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第 02 讲 从统计图分析数据的集中趋势、数据的离散程度(6 类热点题
型讲练)
1.掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点，能读取各种统计图中的信息，通过信息计算平
均数、中位数、众数；
2.掌握描述一组数据集中趋势的方法，能用统计知识解决实际问题；
3.理解极差、方差、标准差的概念、意义并掌握其计算方法；会计算一-组数据的方差；
4.能利用极差、方差、标准差分析数据，做出决策.
知识点01 从统计图中获取信息（数据的集中趋势）
从折线统计图中读取 从条形统计图中读取 从扇形统计图中读取
众数 同一水平线上出现次 最高的直条所对的横轴 所占比例最大部分对应数就
数最多的数据 上的数就是众数 是众数
中位数 从左到右处于中间点 从左到右处于中间点所 按从小到大顺序计算所占百
所对应的数 对应的数 分比之和，找到50%和51%
对应部分的平均数就是中位
数
平均数 从统计图中读出各类 从统计图中读出各类数 从统计图中读出各类数据，
数据，按平均数的计 据，按平均数的计算公 按平均数的计算公式计算即
算公式计算即可 式计算即可 可
知识点02 极差、方差、标准差1）极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大.
x ,x ,⋯,x , x
2）方差： 在一组数据 1 2 n 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
s2 n 1 2 n
方差.通常用“ ”表示，即
结论：若数据a ，a ，……a 的方差是s2，则数据a+b，a+b，……a+b的方差仍然是s2，数据ka+b，
1 2 n 1 2 n 1
ka+b，……ka+b的方差是k2s2.
2 n
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定.
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
√1
s= √s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性.
题型01 从统计图分析数据的集中趋势
例题：（2023秋·广西贵港·七年级校考期末）某校进行安全知识测试，测试成绩分 ， ， ， 四个等
级，依次记为 分， 分， 分， 分，学校随机抽取 名女生和 名男生的成绩分男女两个小组进行整
理，得到如下信息：
某校被抽取的男、女生成绩分布统计图
男、女生样本成绩的统计量信息如下：
平均
统计量 中位数 众数
数
女生
男生(1) ________， ________， ________．
(2)该校有 名学生， 等级为优成绩秀，估计全校安全知识测试为优秀的有多少人？
(3)根据上面表格中的三组统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【答案】(1)
(2)全校安全知识测试成绩优秀的有 人．
(3)男生，理由见解析．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义逐项求解即可．
（2）可先求得样本中安全知识测试为优秀的比例，用该比例作为全校安全知识测试为优秀的比例．
（3）样本成绩的平均数、中位数和众数越大，成绩越好．
【详解】（1）女生样本成绩的平均数为： ．
男生样本成绩共有 个，为偶数，按从小到大的顺序排列，中间的两个数分别是 ， ，故男生样本成绩
的中位数为 ．
女生样本成绩的众数为 ．
故答案为：
（2） (人)
答：全校安全知识测试成绩优秀的有 人．
（3）男生的成绩较好，理由如下：
男生的成绩的平均数比女生的高，男生成绩的中位数、众数也比女生的高，所以男生的成绩较好．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数和众数，牢记平均数、中位数和众数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）某学校在全校范围内开展了数字中国建设相关知识竞赛，从中随机抽
取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理：
①男生竞赛成绩用x（分）表示．共分成四组，制成如下的扇形统计图：
A： ，B： ，C： ，D： ；
②男生在C组的数据的个数为5个；
③20名女生的竞赛成绩为：44，46，50，50，48，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，
50，46，50，50；
④男生、女生各20名同学的竞赛成绩分析如表：
性别 平均数 中位数 众数 满分率
男生 48.05 48.5 a 45%
女生 48.45 b 50 50%根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
(3)若该校有300名男生和320名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
【答案】(1)50，49.5，15
(2)女生的竞赛成绩更好，见解析
(3)295人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求a和b，求出女生C组的百分比即可得m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数和满分率的意义即可求解；
（3）用满分率乘总人数即可求解．
【详解】（1）解：因为男生的满分率为45%，所以众数 ；
把20名女生的竞赛成绩从小到大排列为：44，45，46，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，
50，50，50，50，50，50，排在中间的两个数是49、50，故中位数 ，
，
故 ．
故答案为：50，49.5，15；
（2）解：女生的竞赛成绩更好，理由如下：
因为女生的平均数，中位数和满分率都比男生的高，
所以女生的竞赛成绩更好；
（3）解：
（人），
答：估计该校竞赛成绩为满分的人数约295人．
【点睛】本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是
解题的关键．
2．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）工商局质检员从某公司9月份生产的A、B型扫地机器人
中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格 ，良好 ，优秀 ），下面给
出了部分信息：
台A型扫地机器人的除尘量：
台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：
抽取的 型扫地机器人除尘量统计表 抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
中位 “优秀”等级所占百
型号 平均数 方差
数 分比
A a b
B
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)某月该公司生产A型扫地机器人共1200台，估计该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数；
(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由
即可）．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)A型号扫地机器人扫地质量更好，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据 型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和
“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以 型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数的角度进行分析判断．
【详解】（1）解：在 中，位于中间位置的两个数为 ，
故中位数为 ，
∴中位数 ，
A型扫地机器人“优秀”等级的有4台，故“优秀”等级所占百分比为 ；
台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占 ，“优秀”等级所占百分比为 ，
∴“合格”等级占 ，即 ；故答案为： ；
（2）解：该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数 （台）；
（3）解：A型号扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号扫地机器人除
尘量“优秀”等级所占百分比大于B型号扫地机器人“优秀”等级所占百分比（理由不唯一）．
【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信
息是解题的关键．
题型02 求方差
例题：（2023秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）甲进行了7次射击训练，命中的环数如下：7，9，8，
7，10，7，8．则他7次射击命中的环数的方差 ．
【答案】
【分析】先计算射击成绩的平均数，再利用方差公式进行计算即可．
【详解】解：平均数为： ，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查方差的计算：一般地设n个数据， ， ，… 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江金华·九年级校联考开学考试）已知一组数据 ， ， ， 的方差 ，则 ，
， 的方差为 ．
【答案】28
【分析】由数据 ， ， ， 的方差 ，知 ，平均数
，据此可得 ， ， 的平均数为
，方差为，进一步化简可得答案．
【详解】解： 数据 ， ， ， 的方差 ，
，
平均数 ，
， ， 的平均数为 ，
方差为
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．
2．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击
10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，回答下列问题：
(1)甲的平均数是 ，
(2)乙的中位数是 ．
(3)分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
【答案】(1)8
(2)
(3)甲的方差为 ，乙的方差为 ，乙更稳定
【分析】（1）根据平均数的定义解答即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；（3）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越
大，即波动越大，数据越不稳定解答．
【详解】（1）解：甲的平均数 ，
故答案为：8；
（2）解：乙的十次射击成绩按从小到大顺序排列为7，7，7，7，7，8，9，9，9，10，中位数是
；
故答案为： ；
（3）解： ；
，
；
∴
∴乙运动员的射击成绩更稳定．
【点睛】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集
中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
题型03 利用方差求未知数据的值
例题：（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）若一组数据2，3，x的方差与另一组数
据12，13，14的方差相等，则x的值为 ．
【答案】1或4/4或1
【分析】根据方差的性质，当一组数据同时加减一个数时方差不变，进而得出答案．
【详解】解：∵一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4或1，2，3，
∴ 或4，
故答案为1或4．
【点睛】本题考查的是方差，正确记忆方差的有关性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）若一组数据 ， ，…， 的平均数为17，方
差为3，则另一组数据 ， ，… 的平均数是 ，方差是 .
【答案】 34 12
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：34，12．
【点睛】本题考查了方差与平均数，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
2．（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）已知一组数据： 、 、 ，小明用
计算这一组数据的方差，那么 .
【答案】
【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
【详解】解：由 ，可知这 个数据的平均数为 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数．
题型04 根据方差判断稳定性或做决策
例题：（2023春·吉林长春·八年级校考期末）某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化
直讲活动，为了解宜讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取20名学生进行问卷测试（满分：10分，
测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级抽取的20名学生测试成绩条形统计图
八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，
5，10，8．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 8 8 2.1
九年级 8 2.7
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上表中 ， ， ；
(2)并根据以上数据，你认为该校八、九年级中 年级的测试成绩较稳定；（填写“八”或“九”）
(3)该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有多少
人？
【答案】(1)9，8，8.5
(2)八
(3)850人
【分析】（1）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数、方差进行比较即可得出结论；
（3）根据总人数乘以百分比即可得出答案．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，九年级学生中9分人数出现次数最多，
九年级学生成绩的众数为 ，
将八年级学生成绩按从小到大顺序排列，位于中间位置的两个数为8，8，
八年级学生成绩的中位数为 ，
将九年级学生成绩按从小到大顺序排列，位于中间位置的两个数为8，9，
九年级学生成绩的中位数为 ，
故答案为：9，8，8.5；
（2）解：八年级成绩较好，
理由如下：
九年级学生成绩的平均数等于八年级学生成绩的平均数，且九年级学生成绩的方差大于八年级学生成绩
的方差，
八年级学生成绩较稳定，
故答案为：八；
（3）解：根据题意得：
抽出学生中，九年级学生成绩在9分及以上的学生有10人，八年级学生成绩在9分及以上的学生有7人，
此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有： （人），
估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有850人．
【点睛】本题考查了中位数、众数、由方差判断稳定性、由样本估计总体，熟练掌握中位数及众数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）石家庄赞皇某大枣育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种
各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量进行整理分析．下面给出了相应数据（单位：
（千克）：
甲品种：20，32，31，32，31，25，32，36，38，39；
乙品种：如图所示．
中位
平均数 众数 方差
数
甲品
32 b
种
乙品
a 35
种
(1)a=________；b=________；
(2)若乙品种共种植500棵，估计其产量不低于 千克的棵数；
(3)请选择一个合适的角度，说明哪个品种更好．
【答案】(1)33；32
(2)300
(3)乙品种的产量稳定，即乙品种更好
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出；
（2）用500乘以产量不低于 千克的百分比即可；
（3）根据方差的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：把乙品种的产量从小到大排列：25，27， 27，30，32，34， 35，35，35，36；
所以中位数 ，
甲品种的产量32千克的最多有3棵，所以众数为32；故答案为：33，32；
（2）解：由折线统计图可得产量不低于 千克的乙品种有6棵，
∴ （棵），即其产量不低于31.6千克的约有300棵；
（3）解：∵甲、乙品种的平均数相同，说明它们的产量相当，甲品种的方差为 ，乙品种的方差为
，
∴ ，
∴乙品种的产量稳定，即乙品种更好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方
法是正确求解的前提．
2．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考开学考试）学校有甲、乙两队跳远运动员（每队人数相
同），两队开展了为期一个月的跳远强化训练．在强化训练后，王老师将这两队运动员的跳远成绩（均为
正整数）制作成如图所示的统计图及不完整的统计表（单位：分）
乙队运动员的成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数/人 1 3 5 3
(1)将下表（单位：分）补充完整
平均数 众数 中位数
甲队 （______） 8 （_____）．
乙队 8.3 （______） 8
(2)经计算，训练后甲队成绩的方差为1.15，乙队成绩的方差为1.11，综合考虑，王老师很有可能选择哪个
队代表学校参加市里比赛？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)王老师很有可能会选择甲队作为学校代表参加市里比赛，理由见解析
【分析】（1）先求出甲队的人数，然后根据甲乙两队的人数相同即可求出m的值；根据加权平均数公式，中位数、众数概念求解即可；
（2）比较两队的方差，平均数，中位数，众数，即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，甲队的人数为 人，
∵甲乙两队人数相同，
∴乙队的人数为20人，
∴
甲队的平均数为： (分)，
∵甲队的成绩按从小到大排列，第10，11个成绩是8和9，
∴甲队的中位数是 ，
∵乙队成绩为8分的人数为7，人数最多，
∴乙队的众数是8，
故填表如下：
平均数 众数 中位数
甲队 8.5 8 8.5
乙队 8.3 8 8
（2）解：王老师很有可能会选择甲队作为学校代表参加市里比赛；
理由：甲、乙两队的方差相差不大，说明两队成绩整齐程度不相上下，但甲队的平均成绩较高，且甲队10
分有4人，9分有6人，均比乙队多，
∴王老师很有可能会选择甲队作为学校代表参加市里比赛．
【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，熟练掌握中位数、众数、平均数的的意义和计算方法骒解题的
关键．
题型05 求极差、标准差
例题：（2023·山东青岛·统考中考真题）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：
分）如下：7，8，7，9，8， ．这六个分数的极差是 分．
【答案】3
【分析】根据极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差直接判断即可得到答案；
【详解】解：由数据得，
极差为： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差，理解极差的定义是解题关
键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知一组数据 ， ，1，3，6，x的中位数为1，则极差为
，方差为 ．【答案】 9 9
【分析】根据中位数的定义求得 ，再根据方差和极差的定义进行求解即可．
【详解】解：由这组数据的中位数为1，可得： ，
∴这组数据中最大数为6，最小数为 ，
∴这组数据的极差为： ，
∵这组数据的平均数为： ，
∵方差为： ，
故答案为：9；9．
【点睛】本题考查中位数的定义、方差和极差，熟练掌握中位数的定义、方差和极差的定义是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知数据2，5，1， ，3的平均数为3，则这组数据的标准差为
．
【答案】
【分析】根据平均数的计算公式求出x的值，根据方差的计算公式求出方差，根据标准差即方差的算术平
方根得到答案．
【详解】解：∵2，5，1，x,3的平均数是3，
∴
解得
这组数据的方差是
则这组数据的标准差是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求标准差，先求 的值是解题的关键．
3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）已知5个正数 的标准差为2，则另一组数据
的方差为 ．
【答案】36
【分析】根据标准差求出5个正数 的方差，再根据数据经过 变形后的方差是原来数据
的方差的 倍，进行求解即可．
【详解】解：∵5个正数 的标准差为2，
∴5个正数 的方差为： ，
∴另一组数据 的方差为： ；
故答案为： ．【点睛】本题考查方差．熟练掌握标准差是方差的算术平方根，以及一组数据经过 变形后的方差是
原来数据的方差的 倍，是解题的关键．
题型06 已知极差求未知数据
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若五个数据2， ，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
【答案】7或
【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，
可求解．
【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，
若x是最大值，则 ，∴ ，
若x是最小值，则 ，∴ ，
则x的值为7或 ，
故答案为：7或 ．
【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）如果有一组数据-2，0，1，3， 的极差是6，那么 的值是 ．
【答案】4或-3/-3或4
【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．
【详解】解：∵3-（-2）=5，一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，
∴当x为最大值时，x-（-2）=6，解得x=4；
当x是最小值时，3-x=6，解得：x=-3．
故答案为：4或-3．
【点睛】此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题
的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）若一组数据5， ，2，x， 的极差为13，则x的值为 ．
【答案】9或-8/-8或9
【分析】根据极差的定义分两种情况进行讨论，当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-
x=13，再进行计算即可．
【详解】解：∵5，−4，2，x，−1的极差为13，
∴当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13，
解得x=9或x=-8，
故答案为：9或-8．
【点睛】本题考查了极差，解题的关键是分情况讨论x．一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）数据2，5，4， ， 的极差是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】一组数据中最大值与最小值的差即为极差，据此解答.
【详解】解：数据2，5，4， ， 的极差是 ；
故选：C.
【点睛】本题考查了极差的概念，熟知一组数据中最大值与最小值的差叫做极差是关键.
2．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）体育课上，体育老师随机抽取了某班10名男生的引体向上成绩，
将这组数据整理后制成如下统计表（ ）
成绩
9 8 6 5
（次）
人数
2 3 3 2
（名）
A．这组数据的众数是8 B．这组数据的中位数是8
C．这组数据的平均数是7 D．这组数据的极差是6
【答案】C
【分析】根据众数、中位数、平均数和极差的定义进行计算．
【详解】解：引体向上成绩出现最多的是8次和6次，故众数为8和6，故A选项错误，不符合题意，
将这组数据从小到大排列为：5、5、6、6、6、8、8、8、9、9，
∴中位数为 ，故B选项错误，不符合题意；
这组数据的平均数是 ，故C选项正确，符合题意，
D、∵这组数据的最大值为9，最小值为5，
∴这组数据的极差是 ，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了极差、众数、平均数和中位数的计算，众数一组数据中出现次数最多的数值，众数可以有多个；中位数是按大小排序以后排在中间的数或中间两个数据的平均数；熟练掌握众数、平均数、极
差和中位数的定义是解题关键．
3．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考开学考试）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学
生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一
周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟）并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每
天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．
方差为32
【答案】B
【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、 中位数和方差进行判断即可，平均数的计算方法是：一组
数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数：是按顺序
排列的一组数据中居于中间位置的数．
【详解】解：根据折线图小亮每天校外锻炼时间为： ，
A、平均数是 分钟，故该选项错误；
B、这组数的众数是67分钟，故该选项正确；
C、将这组数由小到大排列为： ，中位数是70，，故该选项错误；
D、方差为 ，
故该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、
中位数和方差的计算方法是关键．
4．（2023春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，数据 ，
， 的方差是（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
【答案】D【分析】根据方差的定义即可进行解答．
【详解】解：∵数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，
∴ ， ，
∴数据 ， ， 的平均数为4，方差为3的平均数为：
，
，
∴数据 ， ， 的方差是：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．
即如果一组数据 ， ，…， 的方差是 ，那么另一组数据 ， ，…， 的方差是 ．
5．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）现有A、B两组数据：数据A：1，2，3；数据B：2021，
2022，2023；若甲数据的方差为a，乙数据的方差为b，则说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：数据 的平均数为 ，
∴ ；
数据 的平均数为 ，∴ ；
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查求方差，熟练掌握方差的公式是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·云南红河·八年级统考期末）已知一组数据为4，5，7，8，则这组数据的方差 ．
【答案】2.5
【分析】利用方差公式进行求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数为 ，
∴ ，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准
差是 ．
【答案】
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，根据方差的公式计算出方差，再计算标准差．
【详解】解：由题意得：
解得：
方差
∴标准差
故答案为： ．
【点睛】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）乒乓球的标准直径为 ，质监部门分别抽取了 、 两厂生产的
乒乓球各 只，对其直径进行检测，将所得的数据绘制如图．则抽取的 、 两厂生产的乒乓球直径的方
差大小关系是： (填 或 或 )．【答案】
【分析】一组数据的波动越大，对应的方差越大，波动越小，对应的方差越小，据此可得答案．
【详解】解：∵由图可知， 厂的数据波动程度比 厂的数据波动的程度小，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方差，掌握方差的值越小则数据波动程度越小是关键．
9．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）如果一组数据 ， ， ， 的方差是7，那么一组新数据
， ， ， 的方差是 ．
【答案】28
【分析】设已知数据的平均数为 ，根据数据的方差列出关系式，进而求出新数据的平均数，得出方差即
可．
【详解】解：∵一组数据 ， ， ， 的方差是7，平均数为 ，
∴ ，
∵ ， ， ， 的平均数为 ，
∴
，
故答案为：28．
【点睛】此题考查了方差，以及平均数，熟练掌握各自的算法是解本题的关键．
10．（2023春·山西临汾·八年级校考期末）已知数据 ， ， 的平均数是5，方差是2．则数据 ，
， 的平均数是 ．
【答案】7
【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据 ， ， 的平均数是 ，再进行计
算即可．
【详解】解：∵数据 ， ， 的平均数是5，
∴数据 ， ， 的平均数是 ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查平均数的计算公式的运用：一般地设有n个数据， ， ，… ，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．
三、解答题
11．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）某学校招募志愿者，甲、乙两班各报名20名同学．现对这
40名同学进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，把他们的成绩制成不完整
的统计图．
(1)请补充完整条形统计图；
(2)若按成绩的高低，分别从甲、乙两班各招募10名志愿者，甲班的佳佳和乙班的音音均得7分，说明他们
两人能否被录取；
(3)说明哪个班整体测评成绩较好．
【答案】(1)见解析
(2)佳佳不能被录取；音音可以被录取
(3)甲班
【分析】（1）求出甲班成绩为8分的人数，即补充完整条形统计图；
（2）分别求出两个班成绩的中位数，即可求解；
（3）分别求出两个班成绩的方差，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：甲班成绩为8分的人数为 人，
补全条形统计图，如下：
（2）解：根据题意得：甲班成绩的中位数为 ，
乙班成绩的中位数为 ，
∵ ， ，∴佳佳不能被录取；音音可以被录取；
（3）解= ，
= ，
乙
∵ ，
∴甲班成绩较好．
【点睛】本题主要考查了条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；中位数，方差，利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
12．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别
如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
中位数
平均成绩 环 众数 环 方差
环
甲 7
乙 7 8
(1) ， ， ．
(2)填空：（填“甲”或“乙”）．
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ．
(3)从甲、乙两名队员中选一名成绩相对稳定的队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】(1)7， ，7
(2)乙，乙
(3)选甲更合适，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义求解；
（2）利用中位数、众数做决策；
（3）利用方差做决策．【详解】（1）解：甲的平均成绩 ，
甲的成绩中7出现的次数最多，因此众数 ，
由折线图知，乙的成绩从低到高排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
10个数中第五个数为7，第六个数为8，因此中位数 ，
故答案为：7， ，7；
（2）解：从表格数据可知，乙成绩的中位数、众数都比甲高，
因此：从中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；从众数的角度来比较，成绩较好的是乙．
故答案为：乙，乙；
（3）解：选甲更合适，因为甲成绩的方差小于乙成绩的方差，波动性较小，成绩相对稳定．
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、中位数、众数、平均数、方差等，解题的关键是掌握相关统
计量的定义及意义．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生
和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：
140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
中位
性别 平均数 众数
数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图；
(2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估
计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．【答案】(1)20，162，频数分布直方图见解析
(2)见解析
(3)570人
【分析】（1）利用扇形统计图可得 的值；利用频数分布直方图，结合条件 可得 的值；利用总人数可
补全频数分布直方图；
（2）利用相关统计数据可作出决策；
（3）利用样本估计总体可求解．
【详解】（1）解： ，
故 ，
，
故补全的频数分布直方图如下：
结合条件 可知，男生的中位数为： ；
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳
成绩更好；
（3）解： （人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
【点睛】本题考查频数分布直方图和扇形统计图关联．掌握各类统计数据的意义，并能根据相应的统计数
据作出决策是解题关键．
14．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）张老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，进
行了一次数学测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给
出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下：（数据
分成5组： ， ， ， ， ）②A、B两班学生测试成绩在 这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：
平均数 中位数 方差
A班 80.6 m 96.3
B班 80.8 n 153.3
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全数学成绩频数分布直方图．
(2)直接写出表中m，n的值．
(3)请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)见解析
【分析】（1）由“两个班的人数相同”即可补全数学成绩频数分布直方图；
（2）由（1）可知，A、B两班学生人数均为40人．故A班的中位数为“80、82”的平均数；B班的中位数
为“85、85”的平均数．即可求解；
（3）可以从平均数、中位数、方差三个方面进行分析．
【详解】（1）解：∵
∴补全数学成绩频数分布直方图如图所示．（2）解：由（1）可知，A、B两班学生人数均为40人．
将成绩按照从小到大的顺序排列后，中位数是第20、21位同学成绩的平均数
故： ，
（3）解：从平均分来看，A、B两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多；从方差看，
A班方差小，学生成绩差距小，B班方差大，学生成绩差距大！（合理即可）
【点睛】本题考查了统计的相关知识．掌握频数分布直方图及各统计数据的意义是解题关键．
15．（2023春·重庆丰都·八年级统考期末）近些年来，我国航天事业飞速发展．今年5月30日，搭载神舟
十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，神舟十六号航天员乘组由
景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让广大人民尤其是青少年
学到了很多科学知识，激发了更多人的航天梦．为普及科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为
了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况，现从两个年级各随机抽
取20名学生的成绩（百分制）进行分析．过程如下：
【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，67，70，69，75，73，75，75，80，78，77，90，81，
84，86，88，94，98；
八年级20名学生成绩在 的分数：83，85，87，81，80，84，82；
【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据：年级
七年级 5 a 5 3
八年级 3 6 7 4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 76.6 76 b 131
八年级 76.6 c 78 124
(1)直接写出a、b、c的值；
(2)根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？
【得出结论】
(3)通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合
理性（写出一条理由即可）．
【答案】(1)7，75，80.5
(2)680
(3)八年级，理由见解析
【分析】（1）根据七年级的成绩和中位数，众数的定义即可求得；
（2）将七八年级的总人数乘以抽取学生的优秀率即可；
（3）综合比较中位数，众数，方差，进行说明即可．
【详解】（1）解：根据七年级20名学生成绩，分数段在 的有7人，即 ；
七年级20名学生成绩中，75分的有3人，人数最多，故 ；
根据八年级分数段可得，中位数在 分数段中，将 分数段中的分数按照从小到大排列为
80，81，82，83，84，85，87，故八年级的中位数是 ；
故a、b、c的值分别为：7，75，80.5．
（2）解：七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀人数为： 人；
故根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有680人．
（3）八年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，∵八年级的中位数和众数都高于七年级，且方差小
于七年级的方差，说明八年级的成绩更加稳定一些．
【点睛】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体，选择合适的统计量进行判断等，熟练掌握中位数，
众数的定义是解题的关键．
