文档内容
微专题：正弦定理的应用
【考点梳理】
1. 正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理
文字 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
语言 的比相等.
公式 ＝ ＝ .
(1)a＝ 2 R sin A ， b＝ 2 R sin B ， c＝ 2 R sinC .
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
常见
a∶b∶c＝ sin A ∶sin B ∶sinC .
变形
asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝
csinA.
2. 三角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高).
a a
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
(4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长.
【题型归纳】
题型一：正弦定理解三角形
1．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
2．在 中，已知 ， ， ，则下列选项中正确的为（ ）
A． B． 外接圆的半径为
C． 的面积为 D．
3．在 中， ， ， ，则 为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． 或 D．
题型二：正弦定理判定三角形解的个数
4．在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．在△ABC中， ， ， ，则满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
6．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，若 只有一解，则实数x
的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
题型三：正弦定理求外接圆半径
7．在 中，若 ，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．-2
8．在 中， ， ， ，则 的外接圆半径为（ ）
A． B． C．3 D．
9．在 中， ， ，则 外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
题型四：正弦定理边角互化的应用
10．已知 的三个内角 所对的三条边为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知a，b，c分别为 内角A，B，C的对边， ， ， 的面积为 ，则
（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．2 C． D．
12．记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．在 中，角 , , 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
14．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则边长 等于（ ）
A． B． C．2 D．
15．下列说法中，正确的个数为（ ）
①若 ， 是非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的充要条件；②命题“在 中，若
，则 ”的逆否命题为真命题；③已知命题 ： ，则它的否定是 ：
.
A．0 B．1 C．2 D．3
16．在 中， ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
17．在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
18．在 中，角A，B，C对应的边分别为a､b､c，若 ， ， ，则B等于（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． 或 D．3
19．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 中，角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，则 的面积 ．根据此公式，若 ，且
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．在 中， ， ， ，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶ ∶1 D．1∶ ∶2
22．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠
峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的
投影 满足 ， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点
测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
23． 中， ， ，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．4 B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．不解三角形，下列三角形中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
25．在 中，角 所对的边分别为 .若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
26． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则 的值是
（ ）
A．6 B．8 C．4 D．2
27．在 ABC中，若 ，则B＝（ ）
△
A． B． C． 或 D． 或
28．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a ，则 等于（ ）
A． B． C． D．2
29．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．满足条件 ， ， 的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
31．在 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
32．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
33．在 中，角 的对边分别是 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．无解
34．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
35．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则角 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
36．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3 ，则B的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
37．如图，设 ， 是双曲线 的左、右焦点，过点 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点
，若 的面积为 ，离心率满足 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
39．已知 面积为12， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． 的值可以为 D． 的值可以为
40．在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 一定为等腰三角形
C．若 ，则 一定为直角三角形
D．若 ，且该三角形有两解，则边 的范围是
41．在 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A． 则 为等边三角形；
B．已知 ，则 ；
C．已知 ， ， ，则最小内角的度数为 ；
D．在 ， ， ，解三角形有两解．
三、填空题
42．在 中，若 ，则 的大小为__________．
43．在 中，已知角 的对边分别为 ，且 ， ， ，若 有两解，则 的取值范
围是__________．
44．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ， ， ，则
的面积为_________．
45．三棱锥 中， 底面 ， ，在底面 中， ， ，则三棱锥 的外接
球的体积等于__________．
46．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 的
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司面积为______.
47．在 ABC中， ， ， ，则 ABC的外接圆半径为________
△ △
四、解答题
48．在锐角 三角形中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列
（1）若 ，求
（2）若 为的最大内角，求 的取值范围
49．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在
下面的横线上，然后解答补充完整的题目．
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________．
（1）求角B；
（2）若 ，且 的面积为 ，求b的值．
50．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 ，它的内角 所对的边分别为 ，面积为 ，且 ，
_____________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
51．如图，在四边形 中， ， ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ，
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)当 时，求 ；
(2)当四边形 的面积取最大值时，求 .
52． 中，角 所对边分别为 .已知 ， ， .
（1）求 ；
（2）求 .
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理计算可得.
【详解】
解：因为 ， ， ，
由正弦定理 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ；
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得 ，进而可得 ， ，然后利用三角形面积公式可得 ，即
得.
【详解】
因为 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，故B正确，D错误；
∴ ， ， ，故AC错误.
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得正确答案.
【详解】
由正弦定理得 ，
由于 ，所以 .
故选：D
第 10 页4．C
【解析】
【分析】
根据三角形的性质，以及正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由 ， ，可得 ，所以三角形只有一解；
对于B中，由 ， ， ，可得 ，所以 ，此时三角形有唯一的解；
对于C中，由正弦定理 ，可得 ，
可得 有两解，所以三角形有两解；
对于D中，由余弦定理得 ，可得 有唯一的解，所以三角形只有一解.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
根据正弦定理进行判断即可.
【详解】
由正弦定理可知： ，
显然不存在这样的角 ，
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可
【详解】
如图， ， 为正三角形，则点 在射线 上.易得当 在 时， 只有一解，此时 ；
当 在 或 右边时 只有一解，此时 .故 或
故选：D
7．B
【解析】
【分析】
第 11 页利用三角形面积定理、余弦定理求出边a，再利用正弦定理计算作答.
【详解】
在 中， ，则 ，解得 ，
由余弦定理得： ，令 外接圆半径为R，
由正弦定理得： ，解得 ，
所以三角形外接圆的半径为2.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求解外接圆半径即可.
【详解】
根据题意得： ，解得 ，所以 的外接圆半径为： .
故选：A.
9．A
【解析】
【分析】
直接使用正弦定理进行求解即可.
【详解】
设R为 外接圆的半径，故 ，解得 ．
故选：A．
10．C
【解析】
【分析】
根据 ，确定三内角的度数，根据正弦定理即可求得答案.
【详解】
由题意得 的三个内角 ，
故 ，
由正弦定理得： ,
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化角为边可得 ，再将 用 表示，再利用正弦定理化边为角，从而可求得角A，再利用三角形的
第 12 页面积公式可求得 ，最后利用余弦定理即可得解.
【详解】
解：∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
则 ，
∴ ，
又 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
则
∴ ．
故选：D.
12．B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理可求得 的值.
【详解】
因为 ，则 为锐角，且 ，
因为 ，由正弦定理可得 .
故选：B.
13．C
【解析】
根据正弦定理求解.
【详解】
因为 ，所以 ,选C.
【点睛】
本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属基础题.
14．B
第 13 页【解析】
【分析】
直接根据正弦定理求解即可.
【详解】
解： 中，∵ ， ， ，
∴由正弦定理 得： .
故选：B
15．B
【解析】
【分析】
①用平面向量的数量积和夹角的应用判断；②用正弦定理以及大边对大角判断；③用含有特称量词的命题的否定
判定即可.
【详解】
对于①，因为两向量是非零向量，当两向量同向时，依然可以得到 ，故①错；对于②，
，所以②对；对于③， ： ， ，所以③错；
故选：B.
16．B
【解析】
【分析】
利用给定条件结合对数运算可得 ，再利用正弦定理角化边即可判断得解.
【详解】
因 ，则有 ，
即有 ，于是得 ，
在 中，由正弦定理 得： ，
所以 是直角三角形.
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边化为角，再逆用两角和的正弦公式化简即可.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
第 14 页所以 ，又 ，所以 .
故选：B
【点睛】
方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为
边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行
转化、化简，从而得出结论．
18．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理可求答案.
【详解】
由正弦定理可知 ， ；
因为 ， ， ，
所以 ；
因为 ，所以 或 （舍）.
故选：A.
19．C
【解析】
【分析】
先根据正弦定理可求 ，再求出 后可求面积.
【详解】
因为 ，故由正弦定理可得：
即 ，
而 ，故 ，故 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
故 ，
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
先根据 ，求出 ，再由正弦定理，求解即可.
【详解】
第 15 页在 中，
由正弦定理可知
即 .
故选：A.
21．D
【解析】
【分析】
三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.
【详解】
在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理知：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶ ∶2.
故选：D
22．B
【解析】
【分析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．
【详解】
过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
第 16 页而 ，
所以
所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为 ．
23．C
【解析】
在 中，根据 ， ，由余弦定理求得 ，再由平方关系得到 ，然后由正弦定理
求解.
【详解】
在 中， ， ，
由余弦定理得： ，
所以 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
此三角形的外接圆半径是
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
24．D
【解析】
【分析】
利用三角形大边对大角直接求解
【详解】
对A, B为钝角，只有一解；
对B, , B为锐角，只有一解；
对C, , A为直角，无解；
第 17 页对D, , B为锐角，A有两解；
故选：D
25．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理进行求解.
【详解】
由正弦定理得： ，即 ，解得： .
故选：A
26．A
【解析】
【分析】
根据正弦定理结合题干条件可得到 ，再由余弦定理得 ，代入已知条件可得
到最终结果.
【详解】
因为 ，
根据正弦定理得到：
故得到
再由余弦定理得到：
代入 ， ，得到 .
故选：A.
27．A
【解析】
【分析】
由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得．
【详解】
因为 ，由正弦定理得
因为 ，所以
因为 ，所以 ，所以 ，而B为三角形内角，故 ．
故选：A．
28．D
【解析】
第 18 页由已知结合正弦定理即可直接求解．
【详解】
A＝60°，a ，
由正弦定理可得， 2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则 2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．
29．D
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得 ,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦
定理边化角求得 关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到 ，利用三角函数的性质求得
取值范围即可．
【详解】
解：△ABC中 ， ，
由 ，得 ，∴ ；
即 ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵△ABC为锐角三角形，∴ ,∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故选：D．
第 19 页30．B
【解析】
【分析】
由正弦定理求得 ，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】
在 中，因为 ， ， ，
由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，即 ，则 有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
31．D
【解析】
【分析】
对于A，由 和 的度数，利用三角形内角和定理求出 的度数，再由 的值，利用正弦定理求出 与 ，得到此
时三角形只有一解，不合题意；对于B，由 ， 及 的值，利用余弦定理列出关系式，得到 ，解得三角形
只有一个解，不合题意；对于C，三角形三边都确定，故得到三角形是唯一确定的，只有一解；对于D，由 ，
及 的值，利用正弦定理求出 的值，由 小于 得到 小于 ，可得出此时 有两解，符合题意．
【详解】
对于A选项， ， ，
，又 ，
由正弦定理 得： ， ，
三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；
对于B选项， ， ， ，
由余弦定理得： ，
三角形三边唯一确定， 此时三角形有一解，不合题意；
对于C选项， ，三边均为定值，三角形唯一确定，
故选项C不合题意；
对于D选项， ， ， ，
由正弦定理 得： ，
， ， ，
有两解，符合题意，
故选：D.
32．B
【解析】
【分析】
第 20 页利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】
在 中，由正弦定理得 ，而 ，
∴ ，即 ，
又∵ 、 为 的内角，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴由余弦定理得： ，∴ ，
∴ 为等边三角形.
故选：B.
33．A
【解析】
【分析】
在三角形中由正弦定理，即可求出答案.
【详解】
由正弦定理得 .
或 . ， （舍）.
故 .
故选：A.
34．D
【解析】
根据 ，利用正弦定理得到 求解.
【详解】
因为在 中， ，
所以
因为 ，
所以 ，
因为则 ,
或
故选：D
35．D
【解析】
【分析】
第 21 页由正弦定理即可求解．
【详解】
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
故选：D.
36．A
【解析】
【分析】
先由正弦定理求出sinB= ，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.
【详解】
由正弦定理得 ，
即 ，
解得sinB= ，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
37．B
【解析】
【分析】
根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与 面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计
算 的值，确定双曲线的方程
【详解】
设双曲线的渐近线 的倾斜角为 ，则 ，在等腰三角形 中，根据正弦定理可得：
，得 ，所以 ，解得 或 ，又
， ，所以 ，从而 ，所以双曲的方程为 ，
故选：B．
【点睛】
本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与 的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面
积，求出 的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
第 22 页38．BC
【解析】
【分析】
结合选项逐个求解，可进行判断.
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，只有一解；
对于B，因为 ，且 ，所以有两解；
对于C，因为 ，且 ，所以有两解；
对于D，因为 ，但 ，所以有一解；
故选：BC.
39．AD
【解析】
【分析】
利用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得 ，计算出 可判断A的正误，而利用余弦定理、
基本不等式可得关于 的三角函数不等式，从而可判断B的正误，对于C，求出 的范围后可判断其正误，对
于D，由 可得 的值，结合已知条件可判断三角形是否存在.
【详解】
设 所对的边为 ，因为 面积为12，故 ，
故 .
对于A，若 ，结合 为三角形内角可得 ，故 .
因为 ，故 ，故 ，故 .
由正弦定理可得 ，故 ，故A正确.
对于B，由余弦定理可得 ，
所以 即 ，当且仅当 时等号成立.
而 ，故 ，故 ，整理得到 ，
第 23 页而 ，
因为 ，故 ，故 的最大值为 ，
当且仅当 时等号成立，故B错误.
对于C， ，
故 ，而 ，
故 ，故C错误.
对于D，若 ，则可得 或 ，
若 ，则 ，消元后得到： ，
所以 ，整理得到 ，
但 ，故矛盾即 不成立.
若 ，则 ，消元后得到： ，
所以 ，整理得到 ，
结合 可得 ，此时 ，
故D正确.
故选：AD.
【点睛】
方法点睛：三角形一般有7个几何量（三边和三角以及外接圆的半径），由已知的三个量一般可求出其余的四个
量，求解过程中注意选择合适的定理来解决，另外在边角关系的转化的过程，注意根据边的特征和角的特征合理
消元.
40．AC
【解析】
【分析】
根据正弦定理和三角恒等变换的公式，以及三角性的内角和定理、三角形解得个数的判定方法，逐项判定，即可
第 24 页求解.
【详解】
对于A中，因为 ，可得 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可得 或 ，
即 或 ，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C中，若 ，由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 一定为直角三角形，所以C正确；
对于D中，若 ，可得 ，
要使得该三角形有两解，可得 ，即边 的范围是 ，所以D不正确.
故选：AC.
41．ABC
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；
【详解】
解：对于A：若 ，则 ，即 ，即 ，即 是
等边三角形，故A正确；
对于B：由 ，可得 ，余弦定理： ． ，
，故B正确．
对于C：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，所以
， ， ，故C正确；
对于D：因为 ， ， ，所以 ，即 解得 ，因为 ，所以
，所以三角形只有1解；
故选：ABC
42． 或
【解析】
【分析】
第 25 页首先由正弦定理可求出 ，根据大边对大角的原则，由 可得 ，即得解
【详解】
由正弦定理得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 或
故答案为： 或
43．
【解析】
【分析】
利用正弦定理得到 ，再根据 有两解得到 ，计算得到答案.
【详解】
由正弦定理得：
若 有两解：
故答案为
【点睛】
本题考查了正弦定理， 有两解，意在考查学生的计算能力.
44．
【解析】
【分析】
根据 求出 ，由向量数量积得到 ，使用余弦定理得到方程组，求出 ，利用面积
公式求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即
，而因为 是锐角三角形，所以 ，所以 ，所以 ，因为
，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，整理得：
第 26 页①，其中 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，解得：
②，把②代入①得： ，解得： ，则 的面积为 .
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
设 为 外接圆圆心， 为球心，由球的性质知 平面 ；利用正弦定理可求得 外接圆半径；根
据四边形 为矩形，得到 ，利用勾股定理构造方程组即可求得外接球半径，代入球的体积公式
求得结果.
【详解】
设 为 外接圆圆心， 为三棱锥 外接球球心，
则 平面 ，作 ，垂足为
由正弦定理可知 外接圆直径：
，
平面 ， 平面 ，
又 ， ，
四边形 为矩形，
设 ，
在 和 中，
勾股定理可得： ，解得：
三棱锥 外接球体积：
第 27 页故答案为：
46．
【解析】
把 看成关于 的二次方程，由 结合正弦函数的有界性可得 ，从而
求得 的值，再利用正弦定理求得 的值，最后利用诱导公式可求 并代入面积公式，即可得答案.
【详解】
把 看成关于 的二次方程，
则由 ，即 得 ，
而 ，则 .
由于 ，可得 ，可得 ，
即 ，代入方程 ，可得 ，
所以 .由正弦定理可得， ，所以 .
又因为 ，所以 .
易知 .
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运
算求解能力，求解时注意两边夹定理的运用.
47． ##
【解析】
【分析】
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
第 28 页得 ，
由正弦定理 ABC的外接圆半径为 .
△
故答案为: .
48．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先计算出 的角度，再根据正弦定理计算出 的值，最后根据 即可计算出 的
值；
（2）根据条件将 用 的形式表示出来，将 转化为关于 的三角函数，再根据 的范围即可计算出
的取值范围.
【详解】
解：（1） 成等差数列，所以 ，
，
（2） ，
，
令 ，
， ，
.
【点睛】
本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形
的问题中注意对隐含条件“ ”的使用.
49．选择见解析；（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
第 29 页（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；
（2）由面积公式求出 ，利用余弦定理可得 ，代入计算
即可.
【详解】
（1）选①，由正弦定理得， ，
解得 ，
平方得 ，解得 ，又 ,所以 .
选②，由正弦定理得， ，，
解得 ，又 ,所以
选③，由 ，有 ，
由正弦定理得， ， ，
解得 ，又 ,所以
（2） ，解得
由余弦定理有， ，
∴ .
50．答案见解析
【解析】
【分析】
先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出 的值；若选①：先用正弦定理求解出 的值，然后分析 的大小
并求 的值，然后根据两角和的正弦公式可求 的值；若选②：先用正弦定理求解出 的值，然后计算
的值，最后根据两角和的正弦公式可求 的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算 的值，
得到 ，故判断三角形不存在.
【详解】
因为 ，由余弦定理 ，
可得 ，
由 ，得
所以 .
选①：由正弦定理 得 ，
第 30 页代入 中得 ，
又 ，得 是一个锐角，故 ，
所以 .
选②：由 得 ，
代入 中得 ，
则当 时，
当 ，
当 时，
当 ，
选③：由 得 ，所以 不存在.
51．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由余弦定理求得 ，再由正弦定理求得 ，结合诱导公式求得 ，最后由余弦定理即可
求解；
（2）结合（1）得 ，由 结合面积公式表示出四边形 的面积，再借助
辅助角公式及正弦函数的性质求解即可.
(1)
在 中， ， ， ，由余弦定理得
，
所以 .因为 ，所以 ，由正弦定理得
，即 ，
解得 ，因为 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 且 ，
第 31 页所以 ，在 中，由余弦定理得
；
(2)
由（1）得 ，
，此时 ， ，且 ，当 时，四边形
的面积最大，
即 ，此时 ， ，所以 ，即 .
52．（1） ；（2） ．
【解析】
（1）直接根据余弦定理计算得到答案.
（2）计算 ， ，根据正弦定理计算得到答案.
【详解】
（1）根据余弦定理： ，故 .
（2） ， ，故 ， ，
故 ，
根据正弦定理： ，故 .
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
第 32 页第 33 页
