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微专题：椭圆的中点弦问题
【考点梳理】
处理中点弦问题常用的求解方法：①点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式
中含有x ＋x ，y ＋y ，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；②根与
1 2 1 2
系数的关系：即联立直线与椭圆方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.
【题型归纳】
题型一： 由弦中点求弦方程或斜率
1．已知双曲线方程 ，则以 为中点的弦所在直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆 中以点 为中点的弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆 中以点 为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
题型二： 求弦中点所在的直线方程或斜率
4．椭圆 内有一点 ，过点 的弦恰好以 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知椭圆 的一个顶点为 ，直线 与椭圆 交于 两点，若 的左焦点为 的重心，
则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．将 上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，
且AB中点坐标为M（1， ），那么直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
7．过椭圆 ： 右焦点 的直线 ： 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的
斜率为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 两点，若
为线段 的中点，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，
若 为线段 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，则椭圆 的方程为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型四：由韦达定理或斜率求弦中点
10．已知直线 ，椭圆 ．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ，
则 的斜率与直线 的斜率的乘积（ ）
A． B．1 C． D．
12．已知AB是椭圆 一条弦，且弦AB与直线 ： 垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，
则直线OP的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点．若 的中点坐
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司标为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ，
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若点 恰为弦 中点，则直线 斜率是
（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，
为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．直线 被椭圆 所截得线段的中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
18．若椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．椭圆 中，以点 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
20．已知椭圆 ，设直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，记
椭圆E的离心率为e，直线l的斜率为k，若C，D恰好是线段 的两个三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知点 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知椭圆 ，以点 为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．若直线l与椭圆 交于点A、B，线段AB中点P为（1，2），则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．6 D．－6
24．已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线 交椭
圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
25．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①平面内到定点 （1，0）和定直线 ： 的距离之比为 的点的轨迹方程是 ；
②点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点 的坐标是 ，则 的最小值是
6；
③平面内到两定点距离之比等于常数 （ ）的点的轨迹是圆；
④若动点 满足 ，则动点 的轨迹是双曲线；
⑤若过点 的直线 交椭圆 于不同的两点 ， ，且 是 的中点，则直线 的方程是
．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．已知椭圆 以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－ B． C．－2 D．2
27．直线 经过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆交于 两点，若 为线段 中
点， ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点，且弦 被点 平分，则直线 的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
30．已知椭圆 右顶点为 ，上顶点为 ，该椭圆上一点 与 的连线的斜率 ，
的中点为 ，记 的斜率为 ，且满足 ，若 分别是 轴､ 轴负半轴上的动点，且四边形
的面积为2，则三角形 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．若椭圆 的弦 恰好被点 平分，则 所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知椭圆 上存在两点M、N关于直线 对称，且MN的中点在抛物线 上，则实数t的
值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．0或6
33．过椭圆C： 右焦点F的直线l： 交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP
的斜率为 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，
－1)，则E的方程为
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
35．已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率为 ，过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，若 的
中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
36．已知椭圆 ， 是椭圆 的一条弦 的中点，点 在直线 上，求椭圆
的离心率（ ）
A． B． C． D．
37．已知椭圆 ，点 为右焦点， 为上顶点，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两点且线
段 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
38．已知 、 为椭圆 上两点， 为弦 中点， 为坐标原点，若 两点连线斜率为2，则 两
点连线斜率为（ ）
A． B． C． D．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 （ ），那么 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D． ，或
二、多选题
40．已知椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ， 为 的中点，若 是直
线 上的点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的短轴长为
C． D． 到 的两焦点距离之差的最大值为
41．已知椭圆C∶ (a>b>0)的左，右两焦点分别是F，F，其中FF=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于
1 2 1 2
A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF 的周长为4a
2
B．若AB的中点为M，则
C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
42．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 的
交点恰好为线段 的中点，则（ ）
A． B．
C．直线 的斜率为1 D．直线 的斜率为4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司43．已知椭圆 ： 内一点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且点 是线段 的中点，则
（ ）
A．椭圆 的焦点坐标为 ，
B．椭圆 的长轴长为4
C．直线 的方程为
D．
44．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），
外接圆的圆心为H， 内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点．则（ ）
A．存在 ，使得 成立
B． 的最小值为
C．过点I的直线l斜率为 ，且与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为N，直线ON的斜率为 ，则
D．椭圆C的离心率
45．已知椭圆 的焦距为6，短轴为长轴的 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，弦 的中点为 ，
则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．已知中心在原点，焦点坐标为 的椭圆截直线 所得的弦的中点的横坐标为 ，则该椭圆的
方程为__________．
47．已知点 是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.
48．斜率为 的直线 与椭圆 （ ）相交于 ， 两点，线段 的中点坐标为 ，则椭圆
的离心率等于______.
49．斜率为k的直线l与椭圆 相交于A，B两点，点 为线段 的中点，则 ________．
50．已知椭圆 的右焦点为F，直线 与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若
O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为 ， ， ，且 ，则k＝______．
51．已知椭圆 ( )与直线 交于A、B两点， ，且 中点的坐标为 ，
则此椭圆的方程为________．
四、解答题
52．已知椭圆 的右焦点为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且线段的中点 在圆 上，求 的值.
53．如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与抛物线 的交点，过点A的直
线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M（B，M不同于A）．
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
54．已知椭圆 与椭圆 有相同的离心率，且椭圆 过点
（1）求椭圆 的方程.
（2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，求线段 的垂直平分线的方程.
55．已知椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆交于 两点，且线段 的中点在圆 ，求 的值.
56．已知椭圆 的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．
(1)若线段AB的中点为 ，求直线AB的方程；
(2)若F恰好是 ABP的重心，且 ， ， 依次成等差数列，求点P的坐标．
△
57．（1）求右焦点坐标是 ，且经过点 的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆 的方程是 .设斜率为 的直线 ，交椭圆 于 两点， 的中点为 .
证明：当直线 平行移动时，动点 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标
出椭圆的中心.
第 12 页
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】利用点差法可求得直线 的斜率，利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】设直线 交双曲线 于点 、 ，则 ，
由已知得 ，两式作差得 ，
所以， ，即直线 的斜率为 ，
故直线 的斜率为 ，即 .经检验满足题意
故选：B.
2．A
【分析】利用点差法求出斜率，即可求出直线方程.
【详解】设点 为中点的弦的端点 ，
则有： ，两式相减得： ，
因为 为中点，所以 ，
所以斜率 ，
所以所求直线方程为： ，即 .
故选：A
3．A
【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
【详解】设弦的两端点为 ， ，
代入椭圆得
两式相减得 ，
即 ，
即 ，
第 14 页即 ，
即 ，
弦所在的直线的斜率为 ，
故选:A ．
4．B
【分析】结合点差法求得弦所在直线方程.
【详解】 ，即 ，
设弦为 ， ，
则 ，
两式相减并化简得 ， ，
所以弦所在直线方程为 .
故选：B
5．B
【分析】先由椭圆左焦点 恰为 的重心，得相交弦 的中点坐标，再由点 、 在椭圆上，利用点差法，
将中点坐标代入即可的直线 的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．
【详解】解：设 ， ， ， ，椭圆 的左焦点为 ，
点 ，且椭圆左焦点 恰为 的重心，
，
， ①
， ，
两式相减得：
将①代入得： ，即直线 的斜率为 ，
直线 过 中点 ，
直线 的方程为
所以直线 的方程为 .
故选：B
第 15 页6．A
【分析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程
【详解】设点 为曲线C上任一点，其在 上对应在的点为 ，则
，得 ，
所以 ，
所以曲线C的方程为 ，
设 ，则
，
两方程相减整理得 ，
因为AB中点坐标为M（1， ），
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
故选：A
7．A
【分析】由 与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出 的关系即可计算作答.
【详解】依题意，焦点 ，即椭圆C的半焦距 ，设 ， ，
则有 ，两式相减得： ，
而 ，且 ，即有 ，
又直线 的斜率 ，因此有 ，而 ，解得 ，经验证符合题意，
所以椭圆 的方程为 .
故选：A
8．A
【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求解作答.
第 16 页【详解】设点 ，依题意， ，
相减得 ，因直线AB的倾斜角为 ，即直线AB的斜率为 ，
又 为线段 的中点，则 ， ，因此有 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A
9．B
【分析】先求得焦点，也即求得 ，然后利用点差法求得 ，从而求得 ，也即求得椭圆 的方程.
【详解】直线 过点 ，所以 ，
设 ，
由 两式相减并化简得 ，
即 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B
10．B
【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得 ，进而得出
中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可.
【详解】由题意知，
，消去y，得 ，
则 ， ，
所以A、B两点中点的横坐标为： ，
所以中点的纵坐标为： ，
即线段AB的中点的坐标为 .
故选：B
第 17 页11．D
【分析】根据题意设直线 方程为 ， ，进而联立方程求解中点 的坐标，计算斜率乘积
即可.
【详解】解：根据题意设直线 方程为 ，
由 得 ，
，
故选：D
12．D
【分析】根据给定条件设出直线AB方程，再与椭圆方程联立求出点P的坐标即可计算作答.
【详解】依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线 ： 垂直，则设直线AB： ，
由 消去y得： ，
，即 ，且 ，
设点 ，则 ，于是得弦AB中点 ，
所以直线OP的斜率是 .
故选：D
13．D
【分析】利用点差法可求得 的值，结合 可求得 、 的值，由此可得出椭圆 的方程.
【详解】设点 、 ，则 ，两个等式作差得 ，
整理可得 ，
设线段 的中点为 ，即 ，
另一方面 ， ，所以， ，
第 18 页所以， ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公
式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出
中点坐标和斜率关系求解.S
14．C
【分析】先设出点 的坐标，利用点差法可得 ，再根据 可得 ，
即可由此求出斜率.
【详解】设 ，
在椭圆上，则 ，
两式相减可得 ，
， 是 中点，则 ，代入上式，
则 ，即 ，
又 ，则 ，
即 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，所以直线 的斜率为 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆中得中点弦问题，解题的关键是利用点差法得出 ，将
转化为 .
15．C
【解析】设出 的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.
【详解】设 ，则 ，
第 19 页则 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，
即直线 斜率是 .
故选：C
【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.
16．B
【分析】利用点差法，设 ， ， ，则 ， ，两式相减，化简可得
，设 ，过 作 轴，垂足为 ，从而结合已知条件可得 ，将其代入
椭圆方程化简可求得结果
【详解】设 ， ， ，由题意得 ， ，两式相减，得
，因为 为线段 的中点，且直线 的倾斜角为 ，所以
．设 ，则 ，过 作 轴，垂足为 ，则 ，
，由题易知 位于第二象限，所以 ，所以 ，得 ，所
以 ，所以 ．
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查的知识是“掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称
性、顶点、离心率）”，本题考查逻辑思维能力、运算求解能力，解题的关键利用点差法，结合已知条件表示出
点 的坐标，然后将其代入椭圆方程可求出离心率，属于中档题
17．C
【分析】将直线 与椭圆 联立，消去 整理得 ，然后利用韦达定理求解.
【详解】直线 与椭圆 联立，得 消去 整理，得 ．
设直线与椭圆的交点 ，中点 ．
，
第 20 页∴中点坐标为 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系属于基础题.
18．D
【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【详解】设弦的两个端点分别为 ．
则 ，
两式作差可得： ，
∴ ．
即弦所在直线的斜率为 ，直线方程为 ，
整理得： ．
故选:D．
19．C
【分析】利用点差法计算即可求得结果.
【详解】设弦的两端点为A(x,y),B(x,y)，
1 1 2 2
代入椭圆得 ，
两式相减得 ，
即 ，
即 ，又
即 ，
即 ，
∴弦所在的直线的斜率为 ，
故选：C.
20．B
第 21 页【分析】首先利用点 分别是线段 的两个三等分点，则 ，得 ，再利用点差法化简得
，两式化简得到选项.
【详解】设 ， ， 分别是线段 的两个三等分点，
， ，则 ，得 ，
，
利用点差法 ，两式相减得 ，
整理得到 ，即 ，
即
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到 ，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断
选项.
21．A
【分析】设直线 与椭圆交于 两点，代入椭圆的方程，结合“平方差”法，求得直线的斜率，结
合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】设直线 与椭圆交于 两点，
由 ，可得 ．
第 22 页又 ，所以 ，解得 ．
因此直线 的方程为 ，即 。
故选：A．
本题主要考查了直线与椭圆的位置的应用，以及中点弦问题的求解，其中解答中熟记中点弦的求解方法是解答的
关键，着重考查推理与运算能力，所以基础题.
22．C
【解析】利用点差法求直线斜率.
【详解】设弦的两个端点坐标分别为 ，
则 ，
又 ，
两式作差可求得直线的斜率 ，
故所求直线方程为 ，
即： ，
故选：C.
23．B
【分析】设A，B分别为 ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标公式可得直线斜率．
【详解】设A，B分别为 ，
， ，相减得 ，
即 ，
又 中点是P（1，2）， ，
， ， ，
故选：B．
24．C
【分析】由题设 ，利用 为 的重心，求出线段 的中点为 ，将B代入直线方程
得 ，再利用点差法可得 ，结合 ，可求出 ，进而求出离心率.
【详解】由题设 ，则线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，即 ，解得：
第 23 页即 代入直线 ，得 ①.
又B为线段 的中点，则 ，
又 为椭圆上两点， ，
以上两式相减得 ，
所以 ，化简得 ②
由①②及 ，解得： ，即离心率 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离
心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ；②构造 的齐次式，求出 ；③采用离心率的定义以及圆锥
曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
25．B
【分析】对于①：设动点 ，直接求出P的轨迹方程即可验证；
对于②：利用几何法求出 的最小值即可验证；
对于③：当 时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，即可验证；
对于④：利用双曲线的定义，进行判断；
对于⑤：用“点差法”求出直线方程进行验证即可.
【详解】对于①：设动点 ，由题意可得： ，即 ，整理化简得：
，即求出的轨迹方程为： .故①错误；
对于②：设 到抛物线的准线的距离为d，则 ，由抛物线的定义得， ,所以
，所以 ，如图示，当P运动到Q点时，P、A、F三点共线，
最小，此时 ，故②正确；
第 24 页对于③：当 时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；
对于④：“若动点 满足 ，则动点 的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不
满足双曲线的定义，故④不正确；
对于⑤：当直线 的斜率不存在时，直线l：x=1， 的中点为（1,0），不符合题意；
设直线 的斜率为k，设 ，则 .
因为 在椭圆 上，所以 ，两式相减得： ，所以
因为 是 的中点，所以 ，所以 ，
所以直线 的方程是 .故⑤正确.
故选：B
26．A
【分析】由于 是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.
【详解】设以 为中点的弦的两个端点分别为 ，
所以由中点坐标公式可得 ，
把 两点坐标代入椭圆方程得
两式相减可得
第 25 页所以 ，即所求的直线 的斜率为 .
故选A项.
【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.
27．C
【分析】由已知求得 ，得到M的横坐标为 ,进而求得M的纵坐标，然后得出OM的斜率，由 ,
得到 ，即可判定结论.
【详解】易得直线l的与x轴的交点横坐标为 ,∴椭圆的半焦距 ,
又∵ ，∴M的横坐标为 ,代入直线方程得到M的纵坐标为 ，
∴OM的斜率 ,
由于直线l的斜率 ,
,
, ,∴ ,
∴ ,∴ ,
逐项检验，即可判定只有C符合，
故选：C.
【点睛】 是应当熟记的结论.检验法是快速求解选择题的重要思想方法.
28．C
【分析】设点 、 ，利用点差可求得直线 的斜率，进而可求得直线 的方程.
【详解】设点 、 ，由已知可得 ，
因为点 、 都在椭圆上，则 ，
两式作差可得 ，即 ，
所以，直线 的斜率为 ，
第 26 页因此，直线 的方程为 ，即 .
故选：C.
29．B
【分析】设点 、 ，利用点差法可求得直线 的斜率，利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】设点 、 ，由中点坐标公式可得 ，所以 ，
因为 ，两式作差得 ，即 ，
即 ，所以， ，
因此，直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公
式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出
中点坐标和斜率关系求解.
30．A
【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E坐标，即可根据 求出 ，根据四边形的面积结
合基本不等式可求.
【详解】由题意知： ，直线 的方程为 ，
联立方程 可得 ，
因为 是其中一个解，则另一个解 满足 ，即 ，
所以 ，则可得 的中点 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，则即 ，
设 ，则由四边形 的面积为2，有 ，
即 ，由基本不等式得 ， ，
第 27 页从而三角形 的面积 ，等号当 ， 时取到.
所以三角形 面积的最大值为 .
故选：A.
31．D
【分析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.
【详解】显然点 在椭圆 内，设点 ，
依题意， ，两式相减得： ，
而弦 恰好被点 平分，即 ，
则直线AB的斜率 ，直线AB： ，即 ，
所以 所在的直线方程为 .
故选：D
32．C
【分析】设 ， ， ， ， 的中点为 ， ，运用点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，结
合对称性，可得中点坐标，代入抛物线的方程可得所求值．
【详解】解：设 ， ， ， ， 的中点为 ， ，
则 ，由点差法可得 ，
即 ①，显然 ，又因为 ②，
代②入①可得 ；由 ， 两点关于直线 对称，
可得 ，所以 ，又因为 ，所以 ， ，
代入抛物线方程得 ，
解得 或 ，
故选： ．
【点睛】本题考查椭圆的方程和运用，抛物线的方程和运用，考查点差法和代入法的运用，以及直线的斜率公式，
考查化简运算能力．
33．A
【分析】由题意，可得右焦点 的坐标，联立直线 与椭圆的方程，利用韦达定理，求出 的中点 的坐标，由
直线 的斜率可得 ， 的关系，再由椭圆中 ， ， 的关系求出 ， 的值，进而可得椭圆的方程．
第 28 页【详解】解：直线 中，令 ，可得 ，所以右焦点 ， ，
设 ， ， ， ，则 ， 的中点 ，
联立 ，整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为 ，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出 ， ，进而根
据 由两点间的斜率公式得 ， 的关系.
34．D
【详解】设 、 ，所以 ，运用点差法，所以直线 的斜率为 ，设直线方程为
，联立直线与椭圆的方程 ，所以 ；又因为 ，
解得 .
【学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
35．A
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】解：设 ， ，则 的中点坐标为 ，
由题意可得 ， ，
将 ， 的坐标的代入椭圆的方程： ，
作差可得 ，
所以 ，
第 29 页又因为离心率 ， ，所以 ，
所以 ，即直线 的斜率为 ，
故选：A.
36．D
【解析】中点弦问题，处理方法为点差法.得出 ， 用 替代，求出 关系式，从而求得离心率.
【详解】设
则 两式相减可得
故
①
是椭圆 的一条弦 的中点
故 ，代入①式中可得
故有
则 ，则
故选：D
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边
分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
37．A
【分析】求得直线 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.
【详解】设 ，直线 的斜率为
则
所以 ，由线段 的中点为
第 30 页所以
所以 ，又 ，所以 ，又
所以 ，∴ ，
故选：A.
38．A
【解析】先设直线方程，联立方程，利用韦达定理和中点坐标公式得到M点坐标，再计算斜率即可.
【详解】 两点连线斜率为2，设直线 方程 ， ，
联立 得， ，
则 ， ，
故由中点坐标公式可知，弦 中点 ，
所以 两点连线斜率为 .
故选：A.
39．A
【解析】先设 ， ，再由点差法求出 ，再由点 ， 在椭圆内，求出 的范围即
可得解.
【详解】解：设 ， ，
又点 ， 在椭圆 上，
则 ， ，
两式相减可得： ，
又 ，
则 ，
又点 ， 在椭圆内，
则 ，
第 31 页则 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题.
40．ACD
【分析】利用点差法可求得 的值，可得出 的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线 的方程与椭圆的
方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出 的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，
结合韦达定理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的.
【详解】令 、 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，则 ，所以， ，
所以， ，则 ， ，椭圆的标准方程为 ，
所以，椭圆 的焦点在 轴上，即 ，
，即 ，A对；
椭圆 的方程为 ，联立 ，
消 可得 ， ，可得 ，
则 ， ，
所以， ，则 ，所以，椭圆 的短轴长为 ，B错；
，C对；
椭圆 的方程为 ，其标准方程为 ， ，
椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，如下图所示：
第 32 页设点 关于直线 的对称点为点 ，则 ，解得 ，
即点 ，
易知 ，则 ,
当且仅当点 、 、 三点共线时，等号成立，D对.
故选：ACD．
41．AC
【分析】选项A. 由椭圆的定义可判断；选项B. 由点差法可求解判断；选项C. ，
,求出 的范围，从而建立不等式求出离心率，可判断；选定D. AB的最小值为通径 ,从
而可得 ，可判断.
【详解】由直线l∶y=k(x+c)过点 ，即弦 过椭圆的左焦点 .
，所以A正确；
设A(x，y)，B(x，y)，则M
1 1 2 2
有 ， ，所以
由 作差得∶ ，所以
则有 ，所以B错误；
，
所以 ，
第 33 页则有 ，可得 ，所以C正确；
由过焦点的弦中通经最短，则AB的最小值为通径 ，则有 ，
即 ，解得a=2c，所以 ，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义、过交点的弦的性质以及点差法的应用和与向量的应用，解答本题的关
键是由 ， ，所以 ，从而得出其离心率
的范围，以及过焦点的弦中通径最小，属于中档题.
42．AC
【分析】根据椭圆离心率的定义可得 ；
利用点差法可得 ，结合中点的坐标公式计算即可.
【详解】由题意可得 ，整理可得 ．
设 ， ，则 ， ，两式相减可得 ．
因为直线 与直线 的交点恰好为线段 的中点，所以 ，
则直线 的斜率 ．
故选：AC
43．BCD
【分析】根据椭圆方程，求出 、 ，即可判断A、B，设 ， ，利用点差法求出直线 的斜率，即
可得到直线方程，从而判断C，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出 ，即可判
断D；
【详解】解：由椭圆方程 ，所以 ， ，所以 ，故 ，
所以椭圆 的焦点坐标为 ， ，故A错误；
因为 ，所以椭圆 的长轴长为 ，故B正确；
设点 ， ，则 ，两式相减可得 ，
整理得 ，因为点 是线段 的中点，且 ，
第 34 页所以 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ，故C正确；
由 ，得 ，
所以 ， ，所以 ，故D正确．
故选：BCD
44．ABD
【分析】对A，根据 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量，进而判断出
与 共线，最后判断答案；
对B，根据 ，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式求得答案；
对C，利用“点差法”即可求得答案；
对D，运用角平分线定理即可求得答案.
【详解】对A， 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量，所以 与 共线，
而 .A正确；
对B， ，取线段 的中点G，则HG⊥ ，由平面向量数量积
的定义可知， ，同理 ，所以 .
第 35 页由基本不等式易得： ，当且仅当
时取“=”.B正确；
对C，设 ，则 ，所以 ，
有因为 ，即 .C错误；
对D，易知， 分别是 的角平分线，由角平分线定理可知：
.D正确.
故选：ABD.
45．AD
【解析】根据焦点位置的不同可得椭圆标准方程的不同形式，再利用点差法可求直线的斜率，从而得到所求的直
线方程.
【详解】由已知可得椭圆 的 ，又长轴为短轴的 ，
故椭圆方程为 或 ，
设弦的两端点为 ， ，
当椭圆方程为 时，则有 ，
两式相减得 ，整理得 ，
∴弦所在的直线的斜率为 ，其方程为 ，整理得 ；
当椭圆方程为 时，则有 ，
两式相减得 ，整理得 ，
∴弦所在的直线的斜率为 ，其方程为 ，整理得 .
第 36 页故选：AD.
【点睛】易错点睛：给出椭圆的几何量，求其标准方程时，注意根据焦点的位置分类讨论，否则是丢解.
46．
【分析】由椭圆与直线 相交，设交点为 ， ，由A、B分别在椭圆和直线上且中点横
坐标为 ，结合椭圆焦点为 ，得到 ，即可求得椭圆方程
【详解】设椭圆方程为 ，则 ①
设直线 与椭圆相交的弦的端点为 ，
则
而弦的中点的横坐标为 ，则纵坐标为 ，即
，即 ②
联立①②得： ．
故该椭圆的方程为
故答案为：
【点睛】本题考查了利用椭圆与直线相交弦中点求椭圆方程，设交点坐标，结合弦中点横坐标及椭圆曲线中的参
数关系，列方程求椭圆方程
47．
【分析】由点差法可求出直线的斜率，进而可求得直线的方程
【详解】设过点 的直线与椭圆 的两个交点分别为 ， ，
则 ， ，
两式相减得 ，
化简得 ，即 ，
直线AB的方程为 ，
所以直线AB的一般方程为 ，
故答案为：
第 37 页48．
【分析】利用点差法，结合 是线段 的中点，斜率为 ，即可求出椭圆 的离心率．
【详解】解：设 ， ， ， ，
则 ①， ②，
是线段 的中点，
， ，
直线 的方程是 ，
，
①②两式相减可得： ，
，
，
，
，
故答案为： .
49．−12##-0.5
【分析】本题可用“点差法”，设出 、 两点的坐标，分别代入椭圆的方程再两式相减，将所得式子变形成直
线 的斜率 的方程，解出 的值即可.
【详解】设 ，则
，两式相减，得
，
因为点 为线段 的中点，
所以 ，
第 38 页又因为 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
50．
【分析】由点差法求得 ，联立方程组 ，结合韦达定理化得 ，根据
即可求解结果．
【详解】设 ， ， ，
则 ， ， ．
由 ，得 ，即 ，
所以 ，得 ．
联立方程组 ，得 ，
则 ， ．
因为
，
所以 ，故 ．
故答案为： ．
51．
【分析】根据 在 上求出m的值，联立直线方程和椭圆方程，结合中点坐标公式、韦达定理、弦
长公式即可求出a、b，从而确定椭圆的方程．
【详解】由于 的中点坐标为 且满足直线方程 ，
第 39 页即有 ，解得 ，则 的中点坐标为 ．
设 ， ，由 得 ，
则 ，
∵ 的中点坐标为 ，∴ ，即 ，
则 ，即 ，故 ，
又 ，
解得 ，故 ．
∴椭圆方程为 ．
故答案为： ．
52．（1） ；（2） .
【解析】（1）根据题中条件，列出关于 和 的方程，求出 和 ，即可得出椭圆方程；
（2）先设 ， ，联立直线与椭圆方程，根据中点坐标公式，求出 点坐标，代入 ，即
可求出结果.
【详解】（1）因为椭圆 的右焦点为 ，且过点 ，
所以 ，解得 ，因此椭圆 的方程为 ；
（2）设 ， ，
由 消去 ，整理得 ，
由 解得 ，
又 ，则 ，
所以 的中点坐标为 ，
又点 在圆 上，
第 40 页所以 ，解得 满足 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于用 表示出点 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去 （ ）得到关于
（或 ）的一元二次方程，根据韦达定理及中点坐标公式，求出 坐标，即可求解.
53．（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得 关于 的表达式，得到关于 的方程，利
用基本不等式消去参数，得到关于 的不等式，求解得到 的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得
的坐标关于 的表达式，根据点 在椭圆上，得到关于 关于 的函数表达式，利用基本不
等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到 ．根据判别式大于
零，得到不等式 ，通过解方程组求得 ，代入求解得到 的最大值；方法四
利用抛物线的参数方程设出点 的参数坐标，利用斜率关系求得 的坐标关于 的表达式．作换元 ，
利用点A在椭圆上，得到 ，然后利用二次函数的性质求得 的最大值
【详解】（Ⅰ）当 时， 的方程为 ，故抛物线 的焦点坐标为 ；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设 ，
由 ，
，
由 在抛物线上，所以 ，
又 ，
， ，
.
由 即
第 41 页，
所以 ， ， ，
所以， 的最大值为 ，此时 .
[方法二]【最优解】：
设直线 ， .
将直线 的方程代入椭圆 得： ，
所以点 的纵坐标为 .
将直线 的方程代入抛物线 得： ，
所以 ，解得 ，因此 ，
由 解得 ，
所以当 时， 取到最大值为 .
[方法三] ：点差和判别式法
设 ，其中 ．
因为 所以 ．
整理得 ，所以 ．
又 ，
所以 ，整理得 ．
因为存在 ，所以上述关于 的二次方程有解，即判别式 ． ①
由 得 ．
第 42 页因此 ，将此式代入①式解得 ．
当且仅当点M的坐标为 时，p的最大值为 ．
[方法四]：参数法
设 ，
由 ，得 ．
令 ，则 ，点A坐标代入椭圆方程中，得 ．
所以 ，此时M坐标为 ．
54．（1） ；（2） .
【解析】（1）已知得 ，由离心率得 ，从而得 ，再计算出 后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得 中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意 ，
椭圆 的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴椭圆 方程为 ；
（2）设 ，
由 ，得 ，∴ ，
设 中点为 ，则 ，∴ ．
又 ，∴ 的垂直平分线方程为 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思
想方法，即设交点为 ，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得 ， ，利用中点
坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
55．（1） ；（2） .
【解析】（1）根据条件解关于 的方程组即可得结果；
（2）设 ， ，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得 的
第 43 页值.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ，
故椭圆的标准方程为 ．
（2）设 ， ，线段 的中点为 ．
联立 ，消去y得，
， ，即 ， ．
又因为点M在圆 上，所以 ，
解得 ，满足题意．
【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程
代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出 ，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化
求解能力，属中档题.
56．(1)
(2) 或
【分析】（1）判断点 在椭圆内部，然后根据点差法求得直线斜率，可得直线方程；
（2）根据三角形重心坐标公式可得 ，再根据 ， ， 依次成等差数列，可得 ，
由此可解得答案.
(1)
由题意，将 坐标代入 中，满足 ，
故点 在椭圆内部，
又线段AB的中点为 ，可知直线AB的斜率存在，
设 ， ，
则 ， ，两式相减整理得： ，
由已知可得 ，则 ，所以AB的斜率为 ，
第 44 页直线AB的方程为 ，即 ；
(2)
由已知可得 ，设 ，
因为F恰好是 ABP的重心，所以 ，即 ，
△
因为 ， ， 依次成等差数列，所以 ．
，
同理 ， ．
所以 ，可得 ，
于是 ，得 ，
将 代入椭圆方程得 ，
所以点P的坐标为 或 ．
57．（1） （2）证明见解析（3）见解析
【分析】（1）法一：根据椭圆焦点坐标得到 的关系式，结合( )在椭圆上，求得 的值，进而求得
椭圆方程.法二：根据椭圆的定义求得 ，结合 求得 ，进而求得椭圆的方程.
（2）法一：联立直线 的方程和椭圆方程，根据根与系数关系求得 中点 的坐标，由此判断出 在一条过原
点的直线上.法二：利用点差法，判断出 在一条过原点的直线上.
（3）先作两条平行弦，取它们中点连成直线，再作两条平行弦（与前面两条不平行），取它们中点连成直线，两
条中点连线的交点即为椭圆的中心.
【详解】(1)法一：设椭圆标准方程为： ， ，即椭圆方程为 ，
∵ 点( )在椭圆上，∴ ，解得 或 (舍)，由此得 ，即椭圆的标准方程为：
.
法二：利用椭圆的定义，点 到两焦点 、 距离之和为 = .所以 .由 可
知 ，即椭圆的标准方程为： .
（2）法一：设直线 的方程为 ，与椭圆 交于 ( )， ( )两点；
第 45 页直线与曲线联立： ，得 ；
由 ，化简得 ，即
，则 ；
∴ 中点 的坐标为 ，即线段 的中点 在过原点的直线 上.
法二：设直线 的方程为 ，与椭圆 交于 ( )， ( )两点；
则 ，两式作差并化简得 ，
即 ，即 ，即在过原点的定直线 上.
（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于 、 和 ，并分别取 、 的中点 ，连接直线 ；再
作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于 、 和 ，并分别取 、 的中点 ，连接
直线 ，那么直线 和 的交点 即为椭圆中心.
【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的中点弦有关计算，考查运算求解能力，属于中档题.
第 46 页第 47 页
