文档内容
第 9 讲 空间角
真题展示
2022 新高考一卷第 9 题
已知正方体 ，则
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【思路分析】求出异面直线所成角判断 ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质
判断 ；分别求出线面角判断 与 ．
【解析】如图，
连接 ，由 ， ，得四边形 为平行四边形，
可得 ， ， 直线 与 所成的角为 ，故 正确；
， ， ， 平面 ，而 平面 ，
，即直线 与 所成的角为 ，故 正确；
设 ，连接 ，可得 平面 ，即 为直线 与平面
所成的角，
， 直线 与平面 所成的角为 ，故 错误；
底面 ， 为直线 与平面 所成的角为 ，故 正确．
故选： ．
【试题评价】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象
能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却
拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于
教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间
想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题
对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，
同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信
心，促进考生正常发挥水平.
知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u ，u 分别是直线l ，l 的方向向量，则
1 2 1 2
l ∥l ⇔u ∥u ⇔∃λ∈R，使得u ＝λu .
1 2 1 2 1 2
二、 线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
三、 面面平行的向量表示
设n ，n 分别是平面α，β的法向量，则
1 2
α∥β⇔n ∥n ⇔∃λ∈R，使得n ＝λn .
1 2 1 2
四、线线垂直的向量表示
设 u ，u 分别是直线 l , l 的方向向量，则
1 2 1 2
l ⊥l ⇔u ⊥u ⇔u ·u ＝0.
1 2 1 2 1 2
五、 线面垂直的向量表示设 u 是 直 线 l 的 方 向 向 量 ， n 是 平 面 α 的 法 向 量 ， l⊄ α ， 则
l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
六、 面面垂直的向量表示
设n ，n 分别是平面α，β的法向量，则
1 2
α⊥β⇔n ⊥n ⇔n ·n ＝0.
1 2 1 2
七、两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面 α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个
二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
八、 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
设两异面直线 l ，l 所成的角为
两条异面 1 2
直线所成 θ，其方向向量分别为u，v，则cos
的角 θ＝|cos〈u，v〉|＝
设直线AB与平面α所成的角为θ，
直线与平
直线AB的方向向量为u，平面α的
面所成的
法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，
角
n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平
两个平面
面α，β的法向量分别为n ，n ，则
1 2
的夹角
cos θ＝|cos 〈n ，n 〉|＝
1 2
三年真题
一、单选题1．如图， 是直三棱柱， ，点 ， 分别是 ， 的中点，若
，则 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
可得 ， ，，
此时， 与 所成角的余弦值是 .
故选：A
2．如图，在棱长为1的正方体 中，M，N分别为 和 的中点，那么直线AM与CN
夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，
所以 ，所以 ，
故选：D
3．正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
【详解】设 ， ， ， ，
则 ， ，
，
∴ ，∴ 与 所成的角的大小是 ，
故选：B
4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,且 ，则直线 与直线 夹角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C (0,2,0)，B(0,2,1)，可得 ＝(－2,2,1)， ＝
1 1
(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈 ， 〉＝
5．如图，在长方体ABCD-ABC D 中，AB=BC=2，AA=1，则BC 与平面BBDD所成角的正弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角
坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， （0，2，1）∴ =（-2，0，1）， =
（-2，2，0）， 且为平面BB DD的一个法向量．
1 1
∴ ．∴BC 与平面BB DD所成角的正弦值为
1 1 1
二、解答题
6．如图，平面 平面 ， ，直线AM与直线PC所成的角为 ，又
．(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求多面体 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，
得 ；
（2）
由(1)知，建立如图空间直角坐标系 ，设 ，
则 ，有 ，
又直线AM与直线PC所成的角为 ，得 ，即 ，解得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，
又二面角 的所成角为锐角，
所以二面角 的所成角的余弦值为 ，
故二面角 的大小为 ；
（3）由题意知，
多面体 即为四棱锥 ，
则
，
即多面体 的体积为 .
7．如图， 是直角梯形， ， ， ， ，又 ， ，
，直线 与直线 所成的角为 ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明： ，则 ，
又因为 ， ， 、 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）解：因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，
平面 内过点 且与 垂直的直线作 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 、 ，， ，
由题意可得 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ， ，
由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的大小为 .
（3）解： ， ，则 ， ，
由（2）可知点 到平面 的距离为 ，
因此， .
8．如图，在长方体 中，E、P分别是 的中点， 分别是 的中点，
．(1)求证： 面 ；
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系，
则：
∵ 分别是 的中点
∴
取 ，显然 面
，∴
又 面 ∴ 面
（2）过 作 ，交 于 ，取 的中点 ，则
设 ，则又
由 ，及 在直线 上，可得:
解得 ，
∴ ∴ 即
∴ 与 所夹的角等于二面角 的大小.
，故二面角 的大小为 .
9．如图，已知长方体 ，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直
于E，F为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角；
(2)求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)(3)
【详解】（1）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
因为直线 与平面 所成的角为 ，即 ，又因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为 ，设 ，即 ， ，
，解得 ， ，
，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，所以异面直线 与 所成的角为 ；
（2）显然平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 得 ， ，即 ，所以 ，所以平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小为
；
（3）由向量法可知，点A到平面 的距离 ，即点A到
平面 的距离为 .
三年模拟
一、单选题
1．如图， 在棱长为 2 的正方体 中， 均为所在棱的中点， 则下列结
论正确的有（ ）
①棱 上一定存在点 ， 使得
②三棱锥 的外接球的表面积为
③过点 作正方体的截面， 则截面面积为
④设点 在平面 内， 且 平面 ， 则 与 所成角的余弦值的最大值为
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【答案】C
【详解】建立如图空间直角坐标系，
设 ， 其中 ，
所以 ，
若棱 上存在点 ， 使得 ， 则 ，
整理得 ， 此方程无解， ①不正确;
设 的中点为 ， 则四边形 是边长为 的正方形， 其外接圆的半径为 ，
又 底面 ， 所以三棱锥 的外接球的半径为 ；
所以其表面积为 ，②正确;
过点 作正方体的截面， 截面如图中六边形所示，
因为边长均为 ， 且对边平行， 所以截面六边形为正六边形，
其面积为 ， ③正确;
点 在平面 内，设 ，则 ，
设 是平面 的一个法向量， 则 ，
令 可得 ， 即 ，
因为 平面 ， 所以 ， 即 ，
设 与 所成角为 ， 则 ，
当 时， 取最小值 ，
所以 与 所成角的余弦值的最大值为 ，故④正确;
故选：C.
2．在各棱长均相等的直三棱柱 中，点M在 上 ，点N在AC上且 ，
则异面直线 与NB所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ， ．设异面直线 与BN所成角为 ，
则 ，∴ ，∴异面直线 与BN所成角的正切值为 .
故选：B．
3．如图，在正方体 中，点M，N分别是 ， 的中点，则下述结论中正确的个数为
（ ）
① ∥平面 ； ②平面 平面 ；
③直线 与 所成的角为 ； ④直线 与平面 所成的角为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为 ，，
由正方体的性质可知： 平面 ，则平面 的法向量为 ，
，因为 ，所以 ，而 平面 ，
因此 ∥平面 ，故①对；
设平面 的法向量为 ， ， ，
所以有 ，
同理可求出平面 的法向量 ，
因为 ，所以 ，因此平面 平面 ，故②正确；
因为 ， ，
所以 ，
因为异面直线所成的角范围为 ，所以直线 与 所成的角为 ，故③正确；
设直线 与平面 所成的角为 ，
因为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，所以直线 与平面 所成的角不是 ，因此④错误，
一共有 个结论正确，
故选：C
4．如图，直三棱柱 的底面为正三角形，M，N分别为AC， 的中点，若 ，则异
面直线 与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】解法一：
如图，设直三棱柱 的底面边长为2， ，连接 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以在 中，由勾股定理可得 ，得 .连接 ， 交于点P，取 的中点Q，连接PQ，AQ，则 ， ，
所以 为异面直线 与MN所成的角或其补角.
易知 ，故 为等边三角形， ，
所以异面直线 与MN所成角的大小为60°.
解法二：
设直三棱柱 的底面边长为2， ，连接 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以在 中，由勾股定理可得 ，得 .
如图，把三棱柱 补成一个四棱柱 ，连接 ， ，
则 ， ，故 为异面直线 与 所成的角或其补角.
连接AD，易知 ，故 为等边三角形， ，
所以异面直线 与 所成角的大小为60°.
解法三 由题可以A为坐标原点，分别以AB， 所在直线为y，z轴，
在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直三棱柱 的底面边长为2，高为h，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，由 可得 ，
所以 ，得 ，所以 ， ，则
，
因为异面直线所成角的取值范围为 ，所以异面直线 与MN所成角的大小为60°.
故选：C
5．在三棱锥 中， 为等边三角形， 平面 ， ， ，点G是P在平面
内的射影，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，取 的中点D，连接 ， 为等边三角形，∴ ，由题意知 平面 ， 平面 ，
故 ,又 ， ，则 ，
所以 ，而 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 , 所以平面 平面 ,平面 平面 ,
∴点P在平面 内的射影在直线 上，连接PG，则 ，
在 中， ， ，则 ， ，
故 ，则 ,∴点G是 的重心.
以P为坐标原点，过点P作 的垂线为x轴，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，则 ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ,
故选:C.
另解：同解法一得出点G是 的重心.如图，取 的中心E，连接EG，则 ,故 ，
则异面直线 与 所成的角为 ，
因为 平面 ，故 平面 ，
连接CE，在 中， ， ， ,
∴ ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 ,
故选：C.
6．在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，若
，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 外接球的表面积为
②点 与点 之间的距离为
③四面体 的体积为
④异面直线 与 所成的角为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于①，取 的中点 ，连接 、 ，则 ，因为 ，所以， ，
所以， 为四面体 的外接球球心，球 的表面积为 ，①对；
对于②③④，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 作 交 于点 ，
则二面角 的平面角为 ，
在 中， ， ， ，则 ， ，
，则 ， ， ，
， ， ， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的垂线为 轴建
立如下图所示的空间直角坐标系，
因为 ，则 、 、 、 ，
，②错，
， ，③对，
， ，
，故异面直线 与 所成角为 ，④错.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求
出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
7．如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 为棱 的中点，则下列选项正确的是
（ ）
A．直线 与直线 相交
B．当 为棱 上的中点时，则点 在平面 的射影是点
C．存在点 ，使得直线 与直线 所成角为
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】D
【详解】A：由题意知， ， 平面 ， 平面
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 与 不相交，故A错误；
B：连接 ，如图，当点 为 的中点时， ，又 ，所以 ，
若点 在平面 的射影为 ，则 平面 ，垂足为 ，
所以 ，设正方体的棱长为2，则 ，
在 中， ，所以 ，
即 不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系 ，连接 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角为直线 与 所成角，
设正方体的棱长为2，若存在点 使得 与 所成角为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
得 ，解得 ，
不符合题意，故不存在点 使得 与 所成角为 ，故C错误；
D：如图，由等体积法可知 ，
又 ，
为定值，所以 为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故D正确.
故选：D.
二、多选题
8．已知在直三棱柱 中，底面是一个等腰直角三角形，且 分别为
的中点.则（ ）
A． 与平面 夹角余弦值为
B． 与 所成角为
C． 平面
D．平面 平面
【答案】BCD
【详解】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设 ，则有：
∴设平面 的法向量为
则有 ，令 ，则
∴
则
∴ 与平面 夹角的正弦值为 ，则余弦值为 ，A错误；
∵
∴ 与 所成角的余弦值为 ，则夹角为 ，B正确；
如图2：
对于C：连接 ，设 ，连接
分别为 的中点，则 且
∴ 为平行四边形，则O为 的中点
又∵F为 的中点，则
平面 ， 平面∴ 平面 ，C正确；
对于D：平面 即为平面
由题意可得：
， 平面
∴ 平面
平面 ，则
又∵ 为正方形，则
， 平面
平面
平面
∴平面 平面 ，即平面 平面 ，D正确；
故选：BCD.
9．在正方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， ， 的中点，则
（ ）A．直线 与直线 垂直
B．点 与点 到平面 的距离相等
C．直线 与平面 平行
D． 与 的夹角为
【答案】ABC
【详解】在正方体 中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令 ，
则 ，
对于A， ， ，则 ，A正确；
对于B， ，即 ，而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，所以点 与点 到平面 的距离相等，
B正确；对于C， ，即 ，而 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，C正确；
对于D， ，令 与 的夹角为 ，
则 ，显然 ，D不正确.
故选：ABC
10．如图，已知正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，以下说法正确
的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 平面
C．过点 作正方体的截面，所得截面的面积是
D．异面直线 与 所成的角的余弦值为
【答案】ABC
【详解】
对于A， ，故A正确；对于B，以DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， ，
， ， ， ，
则 ，， ， ， ， ，
则 平面EFG，B正确；
对于C，作 中点N， 的中点M， 的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形
EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为 ，则截面面积为： ，故C正确；
对于D， ， ， ，故D错误．
故选:ABC.
11．在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点，点 是线段 上的
点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得直线 与 所成的角是
C．当点 是线段 的中点时，三棱锥 外接球的表面积是D．当点 是线段 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为 ．
【答案】AD
【详解】易知AB、BC、 两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则
所以 ， ， ，
记
因为 ，所以 ，A正确；
因为
记直线 与 所成的角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，故B错误；
当点 是线段 的中点时，点P坐标为
易知 的外心坐标为 ，故设三棱锥 外接球的球心为 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以三棱锥 外接球的半径 ，表面积 ，C错误；
当点 是线段 的中点时， ，
易知 为平面 的一个法向量，记直线 与平面 所成角为 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，D正确.
故选：AD
三、填空题
12．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面
发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方
体的组合图形，其直观图如图所示， ， ，P，Q，M，N分别是棱AB，
， ， 的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．【答案】 ##
【详解】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
所以可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 .
故答案为： .
13．已知三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为 的中点，若
，则异面直线 与 所成角的余弦值为______．【答案】
【详解】由题意， , ,
所以 ，
，
，
所以
故答案为： .
四、解答题
14．如图，在直三棱柱 中，D，E，F分别是 的中点， ．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）证明：因为三棱柱 是直三棱柱，
所以 面ABC，又 面ABC，则 ，
又因为 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知： 平面 ，建立如图所示空间直角坐标系：
设AD=2，则 ，
所以 ，
设异面直线 与 所成的角为 ，所以 .
15．如图，在正三棱柱 中，底面边长为2， ，D为 的中点，点E在棱 上，且
，点P为线段 上的动点．
(1)求证： ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 ，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）在矩形 中， ，D为 的中点，
所以 ，所以 ，
因为 是正三角形，D为 的中点，
所以 ，又因为 是正三棱柱，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，而 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，点P为线段 上，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ；
（2）如图以 的中点为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图，
则 ，设 ，
则 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，则
令 ，则 ，所以 ，取 为平面 的法向量，所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
16．如图所示，设有底面半径为 的圆锥．已知圆锥的侧面积为 ， 为 中点， ．
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线 与 所成角．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆锥母线长为 ，
， ，即 ，
圆锥的高 ，
.
（2）解法一：取 边上中点 ，连结 ， ， ，
是 的中位线， ；
垂直于底面， 垂直于底面， ；
， 为 中点， ，即 ；
， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，即异面直线 与 所成角为 .解法二：取圆弧 中点 ，连结 ，则 ；
以 为坐标原点， 的正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
，即 ， 异面直线 与 所成角为 .
