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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 10 讲 指数与指数函数（精讲）
①指数幂的化简与求值
②指数函数的图像与性质
③解指数不等式
④指数型复合函数
⑤指数函数的综合应用
一、必备知识整合
一、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， ，记为 ， 称为根指数， 称为
根底数．
(2)根式的性质：
当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
当 为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 中的一个参数， 为底数， 为指数，指数位于底数的右上角，幂
运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 ；②零指数幂 ；
③负整数指数幂 ， ；④ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
① ， ， ；② ， ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
二、指数函数y y
a (1,a)
1 (1,a) 1
a
图象 O 1 x O 1 x
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性质
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
二、考点分类精讲
【题型一 指数幂的化简与求值】
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【典例1】（2024高三·全国·专题练习）化简：
(1) ；
(2)
一、解答题
1．（2023高三·全国·专题练习）化简：
(1) ；
(2) ．
2．（2023·山东·模拟预测）计算：
(1) ；
(2)
3．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
(1)计算： ；
(2)化简（用分数指数幂表示）：【题型二 指数函数的图像与性质】
1.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满
足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.比较指数幂大小的常用方法
不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能
单调性法
够化同底的尽可能化同底
不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大
取中间值法
小，然后得出大小关系
根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助
图象法
图象比较大小
【典例1】（单选题）（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（单选题）（2024·上海宝山·二模）已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
【典例3】（单选题）（23-24高三上·山东潍坊·期中）函数 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．4．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数 的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程
，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
二、填空题
5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，
则点 的坐标为 .
6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“ ， ”是假命题，则 的取值范围为
.
三、解答题
7．（2024·上海黄浦·二模）设 ，函数 .
(1)求 的值，使得 为奇函数；
(2)若 ，求满足 的实数 的取值范围.
8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值和最小值；
(2)若 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【题型三 解指数不等式】(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）解不等式 .
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西咸阳·二模）全集为 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
3．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知集合 ，集合 ，则 .
三、解答题4．（2023高一上·全国·专题练习）（1）解不等式 ；
（2）已知 ，求 的取值范围．
5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
(1)求函数 的值域；
(2)解不等式 ．
6．（23-24高三上·福建龙岩·期中）已知函数 ．
(1)试问 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
(2)求 的解集．
【题型四 指数型复合函数】
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关
性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增
异减”这一性质分析判断．求参数值(范围)的方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用
其性质求解．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数 ，则函数 单调递增
区间为（ ）
A． B． C． D．一、单选题
1．（22-23高三·全国·对口高考）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数 的值域为 ，单调递增区间
为 .
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ．
三、解答题
5．（23-24高一上·辽宁大连·期末）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要
条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对
称图形的充要条件是函数 为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象关于点 对称；(2)若 ，求实数 的取值范围．
【题型五 指数函数的综合应用】
指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这
类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期
性解决问题．
【典例1】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数 ，且 .
(1)求 的值；
(2)判断 在 上的单调性，并用定义证明.
(3)求不等式 的解集.
一、填空题
1．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数 在 上单调递增，则实数 的值可以是
.（写出满足条件的一个值即可）
2．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数 的定义域为 的奇函数， ，对任意两个不等的
正实数 都有 ，则不等式 的解集为 .
二、解答题3．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知函数 是奇函数，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
4．（23-24高三上·上海静安·期中）设 函数
(1)求a的值，使得 为奇函数；
(2)若 对任意， 恒成立，求a的取值范围．
5．（22-23高二下·福建福州·阶段练习）设函数 ， .
(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，若对 ， ， ，求实数a取值范围.
