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第1课时 直线与圆锥曲线
一、选择题
1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之
和等于2，则这样的直线( )
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
解析 ∵通径2p＝2，又|AB|＝x ＋x ＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只
1 2
有两条.
答案 B
2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1
个交点.
答案 A
3.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设
O为坐标原点，则OA·OB等于( )
A.－3 B.－
C.－或－3 D.±
解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x
－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x
＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴OA·OB＝－，同理，直线l经过椭圆
的左焦点时，也可得OA·OB＝－.
答案 B
4.抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A. B.
C.2 D.
解析 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，∴x＝时， d ＝.
min
答案 B
5.(2017·石家庄调研)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与
线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B. C. D.
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，线段AB中点M(x ，y )，
1 1 2 2 0 0由题设k ＝＝.
OM
由得＝－.
又＝－1，＝＝.
所以＝.
答案 A
二、填空题
6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与
椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.
解析 由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7.已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线
所得的弦长等于________.
解析 由题设知p＝＝2，∴a＝.
抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.
联立消去x，
整理得y2－6y＋1＝0，∴y ＋y ＝6，∵直线过焦点F，
1 2
∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y ＋1＋y ＋1＝8.
1 2
答案 8
8.过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________.
解析 设直线与椭圆交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
1 1 2 2
由于A，B两点均在椭圆上，
故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x ＋x ＝6，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∴k ＝＝－.
AB
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3).
即3x＋4y－13＝0.
答案 3x＋4y－13＝0
三、解答题
9.设F ，F 分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F 且斜率为1的直线
1 2 1
l与E相交于A，B两点，且|AF |，|AB|，|BF |成等差数列.
2 2(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
解 (1)由椭圆定义知|AF |＋|BF |＋|AB|＝4a，
2 2
又2|AB|＝|AF |＋|BF |，得|AB|＝a，
2 2
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x ，y )，B(x ，y )，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋
1 1 2 2
2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x －x |＝，即a＝，故a2＝2b2，
2 1
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x ，y )，由(1)知
0 0
x ＝＝＝－，y ＝x ＋c＝.
0 0 0
由|PA|＝|PB|，得k ＝－1，即＝－1，
PN
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率
为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
解 (1)由题意得
解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，
1 1 2 2
则y ＝k(x －1)，y ＝k(x －1)，
1 1 2 2
x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝
＝
＝
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1.
11.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线l交椭圆于
1 2 1
A，B两点，若|BF |＋|AF |的最大值为5，则b的值是( )
2 2
A.1 B. C. D.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF |＋|BF |
2 2
＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF |＋|BF |)≥3.
2 2
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b
＝.
答案 D
12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任
意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值是(
)
A. B. C. D.1
解析 如图所示，设P(x ，y )(y >0)，则y＝2px ，
0 0 0 0
即x ＝.
0
设M(x′，y′)，由PM＝2MF，
得
解之得x′＝，且y′＝.
∴直线OM的斜率k＝＝＝
又y ＋≥2p，当且仅当y ＝p时取等号.
0 0
∴k≤＝，则k的最大值为.
答案 C
13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.
如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
解析 直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6，4).由抛物线的性
质可知|PF|＝6＋2＝8.
答案 8
14.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C
的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N
两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
解 (1)设Q(x ，4)，代入y2＝2px得x ＝.
0 0
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x ＝＋.
0
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x
得y2－4my－4＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，则y ＋y ＝4m，y y ＝－4.
1 1 2 2 1 2 1 2
故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y －y |＝4(m2＋1).
1 2
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x ，y )，N(x ，y )，则y ＋y ＝－，
3 3 4 4 3 4
y y ＝－4(2m2＋3).
3 4
故MN的中点为E，
|MN|＝|y －y |＝.
3 4
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋＋
＝.
化简得m2－1＝0，
解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
