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微专题：双曲线的定义的应用
【考点梳理】
1、双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 | F F|)的点的轨迹
1 2 1 2
叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)在双曲线定义中，当2a＝|FF|时，点的轨迹为以F，F 为端点的两条射线；当2a>|FF|时，轨迹不存在.
1 2 1 2 1 2
(3)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为e＝.
2、①双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出双曲线方程；
二是在“焦点三角形”中常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建立与|
1 2
PF|·|PF|的联系. ②求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦
1 2
点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.
【题型归纳】
题型一：利用双曲线定义求方程
1． － ＝4表示的曲线方程为（ ）
A． － ＝1(x≤－2) B． － ＝1(x≥2)
C． － ＝1(y≤－2) D． － ＝1(y≥2)
2．已知 ，点 满足方程 ，且有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 与 ， 的距离差的绝对值等于6，则双曲
线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
4．已知 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点， ， 是 右支上的两点，且直线
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司经过点 ．若 ，以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 为双曲线 的左焦点， 为双曲线 同一支上的两点．若 ，点 在线段
上，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C．4 D．
【双基达标】
7．双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ， 是C上一点，满足 ，且
，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．设 ， 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当 时， 面积为
（ ）．
A． B． C． D．
10．已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过点 的直线交双曲线右支于A、B两点，若
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司是等腰三角形，且 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
11．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 是双曲线 上一点，且
.若 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 作倾斜角为θ的直线 交双曲线 的
右支于 、 两点，其中点 在第一象限，且 ．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．设 ， 是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上一点，且 ，则 的面积等于
（ ）
A．6 B．12 C． D．
14．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，若
，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线 ： 的上、下焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且满足 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若 为直角三角形，则 的周长是
B．若 为直角三角形，则 的面积是6
C．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 为钝角三角形，则 的取值范围是
17．已知 为双曲线 的左､右焦点，过 作 的垂线分别交双曲线的左､右两支于
两点(如图).若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双
曲线于点 ，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．设 ， 分别是双曲线 的左､右焦点， 是该双曲线上的一点，且 ，则 的面
积等于（ ）
A． B． C． D．
20．已知 分别是椭圆 和双曲线 的公共的左右焦点， 是 的离心率，若 在第一象限内的
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司交点为 ，且满足 ，则 的关系是（ ）
A． B． C． D．
21．已知椭圆 ： 与双曲线 ： （ ， ）具有共同的焦点 ， ，离
心率分别为 ， ，且 .点 是椭圆 和双曲线 的一个交点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．双曲线 的左､右焦点分别是 ､ ，过 的弦AB与其右支交于A､B两点， ，则 的周
长为（ ）
A． B． C． D．
23．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线
经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的
轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 ， 分别为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光线经
双曲线上的点A和点B反射后（ ，A，B在同一直线上），满足 ，则该双曲线的离心率的
平方为（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24． 为双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，且 ，直线
交 轴于点 .若 的内切圆的半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．设 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，点 为双曲线上的一点.若 ，则点 到 轴的距
离为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知 、 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线l与双曲线C交于M，N两点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
27．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若在双曲线左支上存在点 ，满足 ，
且 到直线 的距离为 ，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
28．双曲线 ，左右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两点， 的内切
圆圆心为 ， 的内切圆圆心为 ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
29．双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的右支在第一象限的
交点为 ，与 轴的交点为 ，且 为 的中点，若 的周长为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
30．在直角坐标系xOy中，F(-c，0)，F(c，0)分别是双曲线C： 的左、右焦点，位于第一象
1 2
限上的点P(x,y)是双曲线C上的一点，△PFF 的外心M的坐标为 ，△PFF 的面积为2 a2，则双曲线
0 0 1 2 1 2
C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝± x
31．平面内有两个定点 和 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程是（ ）．
A． B．
C． D．
32．已知椭圆 的左､右焦点分别为 为 上不与左､右顶点重合的一点， 为
的内心，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的左支交于 ， 两点，线段 的长为5，
若 ，那么 的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
34．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线上一点P使得 ，求 的面积
（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
二、多选题
35．双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点
P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C的方程为 ，下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
36．在一张纸上有一圆 与点 ，折叠纸片，使圆 上某一点 好与点 重合，
这样的每次折法都会留下一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，点 的轨迹为椭圆
B．当 ， 时，点 的轨迹方程为
C．当 ， 时，点 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为
D．当 ， 时，在 的轨迹上任取一点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则 ( 为坐标原
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司点)的面积为定值
37．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，点 双曲线C右支上，若 ， 的面积
为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则S＝
B．若 ，则
C．若 为锐角三角形，则
D．若 的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为
38．已知O为坐标原点， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下
列结论正确的有（ ）
A．若 ，则双曲线的离心率
B．若 是面积为 的正三角形，则
C．若 为双曲线的右顶点， 轴，则
D．若射线 与双曲线的一条渐近线交于点Q，则
39．已知双曲线 的上､下焦点分别为 ， ，点P在双曲线C的上支上，点 ，则下列说法正
确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B． 的最小值为8
C． 周长的最小值为
D．若 内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
40．已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的右支上一点，且三角形 为正三角形（ 为坐标原点），记 ， 的斜率分别为 ， ，设 为
的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线 的离心率为
C． D．
三、填空题
41．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线与双曲线 的左
支交于点 ． 若 ，则双曲线 的渐近线方程为________．
42．已知F，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠FPF＝60°，则△FPF 的面积为______．
1 2 1 2 1 2
43．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 为该双曲线上一点， 为其左、右焦点，
且 ， ，则该双曲线的方程为_____．
44．在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，则 的最大值为
________.
45．已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点 ､ ，曲线 和 在第一象限相交于点P.且 ，若椭圆 的
离心率的取值范围是 ，则双曲线 的离心率的取值范围是___________.
46．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若双曲线上一点 使 ，则
的值为______．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
47．如图双曲线 的焦点为 ，过左焦点 倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
(1)求弦长 的值；
(2)求 的周长．
48．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点 是 右支上一点，若I为
的内心，且 .
(1)求 的方程；
(2)点A是 在第一象限的渐近线上的一点，且 轴， 在点P处的切线l与直线 相交于点M，与直线
相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有 .
49．在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点P满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若轨迹C的左，右顶点分别为 ， ，点 为轨迹C上异于 ， 的一个动点，直线 ，
分别与直线 相交于S，T两点，以ST为直径的圆与x轴交于M，N两点，求四边形SMTN面积的最小值.
50．老李的手机被人偷了，而手机中有企业的重要数据．情急之下，他向A派出所报了案．为了帮助老李找到那
部重要的手机；A派出所联系了与其相距 米的B派出所．这时，小偷正好用老李的那部手机与人通话．A、B
两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6秒，且B处的声强是A处声强的4倍（设声速为 米/秒，
声强与距离的平方成反比），试确定持手机者的位置P（即确定P到AB中点M的距离以及 的正切值）
51．已知点 ， ，动点 满足条件 ．记动点 的轨迹为 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求 的方程；
（2）过曲线 的一个焦点作倾斜角为45°的直线 与曲线 交于 ， 两点，求 ．
52．已知双曲线 的焦点坐标为 ， ，实轴长为4，
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上存在一点 使得 ，求 的面积．
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合
方程的意义，即可判断出y的取值范围．
【详解】根据两点间距离的定义， 表示动点 到 与 的距离之差等
于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知，
所以
由焦点在y轴上，所以
，且到点 的距离比较大
所以
即曲线方程为
故选：C.
2．B
【分析】根据双曲线的定义，得到点 的轨迹表示以 为焦点的双曲线 的右支，进而求得双曲线的渐近线方
程 ，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，点 且满足 ，
根据双曲线的定义，可得点 的轨迹表示以 为焦点的双曲线 的右支，
其中 ，可得 ，则 ，
可得双曲线 的渐近线方程为 ，
又因为点 满足方程 ，即 ，
结合双曲线的几何性质，可得 ，即 的取值范围是 .
故选：B.
3．C
第 13 页【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.
【详解】由题意， ，则 ，结合条件可知，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
4．A
【分析】由以 为直径的圆经过点 得 ，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得 ，设 ，则 ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，化简得 ，
所以 的离心率 ，
故选：A.
5．C
【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.
【详解】由题意可知， ，所以 ，解得 ，
所以双曲线 的左焦点 ，所以点 是双曲线 的右焦点．作出双曲线 ，如图所示．
由双曲线的定义，知 ①， ②，
由①②，得 ，
又 ，
所以 的周长为 ．
第 14 页故选：C.
6．B
【分析】设点 ，根据题意得 ，进而与双曲线方程联立得 ，即可得答案.
【详解】设点 ，由双曲线 可知 、 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
代入双曲线方程 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 到 轴的距离是 ．
故选：B．
7．B
【分析】分类讨论 的位置，根据双曲线的定义和余弦定理列式可求出结果.
【详解】当 在双曲线左支上时， ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，此方程不成立.
当 在双曲线右支上时， ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，得 ，
所以 或 （舍去），
所以C的离心率为 .
故选：B
8．C
【分析】不妨设点 在第一象限，根据双曲线的定义得到 ，再由 ，得到
，进而求得 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】由题意，双曲线 ，可得 ，则 ，
因为点 在双曲线上，不妨设点 在第一象限，
由双曲线的定义可得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
第 15 页又由 ，
可得 ，解得 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
9．B
【分析】利用双曲线的定义可得 ，又 ，进而即得.
【详解】∵双曲线 ，
∴ ，又点P在双曲线C的右支上， ，
所以 ， ，即 ，
又 ，
∴ 面积为 .
故选：B.
10．A
【解析】设 ， ．根据双曲线的定义和等腰三角形可得 ，再利用余弦定理可求得 ，从而可
得 的周长.
【详解】由双曲线 可得 ．
设 ， ．则 ， ，
所以 ， ．
因为 是等腰三角形，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
的周长
．
故选：A．
第 16 页【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
11．D
【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．
【详解】设 ， .由 ， 的面积为 ，
可得 ，∴ ①
由离心率为 ，可得 ，代入①式，可得 .
故选：D.
12．D
【分析】设 ，可得出 ， ，在 中，利用余弦定理可得出关于 的方程，结合
可求得该双曲线的离心率.
【详解】如下图所示，设 ，由双曲线的定义可得 ，
则 ，所以， ，
在 中， ，
整理可得 ，即 ， ，解得 .
第 17 页故选：D.
13．A
【分析】利用双曲线定义结合已知求出 及 ，再求出焦距 即可计算作答.
【详解】双曲线 的实半轴长 ，半焦距 ，因此， ，
因 ，由双曲线定义得 ，解得 ， ，
显然有 ，即 是直角三角形，
所以 的面积 .
故选：A
14．B
【分析】由双曲线的定义即可求出 的周长.
【详解】设 ， ，由题意可得 ，
由双曲线的定义可得 ， ，
则 的周长是 .
故选：B.
15．A
【分析】记 ， ，根据双曲线定义结合余弦定理可得 ，再利用三角形面积
公式可推得 ，即可求得答案.
【详解】记 ， ， ，
∵ ，∴ ，
在 中，由余弦定理得 ，
配方得 ，即 ，
∴ ，
由任意三角形的面积公式得 ，
∴ ，而 ， ， ，
故选：A.
16．C
第 18 页【分析】根据双曲线方程，写出a，b，c，不妨设点P在第一象限， ，若 为直角三角形，
分 和 两种情况讨论，结合双曲线的性质即可得出正确选项.
【详解】解：因为双曲线 ，所以 ，
不妨设点P在第一象限，则 ，
若 为直角三角形，
当 时，则 ，
又 ，即 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 的周长是 ， 的面积是 ；
当 时，设 ，
代入方程解得 （负值舍去），所以 ，
故 ，所以 ，
所以 的周长是 ， 的面积是6，
综上所述，若 为直角三角形，
则 的周长是 或8，
的面积是3或6，
故A、B错误；
若 为锐角三角形，根据上述，则 的取值范围是 ，故C正确；
若 为钝角三角形，根据上述，则 的取值范围是 ，故D错误.
故选：C.
17．C
第 19 页【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得 ， ，再在 中运用余弦定理建立关于a，
b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【详解】解：由 ，设 ，由 得， ，所以 ，
，又 得 ，
，令 ，化简得： ，得 ，所以渐近线方程为 ，
故选：C.
18．B
【分析】设 ， ， 的方程为： ，与双曲线的方程联立可得点 的坐标，设 ，
，直线 的倾斜角为 ， 则 ，运用三角形面积相等，双曲线的定义， 可得关于 、
的方程，由 即可得离心率.
【详解】设双曲线 的左焦点 、右焦点 ，
设双曲线的一条渐近线方程为： ，
可得直线 的方程为： ，
由 可得： ，即 ，
设 ， ，
可得 ，
即 ，整理可得： ，
即 ，
由双曲线的定义可得： ，
所以 ，
设直线 的倾斜角为 ，在 中， ，
， ，所以 ，
第 20 页所以 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： 或 （舍），
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B.
19．C
【分析】根据双曲线定义得到 ， ，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设 ， ，则由双曲线的定义可得： ，所以 ，故
， ，又 ，故 ，故 ，所以 的面积
为 .
故选：C.
20．A
【分析】先确定 ，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
21．C
【分析】设 ， .根据圆锥曲线定义与勾股定理可得 ，从而可得 ，结合 ，
可得结果.
【详解】设 ， .
在椭圆 中， ，
所以 .
在双曲线 中， ，
所以 ，
第 21 页所以 ，即 ，
得 ，即 .
因为 ，所以 ，解得 .
故选：C
22．C
【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长即得．
【详解】由题可得 ，
则 的周长为 .
故选：C．
23．D
【分析】设 ，根据题意可得 ，由双曲线定义得 、 ，进而求出 （用 表示），
然后在 中，应用勾股定理得出 的关系，求得离心率．
【详解】易知 共线， 共线，如图，设 ，
则 .因为 ，所以 ，
则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ,
在 中， ，即 ，
所以 .
故选：D
24．A
【解析】根据 ，得到三角形 为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，
再根据内切圆的半径为 ，建立方程求解.
【详解】如图所示：
第 22 页因为 ，所以三角形 为直角三角形，
故它的内切圆半径
，
所以
故选：A.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
25．C
【解析】如图，设 ， ，由双曲线定义知 ，平方得： ，在 中利
用余弦定理可得： ，即可得到 ，再利用等面积法即可求得
【详解】由题意，双曲线 中，
如图，设 ， ，由双曲线定义知
两边平方得：
在 中，由余弦定理可得： ，即
两式相减得： ，即
利用等面积法可知： ，即
解得
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式
第 23 页推导，也可以直接记住结论：
（1）设 ， 分别为椭圆 的左，右焦点，点 为椭圆上的一点，且 ，则椭圆焦点三角形面
积
（2）设 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，点 为双曲线上的一点，且 ，则双曲线焦点三
角形面积
26．C
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得 为等边三角形，从而得 ，然后在 中，利
用余弦定理化简可得到 ，从而可求出离心率的值.
【详解】设 ，则 ，设 ，则由双曲线的定义得，
，解得 ，
所以 ， ， ， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，则 ，
在 中，由余弦定理得， ,
即 ，化简得 ， ，
所以双曲线的离心率为 ，
第 24 页故选：C.
27．D
【分析】利用双曲线的定义以及已知条件，结合勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．
【详解】依题意得， ， ，
得 ，
又因为 到直线 的距离为 ，
由 ，
得 ，
所以 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质的应用，是基本知识的考查．
28．C
【分析】由题意，得 ，根据双曲线方程 ，可得 ，从而可表示出
，设圆的半径为 ，利用等面积法计算出 ，从而代入公式 求解面积.
【详解】如图，因为圆 ， 分别为 与 的内切圆， 轴，所以 ，由题意，
，所以 ，由通径可得 ，再由双曲线的定义可知 ，
设圆 ，圆 的半径为 ，由等面积法可得 ，即
，得 ，所以 ，故四边形 的面积为
.
故选：C
第 25 页【点睛】关于三角形内切圆的半径的计算通常采用等面积法，计算出三角形的周长，底边长与高，再利用面积相
等列式计算.
29．B
【分析】由 的周长为 ，结合双曲线的定义和对称性得到 ， ，再由 为 的中点，得到
为等边三角形求解.
【详解】如图所示：
由对称性可知 ，因为 的周长为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ， ．
因为 为 的中点，
所以 ，
则 为等边三角形，
所以 ， ， ．
又因为 ，
所以在 中， ．
所以 ， ，
即双曲线 的渐近线方程为 ．
故选：B
30．D
【分析】由M是三角形外心可得 ，根据圆周角与圆心角关系得∠FPF＝ ，根据余弦定理、双曲线
1 2
的定义得 ，由三角形面积公式 ，即可确定 的数量关系，
第 26 页写出渐近线方程即可.
【详解】由△PFF 的外心M ，知： ，
1 2
∴在△ 中， ，即 ，故∠FPF＝ ，
1 2
在△ 中， ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ ，而
，
∴由题意知： ，故双曲线的渐近线方程为： ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠FPF，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形
1 2
的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.
31．D
【分析】由已知条件知，点 的运动轨迹是以 ， 为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.
【详解】解：由 可知，点 的运动轨迹是以 ， 为焦点的双曲线右支，
， ，
， .
所以动点 的轨迹方程是 .
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.
32．B
【分析】取 中点 ，由 及 得到 三点共线且 ，再根据双曲线定
义及 得到 的比例关系，进而解出离心率.
【详解】设 是 的中点，连接 ，如图，则 ，由 ，得
三点共线， .由 既是 的平分线，又是
边上的中线，得 .作 轴于点 ，
，且 ， .
故选：B.
第 27 页33．D
【分析】根据双曲线定义知， ， ，结合 ，从而计算出 的周
长 的值.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故选：D
34．C
【解析】先根据双曲线方程得到 ， ， ，设 ， ，可得， . 由
，在 根据余弦定理可得: ，即可求得答案.
【详解】 ，所以 ， ， ，
在双曲线上，设 ， ，
①
由 ，在 根据余弦定理可得:
故 ②
由①②可得 ，
直角 的面积
故选：C.
【点睛】思路点睛：
在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线
的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.
35．CD
【分析】对于A：判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接
求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：
设直线PT的方程为 .利用相切解得 ，进而求出 .即可求出 .
第 28 页【详解】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.
故B错误；
对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .
第 29 页所以 .
故D正确
故选：CD
36．ACD
【分析】对于 ：根据题意可得 ，则点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，即可判断
是否正确；
对于 ：根据题意可得 ，则 的轨迹为以点 ， 为焦点的双曲线，其中 ，
，进而可得双曲线的方程，即可判断 是否正确；
对于 ：根据题意可得点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线及方程，进而可得离心率，即可判断 是否正确．
对于 ：根据题意可得 的轨迹方程为 ，设 ，直线 的方程，它与 的交点 的坐标，即可
计算 是否为定值，即可判断 是否正确．
【详解】解：当 时，点 在圆 内，此时有 故 的轨迹是以 为
焦点的椭圆，故A正确；
当 时，点 在圆 外，此时有 ，
故 的轨迹是以 为焦点的双曲线，其中
故双曲线方程为 故 错误；
当 时 时 的轨迹是以 为焦点的双曲线，
方程为 ，所以离心率 ，当 时 4，故 正确；
当 时， 的轨迹方程为 ，设 则 ，直线 的方程为 ，
它与 的交点 的坐标为 ，
所以
所以 为定值，故 正确.
故选：ACD.
37．ACD
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出 ，再由以双曲
线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当 为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，
利用相关点法结合重心坐标公式求解
【详解】由 ，得 ，则
第 30 页焦点三角形 的面积公式 ，将 代入可知 ，故A正确．
当S＝4时， ，由 ，可得 ，故 B错误．
当 时，S＝4，当 时， ，因为 为锐角三角形，所以 ，故C正确．
设 ，则 ，由题设知 ，则 ，所以
，故D正确．
故选：ACD
38．AB
【分析】对选项A，由题意列式得 ，即可求得 ；对选项B，利用等边三角形的性质求解得 ，
，即可得 ；对选项C，可得 ，即可判断 ，对选项D，举出反
例即可判断.
【详解】由题意，对于选项A，因为 ，所以 的中垂线 与双曲线有交点，即有 ，解得
，故选项A正确；对于选项B，因为 ，解得 ，所以
，所以 ，故选项B正确；对于选项C，由题意可得
显然不等，故选项C错误；
对于选项D，若 为右顶点时，则 为坐标原点，此时 ，故选项D错误.
故选：AB.
【点睛】关于双曲线的离心率的求解，一般需要先列关于 的等式或者不等式，从而求解出离心率 的范围；
关于双曲线的焦点三角形的应用，一般需要用到双曲线的定义 以及余弦定理列式来求解 .
39．BCD
【分析】由双曲线的标准方程得出 ，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的
定义判断C,D.
【详解】对于A： ，∴A错误；
对于B： 的最小值为 ，B正确；
对于C：如图，
第 31 页的周长 （当且仅当Q，P， 三
点共线时取等号），C正确；
对于D：如图，
设 的内切圆分别与 ， ， 切于点A，B，D，则 ， ， ，∴
.又 ，∴ ，∴ ，∴M点的纵坐标为3，D正
确.
故选：BCD.
40．ABD
【分析】对于A，先求出 点坐标，求出 和 的坐标，即可计算 ；对于B，将 点坐标代入双曲线
的方程，建立 与 的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求 ，对于D，分别化
简 ， ， ，结合 与 的数量关系即可判断
第 32 页【详解】
因为 为正三角形，所以
所以 ，
所以
故A正确
将 点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设 （ ），则
解之得： 或 （舍）
所以 ，所以
故B正确
故C错误
设 的内切圆半径为 ，则 ， ，
第 33 页所以 ，即 ，故D正确
故选：ABD
41．
【分析】根据向量的线性运算可得 ，再根据焦点三角形中的关系可得 ，再根据等腰三角
形的性质可列式求得离心率，进而求得渐近线的方程.
【详解】因为 ，故 ，即 ，故 ，根
据双曲线的定义有 ，故 ，又直线 斜率为 ，故 ，所以
，根据等腰三角形的性质有 ，即 ，解得 ，
故 .
故双曲线 的渐近线方程为
故答案为：
42．
【分析】根据余弦定理得到 ，再利用面积公式计算得到答案.
【详解】不妨设点P在双曲线的右支上，则 ， ，
在△FPF 中，由余弦定理，
1 2
，
∴ ，∴ .
故答案为： .
第 34 页43．
【解析】根据渐近线方程得斜率可得 ，根据双曲线的定义以及勾股定理可得 ，可得 ， ，从而
可得双曲线的方程．
【详解】设 ，则由渐近线方程为 ， ，
又 ，
所以
两式相减，得 ，而 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，故双曲线的方程为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查转化能力与运算能力，属中档题．
44．9
【分析】建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得 点的轨迹方程为 ，转化条件得
，由 求出最大值后即可得解.
【详解】以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，如图建立直角坐标系，
则 ， ，
由 得 点的轨迹方程为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
第 35 页因为 ，所以 ，所以 的最大值为9.
故答案为：9.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算法则及向量模的坐标表示，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.
45．
【分析】设 ，由椭圆、双曲线的定义可得 ， ，由余弦定理可建立方程，转化为
离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆 ，双曲线： ，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率 ，
双曲线离心率 ， ，如图，
由椭圆定义可得： ，由双曲线定义可得： ，
联立可得 ， ，
由余弦定理可得：
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ，可得 ，
故 ，
故答案为：
46．3
【分析】在 中，设 ，则 或 ．分别运用余弦定理可求得答案.
【详解】解：由已知得 ．在 中，设 ，则 或 ．
当 时，由余弦定理，得 ，解得 ，所以 ．
第 36 页当 时，由余弦定理，得 ，无解．
故 ．
故答案为：3.
47．(1)3
(2)
【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得 ，根据根与系数的关系可求得弦长；
（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.
(1)
解：因为双曲线 的焦点为 ，所以 ，
设 ．
联立 ，整理得： ，
.
(2)
解：记 的周长为 ，则 ．
，又 得 ．
点 在右支，故 ．
同理：点 在左支， ．
48．(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得 ，求出 即可得出方程；
（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得 ，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公
第 37 页式并结合双曲线方程化简可得 .
（1）
设 的内切圆半径为r，
则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，可得 ，
所以 ，
由双曲线的定义和几何性质，得 ，
又 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）
由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为 .
由 可得
由题意知 .
若点P在双曲线右支的上半支上，则
所以 ，故
因为 , 所以 ,
若点P在双曲线右支的下半支上，则
同理可得
综上， ，代入直线l的方程得 ,
即 ，
第 38 页由 ，可得 ，
所以直线l的方程为 , 即
因为直线 的方程为x=2，
所以直线l与直线 的交点 ,
直线l与直线 的交点
所以 ,
，
即 得证.
49．(1) ；
(2)6.
【分析】(1) ，得动点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
根据a、b即可求出结果；
(2)可求得 、 、 、 ，进而面积为
，利用基本不等式计算即可.
(1)
由动点P满足 ，得动点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
且 ，所以 ，所以 ，
故动点P的轨迹C方程为： ；
(2)
由(1)知， ，
第 39 页所以直线 的方程为 ，即 ，
与直线 的交点S的坐标为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
与直线 的交点T的坐标为 ，
设以ST为直径的圆的方程为 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，设 ，
则 ，
所以 ，
又点 在双曲线上，所以 ，故 ，
又 ，
所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以四边形 面积的最小值为6.
50．距离 为 米且 .
【分析】由题设分析知： 在以 为焦点，实轴长为 的右支上，即 的右支上，再应用余弦定理、
向量加法的几何意义及数量积的运算律求P到M的距离，再在△ 中应用正余弦定理求 的正切值.
【详解】以 为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ，
若声强为 ，监听仪器与手机位置的距离为 ，则 且 为常数，
由题设， ，则 ，即 到 距离为到 距离的一半，
第 40 页又 ，则 ，即 ，
所以 在以 为焦点，实轴长为 的右支上，即 的右支上，如下图示：
由上 ， ，又 ，且 ，
所以 ，则 ，
若 ，在△ 中 ，又 ，则 ，
所以 .
综上，持手机者的位置P：距离 为 米且 .
51．（1） ；（2） ．
【分析】（1）先判断出轨迹为双曲线，然后根据焦点坐标和实轴长度求解出双曲线的方程；
（2）写出直线 的方程，联立直线方程与双曲线的方程，利用弦长公式求解出 .
【详解】解：（1）因为 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线，
所以 ，所以 ，
所以 的方程为： ；
（2）不妨设焦点 ，则直线 ：
由 消去 得： ．
设 ， ，则 ， ，
所以 ．
52．（1） ；（2）1．
第 41 页【分析】（1）由题可知 的值即可求出双曲线 的标准方程；
（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】（1）设双曲线方程为 ，
由条件知 ， ，
∴ ，
∴双曲线 的方程为 ．
（2）由双曲线的定义可知， ．
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ 的面积 ．
第 42 页第 43 页
