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微专题：集合的基本运算
【考点梳理】
1、集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并 由所有属于集合A或属于集合B {x|x∈A，或
A ∪ B
集 的元素组成的集合 x∈B}
交 由所有属于集合A且属于集合B {x|x∈A，且
A ∩ B
集 的元素组成的集合 x∈B}
补 由全集U中不属于集合A的所有 {x|x∈U，且
∁U A
集 元素组成的集合 x∉A}
2、集合运算性质
(1)并集运算性质：A∪B⊇A；A∪B⊇B；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A.
(2)交集运算性质：A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A.
(3)补集运算性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U.
(4)重要等价关系：A∩B＝A⇔ A ⊆ B ⇔A∪B＝B；A∩B＝A∪B⇔ A ＝ B .
【题型归纳】
题型一： 交集的概念及运算
1．设集合 ， ，则集合 （ ）．
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型二：根据交集结果求集合或参数
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．设集合 ．若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
5．已知集合 ，集合 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D． 且 且
6．已知集合 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型三：根据交集结果求集合元素个数
7．已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．已知集合 ，则 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．设集合 ， ，则集合 的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
题型四：并集的概念及运算
10．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：根据并集结果求集合或参数
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．已知集合A，B满足 ，若 则（ ）
A． B． C． D．
14．设集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知集合 ， ，且 ，则m的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
题型六：根据并集结果求集合元素个数
16．已知集合 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
17．已知集合 ，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
18．定义集合的商集运算为 ，已知集合A={2，4，6}，B= ，则集合
∪B中的元素的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型七： 补集的概念及运算
19．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．已知集合 ， ，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
21．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型八：根据补集运算确定集合或参数
22．设集合 ，集合 ， ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
23．设全集 ，集合 ， ，则实数 的值为（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
24．已知全集 ，集合 .若 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【双基达标】
25．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．已知集合 ，则
A． B． ，
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
27．集合 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
28．设集合 ， ，则 （ ）
A．{1，3} B．
C． D．
29．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
30．若集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
31．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
32．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
33．对与任意集合A，下列各式① ，② ，③ ，④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．设集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司35．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
36．已知集合 ，集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
37．已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
38．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
39．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
40．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【高分突破】
一、单选题
41．设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
42．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
43．设集合 ， ，则 （ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
44．已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
45．已知集合 ， ，若 ，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
46．已知集合P= ， ，则P Q=（ ）
A． B．
C． D．
47．已知集合 ，则 的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
48．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
49．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
50．已知集合 ，则实数 取值为（ ）
A． B． C． D．
51．已知 {第一象限角}， {锐角}， {小于 的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
52．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认
为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分
为两个非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则
称 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B． 没有最大元素， 有一个最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素
D． 没有最大元素， 也没有最小元素
53．已知集合 ，集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
54．已知 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______.
55．若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝ ，则m的取值范围是__．
56．在整数集 中，被5除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，
；给出下列四个结论:① ；② ；③ ；④“整数 属于同
一‘类’”的充要条件是“ ”.其中，正确结论的个数是_______.
57．已知集合 ，集合 ，则 ________
58．若集合 ， ， ，则集合 的子集个数为______．
59．已知全集 ,则 的值为__________
四、解答题
60．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B， ， .
61．已知集合 为小于6的正整数}， 为小于10的素数}，集合 为24和36的正公因数}．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）试用列举法表示集合 且 ；
（2）试用列举法表示集合 且 ．
62．在“① ，② ”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合
， ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
63．已知集合 ，集合 .若 ，求实数 的取值范围.
64．已知 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先解指数不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：由 ，即 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
求出集合 和集合 的具体范围，，从而可得
【详解】
因为 ， ，所以 ．
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求出集合 再与集合 求交集可得答案.
【详解】
解不等式 得 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
对 进行分类讨论，结合 求得 的值.
【详解】
由题可得 ， ，
第 10 页当 时， ，满足 ；
当 时， ，则 或 ，即 .
综上所述， 或 .
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
分析可知集合 表示直线 上去掉点 所构成的两条射线，集合 表示定点 且斜率存在的直线，
根据直线的位置关系可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】
集合 表示直线 上去掉点 所构成的两条射线，
在方程 中，令 可得 ，
集合 表示过定点 且斜率存在的直线，
由 得两直线斜率不同，则 ，解得 ．
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
根据几何运算的结果求出参数的范围，进而可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，即 的最大值为1，
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
求出抛物线 和曲线 的交点，确定集合 的元素个数，即可确定答案.
【详解】
第 11 页由题意得 ，
当 时， 联立 ，解得 ；当 时， 联立 ，解得 ；
故抛物线 与曲线 有两个公共点，分别为 ， ，
则集合 有两个元素，所以 的子集个数为 ，
故选:B．
8．A
【解析】
【分析】
解对数不等式求集合B，再应用集合的交运算写出 的元素，即知元素的个数.
【详解】
由题设 ，
所以 ，共有3个元素.
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
根据函数 与 的图象的交点个数可得答案.
【详解】
因为函数 与 在第二象限有唯一个交点，在第一象限有两个交点 和 .
第 12 页所以集合 的元素个数为 .
故选：A.
10．A
【解析】
【分析】
解得 集合，直接求得并集即可.
【详解】
由已知得 ， ，则 .
故选：A.
11．D
【解析】
【分析】
先确定集合 ，再根据集合并集的定义计算．
【详解】
， ， ．
第 13 页故选：D．
12．C
【解析】
【分析】
解不等式确定集合 ，然后由集合运算，集合间的关系判断．
【详解】
由已知 或 ，
，A错； 或 ，B错； ，C正确；D错．
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
根据并集的定义求解．
【详解】
由题意 ，所以 ．
故选：D．
14．C
【解析】
【分析】
根据题意可得 ， ，结合并集理解 则 分析处理．
【详解】
， ，
∵ ，即 ，
所以 ，解得 ．
故选：C．
15．C
【解析】
【分析】
化简集合 ，结合并集的定义，列不等式可求m的取值范围.
【详解】
因为 的解集为 ，
第 14 页所以 ，
又 ， ，
所以 ，则 ．
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
求出集合 ，再根据并集的定义即可求出答案.
【详解】
,
所以 .所以 中元素的个数是 .
故选：A.
17．B
【解析】
【分析】
求出集合P中元素，然后求出 即可得答案.
【详解】
由已知 ，
又 ，则
集合M中的元素共有6个
故选：B
18．B
【解析】
先求得集合B，从而得到 ，然后利用集合的并集运算求解.
【详解】
因为集合A={2，4，6}，B= ，
第 15 页所以B={0,1,2}，则 = ,
所以 ∪B= ，
所以集合 ∪B中共有7个元素.
故选：B.
19．D
【解析】
【分析】
确定集合 中元素，再由补集定义得结论．
【详解】
由已知 ，所以 ．
故选：D．
20．D
【解析】
【分析】
解不等式，求出 ，求对数函数定义域得到 ，从而求出阴影部分表示的集合.
【详解】
，解得： 或 ，所以 ，
由对数函数真数大于0可得： ，解得： ，所以 ，
则 ，
则阴影部分表示的集合为
故选：D
21．B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合 ，再根据补集、交集的定义计算即可.
【详解】
因为 解得 或 .
第 16 页所以 ，
所以 .
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
由补集运算可求得 ，则 是方程 的两根，由韦达定理求得结果.
【详解】
， ， ，
即 是方程 的两根， .
故选：B.
23．A
【解析】
【分析】
利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】
由集合 知， ，即 ，而 ，全集 ，
因此， ，解得 ，经验证 满足条件，
所以实数 的值为0.
故选：A
24．A
【解析】
【分析】
首先用列举法表示全集 ，再根据补集的结果得到 ，即可得到 ，从而得解；
【详解】
解：因为 ，又 ，
所以 ，即 且 ，又 ，所以 ；
第 17 页故选：A
25．C
【解析】
【分析】
根据韦恩图，分U为全集，B为全集， 为全集时，讨论求解.
【详解】
由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即
当B为全集时，阴影部分表示 的补集，即
当 为全集时，阴影部分表示A的补集，即
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
首先明确两个集合都是点集，然后计算方程组的解作为 的结果，同时要注意点集的表示..
【详解】
∵ ，
∴ .
故选D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算以及集合的表示，难度较易.当一个集合为点集且点的个数有限时，可通过描述法或列举
法表示集合，例如： 或 、 .
27．B
【解析】
【分析】
根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.
【详解】
由 知，
第 18 页，解得
故选：B
28．C
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算即可.
【详解】
∵集合 ， ，
所以 ，
故选：C.
29．B
【解析】
【分析】
求出集合 、 ，再利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
由题意得集合 ，
，
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
30．D
【解析】
【分析】
由题中条件可得 或 ，解方程即可.
【详解】
因为 ， ， ，
第 19 页所以 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值集合为 .
故选：D.
31．B
【解析】
【分析】
根据交集、补集的定义可求 .
【详解】
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
32．D
【解析】
【分析】
根据已知集合，应用集合的并运算，求 即可.
【详解】
由 ， ，
∴ .
故选：D.
33．C
【解析】
【分析】
根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.
【详解】
易知① ，② ，③ ，正确
④ ，不正确，应该是
故选：C.
34．C
【解析】
【分析】
第 20 页求出集合 ，再由集合的补运算即可求解.
【详解】
，
，
所以 .
故选：C
35．C
【解析】
【分析】
分别解两个不等式，再根据集合运算求交集即可.
【详解】
解：解不等式 得 ，故 ，
解不等式 得 ，故 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的交集运算，是基础题.
36．D
【解析】
【分析】
求出两个集合的交集和并集，可得答案.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， .
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的交集和并集的运算，属于基础题.
37．C
第 21 页【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
38．D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合 ，集合集合并集的运算，即可求解.
【详解】
由不等式 ，解得 或 ，所以集合 或 ，
又由 ，解得 ，所以集合 ，
所以 .
故选：D.
39．C
【解析】
【分析】
分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】
任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
40．D
【解析】
【分析】
根据交集的定义写出A∩B即可．
【详解】
第 22 页集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：D
41．B
【解析】
【分析】
根据交集定义运算即可
【详解】
因为 ，所以 ,
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
42．B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
43．B
【解析】
【分析】
先解出集合 ，再直接计算交集.
【详解】
因为 ， ，所以 ．
故选：B．
第 23 页44．D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
【详解】
由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础
题目.
45．B
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组 或 即可得答案；
【详解】
由题意可得 或
，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
46．B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
第 24 页【点睛】
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
47．D
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
【详解】
由题意 ，因此它的子集个数为4．
故选：D．
48．B
【解析】
【分析】
根据交集定义求解．
【详解】
由题意知 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查交集定义，属于简单题．
49．B
【解析】
【分析】
化简集合B，再利用交集的定义求解.
【详解】
由题得 ，
所以 .
故选：B
50．ABD
【解析】
先求集合A，由 得 ，然后分 和 两种情况求解即可
【详解】
解：由 ，得 或 ，
第 25 页所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时，方程 无解，则 ，
当 时，即 ，方程 的解为 ，
因为 ，所以 或 ，解得 或 ，
综上 ，或 ，或 ，
故选：ABD
【点睛】
此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题
51．BC
【解析】
根据集合 中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项， 除了锐角，还包括其它角，比如 ，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于 的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项， 中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC
【点睛】
本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.
52．BD
【解析】
根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，因为 ， ， ，
故A错误；
对选项B，设 ， ，满足戴德金分割，
则 中没有最大元素， 有一个最小元素 ，故B正确；
第 26 页对选项C，若 有一个最大元素， 有一个最小元素，
则不能同时满足 ， ，故C错误；
对选项D，设 ， ，满足戴德金分割，
此时 没有最大元素， 也没有最小元素，故D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
53．AD
【解析】
【分析】
将集合 ， ，再由集合的包含关系以及集合的交、并运算即可求解.
【详解】
由题意知，集合 ，
集合 ，
为偶数， 为整数，
所以 ， ， .
故选：AD.
54． 或
【解析】
根据 即可讨论 时， ； 时， 或 ，然后解出 的范围即可.
【详解】
解：∵ ，
∴ ① 时， ，
解得 ；
第 27 页② 时， 或 ，
解得 或 ，
∴ 的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
55．m＞﹣4．
【解析】
根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.
【详解】
解：A∩R+＝ 知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，
若A＝ ，则 ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①
若A≠ ，则 ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，
又A中的元素都小于等于零
∵两根之积为1，
∴A中的元素都小于 ，
∴两根之和﹣（m +2）＜0，解得m＞﹣2
∴m≥0，②
由①②知，m＞﹣4，
故答案为：m＞﹣4．
【点睛】
易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略 的讨论，导致错解，同时本题也可
以采取反面考虑结合补集思想求解.
56．3
【解析】
【分析】
根据2015被5除的余数为0，可判断①；将 ，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，
2，3，4，可判断③；令 ， ，根据“类”的定理可证明④的真假.
【详解】
①由 ，所以 ，故①正确；
②由 ， 所以 ，故②错误；
第 28 页③整数集就是由被5除所得余数为 的整数构成，故③正确；
④假设 ， ， ， 要是同类.
则 ，即 ，所以 ，
反之若 ，即 ，所以 ，则 是同类， ④正确；
故答案为：3
【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，
属中档题.
57．
【解析】
由交集定义计算．
【详解】
由题意 ．
故答案为： ．
58．4
【解析】
【分析】
根据交集的运算求出集合 ，然后根据集合中有n个元素，则子集个数为 即可得出答案.
【详解】
解：∵集合 ， ， ，
∴ ，
∴集合 的子集个数为： ．
故答案为：4．
59．2
【解析】
【分析】
要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进行分类讨论
【详解】
由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
第 29 页分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，
故a=2符合题意．
答案为：2
【点睛】
本题重点考查了集合的互异性，对于存在参数无法确定的元素，应根据分类讨论思想，按照集合中元素一一对应
的关系来进行求解，在解出参数时，需将参数还原到集合中进行检验，排除不合理的答案
60． ， 或 ， .
【解析】
【分析】
根据集合的交并补运算性质即可得出答案.
【详解】
解：因为全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
则 或 ，
或 ，
所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；
＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
＝{x|2<x<3}.
61．(1) ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出集合 ，则 ，即可求出 ；
（2）根据集合 中元素的特征，即可写出 .
【详解】
第 30 页由题意 ， ， .
（1） .
（2）. 且
【点睛】
本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.
62．（1） ；（2）若选①， ；若选②，
【解析】
【分析】
（1）由 得到 ，然后利用并集运算求解.
（2）若选 ，分 和 两种情况讨论求解； 若选 ，则由 求解.
【详解】
（1）当 时， ， ；
所以
（2）若选①， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， 或 ，解得： 或 ，
综上：实数 的取值范围 ．
若选②， ，
则 ，即 ，解得： ，
所以实数 的取值范围 ．
【点睛】
易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意： 是任何集合的子集，所以要分集合
第 31 页和集合 两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
63．
【解析】
【分析】
求得集合 ，从反面入手， ，然后分类讨论求得 的范围，最后再求其在 中的补集即得．
【详解】
若 ，则 ，又∵ ，
∴集合 有以下三种情况：
①当 时， ，即 ，∴ 或 ，
②当 是单元素集时， ，∴ 或 ，
若 ，则 不是 的子集，若 ，则 ，∴ ，
③当 时， 、 是方程 的两根，
∴ ，∴ ，
综上可得， 时， 的取值范围为 或 或 ，
∴满足 的实数 的取值范围为 .
64．（1） ；（2） .
【解析】
（1）将 代入求出集合 ，即可求出 .
（2）由 得 ，列出不等式求解即可.
【详解】
解：（1） ，
当 时， ，
；
（2）由 得 ，
第 32 页，解得 ，
实数 的取值范围是 ．
第 33 页第 34 页
