文档内容
微专题：直线的对称问题
【考点梳理】
关于中心对称问题的处理方法：①若点 M(x ，y)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②求直线
1 1
关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的
两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，
当然，斜率必须存在.
关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称. 若两点P(x ，y)与P(x ，y)关于直线l：Ax＋By＋C＝0
1 1 1 2 2 2
对称，则线段PP 的中点在l上，且连接PP 的直线垂直于l，由方程组可得到点P 关于l对称的点P 的坐标(x ，
1 2 1 2 1 2 2
y)(其中B≠0，x≠x). ②直线关于直线的对称. 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：
2 1 2
一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
【题型归纳】
题型一： 求两点的对称轴
1．点 关于直线 对称的点是 ，则直线 在 轴上的截距是（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
2．已知圆 ： 关于直线 对称的圆为圆 ： ，则直线 的方程为
A． B． C． D．
3．已知点 与 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 求点关于直线的对称点
4．点 关于直线 的对称点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在复平面内，复数z＋3－i与 对应的点关于直线x＝1对称，i为虚数单位，则复数z＝（ ）
A．1＋i B．1－i
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．－1＋i D．－1－i
6．已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 求直线关于点的对称直线
7．直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．设直线 关于原点对称的直线为 ，若 与椭圆 的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，
则使 的面积为 的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若直线 与直线l 关于点(2,1)对称，则直线l 过定点
2 2
A． B．
C． D．
题型四： 直线关于直线对称问题
10．与直线 关于 轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．设 是 轴上的不同两点，点 的横坐标为1， ，若直线 的方程为 ，则直线 的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
13．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知圆 ，圆 ， ， 分别为圆 和圆 上的动点， 为直线
上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．圆 关于直线 称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知 ，点 在 轴上，且使得 取最小值，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（ ）
A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)
18．已知三棱锥 ，其中 平面 ， ， ， .已知点 为棱 （不含端
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司点）上的动点，若光线从点 出发，依次经过平面 与平面 反射后重新回到点 ，则光线经过路径长度的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．点 关于直线 的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
21．已知直线 过定点 ，则点 关于 对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
22．已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0
C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0
23．与直线 关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点 ，则 的最
小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
25．已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
26．若圆 上存在点P，且点P关于直线 的对称点Q在圆 上，
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则r的取值范围是( )
A． B．
C． D．
27．已知从点 射出的光线经直线 上的点 反射后经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
28．已知直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，直线 与直线 ： 垂直，则
的值为（ ）
A． B． C．3 D．
29．已知M、N分别是圆 和圆 上的两个动点，点P在直线 上，
则 的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
30．若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射
后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
32．圆 关于直线l： 对称的圆的方程为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
33．一条经过点 的入射光线 的斜率为 ，若入射光线 经 轴反射后与 轴交于点 ， 为坐标原点，
则 的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
34．已知M，N分别是曲线 上的两个动点，P为直线 上的
一个动点，则 的最小值为
A． B． C．2 D．3
35．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣
的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎
样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，
河岸线所在直线l的方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
36．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．已知直线 ： ， ： ， ，以下结论正确的是（ ）
A．不论 为何值时， 与 都互相垂直
B．当 变化时， 与 分别经过定点 和
C．不论 为何值时， 与 都关于直线 对称
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．直线 与圆 恒有两个交点
38．已知直角坐标平面 内的两点 、 ，则（ ）
A．直线 的一般式方程为
B．线段 的中垂线所在直线的方程为
C．以向量 为方向向量且过点 的直线 的方程为
D．一束光线从点 射向 轴，反射后的光线过点 ，则反射光线所在的直线方程为
39．已知椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ， 为 的中点，若 是直
线 上的点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的短轴长为
C． D． 到 的两焦点距离之差的最大值为
40．已知直线 ， ， ，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时， 与 都互相垂直；
B．当 ， 与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时， 与 都关于直线 对称
D．如果 与 交于点M，则 的最大值是
三、填空题
41．设 ，求 的最小值是___________.
42．一条光线沿直线 入射到直线 后反射，则反射光线所在直线的一般方程为___________.
43．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线 上的
动点，则 的最小值为___________.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司44．已知在 中，顶点 ，点 在直线 ： 上，点 在 轴上，则 的周长的最小值
______.
45．一条光线从点 射出，经x轴反射，与圆 相切，则反射光线所在直线的一般式方程是
___________.
46．已知圆 ： 与圆 关于直线 ： 对称，且圆 上任一点 与圆 上任一点
之间距离的最小值为 ，则实数 的值为__________．
四、解答题
47．已知圆 与 轴相切，圆心点 在直线 上，且直线 被圆 所截得的线段长为 .
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 与 轴正半轴相切，从 点发出的光线经过直线 反射，反射光线刚好通过圆 的圆
心，求反射光线所在直线的方程.
48．已知 的三个顶点分别为 ， ， ．
（1）若过 的直线 将 分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反
射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
49．已知三角形的顶点为 ， ， .
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求直线 的方程；
（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.
①求点 关于直线 的对称点 的坐标.
②若直线 过点 且与直线 交于点 ， ，求直线 的方程.
50．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．
（1）在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
（2）在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
51．在 中， ，
（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若 的角平分线所在的直线方程为 ，求AC所在直线的方程.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
由对称的性质结合斜率公式、中点公式可得 ，求得 后，由截距的概念即可得解.
【详解】
因为点 ， ，所以 ，线段 的中点 ，
则 ，解得 ，
所以直线 即为 ，
当 时， ，
所以直线 在 轴上的截距是4.
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据对称性，求得 ，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C C 的垂直平分线，求得直线 的斜率，即可求
1 2
解，得到答案．
【详解】
由题意，圆的方程 ，可化为 ，
根据对称性，可得： ，解得： 或 （舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C (0，0)，C (－1，2)，直线C C 的斜率为： ，
1 2 1 2
由圆C 和圆C 关于直线l对称可知：直线l为线段C C 的垂直平分线，
1 2 1 2
所以 ，解得 ，直线l又经过线段C C 的中点( ，1)，
1 2
所以直线l的方程为： ，化简得： ，
故选A
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关
键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
由 与 可求出 的中点， 的斜率，即可求出直线 .
【详解】
第 10 页,
的中点为 ， ，
与 关于直线 对称，
过点 ，且斜率为1，
直线 的方程为 ，
即 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了点关于直线对称，直线的方程，属于容易题.
4．A
【解析】
【分析】
根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】
设点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
则 ，解得 .
所以点 的坐标为
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
设 ，表示出 和 ，因为复数z＋3－i与 对应的点关于直线x＝1对称，所以
解方程可求出 ，即可求出复数z.
【详解】
设 ，则 ， ，依题意得 解得
所以z＝－1＋i.
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
由题意可知点 和 关于直线 对称，所以先求出圆心 ，然后利用对称关系可求出 的坐标，从而可求
第 11 页出圆 的方程
【详解】
圆 的圆心 ，半径为1，
设 ，则由题意得
，解得 即 ，
所以圆 的方程为 ，
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ,则其关于点 对称的点的坐标为 ,代入已知直线即可求得
结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ,则其关于点 对称的点的坐标为 ，以 代换原
直线方程中的 得 ，即 .
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
求出直线 为 ，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点 ，利用 的面积为 ，可得
或 与 分别联立，判别解得个数，即可选出答案.
【详解】
直线 关于原点对称的直线 为
联立 ，解得 或
则 ， ，所以
又 的面积为 ，所以 边上的高为
设 ，则 ，点 到直线 的距离
化简得： 或
第 12 页联立 ，得 ，其中 ，故方程无解；
或 ，得 ，其中 ，方程有两个不同解.
即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个.
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
先求出l 的定点，再利用点关于点的对称求出l 的定点的对称点，该点即为所求点.
1 1
【详解】
直线 恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线 与直线l 关于点(2,1)
2
对称，故直线l 恒过定点(0,2).
2
【点睛】
本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
10．C
【解析】
【分析】
求得直线与坐标轴的交点坐标，结合点的对称，进而求得直线关于 轴的对称直线，得到答案.
【详解】
由直线 ，令 ，可得 ；令 ，可得 ，
即直线过点 ，
又由点 关于 轴的对称点为 ，
则直线 的方程为 ，
即直线 关于 轴的对称直线的方程为 .
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
先联立方程 得 ，再求得直线 的点 关于直线 对称点的坐标为 ，进而根据
题意得所求直线过点 ， ，进而得直线方程.
【详解】
解：联立方程 得 ，即直线 与直线 的交点为
设直线 的点 关于直线 对称点的坐标为 ，
第 13 页所以 ，解得
所以直线 关于直线 对称的直线过点 ，
所以所求直线方程的斜率为 ，
所以所求直线的方程为 ，即
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
根据已知条件，可知直线 和直线 关于 轴对称，利用直线 的方程可求出直线 的方程
【详解】
由已知点 的横坐标为1，即点 在直线 上，
因为 ，所以直线 和直线 关于 轴对称.
因此两条直线的斜率成相反数.
又因为 是 轴上的不同两点，且直线 的方程为 ，
则 即为原点，所以B坐标为 ,
因此直线 斜率为-2，且过点（2,0），所以直线 方程为
故选：D
13．D
【解析】
【分析】
先求得圆 关于直线 对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径为3
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解之得
则圆 关于直线 对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为 ，
故选：D．
14．A
【解析】
第 14 页分析圆 与圆 的圆心和半径，求出与圆 关于直线 对称的圆 ，再设圆 上的点 与圆 上点 对称，分
析可得原问题可以转化为 到圆 和圆 上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
设点 关于直线 对称的点为
则 ，解得： ，
圆 关于直线 对称的圆为圆 ，其圆心为 ，半径 ，则其方程为 ，
设圆 上的点 与圆 上点 对称，则有 ，
原问题可以转化为 到圆 和圆 上的动点距离之和最小值问题，
连接 ，与直线 交于点 ，此时点 是满足 最小的点，
此时 ，即 的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆 直线
对称的圆的方程 ，原问题可以转化为 到圆 和圆 上的动点距离之和最小值问题.
15．B
【解析】
【分析】
首先求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程；
【详解】
解：圆 圆心为 ，点 关于直线 的对称点为 ，
所求圆的方程为 .
第 15 页故选：B
16．C
【解析】
【分析】
作图，找到M关于x轴对称点是 ，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，
取最小值，且 ，此时根据直线方程求出P点即可
【详解】
如图，M关于x轴对称点是 ，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，
有 取最小值，此时， ，而直线M’N的方程为 ，化简得， ，
则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为
答案选：C
【点睛】
本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题
17．D
【解析】
【分析】
设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】
解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),
则 ，解得： ，
故选：D．
18．C
【解析】
【分析】
依题意可知光线所构成的平面与平面 和平面 均垂直，即平面 . 问题等价于：光线从线段 （不含
第 16 页端点）上的点 出发，经过 反射后重新回到点 ，求光线经过路径长度的取值范围. 以 为原点，以
为 轴建立平面直角坐标系，设 （ ），分别求得 关于 的对称点 和 关于 的对称点 ，
根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段 的长度，进而可求得结果.
【详解】
依题意可知光线所构成的平面与平面 和平面 均垂直.
如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，又 平面 ，所以 ，因为 ，所以
平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；因为 平面 ，且 平面 ，所
以平面 平面 .
所以平面 与平面 和平面 均垂直.
因此，问题等价于：光线从线段 （不含端点）上的点 出发，经过 反射后重新回到点 ，求光线经过
路径长度的取值范围.
以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系如图所示.
则 ， ，所以 的方程为 ，即 ，
设 （ ）关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
关于 的对称点为 ，
根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段 的长度.
第 17 页因为 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为：光线从线段 （不含端点）上的点 出发，经过 反射后重新回到点 ，求
光线经过路径长度的取值范围.
19．B
【解析】
设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．
【详解】
设对称点为 ，则 ，解得 ．即对称点为 ．
故选：B．
20．B
【解析】
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点 关于直线 的对称点是 ，
则有 ，解得 ， ，
故点 关于直线 的对称点是 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
21．A
【解析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于 的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】
直线 即 ，故 ，
第 18 页设点 关于 的对称点坐标为 ．
则 解得 ．
点 关于 的对称点坐标为 ．
故选：A．
22．A
【解析】
【分析】
求出圆 的圆心，设出关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），由两点构成直线的斜率与直线 垂直以及两
点的中点在直线上，列方程组即可求解.
【详解】
设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由 ⇒ ；
∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4⇒x2+y2﹣6x+6y+14=0．
故选：A
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的求法、圆的标准方程，解题的关键是点关于直线对称满足的关系，属于基础题.
23．D
【解析】
设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】
设所求对称直线上任意一点的坐标为 ，则关于原点对称点的坐标为 ，该点在已知的直线上，则
，即 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
24．A
【解析】
【分析】
根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.
【详解】
如图，设点 关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，
则P的坐标为 ，Q的坐标为 ，则 ．
第 19 页当A与B重合于坐标原点O时，
；
当A与B不重合时， ．
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．
故选：A
25．D
【解析】
由直线 与直线 的交点在直线 上可设直线 ，在直线 上取一点 ，由
该点到直线 与 的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立 ，解得 ，
所以直线 与直线 的交点为 ，
所以点 在直线 上，
所以可设直线 即 ，
在直线 上取一点 ，则该点到直线 与 的距离相等，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以直线 的斜率为 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
26．A
【解析】
【分析】
第 20 页求出圆 关于y＝x对称后的圆 的方程，问题等价于圆 与圆 有交点，则圆 与圆 的圆心距应该介于两圆
半径之和与半径之差的绝对值之间，由此可求r的范围.
【详解】
点P(x，y)关于y＝x对称点为Q(y，x)，
∴圆 的圆心为 ，半径为r，其关于 的对称圆 方程为： ，根据
题意，圆 与圆 有交点.
又圆 与圆 的圆心距 ，
要满足题意，只需 ，解得： .
故选：A.
27．B
【解析】
【分析】
求出点 关于直线 的对称点，则求对称点到点 的距离即可.
【详解】
解：设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ， ，
所以 ，
因为反射光线经过点 ，
所以 .
故选：B.
28．B
【解析】
【分析】
利用直线 与直线 ： 垂直，求得 的斜率，然后求得 与 的交点坐标，在直线 上取点 ，求出
该点关于 的对称点，利用斜率公式求得 的值.
【详解】
解：直线 与直线 ： 垂直，则 ，即 ，
∵直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，
∵由 得 得交点坐标 ，
第 21 页在直线 上取点 ，设该点关于 对称的点为 ，则 ，得 ，故
，解得 ，
故选：B.
29．C
【解析】
【分析】
计算圆心 关于直线 的对称点为 ，计算 ，得到最值.
【详解】
圆 的圆心为 ，圆 的圆心为 ，
关于直线 的对称点为 ， ，
故 的最小值是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
30．C
【解析】
求出直线l 过定点，结合点的对称性进行求解即可．
1
【详解】
∵ ＝k（x﹣1）+1，
∴l：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
1
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则 ，得 ，即直线l 恒过定点
2
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．
31．A
【解析】
【分析】
建立如图所求的直角坐标系，得 ，设 ，求出 关于直线 的对称点 坐标， 关于 轴对称
性 坐标，由反射性质 四点共线，求得直线 方程，由 在直线 上可求得 ，然后计算 即得．
第 22 页【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得 ，直线 方程为 ， 的重心为 ，
设 ， 关于直线 的对称为 ，
则 ，解得 ，则 ，
易知 关于 轴的对称点为 ，根据光线反射原理知 四点共线，
∴直线 的方程为 ，即 ，又直线 过 ，
∴ ，解得 或 （舍去）， ，
∴ ， ，
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把 的三边转化为到同一条直线上，利用
直线方程求得 点位置，然后得路程的最小值．
32．A
【解析】
【分析】
首先求出圆 的圆心坐标与半径，再设圆心 关于直线 对称的点的坐标为
，即可得到方程组，求出 、 ，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆 的圆心为 ，半径 ，设圆心 关于直线 对称的点的坐标为
，
第 23 页则 ，解得 ，即圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ，半
径 ，
所以对称圆的方程为 ；
故选：A
33．B
【解析】
【分析】
由已知求得直线l的方程，令 ，可求得直线 与 轴的交点，继而求得反射直线的方程，求得点B的坐标，由
三角形的面积公式可得选项.
【详解】
设直线 与 轴交于点 ，因为 的方程为 ，令 ，得点 的坐标为 ，
从而反射光线所在直线的方程为 ，令 得 ，
所以 的面积 ．
故选：B.
34．D
【解析】
【分析】
求出圆心 关于 的对称点为 ，则 的最小值是 ．
【详解】
解：圆 的圆心 ，半径为 ，圆 ，圆心 ，半径为
，
圆心 关于 的对称点为 ，
解得 故
．
故选 ．
第 24 页【点睛】
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
35．D
【解析】
【分析】
先求点 关于直线 对称的点 ，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设 关于直线 对称的点为 ，
则有 ，可得 ，可得 ，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为 ，
此时 ，
故选：D.
36．A
【解析】
【分析】
根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.
【详解】
将圆 化为标准式为 ，可得圆心 ，半径为3.设 关于直
线 对称的点为 ，则 解得 所以圆C关于直线 对称
的圆的圆心为 ，半径为3，所以所求圆的方程是 .
故选：A
第 25 页37．ABD
【解析】
【分析】
求出直线 与 所过的定点 ，故可判断BD的正误，利用 与 直线方程中系数关系可判断 与 都互相垂直，假
设 与 都关于直线 对称，则可求出 ，从而可判断C的正误．
【详解】
对于A，因为 ，故 与 都互相垂直，故A正确.
对于B， 直线 ： 即为直线 ： ，
令 ，则得 ，故直线 过定点 ，
同理直线 过定点 ，故B正确.
对于C，若不论 为何值时， 与 都关于直线 对称，
可取 上的一点 ，则 在 上，
所以 ，故 或 ，
故至多有两个不同的 ，满足 与 都关于直线 对称，
故C错误.
对于D，因为 在圆 的内部，故直线 与圆 恒有两个不同的交点，
故D正确.
故选：ABD
38．ACD
【解析】
【分析】
求出直线 的方程，可判断A选项的正误；求出线段 的中垂线方程，可判断B选项的正误；求出直线 的方
程，可判断C选项的正误；求出反射光线的方程，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，故选项A正确；
对于B，由中点坐标公式可得，线段 的中点坐标为 ，
又直线 的斜率为 ，所以线段 的中垂线的斜率为 ，
则线段 的中垂线所在直线的方程 ，即 .
故选项B错误；
第 26 页对于C，由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线 的斜率为 ，
由直线的点斜式可知，直线 的方程为 ，即 ，
故选项C正确；
对于D， 关于 轴的对称点为 ，
所以直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
即反射光线所在的直线方程为 ，故选项D正确.
故选：ACD.
39．ACD
【解析】
【分析】
利用点差法可求得 的值，可得出 的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线 的方程与椭圆的方程联立，
列出韦达定理，结合弦长公式求出 的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定
理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的.
【详解】
令 、 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，则 ，所以， ，
所以， ，则 ， ，椭圆的标准方程为 ，
所以，椭圆 的焦点在 轴上，即 ，
，即 ，A对；
椭圆 的方程为 ，联立 ，
消 可得 ， ，可得 ，
第 27 页则 ， ，
所以， ，则 ，所以，椭圆 的短轴长为 ，B错；
，C对；
椭圆 的方程为 ，其标准方程为 ， ，
椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，如下图所示：
设点 关于直线 的对称点为点 ，则 ，解得 ，
即点 ，
易知 ，则 ,
当且仅当点 、 、 三点共线时，等号成立，D对.
故选：ACD．
40．AD
【解析】
【分析】
对A，根据直线方程可判断；对B，可直接求出交点A可判断；对C，取特殊的点代入即可判断；对D，联立直线
求出交点即可表示出 即可求出最值.
【详解】
对于A， 恒成立，l 与l 互相垂直恒成立，故A正确；
1 2
对于B， 与x轴的交点 ，点A到原点的距离为 ，故B错误；
对于C，在l 上任取点 ，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为 ，代入l：x＋ay＋1＝0，则左
1 2
边不等于0，故C不正确；
第 28 页对于D，联立 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 的最大值是 ，故D正确.
故选：AD.
41．
【解析】
【分析】
由配方化简可得d可看作点 和 到直线 上的点 的距离之和，作 关于直线
对称的点 ，连接 ，计算可得所求最小值 .
【详解】
解：
，
即d可看作点 和 到直线 上的点 的距离之和，
作 关于直线 对称的点 ，
由题意得 ，解得
故 ，
则 .
故答案为： .
第 29 页42．
【解析】
【分析】
根据条件，求出两条直线的交点坐标，再求出直线 上的点(0，2)关于直线 的对称点即可.
【详解】
由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线 关于直线 对称，
则 得 ，即有光线的入射点为 ，
设直线 上的点(0，2)关于直线 对称点为 ，则 ，解得 ，
因此，反射光线所在直线必过点 和点 ，直线AB方程为： ，整理得： ，
所以反射光线所在直线的一般方程为： .
故答案为：
43．4
【解析】
【分析】
设点 ，则 ，求出点B关于直线 的对称点为 ，问题转化为要使
最短，则需 最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点 ，则 ，点B关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
所以要使 最短，则需 最短，
而 ，
又 ，设 ，所以 ，所以 ，
所以当 时（满足 ）， 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为4，
故答案为：4.
【点睛】
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最
小值问题.
第 30 页44．
【解析】
【分析】
设点 关于直线 ： 的对称点 ，点 关于 轴的对称点为 ，
连接 交 于 ，交 轴于 ，则此时 的周长取最小值，且最小值为 ，利用对称知识求出 和 ，
再利用两点间距离公式即可求解.
【详解】
如图：
设点 关于直线 ： 的对称点 ，点 关于 轴的对称点为 ，
连接 交 于 ，交 轴于 ，
则此时 的周长取最小值，且最小值为 ，
与 关于直线 ： 对称，
，解得： ，
，易求得： ，
的周长的最小值 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
45． 或 .
【解析】
【分析】
写出 关于 轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，
第 31 页从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为 关于 的轴的对称点为 ，又反射光线一定经过点 ，
设反射光线所在直线的方程为 ，即 ，
因为反射光线与 相切，所以 ，
解得 或 ，
所以反射光线所在直线的一般式方程为： 或 ，
故答案为： 或 .
46．2或6.
【解析】
【详解】
分析：由两圆对称可得到圆 的圆心坐标，然后根据圆 上任一点 与圆 上任一点 之间距离的最小值为两圆
的圆心距减去两半径可得实数 的值．
详解：设圆 的圆心为 ，
∵圆 和圆 关于直线 对称，
∴ ，解得 ，
∴圆 的圆心为 ．
∴ ．
∵圆 上任一点 与圆 上任一点 之间距离的最小值为为 ，
∴ ，
解得 或 ．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置
关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
47．（1）圆 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设圆 ，根据已知条件可构造方程组求得 ，分别在 和 两种情况下求得
结果；
（2）根据点关于直线对称点的求法可求得 点关于 的对称点 ，利用两点连线斜率公式可求得
反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.
【详解】
第 32 页（1）设圆 ，
由题意得： …①， …②， …③，
由①得 ，则 ，代入③得： ；
当 时， ， ， 圆 ；
当 时， ， 圆 ；
综上所述：圆 或 .
（2） 圆 与 轴正半轴相切， 圆 ，
设 关于 的对称点 ，
则 ，解得： ， ，
反射光线所在直线的斜率 ，
反射光线所在直线方程为： ，即 .
【点睛】
方法点睛：求解点 关于直线 的对称点 的基本方法如下：
① 与 连线与直线 垂直，即 ；
② 中点在直线 上，即 ；
③ 与 到直线 的距离相等，即 ；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点 坐标.
48．（1） ；（2）证明见解析， ．
【解析】
【分析】
（1）结合图形分析可得直线 的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线 只能与BC、AB相交，
设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b；
（2）设 ，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标.
【详解】
（1）直线BC的方程为： ，
直线 只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
第 33 页由 得 ， ，
直线 与x轴交点为 ， ，
由 ，即 ，
化简得： ，又 ，
，解得： ，
而 ， ．
（2）设 ，直线AC的方程为： ，直线BC的方程为： ，
设 关于直线AC的对称点为 ，
则 ，解得 ，
同理可得 关于直线BC的对称点为 ，
则 在直线ED上，所以直线ED的斜率为 ，
的斜率为 ，l方程为 ，即 ，
过定点 ．
49．（1） ；（2）① ；② 或 .
【解析】
第 34 页(1)由 ， ，即可求出直线 的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
(2)选①由对称点的性质即可求出；
选②设出 点的坐标 ，由两点间的距离公式列出方程，解出 的值，根据 、 点的坐标即可求出直线
的方程.
【详解】
解：（1）因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，
即直线 的方程为： ；
（2）问题①：
设 的坐标为 ，则
解得:
点 的坐标是 ；
问题②：
设 的坐标为 ，
，
，
解得： 或 ，
的坐标为 或 ，
直线 的方程为 或 .
【点睛】
方法点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
50．（1）(－2，3)；（2）(12，10)．
第 35 页【解析】
【分析】
（1）求出A关于直线l的对称点为A′，从而可得PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB
取得最小值，求出交点即可求解.
（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB－PA|≤AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|
取得最大值，求出交点即可.
【详解】
(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则 ，
解得 ，
故A′(－2，8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，
为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则 得 ，
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，
为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则 得 ，
故所求的点P的坐标为(12，10)．
51．（1） ；（2） .
【解析】
（1）设AB边的垂直平分线为l，求出 ，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）设B关于直线 的对称点M的坐标为 ，求出 即得解.
【详解】
（1）设AB边的垂直平分线为l，
有题可知 ， ，
第 36 页又可知AB中点为 ，
l的方程为 ，即 ，
（2）设B关于直线 的对称点M的坐标为 ；
则 ，解得 ，所以 ，
由题可知 ， 两点都在直线AC上，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
所以AC所在直线方程为 .
【点睛】
方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再
定量.
第 37 页第 38 页
