文档内容
微专题：双曲线的渐近线
【考点梳理】
1、双曲线的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
－＝1 － ＝ 1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
a，b，c
c 2 ＝ a 2 ＋ b 2
的关系
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
简单几何 顶点 (－a，0)，(a，0) (0 ，－ a ) ， (0 ， a )
性质 轴长 实轴长|AA|＝2a，虚轴长|BB|＝ 2 b
1 2 1 2
渐近线 y＝ ± x y＝ ± x
离心率 e＝，且 e∈ (1 ，＋∞ )
2、已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
3、双曲线焦点到渐近线的距离为b
【题型归纳】
题型一：已知方程求双曲线的渐近线
1．若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
题型二：根据双曲线的渐近线求标准方程
4．已知双曲线C： （ ， ）的实轴长为8，一条渐近线的方程为 ，则双曲线的标准方程
为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的一个顶点是 ，其渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的
艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 （ ， ）下支的一部分，且此
双曲线的一条渐近线为 ，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：求共渐近线的双曲线的标准方程
7．与双曲线 共渐近线且一个焦点为 的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．与双曲线 渐近线相同且经过点 的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
10．已知双曲线 ： （ ， ）的上、下顶点分别为 ， ，点 在双曲线 上（异于顶点），
直线 ， 的斜率乘积为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲
线 的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
13．若点 在双曲线 的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知双曲线 的离心率为 ，则点 到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双
曲线于点 ，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
17．已知左、右焦点分别为 ， 的双曲线 ： 上一点 到左焦点 的距离为6，点 为坐标原点，
点 为 的中点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知双曲线 的左､右焦点分别是 ， ，在其渐近线上存在一点 ，满足
，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．已知 为双曲线 的左､右焦点，过 作 的垂线分别交双曲线的左､右两支于
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两点(如图).若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于点
M，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
21．已知双曲线 的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
22．双曲线 的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A． B． C． D．
23．双曲线 的渐近线方程是（ ）．
A． B． C． D．
24．渐近线方程为 的双曲线的离心率是
A． B．1
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．2
25．双曲线 的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于
点M，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，
B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
28．已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆 有公共焦点.则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
29．设曲线 是双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
30．已知双曲线 的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为 ，则双曲线C
的渐近线方程为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
31．已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
32．已知 为双曲线 的左､右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
，则双曲线离心率的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
33．已知双曲线 （m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
34．设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线
与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，设 ， 是双曲线 的左、右焦点，过点 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点
，若 的面积为 ，离心率满足 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
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36．已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、 ， 为原点，若以 为直径的圆与 的渐近
线的一个交点为 ，且 ，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
37．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以线段 为直径的
圆经过点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知双曲线 ，（ ）
A．
B．若 的顶点坐标为 ，则
C． 的焦点坐标为
D．若 ，则 的渐近线方程为
39．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则（ ）
A． 为 的一个焦点
B．双曲线 的离心率为
C．过点 作直线与 交于 两点，则满足 的直线有且只有两条
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．设 为 上三点且 关于原点对称，则 斜率存在时其乘积为
40．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结
论正确的是（ ）
A．与 共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为 、 则
D．互为共轭的双曲线的 个焦点在同一圆上
41．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，则能使双曲线C的方程为
的是（ ）
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
42．已知双曲线C： ，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条
渐近线交于M，N两点，若 ，则有（ ）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
43．已知点 ，点 是双曲线 左支上的动点， 是圆 上的动点，则（ ）
A． 的实轴长为6
B． 的渐近线为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
44．已知双曲线 ， ， 为C的两条渐近线，过C的右焦点F作 的垂线，垂足为A，且该垂线交
于点B，若 ，则曲线C的离心率 ______.
45．已知双曲线 ， 的一条渐近线方程为 ，则 ______．
46．在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点.若点 到直线 的距离大于 恒
成立，则实数 的最大值为___________.
47．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率是__________．
48．已知点 在双曲线 的渐近线与直线 所围成的三角形区域（包含边界）内运动，
则 的最小值为_____．
49．在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 的一条渐近线与圆 相切，则
______．
四、解答题
50．已知双曲线C的中心是原点，右焦点为 ，一条渐近线方程为 ，直线 与双
曲线交于点A， B两点.记FA， FB的斜率分别为
（1）求双曲线C的方程;
（2）求 的值.
51．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且
斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
52．（1）已知椭圆C的两焦点分别为 ，且经过点 ，求椭圆C的标准方程.
（2）求与双曲线 有相同渐近线，且右焦点为 的双曲线方程.
53．已知双曲线 ： 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）经过点 的直线与双曲线的右支交与 两点，与 轴交与 点，点 关于原点的对称点为点 ，求证：
．
54．根据下列已知条件求曲线方程.
(1)求与双曲线 共渐近线且过 ， 点的双曲线方程；
(2)求与椭圆 有相同离心率且经过点 的椭圆方程.
55．已知 ，如图，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲
线 所在圆锥曲线的焦点，点 ，为曲线 所在圆锥曲线的焦点
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若 ，求曲线 的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线，交曲线 于点 ，求弦 的中点 的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线 ，若直线 过点 交曲线 于点 ，求 面积的最大值
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．D
【分析】根据双曲线的离心率可得 之间的关系，从而可得到渐近线方程.
【详解】双曲线 的离心率为 ，
即 ，所以 ，
则 ，故C的渐近线方程为 .
故选：D.
2．C
【分析】确定双曲线的 ，确定其焦点位置，即可求得其渐进线方程.
【详解】由 可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故选：C
3．C
【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可
【详解】由题意， 的渐近线方程为
故选：C
4．D
【分析】根据实轴长求得 ，再结合渐近线方程求得 ，即可求解
【详解】因为实轴长为8，所以 ，可得渐近线方程为 ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
故选：D．
5．C
【分析】根据双曲线的一个顶点求出双曲线方程，再根据渐近线的方程求出 的值，综合选项即可得答案.
【详解】解：由题意得：
双曲线的一个顶点是 ，
焦点在 轴上，设双曲线方程为 ，
渐近线方程为 ，
， ，
第 13 页该双曲线的标准方程为 ．
故选：C
6．A
【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，由已知渐近线方程得到 ，
又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合 解出 即可.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
又双曲线的一条渐近线为 ，所以
即 ，又下焦点到下顶点的距离为1，
所以 ，结合 解得 ， ，
故选：A．
7．B
【分析】设所求的双曲线方程为 ，由题可知， ，且 ，解之即可．
【详解】解：设所求的双曲线方程为 ，即 ，
因为焦点为 在 轴上，
所以 ，所以双曲线方程为 ，且 ，
所以 ，双曲线方程为 ．
故选：B．
8．C
【分析】设与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为 ，代入点 的坐标，求出 的值，
即可的解.
【详解】设与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为 ，
代入点 ，得 ，解得 ，
所以所求双曲线方程为 ，即
故选：C.
9．C
【分析】和题干双曲线共渐近线的方程为 ，再代入已知点得到 ，进而得到结果.
第 14 页【详解】与双曲线 渐近线相同的双曲线方程设为 ，
将 代入上式有 ，故双曲线的标准方程为 ，
故选：C.
10．B
【解析】设点 由直线 ， 的斜率乘积为 得到 ，则渐近线可求.
【详解】设点 ，又 ， ，则 ，
所以 ，又因为点 在双曲线 上得 ，
所以 ，故 ，所以
则双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B
11．D
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，设双曲线下焦点为 ，
则有 ，依题意， ，离心率 ，解得 ，
所以该双曲线的标准方程为 .
故选：D
12．A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
13．C
【分析】将点 的坐标代入双曲线的渐近线方程，求出 的值，可得出 的值，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线 的渐近线方程 ，
因为点 在双曲线 的一条渐近线上，所以 ，所以 ，则 ，
第 15 页因此，该双曲线的离心率为 .
故选：C.
14．C
【分析】根据离心率结合 得出 关系，求得渐近线方程，利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】由题离心率 ，即 ，
又 ，则 ，即 ，
则渐近线方程为 ，
则点 到双曲线C的渐近线的距离为 .
故选：C.
15．B
【分析】设 ， ， 的方程为： ，与双曲线的方程联立可得点 的坐标，设 ，
，直线 的倾斜角为 ， 则 ，运用三角形面积相等，双曲线的定义， 可得关于 、
的方程，由 即可得离心率.
【详解】设双曲线 的左焦点 、右焦点 ，
设双曲线的一条渐近线方程为： ，
可得直线 的方程为： ，
由 可得： ，即 ，
设 ， ，
可得 ，
即 ，整理可得： ，
即 ，
由双曲线的定义可得： ，
第 16 页所以 ，
设直线 的倾斜角为 ，在 中， ，
， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： 或 （舍），
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B.
16．A
【分析】根据题意渐近线的斜率为 ，所以该渐近线的方程为 ，所以 ，求得 ，
利用 ，求得 即可得解.
【详解】∵双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ， ，
∴该渐近线的方程为 ，∴ ，
解得 或 （舍去），∴ ，
∴双曲线的离心率为 ．
故选：A．
17．A
【分析】首先由 ，得到 ，再根据双曲线的定义，得到 的值，即可根据公式，计算双曲线的渐近线方程.
【详解】由 ，得 ，∴点P在双曲线左支上，故 ，∴ ，得双曲线的方
程为 ，∴双曲线C的渐近线方程为 ，
故选：A.
18．A
【分析】由题意问题转化为双曲线 的渐近线与双曲线 有公共点即可，据此可得两曲线渐近线
斜率间的关系，进而求出离心率范围.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
第 17 页,
点P在双曲线 上，
双曲线 的渐近线方程为 ，
因为 与双曲线 相交，
所以由双曲线渐近线性质可知只需 ，即 ，
则 ，解得 ，
故该双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题意转化为已知双曲线的渐近线与 有交点，再根据双曲线渐近线
判断直线与双曲线的的位置关系，建立不等式即可求出离心率，要掌握根据直线斜率与渐进线斜率的大小关系判
断直线与双曲线的交点个数问题.
19．C
【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得 ， ，再在 中运用余弦定理建立关于a，
b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【详解】解：由 ，设 ，由 得， ，所以 ，
，又 得 ，
，令 ，化简得： ，得 ，所以渐近线方程为 ，
故选：C.
20．C
【分析】作 于点 ， 于点 ，可得 ， ， 根据
求出 和 ，结合双曲线定义可得 的关系，从而得到双曲线的渐近线方程.
第 18 页【详解】
如图，作 于点 于点B，因为 与圆 相切，
所以 ，
在 中， ，所以 ．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以 ，
整理得： ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ．故选C．
21．C
【分析】根据焦距可得 的值，根据右焦点到渐近线距离可求得 的值，由 可得 的值，再由 即
可求解.
【详解】因为焦距为 ，所以 ，右焦点 ， ，
双曲线 渐近线方程为： ，
所以右焦点到它的一条渐近线的距离为 ，
所以 ， ，
所以离心率 ，
故选：C.
22．B
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线 的两条渐近线的方程为 ，
第 19 页由直线 的斜率为 ，可得倾斜角为 ，
的斜率为 ，可得倾斜角为 ，
所以两条渐近线的夹角的大小为 ，
故选：B.
23．B
【分析】令 ，即可求出渐近线方程．
【详解】令 ，解得 ，所以双曲线 的渐近线方程是 ．
故选：B．
24．C
【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计
算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得 ，所以c
则该双曲线的离心率为 e ，
故选C．
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
25．A
【分析】由题知顶点坐标为 ,渐近线方程为: ,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:由题知双曲线中, ,焦点在 轴上,
所以顶点坐标为 ,渐近线方程为: ,
由双曲线的对称性,不妨求顶点 到渐近线 的距离
所以双曲线 的顶点到渐近线的距离为
故选：A
26．A
【分析】作 于A， 于B，根据圆的切线的性质可得 ， 可以求得
，又点M在双曲线上，所以 ，整理得 ，从而得出结论．
【详解】作 于A， 于B，
第 20 页因为 与圆 相切， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又点M在双曲线上，
所以 ，
整理得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ．
故选：A
27．A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 ，
再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
28．C
【解析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得 ，得渐近线方程．
【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为 ，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中 ，
渐近线方程为 ，其中一条为 ，
第 21 页于是有 ， ，∴ ，
∴渐近线方程为 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出 ．解题时要
注意椭圆中 ，双曲线中 ．两者不能混淆．
29．B
【分析】根据 的方程为 ，则渐近线为 ；若渐近线方程为 ，则双曲线方程为
（ ）即可得答案.
【详解】解：若 的方程为 ，则 ， ，渐近线方程为 ，
即为 ，充分性成立；
若渐近线方程为 ，则双曲线方程为 （ ），
“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的充分而不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条
件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判
断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判
断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
30．A
【分析】首先根据题意得到 ，从而得到 ，即可得到答案.
【详解】由题知：设 ，一条渐近线方程为 ，即 .
因为 ，所以 ，
故渐近线方程为 .
故选：A
31．D
【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】双曲线的渐近线为 ，易知 与直线 平行，
第 22 页所以 .
故选：D.
32．A
【分析】求出双曲线的一条渐近线，由点到直线的距离公式计算出 的长，运用余弦函数的定义求出
即得 ，在 中由余弦定理计算 的长，结合已知条件以及离心率公式即可求解.
【详解】设双曲线 的一条渐近线方程为 ，即
则 到渐近线 的距离为 ，
在 中， ，所以 ， ，
在 中，
，
所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，
故选：A.
33．A
【分析】根据双曲线的焦点求出 的值，进而可以求出结果.
【详解】由双曲线方程 可知 ，
且 ， ，则 ，得 ，
所以双曲线的方程为 ，
则渐近线方程为 .
故选：A.
34．D
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再根据双曲线的渐近线的
方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故选： ．
第 23 页【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基
础题．
35．B
【分析】根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与 面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近
线方程计算 的值，确定双曲线的方程
【详解】设双曲线的渐近线 的倾斜角为 ，则 ，在等腰三角形 中，根据正弦定理可得：
，得 ，所以 ，解得 或 ，又
， ，所以 ，从而 ，所以双曲的方程为 ，
故选：B．
【点睛】本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与 的关系，结合解三角形的方法来表示三
角形的面积，求出 的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
36．A
【分析】根据题意，画出双曲线及几何关系.由几何关系可得 的三条边，结合余弦定理求得 ，即
可得 .进而求得 ，即可得双曲线 的渐近线方程.
【详解】根据双曲线 ： 的左、右焦点为 ， ， 为原点，以 为直径的圆与 的渐
近线的一个交点为 ，如下图所示:
则 ， ，
所以在 中，由余弦定理可得 .
所以 ，则 ，所以 ，则渐近线方程为 .
第 24 页故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，余弦定理在解三角形中的应用，双曲线中渐近线方程的求法，属于中档
题.
37．C
【分析】由题意可设 ，根据圆的性质有 ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求 即可.
【详解】由题设，渐近线为 ，可令 ，而 ， ，
∴ ， ，又 ，
∴ .
故选：C
38．BD
【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出 ，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的
顶点的相关性质即可判断出B正确，再然后分为 、 两种情况，依次求出 ，即可判断出C错误，最
后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.
【详解】A项：因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 或 ，A错误；
B项：因为 的顶点坐标为 ，
所以 ，解得 ，B正确；
C项：当 时， ，
当 时， ，C错误；
D项：当 时，双曲线 的标准方程为 ，
则渐近线方程为 ，D正确，
第 25 页故选：BD.
39．BD
【分析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB；再由双曲线的对称性判断C；设 ， ，
利用点差法求出 ；
【详解】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以则其焦点为
、 ，离心率 ，故A错误，B正确；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的
焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的
对称性得，满足 的直线有4条，故C错误；
设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所
以 ， ，两式相减得 ，所以 ，
故D正确；
故选：BD
40．CD
【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线
的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正
误.
【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与 共轭的双曲线是
，A错；
对于B选项，双曲线 的渐近线方程为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，B错；
对于C选项，设 ，双曲线 的离心率为 ，
双曲线 的离心率为 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，C对；
第 26 页对于D选项，设 ，双曲线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的焦点坐标为 ，这四个焦点都在圆 上，D对.
故选：CD.
41．ABC
【分析】根据双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，得到焦点在x轴上，且c=5；
然后逐项验证即可.
【详解】因为双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，
所以焦点在x轴上，且c=5；
A选项，若离心率为 ，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为： ，故A正确；
B选项，若双曲线过点 ，则 ，解得 ，又 ，解得：b=3；此时双曲线的方
程为： ，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为 ，则 ，又 解得 ，所以此时双曲线的
方程为： ，故C正确；
D选项，若 ，则 ，所以 故D错误；
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
42．AC
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．
【详解】双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30° ，
可得： ，即 ，故e ．
且 ，故渐近线方程为渐近线方程为
故选：AC．
43．ACD
【分析】根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A、B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数
第 27 页形结合求 的最小值，由 为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为 即可求最小值.
【详解】A：由双曲线方程知： ，则 的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知： 的渐近线为 ，错误；
C：双曲线、圆如下： 为左焦点，当且仅当 为x轴交点， 为x轴右交点时， 最小为 ，正确；
D：由 为右焦点， ，则 ，要使 最小只需 共线，
此时 ，正确.
故选：ACD.
44． ##
【分析】不妨设 为 ， 为 ，则直线 的方程为 ，联立联立 ，求得
点的坐标，联立 ，求得 点的坐标，再根据 ，得出 的齐次式，从而可得出答案.
【详解】解：不妨设 为 ， 为 ，
过C的右焦点F作 的垂线，垂足为A，且该垂线交 于点B，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
即 ，
联立 ，解得 ，
第 28 页即 ，
则 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
45． ##0.5
【分析】双曲线 的渐近线方程为 ，由此可得 ，从而得到 的值.
【详解】解：双曲线 的渐近线方程为 .
由双曲线 的一条渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，即
故答案为： .
46．
【分析】求出直线 与渐近线 的距离，即得解.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 与渐近线 平行，
故两平行线间的距离 .
由点 到直线 的距离大于 恒成立，
得 ，
第 29 页故实数 的最大值为 .
故答案为：
47．
【分析】由 ，结合 ，可得 ，即得解
【详解】∵ ，又
∴ ， ，即
．
故答案为：
48．
【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，从而得到三角形区域，将问题转化为 在 轴截距最小的问题，
通过直线平移可确定过 时截距最小，进而代入求得结果.
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为： ，由此可得三角形区域如下图所示：
令 ，则
当 取最小值时， 在 轴截距最小
由 平移可知，当 过 时，截距最小
由 得：
故答案为：
【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在 轴截距的最值的求解问题，
进而通过直线平移来进行求解.
第 30 页49． ##
【分析】双曲线 的渐近线方程为 ，与已知圆相切的只可能是 ，列出方程，从而可得答案.
【详解】解：由已知圆的方程可知圆心坐标为 ，半径为1．
双曲线 的渐近线方程为 ，与已知圆相切的只可能是 ，
所以 ，得 ，故 ．
故答案为： .
50．（1） ；（2） .
【解析】（1）设双曲线方程，由焦点及渐近线方程运算即可得解；
（2）设 ，联立方程组，结合韦达定理可得 ， ，再由斜率公式即可得解.
【详解】（1）设双曲线的方程为 ，
由题意， ，该双曲线的渐近线方程 ，
又双曲线的一条渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，
所以双曲线C的方程为 ；
（2）设 ，
由 ，消去x化简可得 ， ，
所以 ， ，
所以
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是联立方程组，结合韦达定理对 变形.
51．(1)
(2)见解析
第 31 页【分析】（1）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得 的关系，进而利用 的平方关系求得 的
值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x,y),由③|AM|=|BM|等价分析得到
0 0
；由直线 和 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜
率 ，由② 等价转化为 ，由① 在直线 上等价于 ，然后选择两个作为
已知条件一个作为结论，进行证明即可.
（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ．∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立
可知直线 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双
曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,则条件① 在 上，等价
于 ；两渐近线的方程合并为 ,联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则
,设 ,则条件③ 等价于
,移项并利用平方差公式整理得：
， ,即
,即 ；由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,∴由
,∴ ,所以直线 的斜率
,直线 ,即 ,代入双曲线的方程
,即 中，得： ,解得 的横坐标：
,同理： ，∴
∴ ,∴条件② 等价于 ，综
上所述：条件① 在 上，等价于 ；条件② 等价于 ；条件③ 等价
第 32 页于 ；选①②推③:由①②解得： ,∴③成立；选①③推②：由①③
解得： ， ，∴ ，∴②成立；选②③推①：由②③解得： ， ，
∴ ，∴ ，∴①成立.
52．（1） ；（2） .
【分析】（1）设椭圆C的标准方程为 ，由椭圆定义求得 ，再由 求得 ，得椭圆
方程；
（2）设双曲线的方程为 （ 且 ），由焦点坐标求得 ，得双曲线方程．
【详解】解：（1）设椭圆C的标准方程为
则
又
椭圆C的标准方程为
（2）设双曲线的方程为 （ 且 ），
因为焦点为 ，因此 ，
则
所求双曲线的方程为
53．（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题意可得 ， ，再结合 可求出 ，从而可求出双曲线 的方程；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为： ，可得 ， ，将直线方程与双曲线
方程联立方程组，消去 ，利用根与系数的关系，从而可表示出 ，再由直线与双曲线的右支
交与 两点，可得 ，则 ，代入上式化简可求得结果
【详解】解：（1）由题意得 ， ，
第 33 页解得 所以双曲线 的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为： ，得 ， ，
设 ， ，
联立 ，整理可得
，
所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以 ，设 ，
所以
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与
双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出 ，再结合 ，换元后求其最
小值即可，考查计算能力，属于中档题
54．(1)
(2) 或
【分析】（1）设所求双曲线方程为 ，根据 点坐标求得 ，从而求得所求的双曲线方程.
第 34 页（2）根据椭圆焦点所在坐标轴进行分类讨论，结合 求得椭圆方程.
(1)
设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为：
点 ， 在双曲线上，
所求双曲线方程为： ，即 .
(2)
若焦点在 轴上，设所求椭圆方程为 ，将点 代入，得 ，
故所求方程为 .
若焦点在 轴上，设方程为 代入点 ，得 ，
.
55．（1） 和 ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）由题意可得 ，解方程组求出 的值，从而可求出曲线 的方程；
（2）设直线 ，与曲线 的方程联立成方程组，消去 ，利用根与系的关系结合中点坐标公式可得
答案；
（3）由题意设直线 为 ，与 的方程联立方程组，消去 ，利用根与系的关系，设
，从而可求出 ，然后表示出 面积，利用基本不等式可求得结果
【详解】解：（1）因为 ，所以 ，解得
所以曲线 的方程为 和 ；
（2）曲线 的渐近线为 ，如图，设直线
则
第 35 页又有数形结合知
设点 ，
则
所以 ， ，
所以 ，即点 在线段 上；
（3）由（1）可知， 和点
设直线 为
，化为 ，
，设 ，所以
所以
，令
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立
所以 .
第 36 页第 37 页
