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第六章 数列
第一节 数列的概念及简单表示
核心素养立意下的命题导向
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素
养．
[理清主干知识]
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义
域的函数a ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
n
(3)数列的前n项和：数列{a }中，S ＝a ＋ a ＋ … ＋ a 叫做数列的前n项和．
n n 1 2 n
2．a 与S 的关系
n n
若数列{a }的前n项和为S ，则a ＝
n n n
3．数列的通项公式与递推公式
(1)通项公式：如果数列{a }的第n项a 与 序号 n 之间的关系可以用一个式子a ＝f(n)来表示，
n n n
那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{a }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a
n n
与它的前一项a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数
n－1
列的递推公式．
4．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
按项数分类
无穷数列 项数无限
按项与项间 递增数列 a >a
n＋1 n
其中
的大小关系 递减数列 a 0.
n＋1∵a＝2，∴b＝＝，b＝2，b＝2＝4，b＝2＝8，
1 1 2 3 4
∴数列{b }是递减数列，故选D.
n
[答案] D
[方法技巧]
解决数列的单调性问题的3种方法
(1)用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a }是递增数列、递减数列或是常数列．
n＋1 n n
(2)用作商比较法，根据(a >0或a <0)与1的大小关系进行判断．
n n
(3)结合导数的方法判断．
考法(三) 数列中的最大(小)项
[例3] 已知数列{a }的通项公式为a ＝，则数列中的最大项为________．
n n
[解析] 法一：a －a ＝－＝·，
n＋1 n
当n<8时，a －a >0，即a >a ；
n＋1 n n＋1 n
当n＝8时，a －a ＝0，即a ＝a ；
n＋1 n n＋1 n
当n>8时，a －a <0，即a a >a >…，故数列{a }中的最大项为第8项和第9项，且a＝a
1 2 3 8 8 9 9 10 11 n 8 9
＝＝.
法二：设数列{a }中的第n项最大，
n
则即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{a }中的最大项为第8项和第9项，且a＝a＝.
n 8 9
[答案]
[方法技巧]
求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图
象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式a 研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
n
(3)比较法：
①若有a －a ＝f(n＋1)－f(n)>0（或a >0时，>1），则a >a ，即数列{a }是递增数列，所以
n＋1 n n n＋1 n n
数列{a }的最小项为a＝f(1)；
n 1
②若有a －a ＝f(n＋1)－f(n)<0（或a >0时，<1），则a 3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.
3．若数列{a }的前n项和S ＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na }中数值最小的项是( )
n n n
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
解析：选D ∵S ＝n2－10n，
n
∴当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－11；
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝－9也适合上式．
1 1
∴a ＝2n－11(n∈N*)．
n
记f(n)＝na ＝n(2n－11)＝2n2－11n，
n
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{na }中数值最小的项是第3项．
n
创新考查方式——领悟高考新动向
1．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文
化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．
它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．数列前 10 项依次是
0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则此数列第20项为( )
A．180 B．200
C．128 D．162
解析：选B 由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a ＝2n2，则此数列第
2n
20项为2×102＝200.故选B.
2．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列
{a }，{a }的前n项和为S ，则下列说法中正确的是( )
n n n
A．数列{a }是递增数列
n
B．数列{S }是递增数列
n
C．数列{a }的最大项是a
n 11
D．数列{S }的最大项是S
n 11
解析：选C 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a>a，所以{a }不
7 8 n
是递增数列，所以选项A错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S ＝S ，所以数列
33 34
{S }不是递增数列，所以选项B错误；因为1月31日新增确诊病例数最多，从 1月21
n
日算起，1月31日是第11天，所以数列{a }的最大项是a ，所以选项C正确；数列{S }的最大
n 11 n
项是最后一项，所以选项D错误，故选C.
3．设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{a }满足：a＝1，a
n 1 n
＝a ＋n＋1，则＝( )
＋1 n
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 设S ＝＋＋…＋.由a＝1，a ＝a ＋n＋1，可得a －a ＝n＋1，那么当n≥2
n 1 n＋1 n n＋1 n
时，a －a ＝n，a －a ＝n－1，…，a－a＝2，累加可得a －a＝2＋3＋4＋…＋n，∴a
n n－1 n－1 n－2 2 1 n 1 n
＝，当n＝1时，a＝1也适合上式，则＝2·＝2.故S ＝＋＋…＋＝2＝2－.∵0<≤1，∴1≤2－
1 n
<2， ∴＝1，故选A.
4．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉
的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们，定理涉及的
是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为
世界数学的发展做出了巨大贡献．现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个整数中能
被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a }，那么此数列的项数
n
为( )
A．133 B．134
C．135 D．136
解析：选C 由于能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，所以a ＝2＋(n－
n
1)·15＝15n－13.由a ＝15n－13≤2 020，得n≤135＋，n∈N*，故此数列的项数为135.故选C.
n
5．(多选)黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄
金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下的小矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，
最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特
农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设
为a (n∈N*)，数列{a }满足a＝a＝1，a ＝a ＋a (n≥3)．再将扇形面积设为b (n∈N*)，则(
n n 1 2 n n－1 n－2 n
)
A．4(b －b )＝πa ·a
2 020 2 019 2 018 2 021
B．a＋a＋a＋…＋a ＝a －1
1 2 3 2 019 2 021
C．a＋a＋a＋…＋(a )2＝2a ·a
2 020 2 019 2 021
D．a ·a －(a )2＋a ·a －(a )2＝0
2 019 2 021 2 020 2 018 2 020 2 019
解析：选ABD 由题意得b ＝a，则4(b －b )＝4＝π(a ＋ a )(a －a )＝πa
n 2 020 2 019 2 020 2 019 2 020 2 019 2
·a ，则选项A正确；
018 2 021
又数列{a }满足a＝a＝1，a ＝a ＋a (n≥3)，所以a ＝a －a (n≥3)，a＋a＋a＋…
n 1 2 n n－1 n－2 n－2 n n－1 1 2 3
＋a ＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a －a )＝a －a＝a －1，则选项B正确；
2 019 3 2 4 3 5 4 2 021 2 020 2 021 2 2 021
数列{a }满足a＝a＝1，a ＝a ＋a (n≥3)，即a ＝a －a ，两边同乘a ，可得a＝a
n 1 2 n n－1 n－2 n－1 n n－2 n－1 n－
a －a a ，则a＋a＋a＋…＋(a )2＝a＋(aa －aa)＋(aa －aa)＋…＋(a a －a
1 n n－1 n－2 2 020 2 3 2 1 3 4 3 2 2 020 2 021 2
a )＝a－aa＋a a ＝a a ，则选项C错误；
020 2 019 2 1 2 020 2 021 2 020 2 021
由题意a ＝a －a ，则a ·a －(a )2＋a ·a －(a )2＝a ·(a －a )＋a
n－1 n n－2 2 019 2 021 2 020 2 018 2 020 2 019 2 019 2 021 2 019 2
·(a －a )＝a ·a ＋a ·(－a )＝0，则选项D正确．故选A、B、D.
020 2 018 2 020 2 019 2 020 2 020 2 019
6．设数列{a }的前n项和为S ，且∀n∈N*，a >a ，S ≥S.请写出一个满足条件的数列{a }的
n n n＋1 n n 6 n
通项公式a ＝________.
n
解析：∀n∈N*，a >a ，则数列{a }是递增的，∀n∈N*，S ≥S，即S 最小，只要前6项均为负
n＋1 n n n 6 6
数，或前5项为负数，第6项为0即可．所以，满足条件的数列{a }的一个通项公式a ＝n－
n n
6(n∈N*)(答案不唯一)．
答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)一、基础练——练手感熟练度
1．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为( )
A．a ＝n2 B．a ＝(－1)n·n2
n n
C．a ＝(－1)n＋1·n2 D．a ＝(－1)n·(n＋1)2
n n
解析：选B 易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为a ＝(－1)n·n2，故选B.
n
2．已知数列{a }的前n项和为S ，且a＝2，a ＝S ＋1(n∈N*)，则S＝( )
n n 1 n＋1 n 5
A．31 B．42
C．37 D．47
解析：选D 由题意，得S －S ＝S ＋1(n∈N*)，∴S ＋1＝2(S ＋1)(n∈N*)，故数列{S ＋
n＋1 n n n＋1 n n
1}为等比数列，其首项为S＋1＝3，公比为2，则S＋1＝3×24，∴S＝47.
1 5 5
3．记S 为递增数列{a }的前n项和，“任意正整数n，均有a >0”是“{S }是递增数列”的(
n n n n
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为“a >0”⇒数列{S }是递增数列，所以“a >0”是“数列{S }是递增数列”的
n n n n
充分条件；反之，如数列{a }为－1，1,3,5,7,9，…，显然{S }是递增数列，但是a 不一定大于零，
n n n
还有可能小于零，“数列{S }是递增数列”⇒/ “a >0”，“a >0”是“数列{S }是递增数列”的
n n n n
不必要条件．因此“a >0”是“数列{S }是递增数列”的充分不必要条件．故选A.
n n
4．若数列{a }的前n项和S ＝3n2－2n＋1，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n n n n
解析：当n＝1时，a＝S＝3×12－2×1＋1＝2；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，
n n n－1
不满足上式．
故数列的通项公式为a ＝
n
答案：
5．设数列{a }中，a＝3，a ＝a ＋，则通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n
解析：由题意知a －a ＝＝－，
n＋1 n
∴a－a＝1－，a－a＝－，a－a＝－，…，a －a ＝－(n≥2，n∈N*)，逐项相加得a ＝a＋
2 1 3 2 4 3 n n－1 n 1
1－＝4－.经检验，a＝3也符合上式．故a ＝4－.
1 n
答案：4－
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知数列{a }的前n项和S ＝2－2n＋1，则a＝( )
n n 3
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
解析：选D ∵数列{a }的前n项和S ＝2－2n＋1，∴a＝S－S＝(2－24)－(2－23)＝ －8.故
n n 3 3 2
选D.2．(2021·沈阳模拟)已知数列{a }中a＝1，a ＝n(a －a )(n∈N*)，则a ＝( )
n 1 n n＋1 n n
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
解析：选C 由a ＝n(a －a )，得(n＋1)a ＝na ，即＝，∴为常数列，即＝＝1，故a ＝n.故
n n＋1 n n n＋1 n
选C.
3．设a ＝－3n2＋15n－18，则数列{a }中的最大项的值是( )
n n
A. B.
C．4 D．0
解析：选D 因为a ＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，a 最大，最大值为0.
n n
4．(多选)对于数列，令b ＝a －，下列说法正确的是( )
n n
A．若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列
B．若数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列
C．若a ＝3n－1，则数列有最小值
n
D．若a ＝1－n，则数列有最大值
n
解析：选CD 如果a＝－1，a＝1，则b＝b＝0，从而A不正确；如果a＝1，a＝－1，则b
1 2 1 2 1 2 1
＝b＝0，从而B不正确；函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上为增函数，若a ＝3n－1，则为递增数列，
2 n
当n＝1时，a 取最小值，a＝2>0，所以数列有最小值，从而C正确；若a ＝1－n，当n＝1时，
n 1 n
a 取最大值且a >0，所以数列有最大值，从而D正确．
n n
5．设数列{a }满足a＝1，a＝2，且2na ＝(n－1)a ＋(n＋1)a (n≥2且n∈N*)，则a ＝(
n 1 2 n n－1 n＋1 18
)
A. B.
C．3 D.
解析：选B 令b ＝na ，
n n
则由2na ＝(n－1)a ＋(n＋1)a (n≥2且n∈N*)，
n n－1 n＋1
得2b ＝b ＋b (n≥2且n∈N*)，
n n－1 n＋1
∴数列{b }是以1为首项，以2a－a＝3为公差的等差数列，
n 2 1
则b ＝1＋3(n－1)＝3n－2，即na ＝3n－2，∴a ＝，∴a ＝＝.故选B.
n n n 18
6．(多选)已知数列{a }满足：a＝3，当n≥2时，a ＝(＋1)2－1，则关于数列{a }说法正确的是(
n 1 n n
)
A．a＝8 B．数列{a }为递增数列
2 n
C．数列{a }为周期数列 D．a ＝n2＋2n
n n
解析：选ABD 由a ＝(＋1)2－1得a ＋1＝(＋1)2，∴＝＋1，即数列{}是首项为＝2，公差为1
n n
的等差数列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴a ＝n2＋2n，得a＝8，由二次函数的性质得数列
n 2
{a }为递增数列，故A、B、D正确．
n
7．设数列{a }中a＝a＝1，且满足a ＝3a 与a －a ＝a ，则数列{a }的前12项的
n 1 2 2n＋1 2n－1 2n＋2 2n＋1 2n n
和为( )A．364 B．728
C．907 D．1 635
解析：选C 数列{a }中a＝a＝1，且满足a ＝3a ，则a＝3a＝3，a＝3a＝9，a＝3a
n 1 2 2n＋1 2n－1 3 1 5 3 7 5
＝27，a＝3a＝81，a ＝3a＝243.
9 7 11 9
由于a －a ＝a ，所以a ＝a ＋a ，
2n＋2 2n＋1 2n 2n＋2 2n＋1 2n
故a＝a＋a＝4，a＝a＋a＝13，a＝a＋a＝40，a ＝a＋a＝121，a ＝a ＋a ＝364，
4 3 2 6 5 4 8 7 6 10 9 8 12 11 10
所以数列{a }的前12项的和为1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝907.故
n
选C.
8．已知S 为数列{a }的前n项和，a＝1,2S ＝(n＋1)a ，若关于正整数n的不等式a－ta ≤2t2
n n 1 n n n
的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵a＝1,2S ＝(n＋1)a ，∴当n≥2时，2S ＝na ，
1 n n n－1 n－1
∴2a ＝2(S －S )＝(n＋1)a －na ，整理得＝(n≥2)，
n n n－1 n n－1
∴＝＝…＝＝＝1，∴a ＝n(n∈N*)．
n
不等式a－ta ≤2t2可化为(n－2t)(n＋t)≤0，t>0，
n
∴00，且前n项和S 满足4S ＝(a ＋1)2(n∈N*)，则数列{a }的通项公式为
n n n n n n
________．
解析：当n＝1时，4S＝(a＋1)2，解得a＝1；
1 1 1
当n≥2时，由4S ＝(a ＋1)2＝a＋2a ＋1，
n n n
得4S ＝a＋2a ＋1，
n－1 n－1
两式相减得4S －4S ＝a－a＋2a －2a ＝4a ，
n n－1 n n－1 n
整理得(a ＋a )(a －a －2)＝0，
n n－1 n n－1
因为a >0，所以a －a －2＝0，即a －a ＝2，
n n n－1 n n－1又a＝1，故数列{a }是首项为1，公差为2的等差数列，
1 n
所以a ＝1＋2(n－1)＝2n－1.
n
答案：a ＝2n－1
n
12．若数列{a }是正项数列，且＋＋＋…＋＝n2＋n，则a＋＋…＋＝________.
n 1
解析：由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴a ＝4n2.又当n＝1时，＝2，
n
∴a＝4，∴＝4n，∴a＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n2＋2n.
1 1
答案：2n2＋2n
13．在数列{a }中，a＝1，a＋＋＋…＋＝a (n∈N*)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 1 n n n
解析：由a＋＋＋…＋＝a (n∈N*)知，当n≥2时，a＋＋＋…＋＝ a ，∴＝a －a ，即
1 n 1 n－1 n n－1
a ＝a ，∴a ＝…＝2a＝2，∴a ＝.
n n－1 n 1 n
答案：
14．已知数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{b }的前 n 项和为 T .满足 a ＝2,3S ＝(n＋
n n n n 1 n
m)a (m∈R)，且a b ＝n，若存在n∈N*，使得λ＋T ≥T 成立，则实数λ的最小值为________．
n n n n 2n
解析：∵3S ＝(n＋m)a ，
n n
∴3S＝3a＝(1＋m)a，解得m＝2，
1 1 1
∴3S ＝(n＋2)a ，①
n n
当n≥2时，3S ＝(n＋1)a ，②
n－1 n－1
由①－②可得3a ＝(n＋2)a －(n＋1)a ，
n n n－1
即(n－1)a ＝(n＋1)a ，∴＝，
n n－1
∴＝，＝，＝，…，＝，＝，
累乘可得a ＝n(n＋1)(n≥2)，经检验，a＝2符合上式，
n 1
∴a ＝n(n＋1)，n∈N*.∵a b ＝n，
n n n
∴b ＝，令B ＝T －T ＝＋＋…＋，则B －B ＝>0，∴数列{B }为递增数列，∴B ≥B ＝.
n n 2n n n＋1 n n n 1
∵存在n∈N*，使得λ＋T ≥T 成立，∴λ≥B ＝，
n 2n 1
故实数λ的最小值为.
答案：
15．已知数列{a }的通项公式是a ＝n2＋kn＋4.
n n
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a 有最小值？并求出最小值；
n
(2)对于n∈N*，都有a >a ，求实数k的取值范围．
n＋1 n
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1a ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a ＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n
n＋1 n n
的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
16．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{a }的前n项和S ＝
n n
f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设c ＝1－(n∈N*)，定义所有满足c ·c <0的正整数m的个数，称为这个数列{c }的变号
n m m＋1 n
数，求数列{c }的变号数．
n
解：(1)依题意，当f(x)＝0时，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以S ＝n2－4n＋4.
n
当n＝1时，a＝S＝1－4＋4＝1；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－5.
n n n－1
所以a ＝
n
(2)由题意得c ＝
n
由c ＝1－可知，当n≥5时，恒有c >0.
n n
又c＝－3，c＝5，c＝－3，c＝－，c＝，c＝，
1 2 3 4 5 6
即c·c<0，c·c<0，c·c<0，
1 2 2 3 4 5
所以数列{c }的变号数为3.
n
