ，所以 .
故选：B
21．A
【解析】
【分析】
根据 ， ， 成等差数列，由 ，求得公比即可.
【详解】
设等比数列 的公比为q，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 （ 不合题意，舍去），
所以 .
故选：A.
22．D
【解析】
【分析】
根据题意可得， ，而 ，即可表示出题中 ，再结合等差数列的
性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得， ，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
第 15 页∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
23．C
【解析】
【分析】
利用 ，结合 求得结果.
【详解】
由等差数列性质可知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.
24．D
【解析】
【分析】
由已知条件利用等差数列的下标定理即可求解.
【详解】
解：由题意可得
即 ①
②
且等差数列满足
第 16 页①②两式相加得
代入求和公式可得
解得
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
设等差数列 公差为 ，求得 ，得到 ，结合党旗长与宽之比都相等和 ，列出方程，即可
求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.
26．A
【解析】
【分析】
利用等差中项可得 为等差数列，即得结论.
【详解】
因为 ，
所以 ，又 ， ，
所以数列 是等差数列，公差 ，
所以 ，
所以 .
故选：A．
27．B
【解析】
【分析】
根据题意构造函数 ，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当 距离 最近时， 取得最小值，
根据 为最小值可得 距离 最近，建立绝对值不等式求解即可.
第 17 页【详解】
令 ，构造函数 ，
，
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
则对于 ，当 ，即 时， 单调递增，
当 ，即 时， 单调递减，
所以当 距离 最近时， 取得最小值，
根据题意知， 为最小值，所以 距离 最近，
而等差数列 满足 ， ，所以 ，所以 是递增数列，
∴ ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题的核心是利用函数导数思维根据 的表达式求出当 距离 最近时， 取得最小值，根据题意可得 距离
最近，再根据已知可得 是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，
解不等式组即可.
28．A
【解析】
【分析】
根据等差数列前 项和公式，及下标和性质得到 、 ，即可得到方程，计算可得；
【详解】
解：由 ，有 ，得 ．
故选：A
29．C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，结合题意和等比数列的性质可知 ，可得出 ，再根据等差中项的
定义，可求出 ，进而可求出 ，最后由 ，即可求出 的结果.
【详解】
解：设等比数列 的公比为 ，
第 18 页由等比数列的性质，知 ，所以 ，
由 与 的等差中项为 ，知 ，所以 ，
所以 ，则 .
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
由等差数列 前n项和的性质，可得 ， ， ， 成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】
由等差数列 前n项和的性质，
可得 ， ， ， 成等差数列，
∴ ，解得 .
∴ 2，6，10， 成等差数列，
可得 ，解得 .
故选：B
31．B
【解析】
【分析】
首先根据韦达定理可得 ，由等差数列公式以及等差数列的性质可得： ，即
可得解.
【详解】
由一元二次方程根与系数的关系，可得 ，
则 ，
故选：B．
32．C
【解析】
【分析】
先根据 ， ， 成等差数列以及 单调递减，求出公比 ，再由 即可求出 ，
再根据等比数列通项公式以及前 项和公式即可求出.
【详解】
解：由 ， ， 成等差数列，
得： ，
第 19 页设 的公比为 ，则 ，
解得： 或 ，
又 单调递减，
，
，
解得： ，
数列 的通项公式为： ，
.
故选：C．
33．A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质可得 ，又 为等比数列，所以 ，化简整理可求出q的值．
【详解】
由题意知 ，又 为正项等比数列，所以 ，且 ，所以 ，
所以 或 （舍），故选A
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属
基础题．
34．C
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质可得 ，且 ，从而可求得答案
【详解】
因为 ， ，
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，所以该数列的公差 ，
第 20 页所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为 ，所以 ，
所以绝对值最小的项为 ，
故选：C
35．ABC
【解析】
【分析】
利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出 的
取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.
【详解】
对于C选项，由 且 ，可知 ，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为 ， ，
所以，满足 的 的最大值为 ，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当 且 时， ；
当 且 时， ，
所以，当 且 时， ，
当 且 时， ，
当 且 时， .
由题意可知 单调递减，
所以当 且 时， ，
由题意可知 单调递减，即有 ，
所以 ，
由不等式的性质可得 ，
从而可得 ，
因此，数列 的最小项为第 项，故A正确.
第 21 页故选：ABC.
36．BC
【解析】
【分析】
根据 ； 即可判断选项A，B；根据等差数列的性质易判断选项C；易举反例 判
断选项D．
【详解】
对于A，当 时， ；
当 时， ；
经检验： 不满足 ， 数列 自第二项起为等差，A错误；
对于B，当 时， ；
当 时， ；
经检验： 满足 ， ，
数列 是等比数列，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，当 时， ， ， ，此时 不构成等比数列，D错误.
故选：BC.
37．BC
【解析】
【分析】
根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．
【详解】
解析：∵a＋a＋a＝21，∴3a＝21，∴a＝7．
1 2 3 2 2
∵a＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a＝a＋2d＝15．
1 4 2
∴a＋a＋a＝3a＝45．
3 4 5 4
故选：BC
38．BC
【解析】
【分析】
根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式 ，利用下标性质可判断CD，再由
可判断D.
【详解】
对于A,若 ，则 ，
第 22 页那么 .故A不正确；
对于B,中若 ，则 ，
又因为 ，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为 ，
所以使 的最大的 为15.故B正确；
对于C,中若 ， ，
则 ， ，则 中 最大.故C正确；
对于D，中若 ，则 ，而 ，不能判断 正负情况.故D不正确.
故选：BC
39．
【解析】
【分析】
根据等差和等比中项的定义求出 得值，即可求解.
【详解】
因为 是 的等差中项，所以 ，
因为 是 ， 的等比中项，所以 ，
，所以 .
故答案为： .
40．
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式可化简得到 ，根据等差数列的性质即可求得答案.
【详解】
由题意在等差数列 中，设公差为d,
则
所以 ，于是 ，
故答案为：10
41．②④
【解析】
【分析】
构造函数 ，可知 是奇函数，且是 上的增函数，由 ， ，可得
，且 ，再结合等差数列的性质可判断
第 23 页【详解】
令函数 ，因为 ，所以 是奇函数，且是 上的
增函数．
由题可知 ， ， ，
所以 ，且 ，即 ， ，所以①错误，②正确，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以④正确，
又因为 是等差数列，
所以 ， ，所以③错误．
故答案为：②④
42．
【解析】
【分析】
利用已知条件推出数列 为等差数列，可得 ，进而求得 ，求得结果.
【详解】
∵ ，
∴数列 为等差数列，首项为1，公差为1，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差中项的应用及等差数列的通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．
43．
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质和求和公式，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意，等差数列 中， ，
第 24 页所以 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式
是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
44．
【解析】
【分析】
由等比通项公式，结合等差中项的性质可得2q2＋q－1＝0，求得公比，再由 即可求值.
【详解】
∵等比数列{an}各项为正，a，a，－a 成等差数列，
3 5 4
∴aq2－aq3＝2aq4,即2q2＋q－1＝0，解得q＝ 或q＝－1(舍去)，
1 1 1
∴ .
故答案为：
45．（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
第 25 页．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即 ，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
第 26 页则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道
中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简
的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，这是错
位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
46．见详解.
【解析】
【分析】
根据条件，证明： 即可，注意各项均不为零.
【详解】
因为 成等差数列，所以 ，即 且 ，
又 ，
第 27 页所以 成立且各项均不为零，
所以： 成等比数列.
【点睛】
本题考查等比数列的证明，难度一般.注意说明各项均不为零.
47．(1) .
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的性质得 ，继而有 ，两式相减得 ，由此得数列 是以2为公
比的等比数列，求得 ， ，再由此求得 ，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得 .
（2）由（1）将不等式转化为 ，再令 ，作 ，判断出当 时，
取得最大值 ，由此得 ，求解即可.
(1)
解：因为 ， ， 为等差数列，所以 ，所以 ，两式相减得 ，
即 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，
又 ， ，所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，
所以 ；
(2)
解：由（1）得不等式为 ，整理得 ，
第 28 页令 ，则 ，
所以当 ， 时， ，即 ，
当 ， 时， ，即 ，所以当 时， 取得最大值 ，
所以 ，即 ，解得 .
所以实数m的取值范围为 .
48．（1） ；（2） .
【解析】
（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】
解（1）设正项等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，解得 ．
数列 的通项公式为 ；
（2） .
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
49．(1)
(2)192
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式基本量计算出首项和公差，求出通项公式；
（2）解不等式得到 ，当 时， ，当 时， ，当 时，
，从而求出前101项和.
(1)
设等差数列公差为d， ，
又 ，故 ，即 ，
所以 ，解得： 或0（舍去），求得： ，
数列 的通项公式为 ；
(2)
第 29 页，令 得： ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
当 时，
故
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
设 的前n项和为 ，所以 .
第 30 页第 31 页
