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微专题：等差数列的单调性与最值
【考点梳理】
求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和
的最值；②将等差数列的前n项和S＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值.
n
无论用哪种方法，都要注意a＝0的情形.
n
【题型归纳】
题型一：等差数列的单调性
1．已知 是等差数列{ }的前n项和，且 ， 则（ ）
A．数列{ }为递增数列 B． C． 的最大值为 D．
2．等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
3．在等差数列 中， ， ，则使数列 的前n项和 成立的最大正整数n=
（ ）
A．2021 B．2022 C．4041 D．4042
题型二：求等差数列中的最大（小）项
4．等差数列的前 项和为 ，若 ， ，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．设 ，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
6．设等差数列 的前 项和为 ，下列条件中，① ；② ；③ 且 ，使得
对任意正整数 都成立的是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【双基达标】
7．已知等差数列 的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列 是递增数列； ②数列 是递增数列；
③数列 是递增数列； ④数列 是递增数列．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列 为等差数列，若 ， ，则使 的前 项和 取最大值的 的值为（ ）
A．9 B．10 C．19 D．20
9．设数列 是等差数列， 是其前 项和，且 ， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
10．等差数列 是递增数列，且公差为 ，满足 ，前 项和为 ，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
11．设 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．已知等差数列 的公差为 ，则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数 ，各项均不相等的数列 满足 ，记
.①若 ，则 ；②若 是等差数列，且
，则 对 恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
15．对于无穷数列 ，下列命题不正确的是（ ）
A．若数列 既是等差数列，又是等比数列，则数列 是常数数列
B．若等差数列 满足： ，则数列 是常数数列
C．若等比数列 满足： ，则数列 是常数数列
D．若各项为正数的等比数列 满足： 则数列 是常数数列
16．等差数列 的公差为d，前n项和 ，则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知数列 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，则“ ， ”是“数列 是递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知等差数列 为其前 项和，且 ，且 ，则 （ ）
A．36 B．117 C． D．13
19．已知点 ， 是等差数列 图象上的两点，则数列 为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．设 为平面内异于P､A､B三点的任一点,且 当P､A､B三点共线时,数列 为( )
A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列
21．给出下列四个命题：
①如果 ，则 ；
②命题“ ，均有 ”的否定是“ ，使得 ”；
③在等差数列 中，已知公差 ，那么数列 是递增数列；
④ 是直线 与直线 平行的充分必要条件.
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
23．设等差数列 的前n项和为 ，满足 ， ，则（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．满足 的最大自然数n的值为23
24．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 若对任意的 ，都有 成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．在等差数列 中， 为 的前n项和， ， ，则无法判断正负的是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．设 为等差数列 的前 项和， .若 ，则（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最小值是
27．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
28．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最小值
29．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d
30．在等差数列 中，其前 项和是 ，若 ， ，则在 中最大的是
A． B． C． D．
二、多选题
31．（多选）已知等差数列 的公差 ，前 项和是 ，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是递增数列 D．数列 是递增数列
32．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a＞0，S ＝S ，则（ ）
1 10 20
A．d＜0 B．a ＜0
16
C．Sn≤S D．当且仅当Sn＜0时n≥32
15
33．已知数列 满足： ，当 时， ，则关于数列 说法正确的是（ ）
A． B．数列 为递增数列
C．数列 为周期数列 D．
34．已知递减的等差数列 的前 项和为 ， ，则（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． 最大
C． D．
三、填空题
35．已知等差数列 的各项均为正数，且数列 的前 项和为 ，则数列 的最大项为___________.（用
数字作答）
36．已知等差数列{ }的前n项和是 ， ， ，则数列{| |}中值最小的项为第___项．
37．已知等差数列 的通项公式为 ，当且仅当 时，数列 的前n项和 最大.则当
时， ___________.
38．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.
39．等差数列 前 项和为 ，若 ， ， 当 取得最大值时， 的值为_______．
40．已知等差数列 是递增数列，且 ， ，则 的取值范围为___________.
四、解答题
41．在① ，② ，③ 三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列
的前 项和为 ，满足： ， .
（1）求 的最小值；
（2）设数列 的前 项和 ，证明： .
42．首项为 的无穷等比数列 所有项的和为1， 为 的前n项和，又 ，常数 ，数
列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)若 是严格减数列，求t的最小值.
43．已知等差数列 ， ， ，…的前n项和为 ， 是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值
时n的值．
44．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求数列 的最大项.
45．无穷数列 满足： 且 ．
（1）求证： 为等差数列；
（2）若 为数列 中的最小项，求 的取值范围．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质逐项判断即可
【详解】
，因为 ,所以 ,所以 错
公差 ,所以 错
因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以 的最大值为 ,所以C对， ,所以D错
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
由 可得 ，再根据等差数列前n项和的二次函数性质知 ，结合等差中项、等差数列的单调
性判断各选项的正误.
【详解】
由 ，则 ，即 ，
又 ，易知： ，C正确；
，A正确；
， ，则 ，故 ，B正确；
由上知： 时 ， 时 ，且 是递减数列，故数列 不单调，D错误.
故选：D
3．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质易得 ， ，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得
、 ，即可确定答案.
【详解】
因为 是等差数列且 ， ，
所以 ， ．
， .
故选：C.
4．C
【解析】
第 8 页【分析】
由题意结合等差数列的性质可得 ，且 ，从而可求得答案
【详解】
因为 ， ，
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，所以该数列的公差 ，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为 ，所以 ，
所以绝对值最小的项为 ，
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
结合等差数列的性质得到 ，解不等式组即可求出结果.
【详解】
由 ，即 ，解得 ，因为 ,故 .
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，分别判断条件.
【详解】
① ，当 ， ，由等差数列的特征可知， 是数列 的最小值，所以 对任意
正整数 都成立，故①正确；
② ，所以 ，即 ，所以由等差数列的特征可知， 是数列
的最小值，所以 对任意正整数 都成立，故②正确；
③ ， ，所以 ，
即 ，所以 不成立，，故③不成立.
故选：A
7．B
第 9 页【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和前 项和公式，结合数列的通项公式的函数性质进行求解即可.
【详解】
①：因为数列 是等差数列，
所以 ，
因此可以把 看成关于 的一次函数，
而 ，所以数列 是递增数列，因此本命题是真命题；
②：因为数列 是等差数列，
所以 ，
因此可以把 看成关于 的二次函数，而二次函数的单调性与开口和对称轴有关，
虽然 能确定开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列 的单调性，故本命题是假命题；
③：因为数列 是等差数列，
所以 ，
设 ，因此数列 的通项公式为： ，
显然当 时，数列 是常数列，故本命题是假命题；
④：因为数列 是等差数列，
所以 ，
设 ，因此数列 的通项公式为 ，
所以可以把 看成关于 的一次函数，
而 ，所以数列 是递增数列，因此本命题是真命题.
故选：B
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和公式的应用，考查了利用数列的函数性质判断数列的单调性，考查了推
理论证能力和数学运算能力.
8．B
【解析】
由等差数列的性质与求和公式可得 ， ，可得答案．
【详解】
因为 ，由等差数列的性质可得
第 10 页，所以 ，
又 ，所以 ，可得公差小于零，
所以等差数列是单调递减的，
即前10项是正的第11项开始是负的，所以前10项和最大.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质以及等差数列的单调性，关键点是 ， 得到 ， .
9．C
【解析】
由 ，判断 ，再依次判断选项.
【详解】
由于 ， ，所以 ， ， ，
所以 ， 与 均为 的最大值．而 ，所以 ，
所以C选项结论错误．
故选:C．
10．C
【解析】
【分析】
利用数列的单调性结合等差数列的定义可判断A选项；利用 可得出 、 的等量关系，可判断B选项；求
出 ，利用二次函数的基本性质可判断C选项；解不等式 可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为等差数列 是递增数列，则 ，A对；
对于B选项，因为 ，即 ，可得 ，B对；
对于C选项， ，
所以，当 或 时， 最小，C错；
对于D选项， ，因为 ，解得 ，故 时 的最小值为 ，D对.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
ABD可以举反例说明命题是错误的，C用基本不等式证明命题的正确的．
【详解】
若 ，则满足 ，但 ，A错，同样满足 ，但 ，B错；
第 11 页是等差数列， ，则 ， ，C正确；
，满足 ，但此时 ，D错．
故选：C．
12．D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于 的一次函数， ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列 的通项公式是关于 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当 时，如下图所示，
当公差 时，如下图所示，
如图可知当 时， ， ， ， .
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
13．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.
【详解】
若 ，则 ，即 ，此时，数列 为单调递增数列，
即“ ” “数列 为单调递增数列”；
若等差数列 为单调递增数列，则 ，
第 12 页即“ ” “数列 为单调递增数列”.
因此，“ ”是“数列 为单调递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
14．A
【解析】
【分析】
①利用正弦函数为奇函数可得 ，再进行累加即可得到答案；
② 是等差数列，当 时，对 分为奇数和偶数进行讨论；
【详解】
解： 在 为奇函数且单调递增，
①
所以 ，且 ，①正确；
② 是等差数列，当 时，
若 为偶数， ，
，
同理 ，…， ，
所以
若 为奇数， ，
， ，…，
所以 ；
同理，当 时，也有 .②正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
根据等差数列、等比数列定义，通项公式及有界性逐一分析判断作答.
第 13 页【详解】
对于A，设等差数列 公差为d，则 时， ，
而数列 是等比数列，则 ，且 ，于是得 ，即 是常数数列，
A正确；
对于B，设等差数列 公差为d，有 ，若 ，而 是无穷数列，则当n趋近于无穷大时，
趋近于正无穷大，
若 ，则当n趋近于无穷大时， 趋近于负无穷大， 趋近于正无穷大，即 ， 都趋近于正无穷大，
因 ，则 ，即 是常数数列，B正确；
对于C，等比数列 ，令 ，对于任意的正整数n， ，满足 ， 不是常数数列，C不正确；
对于D，设各项为正数的等比数列 公比为q，则 ，
当 时，数列 是递增数列，当n趋近于无穷大时， 趋近于正无穷大，必存在正整数 ，有 时，
，
当 时，数列 是递减数列，当n趋近于无穷大时， 趋近于0，必存在正整数 ，有 时， ，
即 且 时，对于无穷正项等比数列 必存在一个正整数，当n取大于这个正整数时 不可能成
立，
于是得无穷正项等比数列 满足： ，其公比 ，即数列 是常数数列，D正确.
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
根据等差数列前n项和公式可得 ，当 证得 为递增数列，反之亦可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
若 ，则关于n的函数 单调递增，
所以数列 为递增数列；
若 为递增数列，则 ，
即 ，解得 .
第 14 页所以“ ”是“ 为递增数列”的充分必要条件.
故选：A
17．A
【解析】
【分析】
利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
【详解】
∵ 恒成立，∴ ，∴ 递增；
反之，可取 ，则 递增，但 ，
所以“ ， ”是“数列 是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
18．B
【解析】
【分析】
根据等差数列下标的性质， ，进而根据条件求出 ，然后结合等差数列的求和公式和下标性质
求得答案.
【详解】
由题意， ，即 为递增数列，所以 ，又 ，又
，联立方程组解得： .于是， .
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.
【详解】
等差数列 的图象所在直线的斜率 ，
则直线呈下降趋势，故数列 单调递减.
故选：B.
20．B
【解析】
【分析】
根据P､A､B三点共线， 可得 ，即可判定数列性质.
第 15 页【详解】
由题： P､A､B三点共线，
根据共线定理，则 ，即 ，
所以数列 是一个公差为-1的等差数列，所以是递减数列.
故选：B
【点睛】
此题考查平面向量共线定理的应用，根据三点共线结论得数列的递推关系，判断数列的增减性.
21．B
【解析】
【分析】
对于①，取 ，可判断；对于②，由全称命题与特称命题的关系，可判断；
对于③， 由等差数列的通项，可得出 ，可判断； ④中，由两直线平行的条件可得出 ，解得
或 ，可判断得选项.
【详解】
对于①，若 ，则 ，所以 此时不成立，故①不正确；
对于②，根据全称命题与特称命题的关系，得②是正确的；
对于③， 由于数列 是等差数列，所以设 ，则 ，
因为公差 ，所以 ，所以数列 是递增数列成立，故③正确；
④中，若直线 与直线 平行，则 ，解得 或 ，
所以 是两直线平行的充分不必要条件，所以④错误的，
故正确的命题是②③，
故选：B.
【点睛】
本题考查命题的判断，考查了对数函数的单调性，全称命题和特称命题的关系，等差数列的通项公式，两直线平
行的条件，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
22．D
【解析】
【分析】
根据 求得 ，结合 ，判断数列单减，从而判断 取得最大值时， 的值.
【详解】
由题知， ，则 ，
等差数列 的公差d满足 ，数列单减，
且 ， ，则当 取得最大值时， 的值为8或9
故选：D
23．C
【解析】
第 16 页利用等差数列的前 项和公式可得 ，结合 即可得出结果.
【详解】
设等差数列的公差为
由 ，
可得 ，
整理可得 ，由
所 ，即 ，故A错误；
根据 ，则数列为递减数列， ，即 ，
则前 项或前 项的和最大，故B错误；C正确；
所以 ，即 ，解得 ，
满足 的最大自然数n的值为22，故D错误；
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式、数列的单调性，属于基础题.
24．B
【解析】
【分析】
依题意，对任意的 ，都有 成立，即 ，利用数列 的单调性可得 ，即可求解.
【详解】
由已知 ，
对任意的 ，都有 成立，即 ，即 ，
又数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，且 是单调递增数列，当 时， ，
，即 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合已知条件得
到 .
第 17 页25．B
【解析】
【分析】
根据等差数列， ， ，可以求出 ，且 ， ， ，从而判断出 ， ， 的正负，
选出正确答案.
【详解】
设公差为 ，因为 ， ，可知： ，且 ， ，所以 ，从而 ，
不确定正负， ，
故选：B
26．D
【解析】
【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由 可得 和 的符号，即
可判断 的最小值.
【详解】
由 得： ，整理可得： ，
等差数列 为递增数列，又 ， ， ，
当 且 时， ；当 且 时， ；
有最小值，最小值为 .
故选：D.
27．D
【解析】
【分析】
解不等式 ，可得出 取最大值时对应的 的取值，结合已知条件可得合适的选项.
【详解】
由题意可知， ， ，则数列 的最大项为 .
对于A选项， ，当 时， 且数列 为递增数列，此时 无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由 ，可得 ，故数列 中 最大，B选项不满足条件；
对于C选项， ，数列 为递增数列且当 时， ，此时 无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由 ，可得 ，故数列 中 最大，D选项满足条件.
故选：D.
第 18 页【点睛】
方法点睛：在等差数列中，求 的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
28．C
【解析】
【分析】
对于A选项，根据 得到 判断；对于C选项，根据 得到 判断；对于D选
项，根据 得到 ，结合 判断； 对于B选项，根据 ， ，得到 时，
判断.
【详解】
对于A选项，由 可得 ，A选项正确；
对于C选项，由 可得 ，∴ ，C选项错误；
对于D选项，由 可得 ，且 ， ， ，
所以，当 且 时， ，且 ，则 与 均为 的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵ ， ，当 时， ，
所以， ，B选项正确．
故选：C．
29．D
【解析】
【分析】
根据从第8项起开始为正数，可得a≤0，a＞0，利用“ ”法求解.
7 8
【详解】
an＝﹣21+（n﹣1）d．
∵从第8项起开始为正数，
∴a＝﹣21+6d≤0，a＝﹣21+7d＞0，
7 8
解得3＜d ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
30．C
【解析】
【分析】
由题意知 ．由此可知 ，所以在 中最大的是 ．
【详解】
第 19 页由于 ，
所以可得 ．
这样 ，
而 >0， ，
所以在 中最大的是 ．
故选C．
【点睛】
本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
31．AD
【解析】
【分析】
对于A，数列 是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列 的单调性，故B错误；
对于C，数列 的通项公式为 ，显然当 时，数列 是常数列，故C错误；
对于D，数列 的通项公式为 ，而 ，所以数列 是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为 ，所以数列 是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列 是等差数列，所以 ．因此可以把 看成关于 的
二次函数， 能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列 的单调性，故B错误．
对于C，因为数列 是等差数列，所以 ．因此数列 的通项公式为
，显然当 时，数列 是常数列，故C错误．
对于D，因为数列 是等差数列，所以 ．因此数列 的通项公式
为 ，而 ，所以数列 是递增数列，故D正确．
故选：AD．
32．ABC
【解析】
【分析】
根据题意，可得2a+29d＝0，根据a＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a ＞a ，可判断B、C的正误；分
1 1 15 16
第 20 页别求得 ，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵S ＝S ，
10 20
∴10a+45d＝20a+190d，
1 1
∴2a+29d＝0，
1
∵a＞0，∴d＜0，故A正确；
1
∴a+14d+a+15d＝0，即a +a ＝0，
1 1 15 16
∵d＜0，∴a ＞a ，
15 16
∴a ＞0，a ＜0，故B正确；
15 16
∴Sn≤S ，故C正确；
15
又 ， ，
∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.
故选：ABC．
33．ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得 ，
∴ ，
即数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
∴ ，
∴ ，得 ，由二次函数的性质得数列 为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
34．ABD
【解析】
转化条件为 ，进而可得 ， ，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
因为数列 递减，所以 ，则 ， ，故A正确；
所以 最大，故B正确；
第 21 页所以 ，故C错误；
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
35．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前 和公式，可判定数列 为
递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列 的各项均为正数，所以 ， ，
且 ，
所以数列 是递增数列，
又 ，
所以 ，
即 是递减数列，
所以当 时，得到数列 的最大项为 ，
故答案为：1
36．10
【解析】
【分析】
根据题意判断等差数列{ }的 ， ， ，由此可判断数列 的项的增减情况，进而确定
答案.
【详解】
由题意得： ，∴ ，
，∴ ， ，
∴ ，故等差数列{ }为递减数列，即公差为负数，
因此 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 ，∴{| |}最小的项是第10项，
故答案为：10
第 22 页37．
【解析】
【分析】
首先根据题意求出 ，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】
解：由题意可知， ，解得 ，又 ，则 ，
所以 ， .由 ，得 ，
解得 或 (舍)，故
故答案为：20.
38．-1
【解析】
【分析】
根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.
【详解】
数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.
又a＝3，a＝－1.
8 9
所以绝对值最小的项为a＝－1.
9
故答案为：-1
39．9.
【解析】
【分析】
根据题意推导出数列 为单调递减数列，且当 时， ，当 时， ，由此可得出结果.
【详解】
， ， ， ，
所以，等差数列 的公差 ，则数列 为单调递减数列.
当 时， ，当 时， ，因此，当 时， 取最大值.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用等差数列前 项和的最值求对应的 的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能
力，属于中档题.
40．
【解析】
第 23 页【详解】
∵等差数列 是递增数列，且 ，∴ ，又∵ ，
∴ ， ， ， ，即 的取值范围为 ，故答案为
.
点睛：本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；
数列 是单调递增数列，根据满足 ， ，可得 ， ， 即可得出.
41．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得 的通项公式，利用通项公式的
单调性，结合题意，即可求得 的最小值；
（2）由（1）可得数列 的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.
【详解】
（1）若选择②③；
由题知： ，
又因为 ，解得
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
若选择①②；
由题知： ，
又因为 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
若选择①③；
由题知： ，所以 ，
由题知： ，所以
联立解得： ，
第 24 页所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】
本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求
值的能力，属中档题.
42．(1)
(2)
(3) 的最小值为1
【解析】
【分析】
（1）根据无穷等比数列 所有项的和为1，求出公比 ，再根据等比数列的通项公式可得；
（2）求出 ,代入 可得 ；
（3）求出 ，然后根据数列递减可得 恒成立，由不等式恒成立可得答案.
(1)
设无穷等比数列 的公比为 ，则 ,所以 ，解得 ，
所以 .
(2)
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
(3)
, ,所以 ,
第 25 页因为 是递减数列，
所以
恒成立，
所以 恒成立，所以 恒成立，
因为 为递减函数，所以 时， 取得最大值 ，
所以 ,又因为 ，所以 的最小值为1.
43． 存在最小值，
【解析】
【分析】
由已知可求得数列的通项公式 ，令 ，可知 且 ，可知数列的前9项都是负数，第10
项为正数，即值 存在最小值.
【详解】
由已知可知等差数列的首项 ，公差
则数列的通项公式为
令 ，即 ，又 ， 且
即数列的前9项都是负数，第10项为正数，
故当 时， 存在最小值.
44．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的性质，设等比数列 的公比为 ，列方程求解即可；
（2）法一： ，由二次函数的性质，可得数列 的最大项；
法二：因为 ，所以 ，由 ，可求解；
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
第 26 页所以 .
（2）法一：
.
所以数列 的最大项为 .
法二：因为 ，所以 .
由 ，得 .
所以数列 的最大项为 .
【点睛】
关键点睛：解题关键在于列方程求出 的通项公式和利用二次函数或指数函数的性质，判断 取最大项时，
的取值，属于中档题
45．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式证得 ，根据等差数列的定义即可得出结论；
（2）由于数列 是以1为公差的等差数列，所以若 ，则数列 是递增数列，所以数列
无最大项，因此 中无最小项，故 ，然后结合题意即可得到 ，解不等式组即
可求出结果.
【详解】
（1）因为 ，则
所以
第 27 页，
故数列 是以1为公差的等差数列；
（2）若 ，则数列 是递增数列，所以数列 无最大项，因此 中无最小项，故 ，
又数列 是递增数列，且 为数列 中的最小项，所以 是数列 中的最大负项，从而有
，而 ，则 ，解得 ，
故 的取值范围为 .
第 28 页第 29 页
