文档内容
微专题：等比数列基本量的计算
【考点梳理】
1. 等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，
n≥2).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此
时，G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a＝a q n － 1 . 该式又可以写成a＝ · q n ，这表明q≠1时，a 是常数与指数函数(关于n)的乘积.
n 1 n n
(2)前n项和公式：S＝
n
当q≠1时，该式又可以写成S＝－·qn，这表明q≠1时，S 的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的
n n
点.
3、解决等比数列基本运算问题的两种常用思想
等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 和
1 n n 1
方程的思想
q，问题可迎刃而解
分类讨论的思
当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，{a}的前n项和S＝＝
n n 1 n n
想
【题型归纳】
题型一：等比数列通项公式的基本量计算
1．在等比数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A．20 B．12 C．8 D．4
2．已知等比数列 的前3项积为8， ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
3．已知在递减等比数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型二：等比数列前n项和的基本量计算
4．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．64 B．42 C．32 D．22
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．记 为等比数列 的前n项和，若 ，则 的公比q=（ ）
A． B． C． D．2
6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠
日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的
两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问
题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3 B．4 C．5 D．6
【双基达标】
7．等比数列 的前 项和为 ，公比 ．若 ，且对任意的 都有 ，则
（ ）
A．12 B．20 C．11 D．21
8．已知等比数列 中， ，公比 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．
9．已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
10．等比数列 中， ， ， 为 的前 项和．若 ，则 的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不存在
11．已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ， 使得 ，则 的最小值为
（ ）
A．9 B． C． D．
12．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?
其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 的值为
（ ）
2 4
1 2
x y
A．2 B．3 C．4 D．5
14．在各项为正的递增等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足 、 、 成等差数列.其前 项和为 ，且 ，
则（ ）
A． B． C． D．
16．已知等比数列 中， ，则公比 （ ）
A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3
17．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形
“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的 倍，若视力
4.0的视标边长为 ，则视力4.9的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
19．设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
20．已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a2+a2+ +an2＝（ ）
1 2
⋯
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
21．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出
再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的
年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
22．在等比数列{an}中，已知aa＝4，a＝256，则a＝（ ）
1 3 9 8
A．128或﹣128 B．128 C．64或﹣64 D．64
23．设等差数列 和等比数列 的首项都是1，公差与公比都是2，则 （ ）．
A．54 B．56 C．58 D．57
24．已知 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 （ ）
A．35 B．33 C．16 D．29
25．已知数列 满足 ， ，则 的前30项之和为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知数列 是等比数列，若 则 的值为
A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-2
27．已知数列 的各项均为正数，记 为数列 的前n项和， ， ，则
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．在正项等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
29．等差数列 中， ， .设 ，记 为数列 的前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
30．已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
31．数列 是等比数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，且 ， ，则
33．若 是公比为 的等比数列，记 为 的前 项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为递减数列
B．若 ，则 为递增数列
C．若 ，则
D．若 ，则 是等比数列
34．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设 ，Tn
为数列{c }的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（ ）
n
A．8 B．9 C．10 D．11
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司35．数列 满足： ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．
C．数列 是递减数列 D． 的前 项和
三、填空题
36．已知在各项均为正的数列 中， ， ， ，则
___________.
37．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且 ，则实数 的值为_____
38．如果 ，那么 __________．
39．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S=____________．
5
40．已知 是各项均为正数的等比数列， ， ， ，则数列 的前10项和为_______．
41．单调递增的等比数列 满足 ，令 ，则 的前10项和为________．
四、解答题
42．已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
43．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月
燃油费7000元，第 个月的维修费和工资支出为 元.
（1）设月平均消耗为 元，求 与 （月）的函数关系；
（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）
（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司44．已知等比数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和
45．等差数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式.
（2）设等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和.
46．在正项等比数列 中， ，且 ， 的等差中项为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 ．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
设 的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.
【详解】
设 的公比为q，则 ，
解得 ，所以 ，
故选：C．
2．D
【解析】
【分析】
根据已知列方程求出 ， ，进而得解.
【详解】
由题知 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：D.
3．A
【解析】
【分析】
根据等比数列的计算可求 ，进而可得公比，即可求解.
【详解】
由 ， 且 可解得 ，因此可得等比数列的公比为 ，所以
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
设数列 的公比为 ，依题意得到方程组，解得 、 ，再根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】
解：设数列 的公比为 ，依题意可得 ，
解得 ，
所以 .
故选：D
5．B
第 8 页【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，即可求公比.
【详解】
，所以 ，即 .
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
设需要n天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得 ，令 ，利用函数零点存在性
定理及函数单调性即可求出结果．
【详解】
解：设需要n天时间才能打穿，则 ，
化简并整理得 ，
令 ，则 ； ，
又 在 单调递增，
∴ 在 内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
7．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式可得到 ，解方程即可求出公比，进而结合等比数列的前n项和即可求出结果.
【详解】
等价于 ．因 ，故 ，即 ．
因为 ，所以 ，故 ，
故选：C．
8．B
【解析】
根据等比数列的通项公式可得结果》
【详解】
第 9 页由数列 是等比数列，所以
则 ，又 ，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，属基础题.
9．B
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式列方程计算即可.
【详解】
等比数列 中， ， ，
则 ，解得 ，
故选：B．
10．A
【解析】
【分析】
利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.
【详解】
等比数列 中， ， ，则 ，则 ．
当 时，若 ，则有 ，解得 ；
当 时，若 ，则有 ，整理可得 ，无整数解．故 ．
故选：A．
11．B
【解析】
【分析】
利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 或 ，
，
因为 ，所以 ，
第 10 页因此 依次代入 得当 时，取最小值 .
故选：B.
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字
母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本
题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.
12．C
【解析】
【分析】
根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】
由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为 ，公比为 ，
则 ，解得
所以第二天织布的尺数为 .
故选：C
13．A
【解析】
【分析】
由题意得出 的值后求解
【详解】
由题意知表格为
2 4 6
1 2 3
1
故 ．
故选：A
14．B
【解析】
设其公比为 ，由等比数列通项公式得 ，进而得 ，解得 或 ，再根据数列单调
性即可得 ，进而得
【详解】
第 11 页为等比数列，设其公比为 ，
，则 ，
，
，
即 ，
解得 或 ，
又 各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题解题的关键是先根据题意得 ，进而将 转化为 求 ，考查运算求解能力，
是中档题.
15．C
【解析】
【分析】
先根据 ， ， 成等差数列以及 单调递减，求出公比 ，再由 即可求出 ，
再根据等比数列通项公式以及前 项和公式即可求出.
【详解】
解：由 ， ， 成等差数列，
得： ，
设 的公比为 ，则 ，
解得： 或 ，
又 单调递减，
，
，
解得： ，
第 12 页数列 的通项公式为： ，
.
故选：C．
16．D
【解析】
【分析】
令首项为 ，公比为 ，由题设条件列方程组，求 即可.
【详解】
∵ 为等比数列，令首项为 ，公比为 ，则 ，
∴解得： 或
故选：D.
17．D
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式计算．
【详解】
设第 行视标边长为 ，第 行视标边长为 ，
由题意可得 ，则 ，则数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，则视力4.9的视标边长为 ，
故选：D.
18．D
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由 ，求得公比即可.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
则 ，
解得 ，即 ，
第 13 页所以 ，
故选：D.
19．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
20．D
【解析】
【分析】
根据等比数列定义，求出 ，可证明 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公
式，可得解
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故 是以1为首项，4为公比的等比数列
a2+a2+ +an2＝
1 2
⋯
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即 求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为 元，2021年6月1日存入银行的钱为 元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为 元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有 元．
由题意，得 ， ， ，……，
第 14 页，
所以 ．
故选：D．
22．A
【解析】
【分析】
先由等比数列的性质可得aa 4，求出a 的值，再由a＝256求出公比q，从而可求出a 的值.
1 3 2 9 8
【详解】
解：由等比数列的性质可得，aa 4，
1 3
∴a＝2或﹣2，
2
∵a＝256，当a＝2时，q7＝128即q＝2，则a＝128，
9 2 8
当a＝﹣2时，q7＝﹣128即q＝﹣2，则a＝﹣128，
2 8
故选：A.
【点睛】
此题考查了等比数列的性质和基本量计算，属于基础题.
23．D
【解析】
【分析】
根据等差数列等比数列的通项公式，求出 ， ,结合已知条件即可求解.
【详解】
由题意知，等差数列 的首项是1，公差是2，则
所以 ，
等比数列 的首项是1，公比是2，则
所以 ，
所以 ．
故选：D.
24．C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，结合题意和等比数列的性质可知 ，可得出 ，再根据等差中项的
定义，可求出 ，进而可求出 ，最后由 ，即可求出 的结果.
【详解】
解：设等比数列 的公比为 ，
第 15 页由等比数列的性质，知 ，所以 ，
由 与 的等差中项为 ，知 ，所以 ，
所以 ，则 .
故选：C.
25．A
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，从而 是等比数列，求得通项公式，再利用等比
数列的前n项和公式求解
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 是公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查递推数列以及等比数列的求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题..
26．A
【解析】
【分析】
设数列{an}的公比为q，由等比数列通项公式可得q4＝16，由a＝aq2，计算可得．
3 1
【详解】
因
故选A
【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题．
27．C
【解析】
【分析】
将递推关系式整理化简，可得到数列 为等比数列，套用等比数列的前n项和即可得到答案.
【详解】
,
第 16 页整理得
∵数列 的各项均为正数，
∴
∴数列 为等比数列，公比为2，首项为1，
则
故选：C
28．C
【解析】
根据等比数列的性质可得 ，由题意 ，解得 ，再根据等比数列通项公式求得公比 ，
从而得到数列 的通项公式.
【详解】
在等比数列 中，
，解得 或
当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
综上所述： 或 ，
故选：C.
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并
能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体
代换思想简化运算过程．
29．C
第 17 页【解析】
【分析】
首先求数列 的通项公式，然后利用等比数列的前 项和公式，求 的值.
【详解】
设 的公差为 ，由题意得 ，因为 ，
所以 ，解得 ，故 ，则 .
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
由 得 ，解得 .
故选：C.
30．C
【解析】
利用方程思想列出关于 的方程组，求出 ，再利用通项公式即可求得 的值．
【详解】
设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选C．
【点睛】
本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
31．C
【解析】
【分析】
由已知条件可求出等比数列的公比 ，进而可求出首项 ，从而可求得结果
【详解】
解：设等比数列的公比为 ，则 ，解得 ，
所以 ，解得
所以 ，
故选：C.
32．BC
【解析】
【分析】
A.先根据 求解出 在 时的通项，然后验证 是否符合，由此即可判断；
B.同A，先根据 计算出 的通项公式，然后根据通项即可判断；
C.根据等差数列的前 项和公式进行化简计算并判断；
第 18 页D.采用作差法化简计算 的结果，根据结果进行判断即可.
【详解】
若 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误.
若 ，当 时， ，且 ，则 ，
又 满足 ，所以 是等比数列，故B正确.
若 是等差数列，则 ，故C正确.
，故D错误.
故选：BC.
33．ABD
【解析】
【分析】
根据递增，递减数列的定义即可判断AB正确，利用特殊数列可知C错误，根据等比数列的定义可知D正确．
【详解】
在等比数列中， ，
当 时，显然有 ，故数列为递减数列，故A正确；
当 ，显然有 ，故 为递增数列，故B正确；
若等比数列 满足 ，则 则 ，故C不正确；
设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，所以 是等比数列，公比为 ，故D正确；
故选：ABD．
34．AB
【解析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c }
n n
的前n项和Tn，验证得答案．
【详解】
由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1， ，
2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{c }为递增数列，
n
其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）
＝（21+22+…+2n）﹣n 2n+1﹣2﹣n．
当n＝9时，Tn＝1013＜2019；
当n＝10时，Tn＝2036＞2019．
∴n的取值可以是8，9．
故选：AB
第 19 页【点睛】
本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算
的能力，属于中档题.
35．AB
【解析】
【分析】
推导出 ， ，从而数列 为首项为 ，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的
性质能求出结果．
【详解】
解： 数列 满足： ， ， ，
， ，
，
数列 为首项为 ，公比为3的等比数列，故 正确；
， ，故 正确；
数列 是递增数列，故 错误；
数列 的前 项和为： ，
的前 项和 ，故 错误．
故选： ．
36．
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，进而得到数列 的奇数项和偶数项分别构成等比数列求解.
【详解】
因为 ，
，
所以数列 的奇数项构成首项为1，公比为2的等比数列，
偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以
.
第 20 页故答案为：
37．
【解析】
首先利用 与 的关系式，得到 ，求得公比，首项和第二项，再通过赋值 求 的值.
【详解】
当 时， ，两式相减得 ，
即 ，并且数列 是等比数列，
所以 ，
， ，
当 时， ，
解得 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用数列 和 的关系式，求数列的通项.
38． .
【解析】
【分析】
先讨论 和 两种情况求出 ，再求出 ，进而通过求和公式得出答案.
【详解】
时， ，
时， ，两式相减得： ， 时满足题意.
所以 ，所以 ，则原式=
.
故答案为： .
39． .
【解析】
第 21 页【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不大，
注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错
误．
40．60
【解析】
先求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式，然后用等差数列的前n项和公式求出结果即可．
【详解】
设数列 公比为q，由 ，则 ，解得 或 ，因为 ，所以 ．
则 ， ，得 ， ，
数列 的前10项和 ．
故答案为：60
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，等差数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，
属于基础题．
41．
【解析】
【分析】
设单调递增的等比数列 的公比为 ，根据等比数列的通项公式列方程求出 和 ，可得 和 ，根据裂项求
和方法可求得结果.
【详解】
设单调递增的等比数列 的公比为 ，则 ，
则 ，所以 ，
消去 得 ，即 ，
解得 或 （舍），
第 22 页所以 ， ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据等比数列的通项公式列方程求出 和 是解题关键.
42．（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和
的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
第 23 页当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
43．（1） ；（2）投入第 个月，成本最低；
（3）7年后收回成本.
【解析】
【分析】
（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗 与
（月）的函数关系；
（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时 的值，即可求解；
（3）假设 年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即
可求解.
【详解】
（1）购船费和所有支出费为
元，
所以月平均消耗 ，
即月平均消耗为 与 的函数关系 .
第 24 页（2）由（1） ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当投入营运100个月时，营运成本最低.
（3）假设 年后可收回成本，则收入为：
，
解得 时满足条件， 时不满足条件，
故7年后可收回成本.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试
题.
44．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，由等比数列的通项公式可得 ，进而可得 ，再由等差数列的
性质、等比数列的知识列方程可得 ，即可得解；
（2）由 ，结合等比数列前n项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解.
【详解】
（1）在比数列 中，设等比数列 的公比为 ，由 ，
得 ，∴ ，
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
从而有 ，得 ，
∴ ；
（2）由 ，且 ，
得 ，
∴ ，
.
第 25 页【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，数列求和的方法技巧有：
（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
45．（1） ；（2） .
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算 ，从而求出 ，利用等比数列前 项和公式
即可求出 .
【详解】
解：( )∵ 是等差数列，
，
∴解出 ， ，
∴
.
( )∵ ，
，
是等比数列，
，
∴b=4
1
46．（1） ；（2） .
【解析】
（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】
解（1）设正项等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，解得 ．
数列 的通项公式为 ；
第 26 页（2） .
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
第 27 页第 28 页
