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专题 03 反比例函数与特殊四边形存在性问题
类型一、平行四边形形存在性问题
例．如图，在 中， ， ， ．一次函数交 轴于点 ，
交反比例函数于 、 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
(2) 的面积为
(3)存在，点 的坐标为 ， ，
【分析】（1）作 垂直于 轴，根据等腰三角形的三线合一求出 ，再由等腰直角
三角形OAB求出点A的坐标，最后用待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）将三角形的面积转化为 ，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）分别考虑OP，AP，BP为对角线构成的平行四边形，再求出P点坐标即可．
【详解】（1）作 垂直于 轴，垂足为点 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴
∴点
设一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
将点 和 代入 ，得 ， ，
∴一次函数的解析式为 ．
将点 代入 ，得 ．
∴反比例函数的解析式为 ，
即一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ；
（2）将两个函数联立得 ，整理得2 ，
解得 ， ，所以 ， ，所以点
，
即 的面积为 ；
（3）由（1），（2）可知 ， ，O(0，0)，
当OP为对角线时，点P ；当DP为对角线时，点P ；
当AP为对角线时，点P
∴点 的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判
定，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
【变式训练1】．如图1，已知 ， ，平行四边形 的边 、 分别
与 轴、 轴交于点 、 ，且点 为 中点，双曲线 为常数， 上经过 、
两点．
(1)求 的值；
(2)如图2，点 是 轴正半轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线，分别交反比例函数
为常数， 图像于点 ，交反比例函数 的图像于点 ，当
时，求 点坐标；
(3)点 在双曲线 上，点 在 轴上，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四
边形，试求出满足要求的所有点 的坐标．
【答案】(1)4
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA， EDM≌ EAO，得到
AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将
△ △
点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．
（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，
0），
过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即 ，设点G（0，
t），则 ，构造等式 ，求解即可．
（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m， ），运用平移思想，分
A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可．
【详解】（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，
∵A（-1，0），
∴ OA=1．
∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，
∴ EDM≌ EAO，
∴AO=DM=1，
△ △
∵点D在第一象限，且在反比例函数 上，
∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，
∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2(-2+k)，
解得k=4．
（2）如图2，连接FM、FN．
根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），
∴设直线BC的解析式为y=kx-2，
∴2=2k-2，解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，
∴2x-2=0，
解得x=1，
∴点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，
∴H的横坐标为1，,
根据FM=FN，
∴MH=HN即 ，
设点G（0，t），则 ，
∴ ，
∴ ，
解得t= ，
故点G坐标为（0， ）．
（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m， ），
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，
当A平移得到Q时，
∵点A（-1，0），Q（0，n），
∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，
∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），
∴点P（1，-2+n），
∵P在反比例函数 上，
∴1×（-2+n）=4，
解得n=6，
此时点Q(0，6)；
当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，
∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，
∵B（0，-2），
∴点P（1，-2+|n|），
∵P在反比例函数 上，
∴1×（-2+|n|）=4，
解得n=-6，n=6(舍去)，
此时点Q(0，-6)；
当A平移得到P时，
∵点A（-1，0）平移得到P（m， ），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），
∴m=-1，
故点P（-1，-4），
即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2）
综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，
平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解
题的关键．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中， 的直角边在 轴上， 轴，
， ，反比例函数 的图象经过线段 的中点 ，与
交于点 ．
(1)求点 的坐标．
(2)求反比例函数 的表达式及点 的坐标．
(3)在坐标平面上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，诸说明理由．
【答案】(1)点 的坐标为
(2) ，点D的坐标为
(3)存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）利用勾股定理求得 ，即可求得点 的坐标；
（2）由中点的性质可得点 的坐标为 ，将点 的坐标代入反比例函数 即可求
得 ，进而求得反比例函数的表达式，再求得直线 的函数表达式，联立方程组，即可求
得点 的坐标；
（3）分三种情况讨论：①以 为对角线，②以 为对角线，③以 为对角线，利用
平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
点 的坐标为 ；
（2）解： 是 的中点， 轴，
点 的坐标为 ，点 在反比例函数的图象上，
，
解得： ，
反比例函数的表达式为 ，
设直线 的函数表达式 ，
由点 ， 可得， ，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ，
联立 ，即 ，
解得： ，
反比例函数在第二象限，
，
，
点 的坐标为 ；
（3）解：存在，点E的坐标为 或 或 .
如图，有3种情况：
①若以 为对角线，则四边形 为平行四边形，
， ，，
，
，
.
②若以 为对角线，则四边形 为平行四边形，
，
点 与 关于原点对称，
.
③若以 为对角线，则四边形 为平行四边形，
， ，
，
.
综上所述，点 的坐标为 或 或 .
【点睛】本题考查了勾股定理，待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，反比例函
数与一次函数的交点，平行四边形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式训练3】．如图， 在平面直角坐标系中，已知 ， ，已知
点 、 ，且点B在第二象限内．
(1)求点B的坐标；(2)将 以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，
使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值
以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、
Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)（-3，1）
(2) ， 反比例函数的关系式为 ；
(3) 或 或
【分析】（1）先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△CGA≌△AHB，得CG=AH=3，
BH=AG=1，即可得出答案；
（2）先根据运动表示出点F，E的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
（3）先求出点F，E的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立
方程求出解，即可得出结论．
【详解】（1）过点B，C作BH⊥x轴，CG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，CG=3，
∴AG=OG-OA=1．
∵∠CAG+∠BAH=90°，∠CAG+∠GCA=90°，
∴∠GCA=∠BAH．
又∠CGA=∠AHB=90°，AC=AB，
∴△CGA≌△AHB，
∴CG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B的坐标是（-3，1）；
（2）由（1），得点B（-3，1），C（-7，3），∴运动t秒时，点 ， ．
设反比例函数的关系式为 ，
∵点 ， 在反比例函数图像上，
∴ ，
解得 ，k=6，
∴反比例函数的关系式为 ；
（3）存在，理由：由（2）知，点 ， , ，
∴ ， ，反比例函数关系式为 ，
设点Q ，点P（n，0）．
以点以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当EF是对角线时，
∴ ,
解得 ，
∴ ；
②当EP是对角线时，
∴ ,
解得 ，
∴ ；
③当EQ是对角线时，
∴ ,解得 ，∴ ；
综上所述： 或 或 ．
【点睛】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性
质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．类型二、菱形存在性问题
例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2， )，反
比例函数 （x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝ ．
(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；
(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；
(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并
判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】(1)D ，反比例函数表达式为y＝
(2)E ，DE∥AC，理由见解析
(3)点G的坐标为 或 都在反比例函数图象上
【分析】（1）根据B ，则BC＝2，而BD＝ ，则CD＝ ，故点D=
，将D点代入函数解析式中可得到系数的值．
当x＝2时，y＝ ，故点E（2， ）；
（2）由（1）知，D ，点E ，点B ，可知BD＝ ，BE＝ ，
则 ， ，即可证明平行；
（3）根据题意可分为两种情况（1）点F在点C的下方,（2）点F在点C的上方，分别讨
论其两种情况即可．
【详解】（1）解：（1）∵B ，则BC＝2，而BD＝ ，
∴CD＝ ，故点D ，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得： ，解得k＝3 ，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝ ，故点E（2， ）；
（2）由（1）知，D ，点E ，点B ，
则BD＝ ，BE＝ ，
故 ，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，
当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝ ，
则tan∠OCA＝ ，故∠OCA＝30°，
则FH＝ FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2× ＝ ，故点F（1， ），则点G（3， ），
当x＝3时，y＝ ，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3 ），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3， ）或（1，3 ）都在反比例函数图象上．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和解析式，菱形的存在性问题，能够掌握属性结合思
想是解决本题的关键．
【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA
＝6，OB＝3，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 ，点 恰好
落在反比例函数的图象上，求此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 、P、Q
为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或 或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出
∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的
坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的
平移方式即可得出点D’的坐标；（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形
的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴ ；
（2）如图所示，过点D作 轴， ， ,
同（1）方法可得： ，
∵ ，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x= ，
∴m= ，
∴D’(6+ ，9)即D’( ，9)；
（3）当OA’=OP时，如图所示：
∵A’( ，6)，
OA’= ，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q( ，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），则PO=PA’，
∴ ，
解得： ，
∴OP=A’Q= ，
∴Q( ，6)，
综上可得：Q( ，6)或( ，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判
定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分
类讨论是解题关键．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形， ， ，
点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒
2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终
点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示： _______cm， _______cm；
(2)函数 的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出
△POM的面积为7.5 ，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ， ；
(2)2．5
(3)存在 或 时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的
四边形刚好是菱形
【分析】（1）先分别求出OC=AB=5，CD=8，再根据P、Q的运动速度进行求解即可；
（2）先求出点P的坐标为（t，4），则反比例函数解析式为 ，点M的坐标为（5，
，），则 ， ，再根据
，列出方程求解即可；
（3）先求出点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），则 ，
， ，然后根据菱形的性质进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），
∴OC=AB=5，
∵点D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
∴CD=8，
∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，
∴
故答案为： ， ；
（2）：如图1，连接PM，
由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，
∴点P的坐标为（t，4），
∵点P在反比例函数 上，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
当 时， ，
∴点M的坐标为（5， ），∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值已舍去）；
（3）解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）
∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），
∴ ， ， ；
当PQ=PC时，则 ，
解得 （不合题意，舍去）；
当PQ=CQ时， ，
解得 （负值已舍去）；
当PC=CQ时，
解得 （负值已舍去）；
综上所述，存在 或 时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E
为顶点的四边形刚好是菱形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次
方程，反比例函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．
【变式训练4】．综合与探究如图1，反比例函数的图象 经过点 ，点 的横坐标是－2，点 关于坐标原点
的对称点为点 ，作直线 ．
(1)判断点 是否在反比例函数 的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点 作直线交反比例函数 的图象于点 和点 ，点 的横坐
标是4，顺次连接 ， ， 和 ．求证：四边形 是矩形；
(3)已知点 在 轴的正半轴上运动，点 在平面内运动，当以点 ， ， 和 为顶点的
四边形为菱形时，请直接写出此时点 的坐标．
【答案】(1)点 在反比例函数 的图象上，理由见解析；(2)见解析
(3) ， 和
【分析】（1）求出点B的坐标，判断即可；
（2）证明OA=OB，OC=OD，推出四边形ADBC是平行四边形，再证明AB=CD，可得结论；
（3）当四边形OBPQ是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P的坐标为 ，然后根据
邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可．
【详解】（1）结论：点 在反比例函数 的图象上，
理由如下：∵反比例函数 的图象经过点 ，点 的横坐标是－2，
∴把 代入 中，得 ，
∴点 的坐标是 ，
∵点 关于坐标原点 的对称点为点 ，
∴点 的坐标是 ，
把 代入 中，得 ，∴点 在反比例函数 的图象上；
（2）证明：在反比例函数 中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点 作直线交反比例函数 的图象于点 和点 ，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD= ，AB= ，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为 ，如图，
当四边形OBP Q 是菱形时，可得 ，
1 1
∴ ，解得 ，
∴P ；
1
当四边形OBQ P 是菱形时，可得 ，
2 2
∴ ，∴P ；
2
当四边形OPBQ 是菱形时，可得 ,
3 3
∴ ，
解得 ，
∴P ，
3
综上所述，满足条件的点 的坐标分别为 ， 和 ．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形
的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，
属于中考压轴题．
类型三、矩形存在性问题
例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝ 交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．
(1)求双曲线的表达式；
(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一
个动点，求AP＋PQ的最小值；
(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是
矩形时，直接写出点N的坐标．
【答案】(1)双曲线的表达式为y＝
(2)AP＋PQ的最小值为
(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（－3，0）或（3，0）或
（－1， ）或
【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定
交点B的坐标；
（2）作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP
＋PQ取得最小值，分别求出A′P和PQ的值即可；
（3）分三种情形：①当∠BAM=90°时．②当∠ABM=90°时．③当∠AMB=90°时，设M
（0，m），设AB的中点为J（- ， ），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【详解】（1）∵直线y=x+1经过点A（a，2），
∴2=a+1，∴a=1，
∴A（1，2），
∵双曲线y= 经过点A（1，2），
∴k=2，
∴双曲线的表达式为y＝ ．
（2）如图，作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，
此时AP＋PQ取得最小值，AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q．
∵A（1，2），
∴AK＝A′K＝1，OK＝2，∠AKP＝∠A′KP＝90°．
∵将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，
∴直线l的表达式为y＝x，
∴∠POQ＝45°，
∴∠OPQ＝45°，
∴∠A′PK＝∠KA′P＝45°，
∴A′K＝PK＝1，
∴A′P＝ ，OP＝OK－PK＝1．
∵∠POQ＝45°，
∴PQ＝OQ，PQ2＋OQ2＝OP2，
∴PQ＝ ，
∴A′Q＝A′P＋PQ＝ ＋ ＝ ．
∴AP＋PQ的最小值为 ．（3）如图2中，设直线y＝x＋1交y轴于点E，交x轴于点F，对于y＝x＋1，当x=0时，
y=1；当y=0时，x=-1，
∵E（0，1），F（-1，0），
∴OE=OF=1，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OFE=∠OEF=45°．
由 ，解得 或 ，
∴B（-2，-1）；
①当∠BAM=90°时，则∠AEM=∠OEF=45°，
1
∴AM=AE．
1
∵A（1，2）， E（0，1），
∴AE=
∴EM= ，
1
∴OM =1+2=3，
1
∴M（0，3），
1
∴M 可看作由A向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
1
∵B（-2，-1），
∴N （-3，0）；
1
②当∠ABM=90°时，同理可求M（0，-3），N （3，0）；
2 2
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
∵A（1，2），B（-2，-1），
∴J（- ， ），
∵AB= ，
∴AJ=JB=JM= ，
∴（- ）2+（ -m）2=（ ）2，
解得m= ，
∴M（0， ），M（0， ），
3 4
设N （m，n），
3∵JN =JM ，
3 3
∴- = ， = ，
∴m=-1，n= ，
∴N （-1， ），
3
同理可求N （-1， ），
4
综上所述，满足条件的点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（-1， ）或（-1，
）．
【点睛】本题考查了反比例函与一次函数综合，待定系数法，矩形的判定和性质，轴对称
最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于
中考压轴题．
【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图像交于
、B两点．(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线 向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，
如果 的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是
矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3) ，
【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）连接 、 ，设平移后直线 的解析式为 ，得出点 ，
根据直线 平行直线 ，得出 ，根据点A、点B关于原点对称，得出点
，根据 ，列出关于b的方程，解方程即可；
（3）设 ， ， ，得出 ，
， ，分两种
情况，当 为边时，当 为对角线时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：令一次函数 中 ，则
解得： ，即点A的坐标为 ，
∵点 在反比例函数的图像 上，
∴ ，∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：连接 、 ，如图所示：
设平移后直线 的解析式为 ，
∴点 ，
∵直线 平行直线 ，
∴ ，
∵ 的面积为16，
∵点A、点B关于原点对称，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线向上平移的距离为4．
（3）解：设 ， ， ，
则 ，
，
，
①如图，当 为边时，此时满足 ，
即： ，
解得 ，∴ ；
②如图，当 为对角线时，此时满足 ，
即 ，
解得 （ 舍去），
∴ ；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，
三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C
在x轴上，AD//BC，BD平分 ，交AO于点E，交AC于点F， ．若
OB，OC的长分别是一元二次方程 的两个根，且 ．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；(2)若反比例函数 图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长
比为 的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，C（2，0）
(2)
(3)存在，N （ ， ），N （-9，12），N （ ， ）， ，
1 2 3
， ．
【分析】（1）解方程得出方程的解，即可确定点B，C的坐标；
（2）首先证明∠AFB＝∠AOB＝90°，再证明AB=BC=5，由 得 ，
从而得 ，即可得到AD=AD=5，再由勾股定理求出AO=4，得出点D的坐标
即可求出反比例函数解析式；
（3）如图，分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由 解得 ， ．
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB>OC，
∴ ， ．
∴ ，C（2，0）．
（2）解：∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°．
∵∠CAO＝∠DBC， ，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵在Rt ABO中， ．
∴D（5，△4）．∴反比例函数解析式为 ．
（3）解：如下图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点 作 轴于点 ,
∴
∵四边形 是矩形，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴点 （ ， ），
同理可求出N （-9，12），N （ ， ），
2 3
②如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点 WT 于点F，设 与x轴交于点G，∴
又
∴
∵BD是圆的直径，
∴点E在圆上，
∴
∴
∴
∵DE=4，BE=3+5=8，
∴
又 ，
设
由勾股定理得，
∴ ，解得，
∴
设GE=x，则BG=8-x，代入比例式得，
∴
在Rt 中，∴
解得， （舍去）
∴BG=
∵
∴
由勾股定理可得，BF=
∴
∴
同理可得 ，
综上，点N的坐标为：N （ ， ），N （-9，12），N （ ， ），
1 2 3
， ， ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质以
及圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B
在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为（4，
3），设AB所在直线解析式为 ．(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边
AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请
说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【答案】(1) ，
(2)0≤m≤
(3)点N坐标为（ ， ）；点M的坐标为（ ， ）
【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待
定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；
（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到
S ONB=S OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x， ），利用中点坐标公式即
△ △
可求出点M坐标．
【详解】（1）解：延长AD交x轴于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD=AD，AD∥OB，
则AF⊥x轴，
∵点D坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，即OB=AD=5，
∴A（4，8），B（0，5），
∴k=4×8=32，
∴反比例函数的解析式为 ；
将A、B坐标代入 中，得
，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函
数的图像D′处，
∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），
∴ ，
∴m= ，
∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤ ．
（3）解：存在，理由为：
如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，
由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，
则∠NOB=∠FOD，
又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，
∴△ONB≌△OFD（AAS），
∴S ONB=S OFD，则 ，
△ △
∴NH= ，
∵点N在直线AB上，
∴当x= 时， ，∴点N坐标为（ ， ）；
设M（x， ），则x+0= +4，
解得：x= ， ，
∴点M的坐标为（ ， ）．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系
数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握
相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点 ，点 是反比例函数 的图象上一动点，过点 作
直线 轴交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，连接 ， ．
(1)求 ， 的值．
(2)当 的面积为3时，求点 的坐标．
(3)设 的中点为 ，点 为 轴上一点，点 为坐标平面内一点，当以 ， ， ，
为顶点的四边形为正方形时，求出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 ，
【分析】（1）将点 代入 ，求得 ，进而求得 ，将 代入可
求得 ，再把点 的坐标代入 ，即可求得 ；（2）用含 的代数式表示 的长，根据铅锤定理，解得 ，进而求得点 的坐标；
（3）分情况讨论，当 是边，点 在 轴正半轴上和点 在 轴的负半轴上；当 是
对角线，点 在 轴负半轴上和点 在 轴正半轴上，证明 ，进而得出
，从而求得 的值．
【详解】（1）解： 直线 过点 ，
，
，
直线 过点 ，
，
，
过点 ，
；
（2）解： ， ， ， ，
，
， 、 、 分别
表示 、 、 三点的横坐标，
，
解得 ，经检验 是原方程的解，
；
（3）解：如图1，
， ，，
当 是边，点 在 轴正半轴上，
作 于 ，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， （舍去），
，
如图2，
当点 在 轴的负半轴上时，
由上知： ，
，
，
当 是对角线时，当 是对角线时，点 在 轴负半轴上时，
可得： ， ，
，
，
，
如图4，
， ，
，
， （舍去），
当 时， ， ，
综上所述： 或 ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性
质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段
之间的和差关系列方程求解．【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，直线AB与反比例
函数 的图象在第一象限相交于点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点 ，连接 ，点E是反比例函数 图象第一象限内一点，且
点E在点C的右侧，连接 ， ，若 的面积与且 的面积相等，求点E的坐
标；
(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接 ，并在
左侧作正方形 ，当顶点F或顶点N恰好落在直线 上，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)M点坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求直线 的解析式，再将 代入，即可求得点C坐
标，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点C、E分别作 轴， 轴，连接 ，利用A、C坐标求得 ，
进而得到 ；根据 的面积且与 的面积相等，可知 ，进而
得到 ，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；
（3）设 ，分两种情况讨论：当F点在直线 上时，过点M作 轴，
过点F作 交于G点，过点D作 交于点H，通过证明 ，
确定点 ，再将点F代入直线 的解析式，即可求出t的值,从而确定M点
坐标；当N点在直线 上时，过点D作 轴，过点M作 于点P，过点N
作 于点Q，同理可得： ，确定点N的坐标，再将点F代入
直线 的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标．【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
将点 ，点 代入，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入 中，
，
解得： ，
，
将 代入 ，
，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：如图，过点C、E分别作 轴， 轴，连接 ，
∵ ，
，
，
∵ 的面积且与 的面积相等，
∴E点在过D点且与 平行的直线上，即 ，
，
设 ，
则
解得， （不合题意，舍去），
∴ ；
（3）解：设 ，
如图，当F点在直线 上时，过点M作 轴，过点F作 交于G点，
过点D作 交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
如图，当N点在直线 上时，过点D作 轴，过点M作 于点P，过点N
作 于点Q，同理可得： ，
，
，
，
解得： 或 ，
点M在点D左侧，
，
综上所述：M点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判
定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大．
【变式训练2】．如图，直线 分别与反比例函数 和 的图像交于
A，B两点，点B横坐标为2．
(1)求n的值．
(2)若点C为 图像上一点，过点C作直线 轴，交反比例函数 于点D，当时，求C点横坐标．
(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边
形是正方形，并求出点F的坐标．
【答案】(1)8
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入 求解即可；
（2）设 ，则可求 ，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）分以 为边， 为对角线讨论即可．
【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线 上，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
解得 ；
（2）解：由（1）知 ，
设 ，
∵ 轴，
∴D的横坐标为c，
又D在 的图像上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ；
（3）解：设 ，则
一、以 为边时，
①如图，四边形 为正方形，
则 ，C和E的纵坐标相同，
把 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去）， （舍去），
∴ ， ，
∴ ；
②如图，四边形 为正方形，
则 ，D和E的纵坐标相同，把 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ， ，
∴ ；
二、以 为对角线时，
如图，四边形 为正方形，
则 是 中点， ，M和E的纵坐标相同
∴ ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去）， ， （舍去）
∴ ， ，或 ，
∴ 或综上，点F的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画
出图形，找出列方程的等量关系．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于点 ，与y轴交于点 ，点P是反比例函数 的图象上一
动点，过点P作直线 轴交直线 于点Q，设点P的横坐标为t，且 ，
连接
(1)求k，b的值.
(2)当 的面积为3时，求点P的坐标.
(3)设 的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶
点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ，
【分析】（1）将点B代入 求得 进而求得 将A点坐标代入求得n；
（2）表示出 的长，根据 求得 进而得出点P的坐标；
（3）分为 是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及 为对角线．当 为边时，
点D在x轴正半轴上时，过点C作 轴，作 ，证明 ，进而得
出 ，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【详解】（1）∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 过点 ，
∴ ；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图1，
∵ ， ，
∴
当 是边，点D在x轴正半轴上，
作 于F，作 于G，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （舍去），
∴
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知： ，
∴ ，
∴ ，
当 是对角线时，当 是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图4，
，
∴ ，
∴ ， （舍去），
当 时， ，
∴ ，
综上所述： 或 ， .
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全
等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等
量关系．【变式训练4】．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并
与反比例函数y= (k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y= (k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=
(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG
左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横
坐标．
【答案】(1) ；
(2)①点F的坐标为（4，2）；②点M的横坐标为 或 ；
【分析】（1）根据题意，先求出点C的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）①由矩形的性质，得到EF∥x轴，设点E的坐标为（ ， ），则点F为（ ，），然后求出x的值，即可求出点F的坐标；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点N落在直线AB上时；当点P落在直线AB上
时；利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质，分别求出每一种情况的答案即可．
【详解】（1）解：根据题意，
∵直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令 ，则 ；令 ，则 ；
∴点A为（ ，0）；点B为（0，2）；
∵点B是AC的中点.，
∴点C的坐标为（2，4）；
∵点C在反比例函数图像上，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵四边形FEHG是矩形，
∴EF∥x轴，
设点E的坐标为（ ， ），则点F为（ ， ），
∵EF=4，
∴ ，
解得： 或 ，
∵顶点F在点C右侧的反比例函数上，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴点F的坐标为（4，2）；
②根据题意，∵点F的坐标为（4，2）；
∴点G为（4，0）；
当点N落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作
NE⊥DM，交DM延长线于点E；∵四边形GMNP是正方形，则MG=MN，∠NMG=90°，
∵∠E=∠D=90°，
∴∠EMN+∠GMD=∠GMD+∠DGM=90°，
∴∠EMN=∠DGM，
∴△EMN≌△DGM（AAS），
∴EN=DM，EM=DG；
∵点M在 的图像上，点N在直线 上，且点M在点F的左侧，
设点M为（m， ）（ ），点N为（n， ），
∵点G为（4，0），
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴点M的横坐标为 ；
当点P落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作
PE⊥FG，交FG延长线于点E；与①同理，可证△DMG≌△EGP，
∴EG=DM，EP=DG；
设点M为（m， ）（ ），点P为（p， ），
∵点G为（4，0），
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
∴点M的横坐标为 ；
综合上述，点M的横坐标为： 或 ；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和
性质，矩形的性质，坐标与图形，以及解方程组，解题的关键是掌握所学的知识，正确的
作出辅助，运用数形结合的思想进行分析题意．
