文档内容
微专题：平面向量的坐标运算
【考点梳理】
1. 平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ ，λ ，
1 2 1 2
使 a ＝ λ e ＋ λe. 我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
1 1 2 2 1 2
2. 平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)线性运算的坐标表示
文字叙述 符号表示
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐 若a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a＋b＝ ( x
加法 1 1 2 2 1
标的和. ＋ x ， y ＋ y).
2 1 2
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐 若a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a－b＝ ( x
减法 1 1 2 2 1
标的差. － x ， y － y).
2 1 2
两点构
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 若A(x ，y)，B(x ，y)，则AB＝(x － x ，
成的向 1 1 2 2 2 1
终点的坐标减去起点的坐标. y － y).
量坐标 2 1
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来
数乘 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ( λx ， λy ) .
向量的相应坐标.
【题型归纳】
题型一：平面向量线性运算的坐标表示
1．已知向量 ， ， 2 ，则 （ ）
A．（0，3，-6） B．（0，6，-20）
C．（0，6，-6） D．（6，6，-6）
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 ， ， ，则 等于（ ）
A． B．0 C． D．
题型二：由向量线性运算结果求参数
4．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．已知向量 ， ， 且 ，那么 的值为（ ）
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6．已知向量 ， ， ，且 ，则x的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
题型三：向量坐标的线性运算解决几何问题
7．顺次连接点 ， ， ， 所构成的图形是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
8．已知 ， ， ，下列点 的坐标中不能使点 、 、 、 构成四边形的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，A、B分别在 轴和 轴上运动， 为原点， ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
10．在矩形ABCD中， ， ，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
11． 中， ， ， ，P是 外接圆上一点， ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
12．在 中， ， ， ， 是 的外接圆上的一点，若 ，则 的
最小值是（ ）
第 2 页
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【双基达标】
13．已知向量 ， ，且 ，那么 等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
14．在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 ，则点集
所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．已知向量 ， ，则 （ ）
A． B．5 C．7 D．25
17．已知直角梯形 是 边上的一点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
18．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
19．设 为单位向量，满足 ，设 的夹角为 ，则 的可能取值为
（ ）
第 3 页
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20．下列命题正确的是（ ）
A．复数 是关于 的方程 的一个根，则实数
B．设复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，若 ，则 与 重合
C．若 ，则复数 对应的点 在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，若 （ 是虚数单位，
为复平面坐标原点， ， ），则
21． ， ，若 ，则 ( )
A． B． C．6 D．8
22．已知边长为2的正方形 ，设 为平面 内任一点，则“ ”是“点在正方形及内部”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
23．在 中， ， ， ，点P是 内一点（含边界），若 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．已知公比为q的等比数列 中， ，平面向量 ， ，则下列 与
共线的是（ ）
A． B． C． D．
25．已知向量 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 与 可以作为一组基底
C． D． 与 方向相反
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线 交椭
圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知双曲线 的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，
， 且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
28．设向量 ， ， ．若 ，则 与 的夹角为（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
29．向量 ， ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．5
30．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)， ＝(－1，2)，则 ＋ ＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
【高分突破】
一、单选题
31． 是坐标原点，已知 ， ， ．若点M为直线 上一动点，当 取得最小值时，
此时 （ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．已知 ， ，且 ，点 在线段 的延长线上，则 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
33．在平面直角坐标系 中，设 ，向量 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
34．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
35．已知向量 ， ，若 则 （ ）
A． B．5 C． D．
36．已知向量 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， ，则
（ ）
A． 最大值为 B． 最大值为1
C． 最大值是2 D． 最大值是
38．已知 是边长为2的等边三角形， ， 分别是 、 上的两点，且 ， ， 与
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影为
39．已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点P．已知平面内点 ，点
，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点 ，逆时针旋转 ， 后分别得到点 ， 则
（ ）
A． B．
C． D．点 的坐标为
40．已知向量 ， ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
41．已知向量 ， ．若向量 与 平行，则 ＝________.
42．已知非零平面向量 ， 夹角为 ，且 ，若 ，则 的最小值
为_______________．
43．已知 ， ，点P在 延长线上，且 ，则 的坐标为______．
44．已知等边三角形 的边长为6，点P满足 ，则 _________．
45．在平面直角坐标系中，已知直线 分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点 ，则
的最大值为_________．
46．在四边形ABCD中，已知 ＝(4，－2)， ＝(7，4)， ＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
四、解答题
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司47．两个力 ， 作用于同一质点，使该质点从点 移动到点 （其中 、 分别是
x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1) ， 分别对该质点做的功；
(2) ， 的合力 对该质点做的功.
48．已知平面向量 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 与 夹角的余弦值.
49．在直角梯形 中，已知 ，对角线 交于点 ，点 在
上，且满足
(1)求 的值；
(2)若 为线段 上的任意一点，若 ，
①用向量 表示向量 ；
②求证： 为定值；
(3)若 为线段 上任意一点，求 的最小值.
50．如图，矩形 与矩形 全等，且 .
(1)用向量 与 表示 ；
(2)用向量 与 表示 .
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司51．已知 ， ， ．
（1）求 的坐标；
（2）求满足条件 的实数 ， ．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先推导出 4 ，利用向量坐标运算法则直接求解．
【详解】
解：∵向量 ， ， 2 ，
∴ 4 （8，12，-16）+（-8，-6，-4）＝（0，6，-20）．
故选：B．
2．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
由题意，向量 ，可得 .
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
先求出 的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
设出向量 ， 的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参
数
【详解】
设 ， ，所以 ，且 ，解得 ， ，即 ， .所以
，则 ，解得 ，故 .
第 10 页故选：B
5．A
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为 ， ， 且 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
由题可得 ，利用共线及数量积即得.
【详解】
因为 ， ， ， ,
所以 ， ，
∴ ，且 , 与 不垂直，
所以四边形 是平行四边形.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
利用对边平行且相等逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，所以 ， ∥ ，所以四边形 是平行四边形，
所以A不合题意，
第 11 页对于B，因为 ，所以 ，所以 ， ∥ ，所以四边形 是平行四边形，
所以B不合题意，
对于C，因为 ，所以 ，因为 有公共端点，所以 三点共线，所以 、
、 、 四点不能构成平行四边形，所以D正确，
对于D，因为 ，所以 ，所以 ， ∥ ，所以四边形 为平行四边
形，所以D不合题意，
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
设出P,A,B三点的坐标，通过 得到等式，再由 得到三点坐标间的关系，最后用代入法即可
得到答案.
【详解】
由题意，设 ， ，则 ，因为 ，所以 ……①，
又因为 ，所以 ……②
将②代入③得， ，即点 的轨迹方程是 .
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
构建直角坐标系，令 ， ，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得 ，结合辅助
角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】
构建如下直角坐标系： ，令 ， ，
第 12 页由 可得： ，
则 且 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：C
11．A
【解析】
【分析】
由余弦定理求出 ，即可得到 ，设 的中点为 ，则 为 外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标
系，设 ，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到 ，再利用辅助角公式及
正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：由余弦定理 ，
即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
则△ABC为等腰直角三角形.
设 的中点为 ，则 为 外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，设 ， ，
则 ， ， ，
因为 ，即 ，
所以 ，
第 13 页所以 ，
所以当 ，即 时 ；
故选：A
12．B
【解析】
【分析】
先解三角形得到 为直角三角形，建立直角坐标系，通过 表示出 ，借助三角函数求出
最小值.
【详解】
由余弦定理得 ，所以 ，所以
，所以 ．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C
（1，0），B（－ ， ），设P的坐标为 ，所以 ， ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
，所以
，当且仅当 时，等号成立．
故选：B．
13．C
【解析】
【分析】
根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
解析 ∵ ，∴
第 14 页则 得
∴ ，
∴ ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故选：C
14．D
【解析】
【分析】
由两定点 满足 ，说明 三点构成边长为2的等边三角形，设出两定点的坐标，再
设出点 的坐标，由平面向量基本定理，把点 的坐标用 的坐标及 表示，把不等式 去绝对值后
可得线性约束条件，画出可行域可求出点 所表示区域的面积
【详解】
由两定点 满足 ，而 ，则 ，
所以 ，则 三点构成边长为2的等边三角形，不妨设 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得
，或 ，或 ，或 ，
可行域如图中矩形 及其内部区域，则区域面积为 ，
故选：D
第 15 页15．D
【解析】
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D
16．B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算求解模长即可.
【详解】
根据题意，向量 ， ，
则 ，故 .
故选：B．
17．D
【解析】
【分析】
法一：设 （ ），把 与 表示为 与 的线性关系，把 表示成关于 的解析式，
求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出 的范围
【详解】
法一：因为 在 上，不妨设 ，
则 （其中 ）
所以
第 16 页，
因为 ，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则 ， ，
， ，其中∠ABC=45°，设点 ，
其中 ， ，
∴
∵
∴
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
计算出 和 的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数 的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量 ， ，则 ， ，
由 可得 ，解得 .
故选：B.
19．C
【解析】
【分析】
根据 为单位向量，设 ，且 ，得到 的坐标，再根据 ，得到x的范
围，然后利用 求解.
第 17 页【详解】
因为 为单位向量，
不妨设 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
，
，
当 时， ，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在 为单位向量的条件下，设 ，由 确定x的范围.
20．C
【解析】
【分析】
结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A：复数 是关于 的方程 的一个根，所以： ，
，故A错误；
对于B：设复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，若 ，
即这两个向量的模长相等，但是 与 不一定重合，故B错误；
对于C：若 ，设 ，故： ，整理得： ，故 ，故
C正确；
对于D：已知复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，
若 ，所以 ，
，
第 18 页，
解得： ， ，故 ，故D错误．
故选：C．
21．D
【解析】
【分析】
求出 的坐标，根据 可知 ，结合向量数量积的坐标表示即可求出x的值．
【详解】
，
．
故选：D．
22．B
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算可证明必要不充分性.
【详解】
解：必要性证明：边长为2的正方形 ，设 为正方形 及内部任意一点，以A为原点建立直角坐标系
如图：
由题意可知 （ ）
则
，
故
“ ”是“点在正方形及内部”的必要条件；
充分性证明：
若 ，则 ，但是 可以为任意值，故点P不一定在正方形及内部.
所以“ ”是“点在正方形及内部”的不充分条件.
故“ ”是“点在正方形及内部”的必要非充分条件.
故选：B
23．D
第 19 页【解析】
【分析】
以 为原点，以 所在的直线为 轴，建立坐标系，设点 为 ，根据向量的坐标运算可得 ，当
直线 与直线 相交时 最大，问题得以解决
【详解】
以 为原点，以 所在的直线为 轴，建立如图所示的坐标系，
， ， ，
， ， ，
设点 为 ， ， ，
，
， ， ， ， ，
，
，①
直线 的方程为 ，②，
联立①②，解得 ，
此时 最大，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标
运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题
第 20 页24．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出等比数列 公比q，再结合向量坐标运算及共线向量即可判断作答.
【详解】
等比数列 公比为q，而 ，则 ，解得 ，
， ，则 ，
对于A， ，因 ，则A不是；
对于B， ，因 ，则B不是；
对于C， ，因 ，则C不是；
对于D， ，因 ，则D是.
故选：D
25．B
【解析】
【分析】
由条件可得 ，然后逐一判断即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ；
所以 ， ，A、C正确；
与 不可以作为一组基底，B错误；
，所以 与 方向相反，D正确；
故选：B
26．C
【解析】
【分析】
由题设 ，利用 为 的重心，求出线段 的中点为 ，将B代入直线方程得
，再利用点差法可得 ，结合 ，可求出 ，进而求出离心率.
【详解】
由题设 ，则线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，即 ，解得：
即 代入直线 ，得 ①.
第 21 页又B为线段 的中点，则 ，
又 为椭圆上两点， ，
以上两式相减得 ，
所以 ，化简得 ②
由①②及 ，解得： ，即离心率 .
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以
下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ；②构造 的齐次式，求出 ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定
义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
27．B
【解析】
由点A、B关于原点对称，设 ，则 ，利用 ，得 ，再利用 得到
关系式 ，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到 ，化简得到
，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
由点A、B关于原点对称，设 ，则
，设 ， ，
， ，即
，
利用向量数量积公式得： ，即 ①
又点C、B均在双曲线上，
②， ③
由①②③可得：
两边同时除以 可得：
两边同时平方得； ，即
又双曲线的离心率 ，则 ，即
第 22 页故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于 的等量关系．本题中利用 得到点C
坐标，利用点C、B均在双曲线上，得到关系式，再利用 得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量
关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
28．D
【解析】
【分析】
根据题意， 求出x的值，即可得 的坐标，进而可得 的坐标，即可求解．
【详解】
根据题意，设 与 的夹角为 ，
， ， ，
则 ，解得 ，
则 ， ，
则 ，
所以 ，
故 ，
故选：D．
29．D
【解析】
【分析】
先求出 ，再计算模长即可.
【详解】
由题意知： ，则 .
故选：D.
30．A
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.
【详解】
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以 .又 ，所以 ，
，所以 .
故选:A.
31．A
【解析】
第 23 页【分析】
可设 ，可得 ，然后，根据向量数量积的坐标运算得到 为二次函数，利用二次
函数的性质可求出 ，进而得到 ，最后求得
【详解】
由已知得 ，因为点M为直线 上一动点，所以，可设 ，
得到 ，则 ， ，
则 ，当且仅当 时， 取得最小值，此时，可得
，所以， ，得到 .
故选：A
32．D
【解析】
【分析】
先根据已知条件确定 三点的位置关系并得到 ，再设 ，根据坐标运算代入坐标求解即可.
【详解】
点 在线段 的延长线上，又 ， .
设 ,则 , ,
.选D.
33．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算求得向量 ，再根据 ，将 用 表示，再根据平面向量的模的坐标表示结
合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解： ，
则 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
当 时， .
故选：D.
34．B
第 24 页【解析】
【分析】
先根据已知条件计算 ，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意得： ，
所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.
35．B
【解析】
【分析】
由向量的数量积可得 ，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由向量 ， ，
∴ ，所以 ，
∴ ，∴ ，即 .
故选：B
36．A
【解析】
【分析】
利用向量减法、模的坐标运算列方程，化简求得 的值.
【详解】
，
， ，
，
.
故选：A
37．BCD
【解析】
【分析】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， ， ， ，设 ，
第 25 页则 ， ， ，
由 ，得 且 ，
，故A错；
时 ，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
38．BCD
【解析】
【分析】
以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E为AB中点，则 ，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以， ，
设 ， ∥ ，
第 26 页所以 ，解得： ，
即O是CE中点， ，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为 ， ，所以选项A错误；
， ，
在 方向上的投影为 ，所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立
直角坐标系，利于计算.
39．ABD
【解析】
【分析】
利用题目中的新定义和向量的坐标运算可得到各个点的坐标，以及各个向量的坐标，然后对各个选项进行计算检
验即可.
【详解】
点 ，点 ， ,把点B绕点A沿顺时针方向旋转 (即按逆时针方向旋转 )
后得到点 ， ,可得 ，故D正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转 后得到点 ,
,可得
，故A正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转 后得到点 ,
,
即 ，故B正确；
C. ,
第 27 页，即 ，故C错误；
故选：ABD
40．BCD
【解析】
【分析】
根据 求出 的值，可得 ， 的坐标，由向量的坐标运算，以及模长的坐标表示逐一判断四个选
项的正误，即可得正确选项.
【详解】
因为向量 ， ， ，
所以 ，可得 ，故选项A不正确；
所以 ， ，
所以 ， ， ，
故选项BCD正确；
故选：BCD.
41．
【解析】
运用向量加法公式和向量平行公式即可.
【详解】
向量 ， ，所以 ，
若向量 与 平行，可得 ，解得 .
故答案为:
42．
【解析】
【分析】
利用向量线性运算的几何意义可求诸模之和的最小值.
【详解】
第 28 页如图，设 ， ， ， ，
则 ，且 ，
要求 的最小值即求 的最小值.
作出 关于 的对称点 ，再作出 关于 的对称点 ，
连接 ，设 与射线 交于 ，连接 ，与射线 交于 ，
则 ，且 ，
设 ，则 ，而 ，故 ，
所以 .
则 ，
当且仅当 重合， 重合时等号成立，
故答案为： .
【点睛】
思路点睛：向量的模的最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转
化为对称问题来处理.
43．
【解析】
【分析】
由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【详解】
∵点P在 延长线上，且 ，
∴ ，
∴ 即 ，又 ， ，
∴ .
故答案为： .
44．
【解析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示 可求得P点坐标求得答案.
【详解】
第 29 页建立如图所示坐标系，其中O为BC的中点，所以 ，
设 ，则 ， ， ，
又因为 ，所以 ，
，
即 ， ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，本题的关键点是建立坐标系，根据已知条件计算出P点坐标，再计算向量的模长，
这种几何图形中的向量运算，转换成坐标比较容易得到答案.
45．
【解析】
【分析】
根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出 的表达式，利用三角函数的
值域即可求出 的最大值.
【详解】
由题意知，
直线 分别与x轴、y轴交于点A、B，
则 ，又 ，
所以 ，
有 ，
则
，其中 ，
当 时， 取得最大值，
第 30 页且最大值为 .
故答案为：
46．30
【解析】
【分析】
先证明四边形ABCD为矩形，然后即可求出面积.
【详解】
，又因为
所以四边形ABCD为矩形，所以
所以 .
故答案为：30.
47．(1) 对该质点做的功为 （ ）， 对该质点做的功 （ ）；
(2) （ ）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求出位移 ，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力 ，结合功的计算公式，即可求解.
(1)
根据题意， ， ， ，
故 对该质点做的功 （ ）；
对该质点做的功 （ ）.
(2)
根据题意， ， 的合力 ，
故 ， 的合力 对该质点做的功 （ ）.
48．(1)5；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用垂直的坐标表示求出m，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.
（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.
(1)
向量 ，由 得： ，解得 ，即 ，
则 ，所以 .
第 31 页(2)
当 时， ， ，则 ，
所以 与 夹角的余弦值是 .
49．(1)
(2)① ；②证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求得 .
（2）①利用向量的坐标运算，用向量 表示出向量 .
②利用向量的坐标运算求得 为定值.
（3）设 ，计算出 的表达式，结合二次函数的性质求得 的最小值.
(1)
依题意可知 ，
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立如图所示平面直角坐标系.
则 ，
则 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
第 32 页(2)
① ，
，
设 ，
则 ，
所以 .
② ，
为定值.
(3)
由于 ，故可设 ，
，
，
当 时， 的最小值为 .
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算
进行解答.
(1)
.
(2)
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 ，
设 ，因为矩形 与矩形 全等，且 ，
所以 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，故 .
第 33 页51．（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）利用向量的坐标运算即可求 的坐标.
（2）由已知线性关系，结合坐标表示得到 ，解方程组即可.
【详解】
（1）根据题意， ， ， ，
则 , , , , ，
（2）根据题意，若 ，即 , , , ，
则有 ，解可得 ，
故 .
第 34 页第 35 页
