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第七章 立体几何
第一节 空间几何体
第1课时 系统知识牢基础——空间几何体
知识点一 空间几何体的结构特征
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定 延长线交于一点，但不
侧棱 平行且相等
相等 一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2．特殊的棱柱和棱锥
(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正
棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别
地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底
面的射影是底面正多边形的中心．
[提醒] (1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定
是棱柱．
(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．
3．旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转
矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形
图形
任一边所在的直 任一直角边所在 垂直于底边的腰
旋转轴 直径所在的直线
线 的直线 所在的直线
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角 全等的等腰梯形 圆形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
[重温经典]
1．(教材改编题)下列命题中正确的是( )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
答案：B
2．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的
几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱
台的上、下底面相似且是对应平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧
棱长不一定相等．
3.如图，长方体 ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中
EH∥A′D′.剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
答案：C
4．(易错题)从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G(不与顶点重合)，过此
三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是( )
A．锐角三角形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
答案：A
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆
心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面
图形可能是( )A．①② B．①③
C．①④ D．①⑤
解析：选D 该几何体的轴截面是①，当竖直的截面不经过轴时，截面图形为⑤.故选D.
6．(教材改编题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填序号)
答案：③⑤
知识点二 直观图
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′
轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
2．直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
(1)S ＝S
直观图 原图形．
(2)S ＝2S
原图形 直观图．
[重温经典]
1．一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．五棱锥 D．四面体
解析：选D A、B、C都是6个顶点，D是4个顶点，故选D.
2.(教材改编题)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，
边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2
cm2，则原平面图形的面积为( )
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
解析：选C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，
AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.3．以钝角三角形的较小边所在直线为轴，其他两边旋转一周形成的面所围成的几何体
是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析：选D 如图，以AB为轴旋转一周所得到的几何体是一个大圆锥挖去
一个小圆锥．
4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选C 由直观图还原平面图形，易知△ABC为钝角三角形．
5.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观
图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，
则原平面四边形OABC的面积为________．
解析：因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为
1，所以原图形的面积为2.
答案：2
知识点三 空间几何体的表面积与体积
1．空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体
S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱柱和圆柱)
锥体
S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱锥和圆锥)
台体
S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
(棱台和圆台)
球 S＝ 4π R 2 V＝πR3
2．几何体的表面积和侧面积的注意点
(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
3．柱体、锥体、台体侧面积间的关系(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，
得到正棱锥，则S ＝ch′←―― S ＝(c＋c′)h′――→S ＝ch′.
正棱柱侧 正棱台侧 正棱锥侧
(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，
得到圆锥，则
S ＝2πrl←―― S ＝π(r＋r′)l――→S ＝πrl.
圆柱侧 圆台侧 圆锥侧
4．柱体、锥体、台体体积间的关系如图所示
[重温经典]
1．已知圆柱O′O的底面半径为r，母线长是底面直径的2倍，则圆柱O′O的表面积是
( )
A．4πr2 B．10πr2
C．8πr2 D．6πr2
解析：选B ∵母线l＝2×2r＝4r，∴S ＝2πr·l＝2πr·4r＝8πr2，S ＝2πr2＋8πr2＝10πr2.
侧 表
2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(
)
A．4π B．6π
C.π D．4π
解析：选A 由已知得球的半径为＝，所以球的体积为×()3＝4π，故选A.
3.如图所示，已知三棱柱ABCA B C 的所有棱长均为1，且AA ⊥底
1 1 1 1
面ABC，则三棱锥B ABC 的体积为( )
1 1
A. B.
C. D.
解析：选A 易知三棱锥B ABC 的体积等于三棱锥AB BC 的体积，
1 1 1 1
又三棱锥AB BC 的高为，底面积为，故其体积为××＝.
1 1
4．(2021年1月新高考八省联考卷)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，
其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．
解析：易知圆台的高为3，所以其体积为V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝61π.
答案：61π
5．(教材改编题)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出
一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案：1∶47
