文档内容
微专题：求平面向量的夹角
【考点梳理】
求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式cosθ＝进行求解.
【典例分析】
典例1．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
典例2．已知平面向量 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
典例3．如果平面向量 ， .那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 上的投影向量的模为
典例4．已知 ， ，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与 同向共线的单位向量是
② 与 的夹角余弦值为
③向量 在向量 上的投影向量为
④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
典例5．已知向量 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 的值为 B．若 ，则 的值为2
C． 的最小值为1 D．若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
6．已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，使得
C． ， 与 的夹角小于 D． ，使得
7．已知向量 ， ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
8．定义空间两个向量的一种运算 ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有
（ ）
A．
B．
C．
D．若 ， ，则
9．设 为实数，已知向量 =(-1，2)， =(1， ).若 ，则向量 +2 与 之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
11．已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．30° B．60° C．120° D．150°
13．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
14．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
15． 中，若 ， ，点 满足 ，直线 与直线 相交于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
16．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．已知 、 是圆 上两个不同的点，且满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知向量 ， ， ，满足 ， ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知单位向量 的夹角为 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．平面向量 ， ， ，则向量 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
21．已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
22．在平行四边形 中， ，M是 中点．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
23．已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，E为 的外心，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
24．设 为单位向量，满足 ，设 的夹角为 ，则 的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．
25．已知平面向量 ， ，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．若向量 ＝(1,2,0)， ＝(－2,0,1)，则（ ）
A．cos〈 〉＝ B．
C． D．
27．已知平面向量 ，若 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．已知向量 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
29．设向量 ，则下列叙述错误的是（ ）
A． 的最小值为 2
B．若 与 的夹角为钝角，则 且
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若 ，则 或
30．设向量 ＝(k，2)， ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）
A．若k<－2，则 与 的夹角为钝角
B．| |的最小值为2
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若| |＝2| |，则k＝ 或－
31．已知 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若 且 ，则
C．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
D．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
32．已知单位向量 的夹角为 ,则以下说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D． 与 可以作为平面内的一组基底
33．已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． ， 的夹角为
C． 在 上的投影向量为 D． 在 上的投影向量为
三、填空题
34．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
35．已知向量 ， 满足 ，若 ，则 与 的夹角为________．
36．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ______.
37．若两个向量 与 的夹角为 ，且 是单位向量，向量 ， ，则向量 与 的夹角为__________．
38．已知向量 ，其中 ，且 ，则向量 与 的夹角等于____；
39．若 =（-3，4）， =（5，-12），则 与 的夹角为_________
40．已知平面向量 ，则向量 的夹角等于_______.
四、解答题
41．如图，在直角 ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， ， .
△
(1)用 表示 和 ；
(2)求向量 与 夹角的余弦值.
42．已知向量 ， 满足 ， ，且 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求向量 的坐标；
（2）求向量 与 的夹角．
43．已知坐标平面内 ， ， ， ， ．
(1)当 ， ， 三点共线时，求 的值；
(2)当 取最小值时，求 的坐标，并求 的值．
44．已知平面内两个不共线的向量 ， .
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角.
45．已知向量 ， ， ， ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）当 取最小值时，求 与 的夹角的余弦值．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由数量积运算求解即可.
【详解】
， ， ， ．
，
因此， ．
故选：D．
2．D
【解析】
【分析】
先利用数量积的坐标运算求解 ，再利用夹角公式求解夹角.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ；
所以 ， ；
；而 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】
对于A， ，则 ，A错误；
对于B， ，则 不平行，B错误；
对于C， ，又 ，则 ，C错误；
对于D， 在 上的投影向量的模为 ，D正确.
故选：D.
第 8 页4．C
【解析】
【分析】
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解： ，故①正确；
，故②错误；
向量 在向量 上的投影向量为 ，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
5．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若 ，则 ，A选项说法正确.
B选项，若 ，两边平方并化简得 ，即 ，B选项说法正确.
C选项， ，当 时，有最小值为 ，C选项说法正确.
D选项，若 与 的夹角为钝角，则 ，D选项说法不正确.
故选：D
6．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出
结果.
【详解】
因为 ， ，
又 ，
第 9 页所以 .故 正确；
，若 ，则 ，
解得 ，即当 时， ，故 错误；
设 与 的夹角为 ，则 ，
当 时， ，夹角为 ，故C错误；
因为 ，
所以不存在 ，使得 ，故D错误.
故选： .
7．B
【解析】
直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可
【详解】
因为向量 ， ，
所以 ,
又因为 ,所以 ,
故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题， .
8．D
【解析】
【分析】
A．按 的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进
行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】
A． ，
时， ， ，
第 10 页时， ，成立，
时， ， ，
综上，A不恒成立；
B． 是一个实数， 无意义，B不成立；
C．若 ， ，则 ，
， ，
，
，
，C错误；
D．若 ， ，则 ， ，
，
，
所以 ，成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定
义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的 用 ，而
余弦可由数量积进行计算．
9．A
【解析】
根据向量垂直的坐标运算解得 ，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量 ，若 ，则 ，解得 ，
所以 ，所以 ， ， ，
设向量 +2 与 之间的夹角 ，则 ， ，
所以向量 +2 与 之间的夹角为 .
故选：A.
第 11 页10．B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．
先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为
，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹
角，注意向量夹角范围为 ．
11．A
【解析】
【分析】
先计算向量 的模，再根据向量数量积的定义，将 展开，即可求得答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，设 与 的夹角为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
计算可得 ，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量 ，向量 ，
，
，且 ，
的夹角为 .
第 12 页故选：D.
13．A
【解析】
【分析】
利用数量积的定义，即可求解.
【详解】
解： ,所以 ,即 ，
解得 ,又因为向量夹角的范围为 ，则 与 的夹角为30°，
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】
， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，
属于中等题.
15．A
【解析】
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出 、 、 ，然后根据 、 、 三点共线以及 、 、
三点共线得出 ，再然后根据向量的运算法则得出 、 ，最后根据
即可得出结果.
【详解】
如图所示，以 点为原点， 为 轴构建直角坐标系，
第 13 页因为 ， ，所以 ， ， ，
设 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ， ， ，
因为 ， 、 、 三点共线，所以 ，
联立 ，解得 ， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考
查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.
16．D
【解析】
【分析】
计算出 、 的值，利用平面向量的数量积可求得结果.
【详解】
由已知可得 ， ，
第 14 页因此， .
故选：D.
17．D
【解析】
【分析】
计算得出 ，设 ， ， ， ，利用三角恒等变换思想
结合正弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】
，则 ，
，可得 ，
不妨设 ， ， ， ，
，同理可得 ，
所以，
，
其中 为锐角，且 .
故 的最大值为 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查与圆有关的最值问题，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示，并结合三角恒等变换求
解是解本题的关键.
18．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得 ，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】
第 15 页因为 ，故可得 ，又 ，故 ，
代值得 ，则 ，则 ，
故可得 与 的夹角为 .
故选：C.
19．D
【解析】
分别求出 ，应用向量夹角公式，即可求解.
【详解】
单位向量 的夹角为 ，
，
，
设 与 夹角为 ，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.
20．A
【解析】
【分析】
利用向量的夹角余弦公式求向量 夹角的余弦值.
【详解】
∵ ∴
又 ， ， ，
∴ ，
故选：A.
21．D
【解析】
【分析】
根据 ，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得 ，结合向量夹角范围可得结果.
【详解】
第 16 页， ，
，解得： ，
又 ， ，即 与 的夹角为 .
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
直接利用 为基底，把 转化为 的计算，利用夹角公式求出 .
【详解】
．
∴ ，∵ ∴ ．
故选：B
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
23．A
【解析】
【分析】
利用向量的数量积求得 ，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】
， ，
， ，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ，设
又 ，知 ，解得 ，
又E为 的外心， ，
， 为等边三角形， ，
∴ ，∴ ．
第 17 页故选：A
24．C
【解析】
【分析】
根据 为单位向量，设 ，且 ，得到 的坐标，再根据 ，得到x的范
围，然后利用 求解.
【详解】
因为 为单位向量，
不妨设 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
，
，
当 时， ，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在 为单位向量的条件下，设 ，由 确定x的范围.
25．B
第 18 页【解析】
【分析】
根据 解得 ，再结合平面向量的夹角公式计算即可
【详解】
由 可得 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，则
又
所以 与 的夹角为
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标进行运算可得答案.
【详解】
∵向量 ＝(1,2,0)， ＝(－2,0,1)，
∴ ， ，
1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.
∴ .
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.
故选：D
27．B
【解析】
【分析】
将 变为 ，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出 ，再根据向量的夹角公式计算
可得答案.
【详解】
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
设 的夹角为 ，则 ,
故选：B.
第 19 页28．C
【解析】
利用向量公式求出向量 与 的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.
【详解】
，
, ，其中 ，
故 ，
，
故当 时，即 时， 取最大值为 .
故选：C.
29．BCD
【解析】
【分析】
利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断A的正误；利用向量的夹角公式可判断B的正误；利用向量共线的
坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出 的值，进而判断D的正误.
【详解】
A： ，当且仅当 时， 有最小值为2，故A正确；
B：若 与 的夹角为钝角，则有 ，且 与 不共线，
即 且 ，所以 ，故B错误；
C：与 共线的单位向量有 和 两个，故C错误；
D：若 ，则 ，解得 ，故D错误；
故选：BCD.
30．CD
【解析】
【分析】
对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，| |≥2，所以B选项正确；
对于C选项，与 共线的单位向量为 或 ，所以C选项错误；
对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．
【详解】
对于A选项，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A
第 20 页选项正确；
对于B选项，| |＝ ≥ ＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；
对于C选项，| |＝ ，与 共线的单位向量为 ，即与 共线的单位向量为 或 ，所以C
选项错误；
对于D选项，∵| |＝2| |＝2 ，∴ ＝2 ，解得k＝±2，所以D选项错误．
故选：CD
31．AC
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断
C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知 ，则 ，所以A正确，
对于B，当 与 都和 垂直时， 与 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量 ， ，若 ，可得 ，即 ， ，
则两个向量的夹角为 ，则 与 共线且反向，故C正确；
对于D，已知 ， 且 与 的夹角为锐角，
可得 即 可得 ，解得 ，
当 与 的夹角为0时， ，所以
所以 与 的夹角为锐角时 且 ，故D错误；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可
【详解】
据题意
因为
所以 ,所以 对
第 21 页因为 ,所以 ,所以 对.
因为
所以 ,所以 错
因为 与 不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以 正确
故选：ABD
33．AC
【解析】
【分析】
对于A选项， 即可求解；
对于B选项，利用向量夹角公式 计算；
对于C、D选项，由投影向量的定义得， 在 上的投影向量为
【详解】
由 ， ，可知 ， ，
对于A选项， ，故 ，故A正确；对于B选项，设 为
， 的夹角，则 ，故B错误；对于C选项， 在 上的投影向量为 ，故C正
确；对于D选项， 在 上的投影向量为 ，故D错误.
故选：AC.
34．
【解析】
【详解】
因为
所以 ，即 ，
根据向量的数量积运算，则
代入化简得 ，
第 22 页由 ，
所以 .
故答案为： .
35．
【解析】
【分析】
根据向量的夹角公式计算即可．
【详解】
由 知， ，
又 ，即
则 ，
所以 ，
故夹角为 ，
故答案为： ．
36． ##0.5
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式 即可求出 .
【详解】
由题可得 ，
故 .
故答案为： .
37．
【解析】
【分析】
求出 及 ，然后由数量积定义可得夹角．
【详解】
第 23 页由已知 ，
所以 ，
，
设 与 的夹角为 ，则 ， ，所以 ．
故答案为： ．
38． ##120°
【解析】
【分析】
利用夹角公式求出向量 与 的夹角.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
而 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
根据向量夹角坐标公式求解.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查向量夹角坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
40．
【解析】
【分析】
根据向量夹角的坐标公式运算即可.
【详解】
第 24 页,
,
故答案为：
41．(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面向量的线性运算法则求解；
（2）以 所在的方向分别为 轴， 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
(1)
∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴
∴ ，
∵E为AD的中点，∴ ，
∴
(2)
， 如图，以 所在的方向分别为 轴， 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则 ，
第 25 页∴ ， ，
∴ ，
42．（1） 或 ；（2） .
【解析】
（1）设 ，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量 与 的夹角为 ，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设 ，
因为 ，则 ，①
又因为 ，且 ，
，
所以 ，
即 ，②
由①②解得 ，或 ，
所以 或 ．
（2）设向量 与 的夹角为 ，
所以 或 ，
因为 ，所以向量 与 的夹角 ．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解
能力，属于基础题.
43．(1) ；
(2) ， .
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
第 26 页（2）利用数量积的坐标表示可得 ，进而可得 ，再利用夹角公式即求.
(1)
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 ， ， 三点共线时，有 ，
，
解得 ．
(2)
∵ ， ，
∴
，
∴当 时， 取得最小值 ，此时 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ．
44．（1）2；（2） .
【解析】
（1）根据条件可求出 ，然后根据 进行数量积的运算即可求出 的值；
（2）可求出 的值，进而可求出 的值，从而可求出 与 的夹角．
【详解】
解：（1） ，
，
；
（2） ，
，且 ，
与 的夹角为 ．
【点睛】
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
第 27 页45．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于 的等式，进而可求得实数 的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得 的值，可求出 的值，进一步可求出
的值，利用平面向量数量积可求得 与 的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知条件可得 ，
，则 ，
解得 ；
（2）
.
当 时， 取最小值 .
，则 ，
因此， .
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 ，其中两向量 的取值范围是 ；
（2）坐标法：若非零向量 、 ，则 .
第 28 页第 29 页
