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专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的
应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显
著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。
手拉手相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)
【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点
不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形
的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， ； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； .
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， ， （即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD； ，AC⊥BD， .3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）
:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF； .
条件
:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE.
条件
例1．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在 中， ，D、E分别时 、 边上的
点， ．将 绕点A旋转．
（一）发现问题（1）如图①， 、 、 满足的数量关系为________；
（二）探究问题（2）如图②， ， 相交于点M，连接 ，求证： 平分 ；
（三）拓展应用
（3）如图③，在四边形 中， ， ， ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据 ， ，等量代换可得结果；
（2）首先证明 ，推出 ，证明 ，得到 ，
，过点A作 于 ， 于 ，根据三角形面积公式，得到 ，再利用角平
分线的判定定理即可证明；
（3）延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，得到 ，，从而证明 是等边三角形，便可得 ．
【详解】解：（1） 在 与 中， ，
， ，故答案为： ；
（2）在原图中，∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，
， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ 平分 ；
（3）如图，延长 至 ，使得 ，连接 ，
， ，
， ， ，
， ， ， ，
， ，即 是等边三角形，
， ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，角平分线的判定，构造全等三角形是解本题的关键．
例2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形 中， ， ．
点 ， 分别在 ， 上， ．(1)操作发现：将图（1）中的 绕点 逆时针旋转，当点 落在 边上时， 交 于点 ，如图
（2）．发现： ．请证明这个结论．
(2)实践探究：将图（1）中的 绕点 顺时针旋转（ ），当 ， ， 三点在同一条直线
上时，连接 ，如图（3）．请解答以下问题：
①求证： ；②探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；② ，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，根据三角形的外角性质可得 ，推
得 ，根据等边对等角可得 ，根据相似三角形的判定和性质可得 ，即可
证明 ；（2）①根据平行线分线段成比例定理可得 ，推得 ，
，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质可得 ，根据相似三
角形的判定和性质可得 ，推得 ，即可求解．
【详解】（1）解：在图（1）中，∵ ，∴ ；
在图（2）中，根据旋转的性质，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：①在图（1）中，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴在图（3）中， ，∴ ，在 和 中， ，∴ ；
② ，理由：∵ ，∴ ，
∵ ，∴在图（1）中， ，∴ ，即 ，
∵ ， ， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角
性质，等边对等角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握等腰三角形共点旋转模型是解本题的关键，
例3．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直
角三角形 和等腰直角三角形 ，按如图1的方式摆放， ，随后保持 不动，
将 绕点C按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ．
该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当 时，则 _____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在 与 中， ，若
， （m为常数）．保持 不动，将 绕点C按逆时针方向旋转 （
），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ，如图6．试探究 ， ， 之间的
数量关系，并说明理由．
【答案】(1) (2) (3) 仍然成立，理由见解析(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得 ，根据题意可得 ，根据等原三角形的
性质可得 平分 ，即可得 ，根据旋转的性质可知 ；
（2）证明 ，可得 ，根据等腰直角三角形可得 ，由 ，即
可即可得出 ；
（3）同（2）可得 ，过点 ，作 ，交 于点 ，证明 ，
，可得 ，即可得出 ；
（4）过点 作 ，交 于点 ，证明 ，可得 ， ，在
中，勾股定理可得 ，即可得出 ．
(1) 等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ， ，
故答案为：(2)
在 与 中，
又 重合， 故答案为：
(3)同（2）可得 ，
过点 ，作 ，交 于点 ，
则 ， ，
在 与 中， ， ，
， 是等腰直角三角形， ， ，
， ，
在 与 中， ， ，
， ，即 ，
(4)过点 作 ，交 于点 ，
， ， ， ，
， ， ，
，， ， ，
， ，
中， ，
，即 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质
与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例4．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰 中， ，点 是 边上一点（不与点 、 重
合），连结 ．
（1）如图1，若 ，点 关于直线 的对称点为点 ，结 ， ，则 ________；
（2）若 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连结 ．
①在图2中补全图形；②探究 与 的数量关系，并证明；
（3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的数量关系，并证明．
【答案】（1）30°；（2）①见解析；② ；见解析；（3） ，见解析
【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可
（2）①按要求补全图即可
②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明 ，即可得出
（3）先证明 ，再证明 ，得出 ，从而证明 ，得出
，从而证明
【详解】解：（1）∵ ， ∴△ABC是等边三角形∴∠B=60°∵点 关于直线 的对称点为点 ∴AB⊥DE，∴ 故答案为： ；
（2）①补全图如图2所示；
② 与 的数量关系为： ；
证明：∵ ， ．∴ 为正三角形，
又∵ 绕点 顺时针旋转 ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（3）连接 ．
∵ ， ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ， ．
∵ ，∴ ．又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进
行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点
例5．（2023·四川·九年级专题练习）如图1，已知线段 ， ，线段 绕点 在直线 上方旋转，
连接 ，以 为边在 上方作 ，且 ．(1)若 ，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ，用等式表
示线段 与 的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若 ， ， ，求 的长；
(3)如图3，若 ， ， ，当 的值最大时，求此时 的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）在 中， ， ，且 ， ，可得
，根据相似三角形的性质得出 ， ，进而证明 ，
根据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长 交 于点 ，如图所示，在 中，求得 ，进而求得 的长，根据（1）的结
论，得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而根据 ，即可求解．
（3）如图所示，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ， ，
，同（1）可得 ，进而得出 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当点 三
点共线时， 的值最大，进而求得 ， ，根据 得出
，过点 作 ，于点 ，分别求得 ,然后求得 ，最后根据正切的定义即可
求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，且 ， ，∴ ， ，
∴ ， ， ∴
∴ ∴ ，故答案为： ．
（2）∵ ，且 ， ，
∴ ， ，延长 交 于点 ，如图所示，
∵ ，∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，由（1）可得 ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解：如图所示，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ， ，
，
同（1）可得 则 ，∵ ，则 ，在 中， ， ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当点 三点共线时， 的值最大，此时如图所示，则 ，
在 中，
∴ , ，
∵ ，∴ ，过点 作 ，于点 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， 中， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆
的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例6.（2023·浙江·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放
（点E、A、D在同一条直线上），发现 且 ．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 吗？若能，请给出证明，请
说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形 和菱形 ，将菱形 绕点A按顺时针方向
旋转（如图2），试问当 与 的大小满足怎样的关系时， ；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且 ， ， （如
图3），连接 ， ．试求 的值（用a，b表示）．
【分析】（1）由正方形的性质得出 ， ， ， ，得出
，则可证明 ，从而可得出结论；（2）由菱形的性质得出 ，
，则可证明 ，由全等三角形的性质可得出结论；（3）设 与 交于
Q， 与 交于点P，证明 ，得出 ，得出 ，连接 ， ，由
勾股定理可求出答案．
【详解】（1）∵四边形 为正方形，∴ ， ，
又∵四边形 为正方形，∴ ， ，
∴ ∴ ，
在△AEB和△AGD中， ，∴ ，∴ ；
（2）当 时， ，
理由如下：∵ ，∴ ∴ ，
又∵四边形 和四边形 均为菱形，∴ ， ，
在△AEB和△AGD中， ，∴ ，∴ ；
（3）设 与 交于Q， 与 交于点P，由题意知， ，∵ ， ，∴ ，∴
，∵ ，∴
，
∴ ，连接 ， ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ， ，
在Rt△EAG中，由勾股定理得： ，同理 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，
勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互
垂直时，四边形两组对边的平方和相等．
例7．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O
顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，
当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明
理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
【答案】（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）【分析】（1）结论 ．证明 ，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明 ，再利用相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：（1）结论： ．理由：如图1中，
， ， ， ， ，
， ，
， ， ， ．
（2）结论成立．理由：如图2中，
， ， ， ， ，
， ， ， ．
（3）如图3中，
由旋转的性质可知 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
课后专项训练
1、（2023.重庆.九年级月考）如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，
则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
【答案】B
AC 2 AB 3 2 BC 4 2 AC AB BC
【解答】 = ， = = ， = = ，∴ = = ，
AE 3 AD 4.5 3 DE 6 3 AE AD DE
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．
2、（2023.广东.九年级期中）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，
AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论： △AOD∽△FOB，
①
5
△BOD∽△EOA， ∠FDB+∠FBE＝90°， BF= AE，其中正确的是（ ）
6
② ③ ④
A． B． C． D．
【解①答②】∵△ABC∽△ADE，∴③∠④ADO＝∠OBE， ②③ ②③④
OD OA
∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ = ，
OB OE
OD OB
∴ = ，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故 正确，
OA OE
②
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故 正确，
DE BC 5 ③
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=❑√32+42=5，∵△ABC∽△ADE，∴ = = ，
AE AC 3
1 2BF 5 5
∵BF= DE，∴ = ，∴BF= AE，故 正确，
2 AE 3 6
④
∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴无法判断△AOD∽△FOB，故 错误．故选：D．
①
3、（2023.江苏.九年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝ ，D、E分别在边AC、BC
上，CD＝1，DE∥AB，将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′，当点E′落在线段
AD′上时，连接BE′，此时BE′的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3
【分析】如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出
HE′，BH即可解决问题．
【详解】解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵DE∥AB，∴ ＝ ，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴ ＝ ，
∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝ ，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2 ，BC＝ AC＝ ，∵DE∥AB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CE＝ ，
∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝
∴E′H＝ CE′＝ ，CH＝ HE′＝ ，∴BH＝ ＝ ＝
∴BE′＝HE′+BH＝3 ，故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的
性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导．
4、（2023.绵阳市.九年级期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结
AG，CE交于点H，若 ， ，则CH的长为________.
【分析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到 ，从而求出
DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明
△ADM∽△CHM，得到 ，最后算出CH的长.
【详解】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴ ，
∵ ，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴ ，解得：DM= ，
∴MC= ，AM= ，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，
在△ADG和△CDE中， ，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，
∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，
∴ ，即 ，解得：CH= .
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综
合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.
5．（2022·浙江·九年级课时练习）观察猜想
(1)如图1，在等边 中，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接 ，以 为边作等边
，连接 ，则 与 的数量关系是______．
(2)类比探究：如图2，在等边 中，点M是 延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在等腰 中， ，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接
，以 为边作等腰 ，使顶角 ．连按 ．试探究 与 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1) (2) 成立(3)
【分析】（1）利用 可证明 ，继而得出结论；
（2）也可以通过证明 ，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出 ，从而判定 ，得到 ，根据 ，
，得到 ，从而判定 ，得出结论．
（1）证明： 、 是等边三角形，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ．
（2）解：结论 仍成立；理由如下： 、 是等边三角形，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ．
（3）解： ；
理由如下： ， ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ， ，
又 ， ，
， ， ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的
关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．
6．（2022湖北·九年级专题练习）如图， 为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的
中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2 +2，∠ABD＝45°，求 的面积；(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将
沿AM翻折得 ，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出 ，可得
再结合三角形中学性质即可解得；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位
线性质和 ，得 ，再通过四点共圆证明 ，进而可得
，从而可证明 为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造
，得AD=BP，继而证明 （SAS），从而可得 ，由此即可得出结论；
（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造 ，得出即D为AC
的中点时， 取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．
(1)解：如解图1，过点D作DH⊥AB，∵∠ABD＝45°，∴ ，
∵在△ABC为等边三角形中，∠BAC＝60°，
∴ ，∴ ，∴ ，
又∵AB＝2 +2，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵M为BD的中点，∴ ；(2)如解图2，过点A作 ，垂足为G，连接MG，
∵△ABC为等边三角形，∴BG=GC，
∵BM=DM，∴ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴A、M、G、N四点共圆，∴ ，∴ ，
又∵MP=AM， ，∴ ，
又∵ ，∴ 为等边三角形， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，
∵BM=DM， ，∴ （SAS）∴AD=BP，
在 和 中， ，∴ （SAS）∴ ，∴ ；
(3)取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，
∵将△ABM沿AM翻折得△AB'M，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即： ，又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵BM=MD，BK=KQ，∴ ，又∵AB=BC，∴ ，∴ ，
∴ ，当M点与K点重合时， 取最小值，此时 取最小值，
∴D点与Q点重合，即D为AC的中点时， 取最小值，如解图3-2；设AD=a，
∵ 是等边三角形，D点是AC的中点，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解
三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线
构造适当的三角形转化线段和角的关系．
7．（2023·广西·九年级课时练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边 中，点 是边 上任意一点，连接 ，以 为边作等边 ，
连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰 中， ，点 是边 上任意一点，以 为腰作等腰 ，
使 ， ，连接 ，判断 和 的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形 中，点 是边 上一点，以 为边作正方形 ， 是正方
形 的中心，连接 ．若正方形 的边长为5， ，求正方形 的边长．
【答案】（1） ；（2） ；理由见解析；（3）4．
【分析】（1）利用 定理证明 ，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明 ，得到 ，再证明 ，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接 、 ，根据相似三角形的性质求出 ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）问题发现：∵ 和 都是等边三角形，
∴A ， ， ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，故答案为： ；（2）变式探究： ，
理由如下：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解决问题：连接 、 ，如图所示:
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∵ 是正方形 的中心，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得， （舍去）， ，∴正方形 的边长为： ．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的
应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
8．（2022·河南开封·九年级期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知
识后，在等腰△ABC中，其中 ，如图1，进行了如下操作：第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___ ；(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当 时，连接DG，请直接写出 ___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当
时，求AM的长．
【答案】(1)∠CAD=∠GAD；(2)①AD∥BC； ②3(3)9
【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；
（2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；
②易证 ，可得
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得 ，
即可用一线三等角模型构造相似解题．
(1)由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG∴∠CAD=∠GAD；
(2)①∵ ∴
∵∠CAD=∠GAD,
∴ ∴AD∥BC
②∵ ∴
∵ ∴∴ ∴ ∵ ∴
(3)以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图
由（1）（2）可得 , 设 则
∵点P为AB的中点∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴ ∴ ，解得 ∴ ．
【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图
的步骤判断是作角平分线．
9．（2022·山东济南·一模）在 中与 中， ，
，将 绕点 顺时针旋转，连接 ，点 分别是 的中点，连接
．（1）观察猜想：如图1，当点 与点 重合时， 与 的数量关系是__________，位置关系是
__________；
（2）类比探究：当点 与点 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证
明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在 旋转过程中，请直接写出 的面积的最大
值与最小值．
【答案】（1）CG= CF，CF⊥CG；（2）成立，CG= CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值 ，
最小值 ．
【分析】（1）观察猜想：由直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半再结合30°直角
三角形三边比即可证明；（2）类比探究：先证明 BCD∽△ACE，再证明 ACG∽△BCF，可得结论；
（3）问题解决：延长BC至H，使BC=CH=1，连接△DG，由三角形中位线定△理结合三角形面积公式可求
CFG的面积= ，求出DH最小值即可．
△
【详解】（1）观察猜想
∵在Rt ABC中与Rt DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC= ，
△ △
∴AE=2DC=2 ，AC= BC= ，AB=2BC，∠CDE=60°，∴BC=1，AB=2，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴CG= AE= ，CG=AG，CF= AB=1，CF=AF，
∴CG= CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，∴∠FCG=90°，∴CF⊥CG，
故答案为：CG= CF，CF⊥CG；
（2）类比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC= ，
∴∠BCD=∠ACE，AC= BC，CE= CD，∴ ，
∴△BCD∽△ACE，∴ ，∠CAE=∠CBD，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF= BD，AG= AE，
∴ ∴△ACG∽△BCF，∴ ，∠BCF=∠ACG，
∴CG= CF，∠ACB=∠FCG=90°，∴CF⊥CG；
（3）问题解决：如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH，
∵点F是BD中点，BC=CH=1∴CF= DH，由（2）可知，CF⊥CG，
∴△CFG的面积= ×CF×CG= CF2，∴△CFG的面积= ，
∴当DH取最大值时， CFG的面积有最大值，当DH取最小值时， CFG的面积有最小值，
△ △
∵CD= ，∴点D在以点C为圆心， 为半径的圆上，
∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为 +1，
∴△CFG的面积最大值= ，
∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小 -1，
∴△CFG的面积最小值= ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性
质，三角形面积公式，证明△ACG∽△BCF是本题的关键．10．（2022•莱芜区一模）在△ACB中，∠ACB＝120°，AC＝BC，点P在AB边上，AP＝ AB，将线段AP
绕点P顺时针旋转至PD，记旋转角为a，连接BD，以BD为底边，在线段BD的上方找一点E，使∠BED
＝120°，ED＝EB，连接AD、CE．
（1）如图1，当旋转角a＝180°时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系；
（2）当0＜a＜180°时，①如图2，（1）中线段CE与线段AD的数量关系是否还成立？并说明理由．
②如图3，当点A、D、E三点共线时，连接CD，判断四边形CDBE的形状，并说明理由．
【分析】（1）作EH⊥AB于H，利用含30°角的直角三角形的性质得BD＝ BE，再利用平行线分线段成
比例定理可得答案；（2）利用△ABD∽△CBE，可得 ；
（3）设 AE 与 BC 交于 F，作 PQ⊥AD 于 Q，BH⊥AD，交 AD 的延长线于 H，与（2）知，
△ABD∽△CBE，得∠BAD＝∠BCE，可证明CE∥BD，设EH＝x，则BE＝2x，BH＝ x，DE＝BE＝
2x，BD＝2 x，再利用平行线分线段成比例可得AD＝6x，从而证明CE＝BD，进而解决问题．
【解答】解：（1）AD＝ CE，理由如下：
∵∠BED＝∠ACB＝120°，∴DE∥AC，∴ ，∴ ，作EH⊥AB于H，∵BE＝DE，∠BED＝120°，∴∠B＝30°，BD＝2BH，
∴ ，∴BD＝ BE，∴ ，∴AD＝ CE；
（2）仍然成立，∵∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABD＝∠CBE，
由（1）知， ，∴△ABD∽△CBE，∴ ，∴AD＝ CE；
（3）四边形CDBE是平行四边形，理由如下：
设AE与BC交于F，作PQ⊥AD于Q，BH⊥AD，交AD的延长线于H，
与（2）知，△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CEF＝∠ABC＝30°，
∵∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠CED，∴CE∥BD，
∵∠BED＝120°，∴∠BEH＝60°，设EH＝x，则BE＝2x，BH＝ x，
∴DE＝BE＝2x，BD＝2 x，∵AP＝PD，PQ⊥AD，∴AQ＝DQ，
∵AP＝ AB，PQ∥BH，∴AQ＝ QH，∴AQ＝DQ＝DH＝3x，∴AD＝6x，
由（2）知，AD＝ CE，∴CE＝2 x，∴CE＝BD，∴四边形CDBE是平行四边形．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的
判定与性质，平行四边形的判定等知识，证明CE＝BD是解决问题（3）的关键．
11．（2022·江苏·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边 中，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接 ，以 为边作等边
，连接 ，则 与 的数量关系是______．(2)类比探究：如图2，在等边 中，点
M是 延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在等腰 中， ，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接
，以 为边作等腰 ，使顶角 ．连按 ．试探究 与 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1) (2) 成立(3)
【分析】（1）利用 可证明 ，继而得出结论；
（2）也可以通过证明 ，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出 ，从而判定 ，得到 ，根据 ，
，得到 ，从而判定 ，得出结论．
（1）证明： 、 是等边三角形，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ．
（2）解：结论 仍成立；
理由如下： 、 是等边三角形，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ．
（3）解： ；
理由如下： ， ，∴ ，又∵ ， ，∴ ， ，
又 ， ，
， ， ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的
关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．
12、（2023.湖北.九年级期末）如图1，在 中， ， ， ，点D，E分别为
， 的中点． 绕点C顺时针旋转，设旋转角为 （ ，记直线 与直线 的交点为
点P．
（1）如图1，当 时， 与 的数量关系为_________， 与 的位置关系为_______；
（2）当 时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理
由；（3） 绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线
距离的最大值．
【分析】（1）分别求出AD，BE的长，即可求解；
（2）通过证明△BCE∽△ACD，可得 ，∠CBO=∠CAD，可得结论；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求
P点到直线BC距离的最大值．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC= BC= ，AB=2BC=2，AD⊥BE，∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴AD=CD= AC= ，BE=EC= BC= ，∴AD= BE，故答案为：AD= BE，AD⊥BE；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵AC= ，BC=1，CD= ，EC= ，
∴ ， ，∴ ，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，
∴ ，∠CBO=∠CAD，∴AD= BE，
∵∠CBO+∠BOC=90°，∴∠CAD+∠AOP=90°，∴∠APO=90°，∴BE⊥AD；
（3）∵∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的
距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，∴CE⊥BE，∵sin∠EBC= ，∴∠EBC=30°，∴∠GBP=30°，
∵GB=GP，∴∠GBP=∠GPB=30°，∴∠BGP=120°，∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，∴P点运动轨迹的长度= ，
∵∠ABP=30°，BP⊥AP，∴AP= AB=1，BP= AP= ，
∵∠CBP=30°，PH⊥BH，∴PH= BP= ．∴P点到直线BC距离的最大值 ．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，
确定点P的运动轨迹是本题的关键．
13、（2023.广东.九年级期末）尝试：如图①， 中，将 绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到
，点B、C的对应点分别为 、 ，连接 、 ，直接写出图中的一对相似三角形_______；
拓展：如图②，在 中， ， ，将 绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到
，点B、C的对应点分别为 、 ，连接 、 ，若 ，求 的长；应用：如图③，在
中， ， ， ，将 绕点A按逆时针方向旋转一周，在旋转过程
中，当点B的对应点 恰好落在 的边所在的直线上时，直接写出此时点C的运动路径长．
【详解】尝试： ；
【解法提示】∵ ，∴ ， ， ，∴ ，
，∴ .
拓展：∵在 中， ， ，∴ ，
∴ ，易得 ，∴ .
又∵ ，∴ .应用： 或 或 或 或 .
【解法提示】在 中， ， ，∴ ， ，当点 落在 所在直线上
时，有两种情况：①若点 在 延长线上时，如解图①， ，∴弧 ；
②若点 在 的延长线上时，如解图②，此时点 ， ， 三点共线，∴旋转角 ，
∴弧 ；
当点 落在边 所在直线上时，如解图③， ，∴弧 ；
当点 落在边 所在直线上时，如解图④，此时点 ， ， 三点共线，旋转角为 ，
∴弧 .
当点 与点 重合时，点 旋转一周，∴弧 .
∴当点 的对应点 恰好落在 的边所在直线上时，点 的运动路径长为 或 或 或 或 .
图① 图② 图③ 图④
14、（2023.浙江.九年级期中）问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；
尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相
交于点 ．点 在 边上， ，求 的值；
拓展创新：如图（3）， 是 内一点， ， ， ， ，
直接写出 的长．【分析】问题背景：通过 得到 ， ，再找到相等的角，从而可证
；
尝试应用：连接CE，通过 可以证得 ，得到 ，然后去证
， ，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过 ，
，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵ ，∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴ ；
尝试应用：连接CE，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，∴ ，由于 ， ，
∴ ，即 ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，又∵ ∴ ，∴ ；拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ，∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，∴ ，∴ ，
又∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴ ，∴ ，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴
【点拨】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键
15、（2023.山东.九年级期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线
上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【分析】
（1）由正方形的性质得 ，进而根据对顶角的性质得 ，再结合公共角，根
据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得 ，再证明其夹角相等，便可证明 ；
（3）由已知条件求得正方形 的边长，进而由勾股定理求得 的长度，再由 ，求得
，进而求得正方形 的对角线长，便可求得其边长．
【详解】
解：（1） 四边形 是正方形，四边形 是正方形， ，
， ，
， ；
（2） 四边形 是正方形， ， ，
，同理可得 ， ，
， ， ；
（3） ， ， ，
，
， ，即 ， ，
， ，
即正方形 的边长为 ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证
明方法和正方形性质．
16．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边
AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为 ；②直线CF与DG所夹锐角
的度数为 ．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，
（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是
等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接
OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）．【分析】（1）连接AF，由正方形的性质可得点A、F、C三点共线，AC＝ ，AF＝ AG，从而得
出答案；（2）连接AF，AC，利用△CAF∽△DAG，得CF＝ DG，∠ACF＝∠ADG，从而解决问题；
（3）连接CE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE＝45°，则∠DCE＝90°，可知当OE⊥CE
时，OE最小，再利用等腰直角三角形的性质求出答案．
【解答】解：（1）连接AF，
∵四边形AEFG、ABCD是正方形，∴∠GAF＝45°，
∴点A、F、C三点共线，∴AC＝ ，AF＝ AG，
∴CF＝ GD，故答案为：CF＝ GD，45°；
（2）仍然成立，连接AF，AC，
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAC， ，
∴△CAF∽△DAG，∴CF＝ DG，∠ACF＝∠ADG，
∴∠COD＝∠CAD＝45°，∴（1）中的结论仍然成立；（3）连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠DCE＝90°，∴当OE⊥CE时，OE最小，
∵AC＝10，O为AC的中点．∴OC＝5，
∵∠OCE＝45°，∴OE＝ OC＝ ，故答案为： ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与
性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转型相似是解题的关键．
17、（2023.重庆.九年级期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边 中，点 是边 上任意一点，连接 ，以 为边作等边 ，
连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰 中， ，点 是边 上任意一点，以 为腰作等腰 ，
使 ， ，连接 ，判断 和 的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形 中，点 是边 上一点，以 为边作正方形 ， 是正方
形 的中心，连接 ．若正方形 的边长为5， ，求正方形 的边长．
【分析】（1）利用 定理证明 ，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明 ，得到 ，再证明 ，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接 、 ，根据相似三角形的性质求出 ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）问题发现：∵ 和 都是等边三角形，
∴A ， ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ；
（2）变式探究： ，理由如下：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解决问题：连接 、 ，如图所示:
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∵ 是正方形 的中心，∴ ， ，
∴ ，即 ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
设 ，则 ，在 中， ，即 ，
解得， （舍去）， ，∴正方形 的边长为： ．
【点拨】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的
应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
18．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，点 在边 上，
，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧
作等腰直角三角形 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系．
(2)当 时．①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，成立，理由见解析；②四边形 是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据题意得 ，进而可得 ，得出 ，由
，推出 ，即可得出答案；（2）①由 是等腰直角三角形， ，
，可得 ，推出 仍然成立；②如图3，过点 作 于点 ，由旋转
得： ，进而得出 ，推出 ，再由，推出 ，可得 ，利用平行四边形的判定即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
当 时，点 在线段 上， ， ， ，
是等腰直角三角形， ，
， ， ， ，
， ， ，即 ，
；∴ ．
（2）① 仍然成立 理由如下：如图2，
是等腰直角三角形， ， ，
在 中， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， 仍然成立．
②四边形 是平行四边形．理由如下：如图3，过点 作 于点 ，由旋转得： ， ， ，
， ，
， ， ， ，
， ，由①知， ，
， ， ，
， ，
， ， ，
， 四边形 是平行四边形．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四
边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
