文档内容
微专题：韦恩(Venn)图及其应用
【考点梳理】
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所呈现的集
合关系进行运算.
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现
综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
【题型归纳】
题型一： 容斥原理的应用
1．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种
商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（ ）．
A．25种 B．27种 C．29种 D．31种
2．已知集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．设全集 ，集合 ， ，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二： 利用Venn图求集合
4．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B．N C． D．M
5．如图， 是全集， 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
7．设全集 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
8．已知非空集合 、 、 满足： ， ．则（ ）．
A． B．
C． D．
9．已知全集 ，集合 ， ，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，U为全集， ， ， 是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
11．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．
B．
C．
D．
12．如图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
13．已知全集 ，集合 ，它们的关系如图（ 图）所示，则阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
14．设全集 ，集合 ， ，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．设全集 ， 或 ， ，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． 或 D．
16．正确表示图中阴影部分的是（ ）
A． B． C． D．
17．已知集合 ， ，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
18．已知全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为
（ ）
A． B． C． D．
19．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药
的人数统计中，下列说法正确的是（ ）.
A．最多人数是55 B．最少人数是55 C．最少人数是75 D．最多人数是80
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．已知全集 ，集合 ， ，则下列Venn图中阴影部分的集合为（ ）
A． B． C． D．
21．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中
学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有
90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅
读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
22．若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
23．设I为全集， 、 、 是I的三个非空子集且 .则下面论断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
25．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问
答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五
题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
26．已知全集为 ，集合 ， ，集合 和集合 的韦恩图如图所示，则图中阴影部
分可表示为（ ）
A． B． C． D．
27．已知集合 ，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合中，所包
含元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，已知全集U和集合A、B，则阴影部分所表示集合正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
二、多选题
30．图中阴影部分的集合表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
一、单选题
31．图中矩形表示集合 ， ， 是 的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
32．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
33．如图，集合 是全集， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合，则 可表示为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
34．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓
球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．
35．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”
的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共
有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生
总数比值的估计值为___________.
36．某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，
参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的
有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人.
37．已知全集 ，集合 或 ， ，则图中阴影部分表示的集合是______．
38．某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动
但不喜欢乒乓球运动的人数为___________.
39．已知全集 ，设集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是_________
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不
会驾车的人有___________人.
四、解答题
41．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
（1） ；
（2） .
42．已知集合 ， .
(1)若 ，求图中阴影部分 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
43．集合U＝{x|x≤10，且x∈N*}，AU，BU，且A∩B＝{4，5}，(∁UB)∩A＝{1，2，3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6，
7，8}，求集合A，B.
44．某班共有26名同学参加了学校组织的数学、英语两科竞赛，其中两科都取得优秀的有8人，数学取得优秀但
英语未取得优秀的有12人，英语取得优秀而数学未取得优秀的有4人.试求出数学取得优秀的人数、英语取得优秀
的人数及两科均未取得优秀的人数.
45．某大学开设了a，b，c三门选修课程，某专业的50个学生每人至少需要选择其中一门课程，部分选择的情况
如下表：
课程 选择的学生人 课程 选择的学生人数
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数
28 与 11
26 与 12
26 与 13
求该专业三门课程都选择的学生人数.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
由题意求出第一天售出且第二天没有售出的商品种数和第三天售出的且第二天未售出的商
品种数，利用集合表示商品种数，画出图形容易得出正确的结果．
【详解】
解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有
（种 ；
同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；
所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，
此时商品总数是 （种 ；
分别用集合 、 、 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，
如图所示．
故选：C．
2．D
【解析】
【分析】
结合文氏图、补集和交集的知识确定正确答案.
【详解】
文氏图中阴影部分表示的集合为 .
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
图中阴影部分表示的集合为 ，结合题意运算求解，注意集合 的元素．
【详解】
第 12 页，图中阴影部分表示的集合为 ．
故选：A．
4．D
【解析】
【分析】
根据Venn图判断即可
【详解】
因为 ， ， ，故 ，故
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
根据文氏图的意义，阴影部分为集合 在全集上的补集的公共部分和集合 的交集，进
行求解即可.
【详解】
根据题意，阴影部分为集合 分别在全集上的补集的公共部分和集合 的交集，
即阴影部分为 .
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
找到每一个选项对应的区域即得解.
【详解】
解：如图所示，
第 13 页A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
7．B
【解析】
首先将全集U用列举法列举出来，在求阴影部分表示的集合可得答案.
【详解】
解：可得阴影部分所表示的集合为 ，集合 ， ，则
.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交、补运算及学生的识图能力，是基础题.
8．C
【解析】
【分析】
作出符合题意的三个集合之间关系的venn图即可判断.
【详解】
解：因为非空集合 、 、 满足： ， ，
作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，
所以 ．
故选：D．
9．C
【解析】
【分析】
分别解不等式 和 得 ， ，进而得阴影部分表
示的集合是 .
第 14 页【详解】
解：解不等式 得 ，故 ，
解不等式 得 ，故
所以
所以如图阴影部分表示的集合是 .
故选：C
【点睛】
本题考查分式不等式，绝对值不等式的求解，集合的韦恩图表示，考查数学结合思想，运
算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据韦恩图得阴影部分为 .
10．C
【解析】
【分析】
根据集合间的关系求解即可.
【详解】
图中的阴影部分是 的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是 的子集，则
阴影部分所表示的集合是 .
故选：C
11．C
【解析】
【分析】
根据韦恩图，分U为全集，B为全集， 为全集时，讨论求解.
【详解】
由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即
当B为全集时，阴影部分表示 的补集，即
当 为全集时，阴影部分表示A的补集，即
故选：C
12．B
【解析】
【分析】
根据图形可直接得出.
【详解】
根据图形可得阴影部分表示的集合为A的补集与B的交集，即 .
第 15 页故选：B.
13．C
【解析】
【分析】
先根据定义域和基本不等式的求解法则先求出集合 ，然后再根据韦恩图求出阴影部分
集合.
【详解】
解：由题意得：
故选：C
14．C
【解析】
【分析】
先求得集合 ，结合韦恩图得到 是 的真子集，即可求解.
【详解】
由题意，集合 ，且 ，
根据给定的韦恩图，可得 是 的真子集，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
15．A
【解析】
【分析】
根据venn图，求出 即可得出结果.
【详解】
全集 ， 或 ， ，
由图可得阴影部分所表示的集合为 ，
故选：A
16．C
【解析】
根据Venn图直接写出图中阴影部的正确表示即可.
【详解】
第 16 页解：由题意图中阴影部分：
故选：C
【点睛】
本题考查集合运算的Venn图表示，是基础题.
17．B
【解析】
【分析】
利用韦恩图结合集合的基本运算求解.
【详解】
解：因为 ， ，
所以阴影部分表示的集合为 .
故选：B.
18．A
【解析】
【分析】
由图象可知阴影部分对应的集合为 ，根据集合的运算，即可求解.
【详解】
由题意，全集 ，集合 ，集合 ，
可得 ，
所以 ，
由图象可得阴影部分表示的集合为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了集合基本概念及运算，其中解答中利用图象先确定集合关系是解答的关键，
着重考查了推理与计算能力.
19．B
【解析】
【分析】
根据题意画出带药情况的 图，然后再根据 图，列出关系式，由此即可求出结果.
【详解】
设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组
成集合B.
又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则 ，以上两种药都带的人数为
y.
根据题意列出 图，如下图所示：
第 17 页由图可知， .
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，故最少人数是55.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合交集中元素的个数问题，利用 图解题是解决本题的关键，属于基
础题．
20．C
【解析】
【分析】
由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得.
【详解】
集合 ，
Venn图中阴影部分表示的集合是 .
故选：C
21．C
【解析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想
解题．
22．A
【解析】
【分析】
由韦恩图知阴影部分为 ，根据根式的性质及集合描述列举出集合A，应用集合的
交补运算求结果.
【详解】
由题图，阴影部分为 ，而 ， ，
第 18 页所以 .
故选：A
23．C
【解析】
【分析】
画出关于 且含7个不同区域的韦恩图，根据韦恩图结合集合的交并补运算
确定各选项中对应集合所包含的区域，并判断包含关系.
【详解】
将 分为7个部分(各部分可能为空或非空)，如下图示：
所以 、 、 ，
则 ， ， ，
所以 ，故 ，A错误；
，故 ，B错误；
，C正确；
，显然 与 没有包含关系，D错误.
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
先求出集合A、B，由韦恩图分析，求 .
【详解】
由 ，得 ，则 ，所以 .\
由 ，得 ，则 ，则图中阴影部分表示的集合为 .
故选:B.
第 19 页25．B
【解析】
【分析】
由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有
奖品，所以最多会有 人没有奖品，由此可求得答案.
【详解】
解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖
品，
故最多会有 人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
26．A
【解析】
图中阴影部分是表示不在集合 中，但在集合 中的元素.
【详解】
图中阴影部分是表示不在集合 中，但在集合 中的元素，根据题意， ，
故选：A
27．B
【解析】
【分析】
由图可知，图中阴影部分表示 ，先求出集合B，再求出集合B的补集，然后再与
集合A求交集
【详解】
由图可知，图中阴影部分表示
由 ，得 ，
所以 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
28．B
【解析】
【分析】
求出集合 ，分析可知阴影部分所表示的集合为 ，利用交集的定义可求得结果.
第 20 页【详解】
因为 或 ，则 ，
由题意可知，阴影部分所表示的集合为 .
故选：B.
29．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合交集与补集的概念，即可求解.
【详解】
根据题意，可知阴影部分为集合 的补集与集合 的公共部分，因此阴影部分所表示集合
.
故选：D.
30．AC
【解析】
【分析】
利用韦恩图的意义直接判断即可.
【详解】
由已知中阴影部分在集合N中，而不再集合M中，
故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M（属于M的补集），
即可表示为 或 .
故选：AC
31．ABD
【解析】
【分析】
根据Ven图，分U为全集，B为全集， 为全集时，讨论求解.
【详解】
由图知：当U为全集时，表示集合A的补集与集合B的交集，
当B为全集时，表示 的补集，
当 为全集时，表示A的补集，
故选：ABD
32．AD
【解析】
【分析】
根据题意，结合集合的运算及表示方法，即可求解.
【详解】
第 21 页由题图及集合的运算，可得阴影部分表示的集合为 或 .
故选：AD.
33．CD
【解析】
【分析】
把ABCD四个选项所表示的集合用韦恩图表示出来，从而得到答案
【详解】
，故A选项错误；
表示的集合韦恩图为如图1，显然B选项错误；
通过画出CD选项的韦恩图，与题干中的相同，故选项CD正确.
故选：CD
34．
【解析】
【分析】
依题意画出韦恩图，计算可得；
【详解】
解：设参加羽毛球赛为集合 ，参加乒乓球赛为集合 ，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有 人；
故答案为：
第 22 页35． ##0.7
【解析】
【分析】
利用韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除
以 可得出所求结果.
【详解】
根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，
所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 .
故答案为： .
36．
【解析】
【分析】
设参加数学、物理、化学竞赛的学生组成集合 、 、 ，根据已知条件结合集合间的运
算即可求解.
【详解】
设参加数学竞赛的学生组成集合 ，参加物理竞赛的学生组成集合 ，参加化学竞赛的学
生组成集合 ，
根据题意可得： ， ， ， ，
， ， ，
因为
第 23 页所以
解得： ，
所以三科竞赛都参加的有 人，
故答案为：
37．
【解析】
【分析】
由题图知：阴影部分为 ，结合已知集合，应用补、交运算求集合即可.
【详解】
由题图，阴影部分为 ，而 ， ，
∴ .
故答案为：
38．17
【解析】
【分析】
根据题意可求得既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数，从而可得答案.
【详解】
解：根据题意可知喜欢篮球运动或乒乓球运动的人数为 人，
则既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为 ，
所以喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 人.
故答案为：17.
39．
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，结合阴影部分表示的意义，再利用集合的运算即可得解.
【详解】
第 24 页依题意， ， ，
显然，阴影部分是集合A与集合B在R中的补集的交集，
则 ，于是得 ，
所以阴影部分表示的集合是 .
故答案为：
40．12
【解析】
【分析】
记 表示集合 中的元素个数，则有则有性质
，根据所给数据即可得解.
【详解】
设会骑车的人组合的集合为 ，会驾车的人组成的集合为 ，
既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合 ,
易知 ，
记 表示集合 中的元素个数，
则有 ，
所以既不会骑车也不会驾车的人为 .
故答案为：12
41．（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【解析】
根据补集、交集和并集的定义，利用 图表示出来即可.
【详解】
如下图阴影部分所示.
【点睛】
本题考查 图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题.
42．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
第 25 页（1）由题图知 ，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可.
（2）讨论 、 ，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围.
(1)
时，有 ，由韦恩图知， ，又 ，
∴ 或 ，
∴ .
(2)
当 时， ，解得 ，此时 成立；
当 时，由 ，有 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围是 .
43．
【解析】
根据已知条件利用Venn图进行求解.
【详解】
法一：作出Venn图如图所示，
则 ；
法二： ， ， ， ， ，①
②， ， ， ， ， ， ，
③， 6,7,8都不属于A，也不属于B，
，且由②③知9,10均不属于 ，
，④
由④①可知 .
【点睛】
本题考查集合的基本运算、利用Venn图解决集合运算问题，属于基础题.
44．数学取得优秀的有： 人，英语取得优秀的有： 人，两科均未取得优秀的有：2人.
【解析】
【分析】
第 26 页计数学优秀的学生组成集合 ，英语取得优秀的学生组成集合 ，则可画出满足已知条件
的韦恩图，利用数形结合，和集合的基本运算，即可求出结果．
【详解】
设全集 某班的26名同学 ，集合 数学取得优秀的同学 ，集合 英语取得优
秀的同学 .
设集合X中的元素个数为 ，
则 ，
.
可得如下 图，
数学取得优秀的有：
人，
英语取得优秀的有：
人，
两科均未取得优秀的有：
人.
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算，以及利用韦恩图表示集合的关系及运算，属于基础题．
45．6.
【解析】
【分析】
设三门课程都选择的学生人数为 ，利用韦恩图列方程即可求解.
【详解】
设三门课程都选择的学生人数为 ，则各部门的人数如图所示，
则有 ，解得 ，
即该专业三门课程都的学生人数为6.
第 27 页第 28 页第 29 页
