文档内容
第 02 讲 从统计图分析数据的集中趋势、数据的离散程度(6 类热点题
型讲练)
1.掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点，能读取各种统计图中的信息，通过信息计算平
均数、中位数、众数；
2.掌握描述一组数据集中趋势的方法，能用统计知识解决实际问题；
3.理解极差、方差、标准差的概念、意义并掌握其计算方法；会计算一-组数据的方差；
4.能利用极差、方差、标准差分析数据，做出决策.
知识点01 从统计图中获取信息（数据的集中趋势）
从折线统计图中读取 从条形统计图中读取 从扇形统计图中读取
众数 同一水平线上出现次 最高的直条所对的横轴 所占比例最大部分对应数就
数最多的数据 上的数就是众数 是众数
中位数 从左到右处于中间点 从左到右处于中间点所 按从小到大顺序计算所占百
所对应的数 对应的数 分比之和，找到50%和51%
对应部分的平均数就是中位
数
平均数 从统计图中读出各类 从统计图中读出各类数 从统计图中读出各类数据，
数据，按平均数的计 据，按平均数的计算公 按平均数的计算公式计算即
算公式计算即可 式计算即可 可
知识点02 极差、方差、标准差1）极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大.
x ,x ,⋯,x , x
2）方差： 在一组数据 1 2 n 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
s2 n 1 2 n
方差.通常用“ ”表示，即
结论：若数据a ，a ，……a 的方差是s2，则数据a+b，a+b，……a+b的方差仍然是s2，数据ka+b，
1 2 n 1 2 n 1
ka+b，……ka+b的方差是k2s2.
2 n
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定.
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
√1
s= √s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性.
题型01 从统计图分析数据的集中趋势
例题：（2023秋·广西贵港·七年级校考期末）某校进行安全知识测试，测试成绩分 ， ， ， 四个等
级，依次记为 分， 分， 分， 分，学校随机抽取 名女生和 名男生的成绩分男女两个小组进行整
理，得到如下信息：
某校被抽取的男、女生成绩分布统计图
男、女生样本成绩的统计量信息如下：
平均
统计量 中位数 众数
数
女生
男生(1) ________， ________， ________．
(2)该校有 名学生， 等级为优成绩秀，估计全校安全知识测试为优秀的有多少人？
(3)根据上面表格中的三组统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【变式训练】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）某学校在全校范围内开展了数字中国建设相关知识竞赛，从中随机抽
取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理：
①男生竞赛成绩用x（分）表示．共分成四组，制成如下的扇形统计图：
A： ，B： ，C： ，D： ；
②男生在C组的数据的个数为5个；
③20名女生的竞赛成绩为：44，46，50，50，48，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，
50，46，50，50；
④男生、女生各20名同学的竞赛成绩分析如表：
性别 平均数 中位数 众数 满分率
男生 48.05 48.5 a 45%
女生 48.45 b 50 50%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
(3)若该校有300名男生和320名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
2．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）工商局质检员从某公司9月份生产的A、B型扫地机器人
中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格 ，良好 ，优秀 ），下面给
出了部分信息：
台A型扫地机器人的除尘量：
台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：
抽取的 型扫地机器人除尘量统计表 抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
中位 “优秀”等级所占百
型号 平均数 方差
数 分比
A a b
B
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)某月该公司生产A型扫地机器人共1200台，估计该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数；
(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由
即可）．
题型02 求方差
例题：（2023秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）甲进行了7次射击训练，命中的环数如下：7，9，8，
7，10，7，8．则他7次射击命中的环数的方差 ．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江金华·九年级校联考开学考试）已知一组数据 ， ， ， 的方差 ，则 ，
， 的方差为 ．
2．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击
10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，回答下列问题：(1)甲的平均数是 ，
(2)乙的中位数是 ．
(3)分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
题型03 利用方差求未知数据的值
例题：（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）若一组数据2，3，x的方差与另一组数
据12，13，14的方差相等，则x的值为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）若一组数据 ， ，…， 的平均数为17，方
差为3，则另一组数据 ， ，… 的平均数是 ，方差是 .
2．（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）已知一组数据： 、 、 ，小明用
计算这一组数据的方差，那么 .
题型04 根据方差判断稳定性或做决策
例题：（2023春·吉林长春·八年级校考期末）某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化
直讲活动，为了解宜讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取20名学生进行问卷测试（满分：10分，
测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级抽取的20名学生测试成绩条形统计图八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，
5，10，8．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 8 8 2.1
九年级 8 2.7
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上表中 ， ， ；
(2)并根据以上数据，你认为该校八、九年级中 年级的测试成绩较稳定；（填写“八”或“九”）
(3)该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有多少
人？
【变式训练】
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）石家庄赞皇某大枣育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种
各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量进行整理分析．下面给出了相应数据（单位：
（千克）：
甲品种：20，32，31，32，31，25，32，36，38，39；
乙品种：如图所示．
中位
平均数 众数 方差
数
甲品
32 b
种
乙品
a 35
种
(1)a=________；b=________；(2)若乙品种共种植500棵，估计其产量不低于 千克的棵数；
(3)请选择一个合适的角度，说明哪个品种更好．
2．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考开学考试）学校有甲、乙两队跳远运动员（每队人数相
同），两队开展了为期一个月的跳远强化训练．在强化训练后，王老师将这两队运动员的跳远成绩（均为
正整数）制作成如图所示的统计图及不完整的统计表（单位：分）
乙队运动员的成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数/人 1 3 5 3
(1)将下表（单位：分）补充完整
平均数 众数 中位数
甲队 （______） 8 （_____）．
乙队 8.3 （______） 8
(2)经计算，训练后甲队成绩的方差为1.15，乙队成绩的方差为1.11，综合考虑，王老师很有可能选择哪个
队代表学校参加市里比赛？并说明理由．
题型05 求极差、标准差例题：（2023·山东青岛·统考中考真题）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：
分）如下：7，8，7，9，8， ．这六个分数的极差是 分．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知一组数据 ， ，1，3，6，x的中位数为1，则极差为
，方差为 ．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知数据2，5，1， ，3的平均数为3，则这组数据的标准差为
．
3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）已知5个正数 的标准差为2，则另一组数据
的方差为 ．
题型06 已知极差求未知数据
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若五个数据2， ，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）如果有一组数据-2，0，1，3， 的极差是6，那么 的值是 ．
2．（2023春·八年级单元测试）若一组数据5， ，2，x， 的极差为13，则x的值为 ．
一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）数据2，5，4， ， 的极差是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）体育课上，体育老师随机抽取了某班10名男生的引体向上成绩，
将这组数据整理后制成如下统计表（ ）
成绩
9 8 6 5
（次）
人数
2 3 3 2
（名）
A．这组数据的众数是8 B．这组数据的中位数是8
C．这组数据的平均数是7 D．这组数据的极差是63．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考开学考试）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学
生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一
周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟）并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每
天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．
方差为32
4．（2023春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，数据 ，
， 的方差是（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
5．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）现有A、B两组数据：数据A：1，2，3；数据B：2021，
2022，2023；若甲数据的方差为a，乙数据的方差为b，则说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023春·云南红河·八年级统考期末）已知一组数据为4，5，7，8，则这组数据的方差 ．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准
差是 ．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）乒乓球的标准直径为 ，质监部门分别抽取了 、 两厂生产的
乒乓球各 只，对其直径进行检测，将所得的数据绘制如图．则抽取的 、 两厂生产的乒乓球直径的方
差大小关系是： (填 或 或 )．
9．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）如果一组数据 ， ， ， 的方差是7，那么一组新数据， ， ， 的方差是 ．
10．（2023春·山西临汾·八年级校考期末）已知数据 ， ， 的平均数是5，方差是2．则数据 ，
， 的平均数是 ．
三、解答题
11．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）某学校招募志愿者，甲、乙两班各报名20名同学．现对这
40名同学进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，把他们的成绩制成不完整
的统计图．
(1)请补充完整条形统计图；
(2)若按成绩的高低，分别从甲、乙两班各招募10名志愿者，甲班的佳佳和乙班的音音均得7分，说明他们
两人能否被录取；
(3)说明哪个班整体测评成绩较好．
12．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别
如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
中位数
平均成绩 环 众数 环 方差
环
甲 7乙 7 8
(1) ， ， ．
(2)填空：（填“甲”或“乙”）．
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ．
(3)从甲、乙两名队员中选一名成绩相对稳定的队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生
和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：
140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
中位
性别 平均数 众数
数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图；
(2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估
计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．14．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）张老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，进
行了一次数学测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给
出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下：（数据
分成5组： ， ， ， ， ）
②A、B两班学生测试成绩在 这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：
平均数 中位数 方差
A班 80.6 m 96.3
B班 80.8 n 153.3
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全数学成绩频数分布直方图．
(2)直接写出表中m，n的值．
(3)请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．
15．（2023春·重庆丰都·八年级统考期末）近些年来，我国航天事业飞速发展．今年5月30日，搭载神舟
十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，神舟十六号航天员乘组由
景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让广大人民尤其是青少年
学到了很多科学知识，激发了更多人的航天梦．为普及科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为
了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况，现从两个年级各随机抽
取20名学生的成绩（百分制）进行分析．过程如下：【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，67，70，69，75，73，75，75，80，78，77，90，81，
84，86，88，94，98；
八年级20名学生成绩在 的分数：83，85，87，81，80，84，82；
【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据：
年级
七年级 5 a 5 3
八年级 3 6 7 4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 76.6 76 b 131
八年级 76.6 c 78 124
(1)直接写出a、b、c的值；
(2)根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？
【得出结论】
(3)通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合
理性（写出一条理由即可）．
