专题03因式分解重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题03 因式分解重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 运用平方差公式分解因式 题型七 运用完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法题型十三 因式分解的应用 题型十四 利用因式分解求最值 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字 母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因 式是 ，即 ，而 正好是 除以m所得的 商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数 变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取 公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2 b2 abab 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式） 的和与这两个数（整式）的差的积. a b a b （3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式 或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 即 ， . a2 2abb2 a2 2abb2 形如 ， 的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. a b a b （4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式 或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. pq c  x2 bxc pq b x2 bxcx pxq 对于二次三项式 ，若存在 ，则 x2 bxc c c0 特别说明：（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则 p、q c0 p、q b p、q 同号(若 ，则 异号)，然后依据一次项系数 的正负再确定 的符号 x2 bxc b、c c （2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)， b 然后看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 ax2 bxc a a a aa 在二次三项式 ( ≠0)中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即 1 2，常 c ccc a，a，c，c 数项 可以分解成两个因数之积，即 1 2，把 1 2 1 2排列如下： ac a c ax2 bxc b 按斜线交叉相乘，再相加，得到 1 2 2 1，若它正好等于二次三项式 的一次项系数 ， ac a c b a xc a xc 即 1 2 2 1 ， 那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为 两 个 因 式 1 1与 2 2之 积 ， 即ax2 bxca xc a xc  1 1 2 2 . 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三 项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方 法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先 对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 ①按字母分组②按系数分组 二项、二项 四项 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 分组分 五项 三项、二项 各组之间有公因式 解法 三项、三项 各组之间有公因式 六项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八：添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或 分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟 练掌握技巧和方法. 知识点九：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（ ） A． B． C． D．1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）以下等式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．从左到右的变形属于因式分解 的是 ． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为 （ ） A． B．1 C． D．2 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的值 为（ ）A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，则 的值 ； 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式为 ，得 ， 则 ， ． 解得： ， ∴另一个因式为 ， 的值为 ， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式为________，得： =________， 则 ． 解得： =________， =________． 另一个因式为________， 的值为________． (2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列多项式中，没有公因式的是（ ）A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 1．（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式 分解因式时应提取的公因式是 ． 3．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知 ，则 的值是（） A．6 B．7 C．4 D．2 1．（23-24七年级下·浙江·期中）若多项式 ，则 是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 3．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）分解因式： ． 【经典例题五 判断能否用公式法分解因式】 【例5】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D．1．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中能够因式分解的是： （填上序号）． 3．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式 因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道 ，将该式从右到左地使用，即可 对形如 的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空： ＋（___＋_____） ＋___×_____＝（ ＋_____）（ ＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ① ② 【经典例题六 运用平方差公式分解因式】 【例6】（2024八年级上·全国·专题练习）若 为任意正整数， 的值总可以被 整除，则 等 于（ ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列因式分解正确的是（ ）A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）因式分解： ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： ； ； ，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1) 的结果是3的____倍； (2)设偶数为 ，试说明比 大5的数与 的平方差能被5整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【经典例题七 运用完全平方公式分解因式】 【例7】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）多项式① ② ③ ④ 在分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）． A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）多项式 与多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）若 ，则 的值是 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 ． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 请问： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A．提公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)已知该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_______； (3)请你模仿以上方法，尝试对多项式 进行因式分解． 【经典例题八 综合运用公式法分解因式】 【例8】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解 的结果为（ ） A． B． C． D． 1．（2021·河北沧州·一模）对于： ① ； ② ； ③ ；④ ． 其中因式分解正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）分解因式： ． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若 ，则 的值是 ； （2）分解因式： ① ； ② ； （3）若多项式 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【经典例题九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b、c分别是 的三边，则 为（ ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项 式，如： ，将此多项式因式分解的结果是： ．再取两个值，如： ， 那么各个因式的值是： ，于是就可以把“162130”作为一个六位数密 码．如果取多项式 以及 ，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（ ） A．221820 B．222018 C．222180 D．201822 2．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分， 而诸如“ ”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 因式分解的结果是 ，若取 ， 时，则各个因式的值是： ， ， ，把 这些值从小到大排列得到 ，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码，对于多项式 ，取 ， 时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）下面是小禾同学对多项式 进行因式分解的过程，请仔 细阅读并解答后面的问题． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)在上述过程中，第一步依据的乘法公式是 ； (2)第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ； (3)第 步出现错误，错误的原因是 ； (4)因式分解正确的结果为 ． 【经典例题十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例10】（23-24八年级上·河北邢台·期末）计算 的值为 （ ）． A． B． C． D．1．（23-24七年级下·广西来宾·期中）计算： 的结果是 （ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）计算： ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： ， 1 ， 46 ， （2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的 与 有什么关系？ （3）利用你发现的结论，求： 的值． 【经典例题十一 十字相乘法】 【例11】（23-24九年级上·江苏南通·期末）设二次三项式 可分解为两个一次因式的乘积，且各 因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 1．（23-24八年级下·重庆·期中）若多项式 能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式 ，则 的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式 可因式分解为 ，其中均为整数，则 的值是 ． 3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式 的方法． （1）二次项系数 ． （2）常数项 ，验算：“交叉相乘之和”． ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果 ，等于一次项系数． 即 ，则 ． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 【经典例题十二 分组分解法】 【例12】（23-24八年级上·全国·单元测试）把多项式 分解因式的结果是（ ） A． B． C． D．1．（23-24七年级上·湖南怀化·阶段练习）把 分解因式，正确的分组为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式： = ． 3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公 因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进 行分组分解． 例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”： 解：原式 解：原式 ． ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1) ； (2) ． 【经典例题十三 因式分解的应用】 【例13】（24-25八年级上·全国·期中）若实数x满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和 谐数”，如：因为 ，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（ ）． A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图 是一个棱长为 的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体 ， 将剩余部分进行切割得到如图 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式 进行因 式分解，即 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项 式只用上述方法无法分解，如 观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项 可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因 式了．过程为： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式： (2)分解因式： (3)已知 的三边长分别为a、b、c，且满足 ，判断 的形状． 【经典例题十四 利用因式分解求最值】 【例14】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）多项式 有最值是（ ） A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知 为实数，整式 的最小值是（ ） A．1 B．2 C．−8 D． 2．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）已知正整数m，n满足 ，则 的最大值为 ． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学 们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0．∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）多项式 有最值是（ ） A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若多项式 有一个因式是 ，则这个多项式中 的值 是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知 ， ， ，则多项 式 的值为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题： 已知 ， ，①由 ，可得 ；②由 ，可得 依此方法计算 的值是（ ）A．29 B．30 C．31 D．32 6．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）因式分解： ． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式 在整数范围内可以分解成两个一次因式， 则k的值的个数有 个． 8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“交替 数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且 十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形 分割成四个长方形 、 、 、 ，它们的面积分别为 、 、 、 （其中 ， ），请用含有 、 的代数 式表示正方形 的边长 ． 10．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分， 而诸如“ ”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必 要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 因式分解的结果是 ，若取 ， 时，则各个因式的值是： ， ， ，把 这些值从小到大排列得到 ，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码，对于多项式 ，取 ， 时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 11．（24-25八年级上·海南海口·期中）因式分解： (1) ；(2) ； (3) ； (4) ． 42．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解∶ 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值， 使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当 1时， （满足条件② ） ∴4是 的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求 的下确界． (2)若代数式 的下确界是1，求m的值． (3)求代数式． 的下确界． 43．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项 式的除法等运算，其算法如下：对于多项式 ，令 时， ，则 必有一个 因式是 ，且 可以分解为 ，对于多项式 ，令 时， ，则 必有一个因式是 ，且 可以分解为 (1)分解因式： （当 时，原式为0）（方法任意）；(2)已知多项式 既能被 整除，又能被 整除，求m、n的值（方法任意） 44．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）发现与探索． 小明的解答： 小丽的思考： 代数式 无论 取何值 都大于等于 ，再加上 ，则代数式 大于等于 ，则 有最小值为 ． 图 图 (1)根据小明的解答（图 ）分解因式： ； (2)根据小丽的思考（图 ）解决问题． 说明：代数式 的最小值为 ； (3)求代数式 的最大值． 45．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式： ． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分 成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继 续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式：