文档内容
微专题：集合的含义与表示
【考点梳理】
1. 元素与集合
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a ∈ A ；如果a不是集合A中的元素，
就说a不属于集合A，记作a A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及其记法：
非负整数集(或自然 正整 有理 实数 复数
数集 整数集
数集) 数集 数集 集 集
符号 N N * 或 ( N ) Z Q R C
＋
【题型归纳】
题型一：根据集合相等关系进行计算
1．已知集合 ，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．1或
2．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{－1，0，－b}，若P＝Q，则a＋b＝（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
3．已知 、 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D． 或
题型二：根据元素与集合的关系求参数
4．设集合 ，若 ，则 的值为（ ）．
A． ，2 B． C． ， ，2 D． ，2
5．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的不等式 的解集为S．若 且 ，则实数m的取值范围为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型三：根据集合中元素的个数求参数
7．若集合 则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，若集合A中恰好有5个元素，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知集合 ．若 中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型四：利用集合元素的互异性求参数
10．已知 ， ， ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
11．若 ，则a2020+b2020的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
12．已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．1或3
题型五：利用集合中元素的性质求集合元素个数
13．以实数 为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知集合 ， ，则集合 的元素个数为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．6 B．7 C．8 D．9
15．已知集合 中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【双基达标】
16．集合 中的 不能取的值的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
17．已知集合 只有一个元素，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
18．若 ，则集合A中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．已知集合P= ， ，则P Q=（ ）
A． B．
C． D．
20．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（ ）
A．3 B．1 C． D．
21．设集合 ， ， ，则
A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
22．有下列四个命题：
① 是空集；
②若 ，则 ；
③集合 有两个元素；
④集合 是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
25．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
26．若集合 中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
27．下列各组对象中能构成集合的是（ ）
A．充分接近 的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品
28．下列各组中的M、P表示同一集合的是
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， .
A．① B．② C．③ D．④
29．已知集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A． B． C． D．
30．已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【高分突破】
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
31．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
33．已知x，y都是非零实数， 可能的取值组成集合A，则（ ）
A．2∈A B．3 A C．－1∈A D．1∈A
∉
34．已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
35．用 表示集合A中的元素个数，若集合 ， ，且 .设
实数 的所有可能取值构成集合M，则 =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
36．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
37．已知集合 ， ，则A∩B=
A．(–1，+∞) B．(–∞，2)
C．(–1，2) D．
38．集合 用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
39．集合 ，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40．已知集合 ,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
① ;② ;③ ;④
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
41．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（ ）
A．P是由元素1， ，π构成的集合，Q是由元素π，1，|- |构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x =0的解构成的集合
42．下列说法中不正确的是（ ）
A．0与 表示同一个集合；
B．由1，2，3组成的集合可表示为 或 ；
C．方程 的所有解组成的集合可表示为 ；
D．集合 可以用列举法表示．
43．下列与集合 表示同一个集合的有（ ）
A． B． C． D． E．
44．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab， ∈P(除数b≠0)，则称
P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（ ）
A．数域必含有0，1两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集 ，则数集M必为数域；
D．数域必为无限集．
三、填空题
45．已知集合 ，则实数 的取值范围是________．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．已知集合 ，若 ，则 ______.
47．集合 中实数a的取值范围是________
48．用列举法表示集合 _____；
49．已知集合 ，且 ，则实数 的值为___________.
50．已知集合 ， ，若 ，则 _______．
四、解答题
51．已知集合 .
（1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围；
（2）若 中至多有一个元素，求实数的 取值范围.
52．设全集 ，集合 ， .
（1）求 及 ；
（2）求 .
53．集合 ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
54．已知集合 ， ，若 ，求实数 ， 的值.
55．已知全集 ，集合 ， .
（1）求 ；
（2）若集合 ，满足 ， ，求实数 的取值范围.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据 求得 ，由此求得 .
【详解】
由于 ，
所以对于集合 有 或 .
若 ，则 ，此时 符合题意， .
若 ，则集合 不满足互异性，不符合.
所以 的值为 .
故选：A
2．A
【解析】
【分析】
直接根据集合相等得到 ， ，得到答案.
【详解】
， ， ，则 ， ， .
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【详解】
由 且 ，则 ，
∴ ，于是 ，解得 或 ,
根据集合中元素的互异性可知 应舍去，
因此 ， ,
故 ．
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
由集合中元素确定性得到： ， 或 ，通过检验，排除掉 .
【详解】
由集合中元素的确定性知 或 ．
第 8 页当 时， 或 ；当 时， ．
当 时， 不满足集合中元素的互异性，故 舍去；
当 时， 满足集合中元素的互异性，故 满足要求；
当 时， 满足集合中元素的互异性，故 满足要求．
综上， 或 ．
故选：D．
5．C
【解析】
【分析】
结合元素与集合的关系得到 ，解不等式即可求出结果.
【详解】
由题意可得 ，解得 ，
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
由 求出 的取值范围，由 求出 的取值范围求其交集可得答案．
【详解】
由題意， 得 ，即 ，解得 或 ，
由 得 ，即 解得 或 ，于是 即 ，
综上所述，实数m的取值范围为 ．
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
分 ，两种情况求解即可
【详解】
当 时，不等式等价于 ，此时不等式无解；
当 时，要使原不等式无解，应满足 ，解得 ；
综上， 的取值范围是 ．
故选：B．
8．D
【解析】
【分析】
由已知求出集合A，进一步得到m的范围.
第 9 页【详解】
由题意可知 ，可得 .
故选：D
9．B
【解析】
【分析】
由 中有两个元素，得到 ，由此能求出实数 的不同取值个数．
【详解】
解： 集合 ，1， ， ， ，
中有两个元素，
，解得 ，
实数 的不同取值个数为1．
故选：B．
10．C
【解析】
【分析】
由题可得 ，即求.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ .
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
根据 即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.
【详解】
∵ ，根据集合中元素的性质可得：
第 10 页∴ ，解得a=﹣1，b=0，
∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
由题意可得 或 ，求出 的值，检验是否满足元素的互异性即可求解.
【详解】
因为 ，所以 或 .
①若 ，则 ，满足 ；
②若 ，则 或 ，
当 时， ，满足 ；
当 时， ，集合 不满足元素的互异性，不符合题意；
综上所述： 或 ，
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
分类讨论 三种情况下，化简题目中的四种元素，判断是正数还是负数即可得出各种情况下的元
素个数.
【详解】
解：当 时， ，此时集合中共有2个元素；
当 时， ，此时集合中共有1个元素；
当 时， ， ，此时集合中共有2个元素；
综上所述，以实数 为元素所组成的集合最多含有2个元素.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
先化简集合B，再根据集合 ，列举求解.
【详解】
第 11 页解：由 ，解得 ，
所以 ．
所以 ，共有7个元素，
故选：B．
15．C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合 ，即可得出答案.
【详解】
解：因为 ，
所以 中含6个元素．
故选：C.
16．B
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出 不能取的值，就可以确定不能取值的个数.
【详解】
由题意可知： 且 且 ，故集合 中的 不能取的值的个数是3个，故本
题选B.
【点睛】
本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键.
17．D
【解析】
【分析】
对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】
解：①当 时， ，此时满足条件；
②当 时， 中只有一个元素的话， ，解得 ，
综上， 的取值集合为 ， ．
故选：D．
18．B
【解析】
【分析】
集合 是点集，即可得出集合的元素，从而得解；
【详解】
第 12 页解：因为 ，集合 中有 、 两个元素；
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．C
【解析】
根据 ，依次令 中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.
【详解】
若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，矛盾，故 ，
解得 （舍）或 ，
故 ，元素之和为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行
取舍.
21．D
【解析】
【分析】
先求 ，再求 ．
【详解】
因为 ，
所以 .
故选D．
【点睛】
集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标
系、韦恩图等进行运算．
22．B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，元素与集合的关系判断．
第 13 页【详解】
①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当 时不成立，不正确；
③中 有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合 是有限集，正确，
故选：B
23．B
【解析】
【分析】
根据交集、补集的定义可求 .
【详解】
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
24．A
【解析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
故选：A
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
25．B
【解析】
【分析】
首先根据补集的运算得到 ，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】
因为 ，
所以 或 .
所以
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】
由题可知，集合 中的元素是 的三边长，
第 14 页则 ，所以 一定不是等腰三角形．
故选：D．
27．C
【解析】
【分析】
根据集合中元素的确定性，即可得解.
【详解】
选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，
只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.
28．C
【解析】
【分析】
对四组集合逐一分析，可选出答案.
【详解】
对于①，集合 表示数集，集合 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；
对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；
对于③，两个集合表示同一集合.
对于④，集合 研究对象是函数值，集合 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.
故选：C.
【点睛】
本题考查相同集合的判断，属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
由集合B的描述知 、 ，可求出 ，即得集合B的元素个数.
【详解】
解：由题意知： ， ，
，
∴集合 中元素个数为3.
故选：C.
30．A
【解析】
【分析】
根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
第 15 页当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
31．D
【解析】
根据元素与集合的关系直接判断即可.
【详解】
根据元素与集合的关系可得 ， ， ， ，故D不正确，符合题意.
故选：D.
32．C
【解析】
【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果．
【详解】
解：由集合A得 ,
所以
故答案选C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
33．C
【解析】
【分析】
先求出集合A，再对照四个选项一一验证.
【详解】
①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.
故选：C
34．D
第 16 页【解析】
【分析】
先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】
因为集合 ，所以 ，
故选：D.
35．A
【解析】
【分析】
根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究 的根的情况，分类讨论出a可能
的取值．
【详解】
由题意， ， ，可得 的值为1或3，
若 ，则 仅有一根，必为0，此时a=0，则 无根，符合题意
若 ，若 仅有一根，必为0，此时a=0，则 无根，不合题意，故 有
二根，一根是0，另一根是a，所以 必仅有一根，所以 ，解得 ，此时
的根为1或 ，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合 ，故 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的
个数的研究方法，难度中等．
36．D
【解析】
【分析】
根据 求得集合A，从而判定出集合中元素个数.
【详解】
，所以集合 中元素的个数为3.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示法，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.
37．C
【解析】
【分析】
本题借助于数轴，根据交集的定义可得．
【详解】
由题知， ，故选C．
【点睛】
第 17 页本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念
有误，不能借助数轴解题．
38．A
【解析】
【分析】
根据集合的描述法得到集合的列举法.
【详解】
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
故选：A
39．C
【解析】
【分析】
直接根据条件列举即可.
【详解】
解：因为 ，可得 ；
所以 .
故选：C
40．C
【解析】
①②③都可以写成 的形式，验证 是否是有理数，④计算 的平方验证，判断.
【详解】
①当 时，可得 ，这与 矛盾，
②
，可得 ，都是有理数，所以正确，
③ ，
，可得 ，都是有理数，所以正确，
④
而 ，
，
第 18 页是无理数，
不是集合 中的元素，
只有②③是集合 的元素.
故选：C
【点睛】
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
41．AD
【解析】
【分析】
根据题意分析即可.
【详解】
由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，
而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
故选：AD.
42．ACD
【解析】
【分析】
根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【详解】
解： 0表示元素，不是集合，所以A错误．
根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为 ，2， 或 ，2， ，B正确．
根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为 ， ，所以C错误．
满足 的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以D错误．
故选：ACD．
43．AC
【解析】
【分析】
解方程组可得集合中的元素为有序数对 ，根据集合的表示方法可得答案.
【详解】
由 得 即 ，
所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，
故选：AC.
【点睛】
本题考查同一集合问题，考查集合的表示方法，属于基础题.
44．AD
【解析】
根据数域的定义逐项进行分析即可．
第 19 页【详解】
数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0， ＝1(设m≠0)，A正确；
因为1∈Z，2∈Z， ，所以整数集不是数域，B不正确；
令数集 ，则 ，但 ，所以C不正确；
数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
故选：AD
45．
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，解不等式即可得答案；
【详解】
， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查集合为空集的概念，属于基础题.
46．2
【解析】
根据题意，可得 或 ，求得 验证是否满足互异性即可.
【详解】
依题意 或 ，
解得 或 ；
由集合中元素的互异性可知，当 时，集合的两个元素相等，不合题意；
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查根据元素与集合的关系求参数值，属简单题.
47． 且
【解析】
【分析】
由 得结论．
【详解】
由题意 ， 且 ，
故答案为 且 .
【点睛】
第 20 页本题考查集合中元素的性质：互异性，属于基础题．
48．
【解析】
【分析】
根据 列举出 的所有可能取值.
【详解】
依题意 ，
所以 ， ，
所以 ，
即
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查列举法，属于基础题.
49． 或0.
【解析】
【分析】
根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】
若 ，则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去
若 ，则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为： 或0.
【点睛】
关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.
50．5
【解析】
【分析】
由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得 ，得 .
【详解】
根据集合的元素具有无序性和互异性可得， ，所以 .
故答案为：5.
第 21 页【点睛】
（1）集合 的充要条件是 ，且 ；
（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.
51．（1） 且 ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）转化为关于 的方程 有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分 ， 两种情况讨论，当 时用判别式控制范围，即得解；
【详解】
（1）由于 中有两个元素，
∴关于 的方程 有两个不等的实数根，
∴ ，且 ，即 ，且 .
故实数 的取值范围是 且
（2）当 时，方程为 ， ，集合 只有一个元素；
当 时，若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 中只有一个元素，即 ，
，
若关于 的方程 没有实数根，则 中没有元素，即 ， .
综上可知，实数 的取值范围是 或
52．（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】
解：（1）因为 ， ，
所以 ，
（2）因为 ，所以 ，
所以 .
53．（1） ；（2）
【解析】
（1）由 ，可得 ，即可列出不等关系，求出 的取值范围；
第 22 页（2）由 ，且 ，可列出不等关系，求出 的取值范围.
【详解】
（1）由集合 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）因为 ，且 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
54． 或 .
【解析】
【分析】
利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b的值．
【详解】
解：由已知 ，得 （1）或 .（2）
解（1）得 或 ，
解（2）得 或 ，
又由集合中元素的互异性
得 或 .
【点睛】
本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.
55．（1） 或 .；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出 以及 后可得 .
（2）根据集合等式关系可得 ，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数 的取值范围.
【详解】
（1）由题 ， 或 ，
或 .
第 23 页（2）由 得 ，则 ，解得 ，
由 得 ，则 ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判
断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.
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