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微专题：等差数列的单调性与最值
【考点梳理】
求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和
的最值；②将等差数列的前n项和S＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值.
n
无论用哪种方法，都要注意a＝0的情形.
n
【题型归纳】
题型一：等差数列的单调性
1．已知 是等差数列{ }的前n项和，且 ， 则（ ）
A．数列{ }为递增数列 B． C． 的最大值为 D．
2．等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
3．在等差数列 中， ， ，则使数列 的前n项和 成立的最大正整数n=
（ ）
A．2021 B．2022 C．4041 D．4042
题型二：求等差数列中的最大（小）项
4．等差数列的前 项和为 ，若 ， ，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．设 ，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
6．设等差数列 的前 项和为 ，下列条件中，① ；② ；③ 且 ，使得
对任意正整数 都成立的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【双基达标】
7．已知等差数列 的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列 是递增数列； ②数列 是递增数列；
③数列 是递增数列； ④数列 是递增数列．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列 为等差数列，若 ， ，则使 的前 项和 取最大值的 的值为（ ）
A．9 B．10 C．19 D．20
9．设数列 是等差数列， 是其前 项和，且 ， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
10．等差数列 是递增数列，且公差为 ，满足 ，前 项和为 ，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
11．设 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．已知等差数列 的公差为 ，则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数 ，各项均不相等的数列 满足 ，记
.①若 ，则 ；②若 是等差数列，且
，则 对 恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
15．对于无穷数列 ，下列命题不正确的是（ ）
A．若数列 既是等差数列，又是等比数列，则数列 是常数数列
B．若等差数列 满足： ，则数列 是常数数列
C．若等比数列 满足： ，则数列 是常数数列
D．若各项为正数的等比数列 满足： 则数列 是常数数列
16．等差数列 的公差为d，前n项和 ，则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知数列 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，则“ ， ”是“数列 是递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知等差数列 为其前 项和，且 ，且 ，则 （ ）
A．36 B．117 C． D．13
19．已知点 ， 是等差数列 图象上的两点，则数列 为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．设 为平面内异于P､A､B三点的任一点,且 当P､A､B三点共线时,数列 为( )
A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列
21．给出下列四个命题：
①如果 ，则 ；
②命题“ ，均有 ”的否定是“ ，使得 ”；
③在等差数列 中，已知公差 ，那么数列 是递增数列；
④ 是直线 与直线 平行的充分必要条件.
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
23．设等差数列 的前n项和为 ，满足 ， ，则（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．满足 的最大自然数n的值为23
24．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 若对任意的 ，都有 成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．在等差数列 中， 为 的前n项和， ， ，则无法判断正负的是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．设 为等差数列 的前 项和， .若 ，则（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最小值是
27．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
28．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最小值
29．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．30， ，
所以在 中最大的是 ．
故选C．
【点睛】
本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
31．AD
【解析】
【分析】
对于A，数列 是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列 的单调性，故B错误；
对于C，数列 的通项公式为 ，显然当 时，数列 是常数列，故C错误；
对于D，数列 的通项公式为 ，而 ，所以数列 是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为 ，所以数列 是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列 是等差数列，所以 ．因此可以把 看成关于 的
二次函数， 能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列 的单调性，故B错误．
对于C，因为数列 是等差数列，所以 ．因此数列 的通项公式为
，显然当 时，数列 是常数列，故C错误．
对于D，因为数列 是等差数列，所以 ．因此数列 的通项公式
为 ，而 ，所以数列 是递增数列，故D正确．
故选：AD．
32．ABC
【解析】
【分析】
根据题意，可得2a+29d＝0，根据a＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a ＞a ，可判断B、C的正误；分
1 1 15 16
第 20 页别求得 ，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵S ＝S ，
10 20
∴10a+45d＝20a+190d，
1 1
∴2a+29d＝0，
1
∵a＞0，∴d＜0，故A正确；
1
∴a+14d+a+15d＝0，即a +a ＝0，
1 1 15 16
∵d＜0，∴a ＞a ，
15 16
∴a ＞0，a ＜0，故B正确；
15 16
∴Sn≤S ，故C正确；
15
又 ， ，
∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.
故选：ABC．
33．ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得 ，
∴ ，
即数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
∴ ，
∴ ，得 ，由二次函数的性质得数列 为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
34．ABD
【解析】
转化条件为 ，进而可得 ， ，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
因为数列 递减，所以 ，则 ， ，故A正确；
所以 最大，故B正确；
第 21 页所以 ，故C错误；
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
35．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前 和公式，可判定数列 为
递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列 的各项均为正数，所以 ， ，
且 ，
所以数列 是递增数列，
又 ，
所以 ，
即 是递减数列，
所以当 时，得到数列 的最大项为 ，
故答案为：1
36．10
【解析】
【分析】
根据题意判断等差数列{ }的 ， ， ，由此可判断数列 的项的增减情况，进而确定
答案.
【详解】
由题意得： ，∴ ，
，∴ ， ，
∴ ，故等差数列{ }为递减数列，即公差为负数，
因此 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 ，∴{| |}最小的项是第10项，
故答案为：10
第 22 页37．
【解析】
【分析】
首先根据题意求出 ，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】
解：由题意可知， ，解得 ，又 ，则 ，
所以 ， .由 ，得 ，
解得 或 (舍)，故
故答案为：20.
38．-1
【解析】
【分析】
根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.
【详解】
数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.
又a＝3，a＝－1.
8 9
所以绝对值最小的项为a＝－1.
9
故答案为：-1
39．9.
【解析】
【分析】
根据题意推导出数列 为单调递减数列，且当 时， ，当 时， ，由此可得出结果.
【详解】
， ， ， ，
所以，等差数列 的公差 ，则数列 为单调递减数列.
当 时， ，当 时， ，因此，当 时， 取最大值.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用等差数列前 项和的最值求对应的 的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能
力，属于中档题.
40．
【解析】
第 23 页【详解】
∵等差数列 是递增数列，且 ，∴ ，又∵ ，
∴ ， ， ， ，即 的取值范围为 ，故答案为
.
点睛：本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；
数列 是单调递增数列，根据满足 ， ，可得 ， ， 即可得出.
41．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得 的通项公式，利用通项公式的
单调性，结合题意，即可求得 的最小值；
（2）由（1）可得数列 的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.
【详解】
（1）若选择②③；
由题知： ，
又因为 ，解得
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
若选择①②；
由题知： ，
又因为 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
若选择①③；
由题知： ，所以 ，
由题知： ，所以
联立解得： ，
第 24 页所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】
本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求
值的能力，属中档题.
42．(1)
(2)
(3) 的最小值为1
【解析】
【分析】
（1）根据无穷等比数列 所有项的和为1，求出公比 ，再根据等比数列的通项公式可得；
（2）求出 ,代入 可得 ；
（3）求出 ，然后根据数列递减可得 恒成立，由不等式恒成立可得答案.
(1)
设无穷等比数列 的公比为 ，则 ,所以 ，解得 ，
所以 .
(2)
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
(3)
, ,所以 ,
第 25 页因为 是递减数列，
所以
恒成立，
所以 恒成立，所以 恒成立，
因为 为递减函数，所以 时， 取得最大值 ，
所以 ,又因为 ，所以 的最小值为1.
43． 存在最小值，
【解析】
【分析】
由已知可求得数列的通项公式 ，令 ，可知 且 ，可知数列的前9项都是负数，第10
项为正数，即值 存在最小值.
【详解】
由已知可知等差数列的首项 ，公差
则数列的通项公式为
令 ，即 ，又 ， 且
即数列的前9项都是负数，第10项为正数，
故当 时， 存在最小值.
44．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的性质，设等比数列 的公比为 ，列方程求解即可；
（2）法一： ，由二次函数的性质，可得数列 的最大项；
法二：因为 ，所以 ，由 ，可求解；
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
第 26 页所以 .
（2）法一：
.
所以数列 的最大项为 .
法二：因为 ，所以 .
由 ，得 .
所以数列 的最大项为 .
【点睛】
关键点睛：解题关键在于列方程求出 的通项公式和利用二次函数或指数函数的性质，判断 取最大项时，
的取值，属于中档题
45．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式证得 ，根据等差数列的定义即可得出结论；
（2）由于数列 是以1为公差的等差数列，所以若 ，则数列 是递增数列，所以数列
无最大项，因此 中无最小项，故 ，然后结合题意即可得到 ，解不等式组即
可求出结果.
【详解】
（1）因为 ，则
所以
第 27 页，
故数列 是以1为公差的等差数列；
（2）若 ，则数列 是递增数列，所以数列 无最大项，因此 中无最小项，故 ，
又数列 是递增数列，且 为数列 中的最小项，所以 是数列 中的最大负项，从而有
，而 ，则 ，解得 ，
故 的取值范围为 .
第 28 页第 29 页
