文档内容
微专题：指数函数的最值问题
【考点梳理】
求y＝af(x)或y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)的值域，均遵循复合函数“由内向外”的求值域原则，为了清晰起见，常
利用换元法解题.
【题型归纳】
题型一： 求已知指数型函数的最值
1．已知函数 ， ，则 （ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
2．已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D．
题型二： 根据指数函数的最值求参数
4．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或
5．若关于 的不等式 （ ）恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 在 上有最大值 ，则实数a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型三： 含参指数函数的最值
7．已知函数 ，若 时 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．定义在 上的函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． 的单调递减区间是 B． 的单调递增区间是
C． 的最大值是 D． 的最小值是
9．设 ， ，且 为偶函数， 为奇函数，若存在实数 ，使得当 时，不等
式 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：指数函数最值与不等式的综合问题
10．已知 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
11．设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【双基达标】
13．函数 在区间 上最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
14．已知函数 为奇函数， ，若对任意 ､ ， 恒成立，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数 的值域为 ，若不等式 在 上恒成立，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
16．对于函数 ，在使 成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数 的“上确界”，则函
数 的“上确界”为（ ）
A．1 B． C．2 D．16
17．已知函数 （ 且 ），若 有最小值，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
18．若函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为
A． B． C． D．3
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．定义 为双曲余弦函数， 为双曲正弦函数，它们是一类与三角函
数类似的函数.类比同角三角函数的平方关系，可以写出 与 的关系式： .若
，不等式 恒成立，则实数 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．函数 在区间[1，2]上的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
21．已知函教 ，若 对任意 恒成立，则实数 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
22．已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
23．已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．若公比为 的无穷等比数列 满足：对任意正整数 ，都存在正整数 ，使得 ，则
（ ）
A． 有最大值1 B． 有最大值2 C． 有最小值1 D． 有最小值2
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司25．已知 ，记关于 的方程 的所有实数根的乘积为 ，则 （ ）
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值
【高分突破】
一、单选题
26．已知两个随机变量 ， 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设 ， ，利用最小二乘
法，得到线性回归方程 ，则（ ）
A．变量 的估计值的最大值为 B．变量 的估计值的最小值为
C．变量 的估计值的最大值为 D．变量 的估计值的最小值为
27．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 .已知在
过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫克/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 （
为常数， 为原污染物总量）.若前 个小时废气中的污染物被过滤掉了 ，那么要能够按规定排放废气，还
需要过滤 小时，则正整数 的最小值为（ ）（参考数据：取 ）
A． B． C． D．
28．已知幂函数 在 上单调递增，函数 ， ， ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．若 ，则函数 必有（ ）
A．最大值4 B．最小值4 C．最大值 D．最小值
30．若函数 在 上的最大值为9，最小值为n，且函数 在 上是
单调减函数，则 （ ）
A．3 B． C．9 D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司31．对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“倒戈函数”．设
（ ， ）是定义在 上的“倒戈函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
33．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数 的最大值为
B．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数，则实数 的取值范围是
C．函数 满足 ，则
D．已知定义在 上的奇函数 在 内有1010个零点，则函数 的零点个数为2021
34．给出下列结论，共中正确的结论是（ ）
A．函数 的最大值为
B．已知 则 的最小值为
C．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
D．已知定义在 上的奇函数 在 内有1010个零点，则函数 的零点个数为2021
35．下列说法正确的是（ ）
A．设 ，则关于x的方程 有一根为-1的一个充要条件是 ;
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．若 ，则
C． 是 的必要不充分条件
D．函数 的最大值
36．若指数函数 在区间 上的最大值和最小值的和为 ，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
37．已知定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 ，且 在 上恒成立，
则实数 的取值范围为______．
38．若不等式(m2－m)2x－( )x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．
39．若实数 ，使得 恒成立，则实数a的取值范围是______．
40．若指数函数 在区间 上的最大值和最小值的差为 ，则底数 _______
41．已知函数 ，如果函数 满足对任意 ，都存在 ，使得
，称实数 为函数 的包容数，在① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，函数 的包容数是
_________（填出所有正确答案的序号）.
42．函数 的最大值是______．
四、解答题
43．已知f(x)是定义在[0，+∞）上的函数，满足：①对任意x∈[0，+∞），均有f(x)＞0；②对任意0≤x＜x，均有f
1 2
（x）≠f（x）．数列{an}满足：a＝0，an ＝an+ ，n∈N*．
1 2 1 +1
（1）若函数f(x)＝ （x≥0），求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n∈N*，使得n＞n 时，均有an＞M；
0 0
（3）求证：“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an ）＜2f（an）”的充分非必要条件．
+1
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司44．（1）已知函数 的图像恒过定点A，且点A又在函数 的图像上，求
不等式 的解集；
（2）已知 ，求函数 的最大值和最小值.
45．已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1，设 ．
（1）求 的值；
（2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）方程 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
46．设函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
47．已知函数 .
（1）若 的最小值为 ，求实数 的值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
在 上是增函数，
所以最小值为 ，没有最大值.
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
原问题等价于 ，使得 ，利用函数的单调性求出最大值即可求解.
【详解】
解： ，使得 ，等价于 ， ，
由对勾函数的单调性知 在 上单调递减，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
分类讨论 和 两种情况，根据对数和指数函数的单调性结合 得出 的取值范围.
【详解】
解：由题意可得：
当 时，结合 可得： ，不满足题意；
当 时， 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增，
满足题意 时有： ，即： ．
求解不等式可得实数 的取值范围是： ．
故选：C
第 9 页4．D
【解析】
【分析】
利用换元法，令ax＝t，转化为二次函数 ，根据单调性由区间[－1，1]上的最大值是14，求出a的值.
【详解】
令ax＝t，则 ．
当a＞1时，因为 ，所以 ，
又函数y＝（t＋1）2－2在 上单调递增，
所以y ＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
max
当0＜a＜1时，因为 ，所以 ，
又函数y＝（t＋1）2－2在 上单调递增，
则y ＝ ，
max
解得 （ 舍去）．
综上知a＝3或 ．
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，参变分离可得 恒成立，再根据幂函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以 ，又 恒成立，
即 恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 ；
故选：B
6．A
【解析】
【分析】
第 10 页由题可得 ， ，即求.
【详解】
∵函数 在 上有最大值 ，
∴ ， ，
∴ ，解得 或 （舍去）.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
将不等式转化为 ，然后再求最值即可.
【详解】
不等式 可化为 ，有 ，有 ，当 时，
（当且仅当 时取等号）， ，故有 ．
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性判断．
【详解】
设 ， ，它是增函数，且 ， ，
，它在 时递增，在 上递减，
因此 在 上递增，在 上递减，A正确，B错误，
，C正确， ， ，最小值是 ，D正确．
故答案为：B．
9．A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性得 ， ，进而将问题转化为当 时， 恒成立，再结合
指数型复合函数的单调性求解最值即可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，且 为偶函数， 为奇函数
第 11 页所以
所以 ，即
因为 ，
所以 ， .
因为当 时，
所以当 时，不等式 恒成立等价于当 时， 恒成立，即当 时，
恒成立，
令 ，由于函数 在 单调递增，
所以根据复合函数单调性得 在 单调递增，
所以 ，
所以当 时， 恒成立时， .
所以 的最小值为 .
故选：A
10．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数 的最小值， 的最小值即可列式求解．
【详解】
函数 在 上单调递增，则有 ，
又 在 上单调递减，则有 ，
因为 ， ，使得 ，于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：D
11．A
【解析】
【分析】
分析可知 ，由已知可得 对任意的 恒成立，解得 对任意的 恒成
第 12 页立，可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，
则当 时， ， ，故对任意的 ， ，
对任意的 ，不等式 恒成立，
即 ，即 对任意的 恒成立，
且 为正数，则 ，可得 ，所以， ，可得 .
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
分析可知 对任意的 恒成立，利用二次不等式的性质可得出关于实数 的不等式，即可得
解.
【详解】
由已知可得 ，则 对任意的 恒成立，
因为 ，所以， ，解得 .
故选：D.
13．B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，结合给定区间求最小值即可.
【详解】
∵ 在 上单调递增，
∴ .
故选：B.
14．A
【解析】
【分析】
由奇函数性质求得 ，求得函数 的解析式，不等式等价于 ，由此求得答案.
【详解】
解：因为函数 的定义域为 ，又 为奇函数，∴ ，解得 ，∴ ，所以
，
要使对任意 ､ ， 恒成立，
第 13 页只需 ，又 ，∴ ，即 ，
故选：A.
15．A
【解析】
根据题意，先求得 ，把不等式 在 上恒成立，转化为 在
上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数 的值域为 ，可得函数 的最大值为 ，
当 时，函数 显然不存在最大值；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，函数 有最大
值，即 ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时函数 无最大值，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由 在 上恒成立，可得 ；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可得 ；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，可得函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
16．C
【解析】
【分析】
第 14 页求出 的最大值后可得．
【详解】
， 时取等号．
所以 的最大值为2，所以 ， 的最小值为2．
故选：C．
17．D
【解析】
根据函数 有最小值可得出函数 的单调性，然后对函数 在区间 上的单调性
进行分类讨论，可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】
由于函数 有最小值，则函数 在区间 上不为增函数，可得 .
当 时， ， ，此时函数 无最小值；
当 时，即当 时，函数 在区间 上为减函数，
①若函数 在 上为增函数，则 ，
且有 ，即 ，解得 ，此时 ；
②若函数 在 上为减函数，则 ，
且 ，所以， ，即 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，
并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数 在区间 上单调递减，忽略
这一条件的分析，进而导致求解出错.
18．A
【解析】
【分析】
先由函数解析式得函数在给定区间单调，根据题意列出方程，即可求出结果.
【详解】
易知 在 上单调，
因此， 在 上的最值在区间端点处取得，
由其最大值与最小值之和为 可得 ，
第 15 页即 ，化简得 ，解得 .
故选A
【点睛】
本题主要考查指数函数与对数函数单调性的应用，熟记性质即可，属于常考题型.
19．B
【解析】
【分析】
根据 化简，参变分离可得 恒成立，再根据 的单调
性求解即可
【详解】
因为 ，故
，因为 在 ， 单增，故 也单增，因为
， ，即
故选：B
20．C
【解析】
根据指数函数的单调性求得最值.
【详解】
∵函数 在区间[1，2]上单调递增，
∴函数 在区间[1，2]上的最大值是f（2）＝2，
故选：C
【点睛】
本小题主要考查指数函数最值的求法，属于基础题.
21．D
【解析】
【分析】
先利用函数的解析式判断出函数 关于点 对称，从而将 对任意 恒成立，转化为
对任意 恒成立，再利用导数判断函数 的单调性，利用单调性去掉“ ”，从而得到
对任意 恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到 的最小
值．
【详解】
第 16 页因为函数 ，
所以 ，
则函数 关于点 对称，
所以 ，
故 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
因为 ，则函数 在 上单调递增，
所以 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
所以 对任意 恒成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
则实数 的最小值为 ．
故选： ．
【点睛】
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即
可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒成立；④ 讨
论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
22．D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数奇偶性的定义分析 、 的值，即可得 的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析
的单调性，据此分析可得答案．
【详解】
解：根据题意， 是定义在 ， 上的偶函数，则有 ，则 ，
第 17 页同时 ，即 ，则有 ，必有 ，
则 ，其定义域为 ， ，
则 ，设 ，若 ，则有 ，
在区间 ， 上， 且为减函数，
在区间 ， 上为增函数，
则 在 ， 上为减函数，其最大值为 ，
故选： ．
23．A
【解析】
【分析】
本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.
【详解】
解：∵对任意 ，存在 ，使得 ，
∴
∵ ，∴ ，
∵ ，∴
∴ ，解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.
24．B
【解析】
【分析】
由题得 ，得到 ，即得解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为对于任意正整数 ，都存在正整数 ，使得 ，
第 18 页所以 ，
因为 ,
所以 有最大值 .
故选：B
【点睛】
方法点睛：最值问题的求解常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.
要根据已知条件灵活选择方法求解.
25．D
【解析】
【分析】
求出方程 的实数根，从而可得 ，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】
解：由 ，
得 ，所以 或 ，
故 ，
所以函数 既无最大值，也无最小值.
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
根据题意可得出 ，再根据二次函数和指数函数的性质可求出最值.
【详解】
依题意， ，则 ，
则 ，故当 时，变量 的估计值的最大值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查变量间的相关关系，涉及指数函数和二次函数的性质，属于基础题.
27．C
【解析】
【分析】
根据已知条件得出 ，可得出 ，然后解不等式 ，解出 的取值范围，即可得出正整数 的最
小值.
【详解】
第 19 页由题意，前 个小时消除了 的污染物，因为 ，所以 ，所以 ，即
，所以 ，
则由 ，得 ，
所以 ，
故正整数 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
28．A
【解析】
【分析】
首先根据幂函数的性质得到 ，分别求出函数 和 在区间 的值域，再结合题意即可得到答案.
【详解】
因为幂函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
，则 的值域为 ，
又因为函数 在 上为增函数，
所以 ， 的值域为 ，
因为 ， ，使得 成立，
所以 ，解得 .
故选：A
29．C
【解析】
【分析】
由已知可得 ，根据正弦函数的有界性，即可求出结论.
【详解】
，
，
又 ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 .
第 20 页故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数的最值，涉及到指数函数的单调性和三角函数的有界性，考查计算求解能力，属于基础题.
30．B
【解析】
由 在 上是单调减函数，可得 ，然后对指数函数 分 和 两种情
况讨论其在区间 的最值即可得答案
【详解】
∵ 在 上是单调减函数，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，即 ， ，不符合题意；
当 时， 的最大值为 ，即 ， ，符合题意，
综上 ，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：根据 的单调性可得到 ，根据 在定义域上的最值求参数，关键是分
和 两种情况讨论.
31．A
【解析】
【分析】
问题就是方程 在 有解，变形为 ，引入新函数，求得函数的值域即可得结
论．
【详解】
因为 是定义在 上的“倒戈函数，
存在 满足 ，
，
，
构造函数 ， ，
令 ， ，
在 单调递增，
在 单调递减，所以 取得最大值0，
第 21 页或 取得最小值 ， ，
， ，
故选：A．
【点睛】
本题考查函数新定义，解题关键理解新定义，把问题进行转化．本题新定义转化为方程有解，再转化为求函数的
值域．
32．D
【解析】
【分析】
将不等式整理为 ，令 ，根据二次函数性质可求得 的最小值为 ，由此
可得 ，解不等式可求得结果.
【详解】
由 得： ，
令 ，则当 时， ， ，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
33．CD
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，结合函数的最值对A进行判断；利用对数函数的性质及复合函数的单调性对B进行判断；
由 得， ， ，对C进行判断；利用函数的零点与方程根的关
系，结合奇函数的性质对D进行判断，从而得结论.
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，因此 有最小值 ，无最大值，所以A错误，
对于B，因为函数 （ 且 ）在 上是减函数，
所以 ，解得 ，实数 的取值范围是 ，所以B错误，
对于C，由 得， ， ，∴ .所以C正确，
对于D，因为定义在 上的奇函数 在 内有1010个零点，所以函数 在 内有1010个零点，
第 22 页而 ，因此函数 的零点个数为 ，所以D正确，
故选：CD
34．CD
【解析】
【分析】
根据指数型复合函数的性质判断A，根据分段函数的解析式，分别求出各段函数的最小值，再比较即可得到函数
在整个定义域上的最小值，即可判断B，根据反函数的性质判断C，根据奇函数的对称性及性质判断D；
【详解】
解： 对于A，令 ，则 ，即 的最大值为1，又 在定义域上单调递减，所以
的最小值为 ，不存在最大值，故A错误；
对于B，因为 ，当 时 ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，因为
，所以 ，故B错误；
对于C，在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称，故C正确，
对于D，定义在 上的奇函数 在 内有1010个零点，
则 在 内有1010个零点，且 ．
故函数 的零点个数为 ，故D正确，
故选：CD．
35．ABC
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义结合方程根的知识即可判断 ；利用指数与对数的互化及对数的运算即可判断 ；利用必要
不充分条件的定义即可判断 ；取 即可判断 ．
【详解】
对于 ，必要性证明：关于 的方程 有一根为 ，代入 有 ，故必要性成立，
充分性证明：若 ，则必有 ，故 为程 的一个根，故 正确；
对于 ，若 ，则 ， ，
则 ， ，
所以 ，故 正确；
对于 ，由 可得 ，则 ，而由 可得 ，则 ，
第 23 页故 是 的必要不充分条件，故 正确；
对于 ，函数 ，当 时， ，故 错误，
故选： ．
36．BC
【解析】
【分析】
对 分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.
【详解】
当 时，函数 在区间 上为单调递增函数，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ；
当 时，函数 在区间 上为单调递减函数，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
综上可得，实数 的值为 或 .
故选：BC
37．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，求得 ，把 在 上恒成立，转化为 在
上恒成立，再利用指数函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
由题意，函数满足 ，①
因为定义在 上的偶函数 和奇函数 满足，则 ，
即 ，②
由①②，解得 ．
又由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立
第 24 页又因为函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中利用函数的奇偶性求得函数 的解
析式，熟练掌握恒成立问题的分离参数法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于
中档试题．
38．－2
