文档内容
微专题：求二项式展开式的特定项
【考点梳理】
1. 二项式定理
概念 公式(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋…＋ C a n － k b k ＋…＋ C b n (n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
各项的系数 C ( k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
系数
通项 C a n － k b k 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第 k ＋ 1 项，可记做T ＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
k＋1
二项
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.
展开式
2. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第 r＋1项，再由
特定项的特点求出r值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋
1项，由特定项得出r值，最后求出其系数.
【题型归纳】
题型一：求二项展开式
1． 展开式中， 的系数为（ ）
A．20 B． C．160 D．
2．二项式 的展开式中为常数项的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
3． 展开式中的常数项为
A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在
题型二：求二项展开式的第k项
4．若 展开式中第2项与第12项的二项式系数相同，那么展开式的中间一项为（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．在二项式 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中的第 项系数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（ ）
A．6 B．15 C． D．
题型三：根据二项式的第k项求值
7．若 的展开式中第4项是常数项，则n的值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
8． 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
9．已知 的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ）
A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【双基达标】
10．已知 的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中第（ ）项是常数项.
A．3 B．4 C．5 D．6
11．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的
系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要
研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用 表示三角形数阵的第 行第 个数，则 （ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
12． 的展开式中，第二项为（ ）
A． B． C． D．
13．若 ，则 （ ）
A．1 B．0 C． D．
14． 展开式中无理项的项数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
15．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第三项为（ ）
A．－20i B．15i C．20 D．－15
16． 的展开式中的常数项为（ ）．
A．－120 B．120 C．－60 D．60
17．在二项式 的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）
A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360
18．若二项式 的展开式中所有项的系数的绝对值的和为 ，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
19．设随机变量 ，若二项式 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20． 展开式的第 项为（ ）
A． B． C． D．
21． 展开式中的第2项是（ ）
A． B． C． D．
22．在 的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为（ ）
A． B． C． D．
23．若 的展开式中 的系数为 ，则 等于（ ）
A． B． C．1 D．2
24．二项式 的展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．－80
C．40 D．－40
25．在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．已知 的展开式的常数项为 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
27．若a为正实数，且 2020的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2020项为（ ）
A． B．－
C． D．－
28．在关于 的二项式 的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为 ，且二项式系数最大的
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司项的值为 ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
29．设 ，则 （ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
30．已知 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为 ，则不正确
的命题是（ ）
A． B．
C．展开式中常数项为 D．展开式中含 的项为
【高分突破】
一、单选题
31．已知 ，则 可化简为（ ）
A． B． C． D．
32．在 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
33． 的展开式的中间项为（ ）
A．-40 B． C．40 D．
34． 的展开式中的常数项为-160，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
35．已知 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司36．若 的展开式有9项，则自然数 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、多选题
37．已知 ， 设 ，其中 则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
38．对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是240
C．展开式的二项式系数之和为64 D．展开式的各项系数之和为1
39．关于 及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项式展开式中二项式系数和是
B．该二项式展开式中第8项为
C．当 时， 除以100的余数是9
D．该二项式展开式中不含有理项
40．将杨辉三角中的每一个数 都换成 ，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三
角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果 ，那么下面
关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．第8行中间一项是
C．
D．
41．下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
42．设常数 ， ，对于二项式 的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A．若 ，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若 ， ，则第7项的系数最大
D．若 ， ，则所有奇数项系数和为239
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
43．在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数为______．
44． 展开式的中间项为________．
45．若 ，则 的展开式中的常数项是___________.
46．二项式 的展开式的常数项是____ ．
47．在 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）
48．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中x的系数为_________
四、解答题
49．已知 的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即 的指数为整数的项）.
50．已知在 的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
51．若 的展开式中第2项小于第1项，但不小于第3项，求实数x的范围．
52．已知在 的展开式中，_________（填写条件前的序号）
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司条件③ .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含 的项.
53．已知数列 是等比数列， ，公比是 的展开式的第二项（按 的降幂排列）.
（1）求数列 的通项 ；
（2）求数列 前 项和 ；
（3）若 ，求 .
54．已知 ．
（1）若 且 ，求n的值；
（2）若 ，求证： ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】求出展开式的通项，令 的指数位置等于 即可求解.
【详解】 展开式通项为 ，
令 可得 ，
所以 的系数为 ，
故选：D.
2．C
【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可.
【详解】依题意， 的展开式的通项为 ， ，
令 ，得 ，即 是二项式 的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5项.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，写出 展开式中的通项为 ，令 的指数为0，可得 的值，由项数与 的关系，可得
答案．
【详解】解：根据题意， 展开式中的通项为 ，
令 ，可得 ；则其常数项为第 项；
故选 ．
【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值
与 的关系,属于基础题．
4．B
【分析】由二项式系数相等求得 值，然后根据二项式定理求解．
【详解】由题意 ，所以 ，
因此展开式共有13项，中间一项是第7项，
．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意得 ，则 ，分析求解即可.
【详解】由 的展开式中只有第 项的二项式系数最大可知 ，
第 10 页则 的展开式的通项为 ，
则展开式中的第 项为 ，系数为 ，
故选：B．
6．D
【分析】根据二项式系数之和为64求出 ，从而求出展开式的通项公式，求出第5项.
【详解】由题意得： ，解得： ，
则 展开式的通项公式为 ，
第五项是
故选：D
7．C
【分析】写出二项式展开式的通项，令 时 的指数位置等于 即可求解.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 可得 为常数项，可得 ，可得 ，
故选：C.
8．B
【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等
于-160求得实数a的值.
【详解】 的展开式通项为 ，
∴令 ，解得 ，
∴ 的展开式的常数项为 ，
∴
∴
故选：B.
9．D
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，利用常数项列方程求出 值，进而可得展开式中系数最大的项．
【详解】 展开式的通项 .令 ，解得 ，所以展开
式中的常数项为 ，又 ，所以 ，所以 即 ，其展开式共有11
第 11 页项，且正中间一项的二项式系数最大，又 展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以
展开式中第6项的系数最大，
故选：D
10．B
【分析】依题意求得 ，进而求得二项展开式通项公式为 ，令 可得结果.
【详解】由题设可得： ，解得： ，
∴ 的展开式的通项公式为 ， ，1，… ，9，
令 ，解得： ，∴ 为常数项，
故选：B.
11．B
【解析】依据二项展开式系数可知，得到第 行第 个数应为 ，即可求得 的值.
【详解】依据二项展开式系数可知，第 行第 个数应为 ，
故第100行第3个数为
故选： .
【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第 行第 个数应为 是解答的关键，着重考查推理与运
算能力，属于基础题.
12．C
【分析】先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.
【详解】 ,
第二项是 ，即 =
故选：C
13．C
【解析】由 结合二项式定理可得出 ，利用二项式系数和公式可求得 的
值.
【详解】 ，
当 且 时， ，
因此， .
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式
第 12 页，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.
14．D
【解析】写出二项式展开的通项公式 ，让 为分数，得到的即为无理项，求解符合条件的
r，即可得答案.
【详解】二项式展开的通项公式 ，当 ，3，5，7时，对应的项均为无理数，故无理项的
项数为4个，
故选：D.
15．D
【分析】直接利用二项展开式的通项求解即可.
【详解】解：(1＋i)6展开式中的第三项为 ．
故选：D
16．D
【分析】先求出展开式的通项 ，令 即得解.
【详解】 的展开式中的 项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故选：D．
17．B
【分析】根据展开式二项式系数最大，求出n＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可．
【详解】∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，
∴展开式共有7项，则n＝6，
则展开式的通项公式为Tk ＝C x6﹣k（ ）k＝（﹣2）kC x6﹣2k，
+1
由6﹣2k＝0得k＝3，
即常数项为T＝（﹣2）3C 160，
4
故选：B．
【点睛】本题主要考查二项展开式的应用，求出n的值，结合展开式的通项公式是解决本题的关键．属于中档题．
18．A
【分析】令 ，根据展开式中系数的绝对值的和得到 ．再判断二项式系数最大的项为第4项，根据二项
式定理计算得到答案.
【详解】令 ，可得展开式中系数的绝对值的和为 ，解得 ．
第 13 页展开式有 项，
二项式 展开式中二项式系数最大的为第 项， .
故选 ．
19．C
【分析】利用二项式的展开式和题设条件，得到 且 ，结合选项和二项分布的期望与方程
的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，二项式 ，
因为 ，
可得 且 ，
若选项A成立，则 ， 解得 ，
代入上式验证不成立，所以A错误；
若选项B成立，则 ， 解得 ，
代入上式验证不成立，所以B错误；
若选项C成立，则 ， 解得 ，
代入上式验证成立，所以C正确；
若选项D成立，则 ， 解得 ，显然不成，所以D错误.
故选：C.
20．B
【分析】由展开式的通项公式求解即可
【详解】因为 ，
所以 展开式的第 项为 ，
故选：B
21．C
【分析】直接利用二项展开式的通项公式计算后，即可做出判定.
【详解】 展开式中的第2项是 .
故选： .
【点睛】本题考查利用二项式的展开式的通项公式 求特定项，属于基础性题.
第 14 页22．C
【分析】由题知偶数项的二项式系数的和为 ，进而得 ，再求解对应项即可.
【详解】解：因为二项展开式中，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数相等，
所以，偶数项的二项式系数的和为 ，即 ，
所以，展开式的中间项为 ．
故选：C
23．D
【解析】利用整式乘法将表达式展开,由二项展开式的通项可知当 出现 或 时,展开式中有 的项,进而
根据 的系数即可求得 的值.
【详解】将题中所给式子可化为
根据二项式定理展开式通项为 , 的通项为
令
解得
所以 的项为
令
解得
所以 的项为
综上可知, 的系数为
解得
故选:D
【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,根据项的系数求参数,属于中档题.
24．B
【分析】求出二项式展开式的通项公式，令 的指数为 ，求出 的值，代入通项公式可得常数项．
【详解】二项式 的展开式的通项为Tk ＝ ·(x3)5－k ＝(－2)k x15－5k．令15－5k＝0，得k＝3，
＋1
所以常数项为T＝(－2)3 ＝－80．
4
故选：B
25．D
【解析】先求得二项式 的展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列，由
求得 ，从而由展开式中中间项二项式系数最大求解.
【详解】二项式 的展开式的通项为： ，因为前三项的系数
第 15 页成等差数列，
所以 ，
即 ，
解得 （舍去）
所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，
故选：D
26．B
【解析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a，然后根据定积分的定义求出
即可．
【详解】 展开式通项 ，
当 展开式常数项为1，
当 ，展开式无常数项，
当 展开式常数项为
当 ，展开式无常数项，
因此 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】本题考查定积分，二项式定理，考点较为综合题，既考查了二项式定理的通项，又考查了定积分公式的
应用，属于中等题.
27．D
【分析】由二项式展开式的各项系数和求出 的值，进而利用二项式展开式的通项公式求出第2020项．
【详解】由条件知，(a－1)2020＝1，所以a－1＝±1．因为a为正实数，所以a＝2．
所以展开式的第2020项为
T ＝ ·(2x)· ＝－2 ·x－2018＝－4040·x－2018＝－ ．
2020
故选：D
28．D
【分析】根据末尾两项二项式系数和可求得 ，进而确定第 项的二项式系数最大，利用展开式第 项构造方程求
得 后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】由题意知： ，解得： ， 展开式的第 项的二项式系数最大，
，即 ， ，又 ， 或 .
故选：D．
29．A
第 16 页【分析】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前 项和公式计算可得；
【详解】解： 的展开式的通项为 ， ，
所以 .
故选：A.
30．C
【分析】由题意判断出展开式的项数，即可得 ；令 代入计算等于所有项系数的和 ，即可求得 的值，从
而写出通项公式 ，分别由选项C与D列式求解 值，并代入求解，即可判断选项C，D.
【详解】由题意，展开式中只有第 项的二项式系数最大，所以可知展开式中共有 项，即 ，故A正确；
若展开式中所有项的系数和为 ，令 ，则 ，所以得 ，故B正确；
由通项公式得 ，令 ，解得 ，所以展开式中的常数项为
，故C错误；
令 ，解得 ，所以展开式中含 的项为 ，故D正确.
故选：C
31．A
【分析】根据二项式定理的逆用直接化简即可.
【详解】 ,
故选：A.
32．C
【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大.
【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，
二项式展开项的通项公式为： ，
，
∴ 的系数为
故选：C.
33．B
【解析】根据二项式定义可知 一共有 项，通项为 可知第 项为中间项，计
算可得.
【详解】解： 的展开式的通项为
第 17 页则中间项为 .
故选：B.
【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.
34．A
【分析】由已知，根据二项式列出其展开式的通项，根据要计算的常数项，先计算出 ，然后根据其常数项的系数
列出关于a的方程，解方程即可完成求解.
【详解】由已知， 展开式的通向为 ，
所以其展开式的常数项即 ， ，
所以常数项为 ，解得 .
故选：A.
35．D
【分析】令 可得各项系数和，求出 ，根据二项展开式求出 的常数项和含 的项与 相乘，合
并同类项即可求解展开式的常数项.
【详解】令二项式中的 为1得到展开式的各项系数和为 ，
，
展开式中常数项为 的常数项与含 的系数和，
展开式的通项为 ，
令 得 ；令 ，无整数解，
展开式中常数项为 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式各项的系数和，二项展开式的通项公式，赋值法，属于中档题.
36．B
【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.
【详解】解：因为 的展开式共有 项，所以 ，所以 ，
故选：B．
37．AC
第 18 页【分析】根据二项式定理判断A，利用组合数公式 结合二项式定理判断B，设 是 中最大项，
列不等式组 ，求解后判断C，举反例判断D．
【详解】A． ，A正确；
B． ，
所以
（除非 ），B错；
C．设 是 中最大项，
，即 ，
注意到 ， ，又 ，
不等式组可解为 ，所以 ，所以 ，C正确；
D．例如 时， ， ，
，D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式
，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第 项是 ，可设第 项最大，则
有 ，解此不等式可得 ．
38．BCD
【分析】根据二项式定理，二项式系数的性质判断．
【详解】 的展开式中有7项，A错；
二项式系数和为 ，C正确；
各项系数和为 ，D正确，
展开式通项公式为 ，由 得 ，
所以常数项为 ，B正确．
第 19 页故选：BCD．
39．BC
【分析】由二项式系数和与各项系数和可判断A；由展开式通项可判断B和D，变形展开式可判断C.
【详解】对于选项A：令 得展开式各项系数和为 ，但其二项式系数和为 ，故A错误；
对于选项B：展开式中第8项为 ，故B正确；
对于选项C：当 时，
，
能被100整除，
而 ，除以100的余数是9，
当 时， 除以100的余数是9，故 正确；
对于选项D： 的展开式的通项 ，
当 为整数，即 ，3， ，2021时， 为有理项，故D错误.
故选：BC.
40．BCD
【分析】根据题意，结合“莱布尼茨三角形”的特点逐个分析判断即可
【详解】对于A，根据杨辉三角的特点，当 为偶数时，中间的一项取得最大值，当 为奇 数时，中间的两项相
等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；
当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误，
对于B，第8行共有9个数，中间的项为第5项，即为 ，所以B正确，
对于C，每一行距离首末距离相等的两项相等，即 ，所以C正确，
对于D，由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，即
，所以D正确，
故选：BCD
41．ABCD
【分析】A.由 ，利用二项式定理判断；B.原式左边 利用二项
式定理判断；C.由 结合组合数运算放缩判断； D.由
化简判断.
【详解】A. ，故正确；
第 20 页B.原式左边
=右边，故正确；
C. ①.
由①式知 ，
另一方面， ,
,
，故正确；
D. ，
.
原式左边
=右边，故正确.
故选：ABCD
42．BCD
【解析】求出二项展开式的通项，取 即可判断A；利用反证法可判断B；依次求出各项系数即可判断C；直
接求出奇数项和即可判断D.
【详解】二项式 的展开式的通项为 ，
对于A，当 时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A错误；
对于B，若 ，则最后两项为 ，有 ，与已知矛盾，故 ，故B正确；
对于C，若 ， ，则各项系数为 ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ，故第7项的系数最大，故C正确.
对于D，若 ， ，则所有奇数项系数和为 ，故
D正确.
故选：BCD.
43．
第 21 页【分析】首先根据题意，可得 ，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的
值代入通项可得其展开式中的 项，即可得答案．
【详解】由题知 ，则 ，
令 ，得 ，
所以展开式中 的系数为 .
故答案为： .
44．
【分析】利用通项公式求解.
【详解】 展开式的中间项为 ．
故答案为：
45．
【分析】利用 ，先求出 ，进而利用二项展开式的通项公式，直接计算求解即可
【详解】由 可得， 或 ，
解得 或 （舍去），对于 ，其展开式通项为： ，所以，令
时，可得常数项为
故答案为：
46．
【分析】求得二项展开式的通项 ，令 ，即可求解展开式的常数项，得到答案．
【详解】由题意，二项式 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，即展开式的常数项是 ．
故答案为： ．
47．15
【分析】利用二项展开式的通项公式计算可得.
【详解】解： ，令 ，解得 ，所以常数项为
故答案为：15.
48．
第 22 页【分析】令 ，求得a，再利用通项公式求得x项求解.
【详解】解：因为 的展开式中各项系数的和为 ，
所以令 ，得 ，
解得 ，
所以二项式为 ，
则展开式中含x的项为 ，
故x的系数为-120，
故答案为：
49．（1）证明见解析；（2） ； ； .
【分析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得 ，最后根据二项展开式通项公式写出
前三项系数，根据等差中项性质即可判断；
（2）先根据二项展开式通项公式得 的指数，再根据 的指数为整数确定对应项，即得结果.
【详解】解：（1）
∵ ，（负值舍去）
所以前三项分别为 ， ，
所以前三项系数分别为1，4，7， 前三项系数成等差数列.
（2） ，
∴ ，展开式中 的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为： 、 、 .
【点睛】本题考查二项展开式通项公式、等差数列判断，考查基本分析求解能力，属基础题.
50．（1）n=10；（2） ；（3）6项．
【解析】（1）写出二项展开式的通项，根据第九项为常数项求出n的值；
（2）令2n- k=5，得k= (2n-5)=6，即可得解；
（3）要使2n- k，即 为整数，得出k的取值.
第 23 页【详解】二项展开式的通项Tk = =(-1)k ．
+1
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n- k=0，解得n=10．
（2）令2n- k=5，得k= (2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6 ．
（3）要使2n- k，即 为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
51．
【分析】利用二项展开式，求得第1、2、3项，根据题意列出不等式，求出 的范围.
【详解】解：通项公式 ，则 ，
得 ，化简得 ，
解得 .
【点睛】本题考查了二项式定理，通项公式的求解与应用是解决问题的关键，属于容易题.
52．（1） （2）
【分析】（1）求出二项展开式的通项，根据选择的条件求出 的值，即可知道二项式系数最大的项；
（2）在通项公式中，令 的指数为 ，求出 ，再根据通项公式可求出结果.
【详解】通项公式为 ， ，
若填条件①，
（1）依题意得 ，即 ，
所以 ，整理得 ，
所以 或 （舍），
因为 ，所以 的展开式共有 项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以 .
（2）通项公式为 ，
令 ，得 ，
第 24 页所以展开式中含 的项为 .
若填条件②，
（1）依题意得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍），
因为 ，所以 的展开式共有 项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以 .
（2）通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含 的项为 .
若填条件③，
（1）依题意得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 的展开式共有 项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以 .
（2）通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含 的项为 .
【点睛】关键点点睛：掌握二项展开式的通项公式和二项式系数的性质是解题关键.
53．（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）利用二项式定理求得 的展开式的第二项，可求得数列 的公比，利用等比数列的通项
公式可求得 ；
（2）分 和 两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得 ；
第 25 页（3）分 和 两种情况讨论，利用二项式定理可求得 的表达式.
【详解】（1） 的展开式的第二项为 ，
所以，数列 的公比为 ，则 ；
（2）当 时，则 ， ；
当 时， .
综上所述， ；
（3）当 时， ， ，
此时， ；
当 时，
，
此时， .
综上所述， .
【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中等题.
54．（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求出 ，建立不等式组求解，结合 是正整数求解；
（2）由题意得 ，根据二项展开式，利用放缩法即可求证.
【详解】（1）由二项展开式通项及题意得 ，
解得 ， ，
所以 .
（2）由题意得 ， ，
第 26 页．
所以当 时， ．
第 27 页第 28 页
