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微专题：分段函数
【考点梳理】
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如
f(f(x))的求值问题时，应从内到外依次求值. 求值域问题同样分段求解，再取其并集.
0
已知分段函数的值域或最值求参数范围，可先求函数在各区间段的值域或最值，再结合已知建立不等式(组)
求解. 必要时可先分析函数性质，再画图数形结合.
【题型归纳】
题型一：求分段函数解析式或求函数的值
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B．2 C．5 D．3
3．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
题型二：分段函数的值域或最值
4．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 ，定义 ，则 满足（ ）
A．只有最小值，没有最大值 B．既有最大值，又有最小值
C．只有最大值，没有最小值 D．既无最大值，也无最小值
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6．已知函数 以下关于 的结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B． 的值域为
C． 在 上单调递增
D． 的解集为
题型三：已知分段函数的值求参数或自变量
7．已知函数 若 ，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．函数 ，则方程 的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．设 ，若 ，则x的值为（ ）
A．1或2 B． 或 C．1 D．2
题型四：根据分段函数的单调性求参数
10．已知函数 ，则“ ”是“ 在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知函数 是 上的增函数，则（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．已知 在区间 上是单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：解分段函数不等式
13．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：根据分段函数的值域（最值）求参数
16．已知函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数 ，若 存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
18．已知函数 若 的最小值为0，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
19．已知函数 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 ，方程 有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 ( 且 )，若 存在最小值，则实数 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
22．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．若函数 ，是定义在 上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
27．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．若函数 是 上的单调函数，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
29．设 ，则 的值是（ ）
A．1 B．e C． D．
30．设 ，则 的值为（ ）
A．16 B．18 C．21 D．24
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
31．函数 的图象是如图所示的折线段 ，其中 ， ，函数 ，那么函数
的值域为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知 则 （ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
33．已知 若 ，则 的最大值是( )
A． B． C． D．
34．已知函数 ，满足对任意x≠x，都有 0成立，则a的取值范围是（
1 2
）
A．a∈(0,1) B．a∈[ ,1) C．a∈(0, ] D．a∈[ ,2)
35．已知f(x)= ，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63 B．83 C．86 D．91
36．若函数 满足 ，且 时， ，已知函数 则函
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
37．已知函数 ，则 （ ）
A．16 B． C． D．
38．已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
39．已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
40．已知函数 是定义在 上的减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
41．若f(x)= 是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．已知函数 若关于x的方程 有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
43．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
二、多选题
44．已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为R B． 的值域为
C．若 ，则x的值是 D． 的解集为
45．已知函数 令 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．方程 有3个根
C．方程 的所有根之和为－1 D．当 时，
46．设函数 ，若 则实数a=（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
47．若函数 与 的值域相同，但定义域不同，则称 和 是“同象函数”，已知函数 ，
，则下列函数中，与 是“同象函数”的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题
48．已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则k的取值范围为____.
49．已知 ，函数 ．若 ，则 ________．
50．若 则函数 的最小值为________．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司51．已知函数 ，若对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
52．设函数 ，若 ，则实数a的取值范围___________.
53．已知函数 在区间 和 上均单调递增，则实数 的取值范围是________．
四、解答题
54．已知
（1）求 ；
（2）若 ，求a的值；
（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.
55．《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元
的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率%
不超过1500元的部分 3
超过1500元至4500元部分 10
（1）列出公民全月工资总额x(00，
并且 ，解得 ，
综上所述，a的取值范围为 .
故选：D
【点睛】
易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之
间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.
42．B
【解析】
【分析】
利用换元法设 ，则等价为 有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函
数的图象，求出 的取值范围.
【详解】
令 ，则方程 等价于 ，
当 时，此时当 时， ，此时函数有无数个零点，不符合题意；
第 26 页当 ，则 ，所以由 ，得 ，
则关于x的方程 有且只有一个实数根等价于关于x的方程 有且只有一个实数根，作出 的图
象如图：
当 时，由图象可知直线 与 的图象只有一个交点，恒满足条件；
当 时，要使直线 与 的图象只有一个交点，
则只需要当 时，直线 与 的图象没有交点，
因为 时， ，此时 最小值为 ，
所以 ，
综上所述，实数a的取值范围是 ，
故选：B.
43．D
【解析】
【分析】
当 时有 成立；当 时有 成立，故 的取值范围可求.
【详解】
当 时 为增函数，故 时有 成立
所以 ；
当 时 ，故 时有 成立，所以
综上所述：
故选：D
44．BC
【解析】
分段讨论函数 的定义域、值域，并分段求解方程和不等式即得结果.
【详解】
第 27 页函数 ，定义分 和 两段，定义域是 ，故A错误；
时 ，值域为 ， 时， ，值域为 ，故 的值域为 ，故B正
确；
由值的分布情况可知， 在 上无解，故 ，即 ，得到 ，故C正确；
时令 ，解得 ， 时，令 ，解得 ，故 的解集为
，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：
研究分段函数的性质时，要按照函数解析式中不同区间的对应法则分别进行研究，最后再做出总结.
45．ACD
【解析】
【分析】
由题意知 可得 ；令 ，因为方程 没有实根，即 没有实根；令 ，
则方程 ，即 ，通过化简与计算即可判断C；当 时， ，则将函数 在
的图象向左平移1个单位长度可得函数 的图象，即可判断D．
【详解】
对于A选项，由题意知 ，则 ，所以A选项正确；
对于B选项，令 ，则求 的根，即求 的根，
因为方程 没有实根，
所以 没有实根，所以选项B错误；
对于C选项，令 ，则方程 ，即 ，
得 ， ，由方程 得 或 ，
解得 或 ，易知方程 ，没有实数根，所以方程 的所有根之和为－1，选项C正确；
对于D选项，当 时， ，则将函数 在 的图象向左平移1个单位长度可得函数 的
图象，
当 时，函数 的图象不在 的图象的下方，所以D选项正确，
第 28 页故选：ACD．
【点睛】
方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验
所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，
也可以作出函数图象，然后结合图象求解．
46．AD
【解析】
【分析】
按照 分类，结合分段函数解析式即可得解.
【详解】
因为函数 ，且
所以 或 ，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
47．ACD
【解析】
【分析】
先求出 在 时的值域，再分别求出四个选项中的 的值域，ABC选项可以用函数单调性来求解
值域，D选项可以画出函数图象，结合图象求出值域.。
【详解】
当 时， 单调递增，所以 ，即
当 时， 单调递减，所以 ，即 ，所以
A选项正确；
当 时， 单调递减，此时 ，所以 ，B选项错误；
当 时, 的图象如图所示，
第 29 页在 单调递减，在 单调递增，所以 在 处取得最小值， ，因为 ，
，所以 在 处取得最大值，故 ，C选项正确；
当 时， ，画出图象，如图
显然， ，故D选项正确
故选：ACD
48．
【解析】
先根据条件得到 的解析式，作出 的图像，知道函数的单调区间和最值，根据函数 恰有两
个不同的零点，得到 与 图像有且仅有两个交点，数形结合即可求解.
【详解】
因为函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
令 ，可得
当 时， ；当 时， ；
，作出函数 的图像，如图所示
第 30 页由图可知， 在 单调递增，在 单调递减，
若函数 恰有两个不同的零点，得到 与 图象有且仅有两个交点，故 ，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解
49．0或2
【解析】
【分析】
首先计算 ，再由 求 得值即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
可得 ，所以 ，解得： 或 ，
故答案为：0或2.
50．1
【解析】
【分析】
结合图象可得答案.
【详解】
第 31 页如图，函数 在同一坐标系中，
且 ，所以 在 时有最小值，即 .
故答案为：1.
51．
【解析】
【分析】
去绝对值将 转化为分段函数，求出其最大值， 即可.
【详解】
因为 ，不等式 恒成立，则 ，
，
作出函数 的图象如图：
由图知： 的最大值为 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
第 32 页故答案为：
52．
【解析】
【分析】
利用解析式求出 即可解出不等式.
【详解】
因为 ，
所以 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
53．
【解析】
【分析】
设 ，求出函数 的两个零点 ，且 ，将函数 化为分段函数，分类讨论 ，当
时，可知函数 在区间 上不可能单调递增；当 时，根据 的范围可知恒满足函数 在区间
上单调递增，根据解析式可知 在 上单调递增，再由 可解得结果.
【详解】
设 ，其判别式 ，所以函数 一定有两个零点，
设函数 的两个零点为 ，且 ，
由 得 ， ，
所以函数 ，
①当 时， 在 上单调递减或为常函数，从而 在 不可能单调递增，故 ，
②当 时， ，
，所以 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上也单调递增，
第 33 页因为 在 和 上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以 在 上单调递增，
欲使 在 上单调递增，只需 ，得 ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求解关键有2个：①利用 的零点将函数 化为分段函数；②分类讨论 ，利用分
段函数的单调性求解.
54．（1）3（2）12（3）
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数解析式直接求解；
（2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可；
（3）作出函数图象，数形结合即可.
【详解】
（1） ，
，
（2）当 时， ，
当 时， ，
解得 ，
综上，
（3）作出 的图象，如图，
由图象可知，当 时，与y=b有三个交点.
第 34 页55．（1） ；（2）7550元.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件分段求出应缴纳税款额y元的表达式即可；
(2)判断当月工资总额所在区间，再列式即可得解.
【详解】
(1)依题意，当0
