文档内容
微专题：等比数列的性质
【考点梳理】
1、等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{a}中，a＝a qn－m(n，m∈N*).
n n m
②在等比数列{a}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则a a＝aa＝ a .
n m n p q
③在公比为q的等比数列{a}中，取出项数成等差数列的项a，a ，a ，…，仍可组成一个等比数列，公
n k k＋d k＋2d
比是 q d .
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的
公比之积.
⑤若{a}，{b}均为等比数列，公比分别为q ，q ，则{ka}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q ；{ab}仍为等比
n n 1 2 n 1 n n
数列，且公比为qq；仍为等比数列，且公比为.
1 2
⑥当{a}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lga}是等差数列，首项为lga，公差为 lg q .
n n 1
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即S，S －S，S －S ，…，仍为等比数列，且公比为 q k(q≠－1，或
k 2k k 3k 2k
q＝－1且k为奇数).
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.
③在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
④在等比数列中，S
n＋m
＝S
n
＋qnS
m
，n，m∈N*.
2、①在等比数列中，若S≠0，则S，S －S，S －S 成等比数列；②等比数列中，依次m项积仍为等比数列，
n n 2n n 3n 2n
但公比发生变化；③性质“当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有a ·a＝a·a”常用来转化条件.
m n p q
【题型归纳】
题型一：等比数列下标和性质及应用
1．已知数列 是等比数列，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．50 D．10000
3．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
题型二：等比数列片段和性质及应用
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
6．设等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．7
题型三：等比数列奇、偶项和的性质及应用
7．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列 的前 项和 ，则数列 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为
（ ）
A． B．2 C． D．
9．已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是
（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【双基达标】
10．已知数列 的首项为1，数列 为等比数列，且 ，若 ，则 （ ）
A．1008 B．1024 C．201 D．2020
11．已知等比数列 满足： ， ，则 的值为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
12．.在等比数列{an}中，a=3，则a·a=（ ）
5 2 8
A．3 B．6 C．8 D．9
13．在等比数列 中，若 ，则 （ ）
A． B．3 C． 或2 D．4
14．若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
16．在各项均为正数的等比数列中 ， ， ，则 （ ）
A．1 B．9 C． D．
17．公比为 的等比数列 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，满足 ， .则下列结
论正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．
C． 的最大值为
D．
18．已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．2021
19．已知等比数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．48 B．48或6 C． D． 或6
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．在正项等比数列 中， ， ，记数列 的前n项积为 ， ，则n的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
21．已知等比数列 中， ， ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．一个等比数列前 项的和为48，前 项的和为60，则前 项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
23．已知等比数列前 项和是 ，前 项和是 ，则前 项和是（ ）
A． B． C． D． 或
24．已知 为等比数列，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
25．在由正数组成的等比数列 中，若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【高分突破】
一、单选题
26．已知数列 是等比数列， 为其前n项和，若 ， ，则 （ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
27．在各项不为零的等差数列 中， ，数列 是等比数列，且 ，则
的值为
A．1 B．2 C．4 D．8
28．已知正项递增等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
29．设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
30．已知在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．9或 B．9 C．27或 D．27
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司31．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．10 B．7 C．8 D．4
32．已知数列 的首项为1，数列 为等比数列，且 ，若 ，则 （ ）
A．1008 B．1024
C．2019 D．2020
33．记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
34．在等比数列{an}中，已知aa＝4，a＝256，则a＝（ ）
1 3 9 8
A．128或﹣128 B．128 C．64或﹣64 D．64
二、多选题
35．已知数列是 是正项等比数列，且 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B．4 C． D．
36．等比数列 的公比为 ，且满足 ， ， .记 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．使 成立的最小自然数 等于
37．等比数列 的公比为 ，前 项积 ，若 ， ， ，则
A． B．
C． 是 的最大值 D．使 的 的最大值是4040
38．（多选）下列说法中不正确的是（ ）．
A．等比数列的某一项可以为0
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．等比数列的公比的取值范围是
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若 ，则a，b，c成等比数列
三、填空题
39．已知数列 是等比数列， ，则 的值为___________.
40．已知正项等比数列 共有 项，它的所有项的和是奇数项的和的 倍，则公比 ______.
41．若无穷等比数列 的各项均大于1，且满足 ， ，则公比 ________.
42．已知等比数列 的公比为q，前n项积为 ，且满足条件： 给出下列结论：①
；② ；③ 是数列 中的最大项；④使 成立的最大自然数n是198，其中正确的是
____________．
43．已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ， 的等差中项为__________.
44．等比数列 的各项均为实数，已知 ， ，则 ___________.
四、解答题
45．在公差为d的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，求数列 的前n项和 ．
46．已知公差不为零的等差数列 中， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求证： .
47．已知 是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列 中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司分别是多少？
（2）取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别
是多少？
（3）在数列 中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多
少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
48．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设 是数列 的前n项和，且 ，______________，求 的通项公式，并判断 是否存在最大值，
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
49．已知公差大于0的等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式 ．
（2）若 ， ， ， ， 是某等比数列的连续三项，求 的值．
（3）是否存在常数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出常数 ；若不存在，请说明理由．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，根据题意可得出关于 、 的方程，求出这两个量的值，可求得 的值，再利用等
比数列的基本性质可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
所以， ，
因此， .
故选：B.
2．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质结合对数的运算性质可求得结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因此， .
故选：A.
3．A
【解析】
【分析】
根据等比数列的下标和性质即可求解.
【详解】
解：根据等比数列的下标和性质，可得 ，
，
故选：A .
4．B
【解析】
【分析】
根据 为等比数列可求 的值.
【详解】
因为 且 为等比数列，故 为等比数列，
故 ，解得 ，
第 8 页故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
根据等比数列片段和性质得到方程，求出 ，再检验即可；
【详解】
解：因为等比数列 的前n项和为 ，所以 ， ， 成等比数列，
因为 ， ，所以 ，
解得 或 ，因为 ，
所以 ，则 ．
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
用等比数列前 项表示出 ，即可求出 ，代入即可求解 .
【详解】
由题知：显然
即 ，解得 或 （舍）
所以
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
求出等比数列 的公比，结合等比中项的性质求出 ，即可求得 的值.
【详解】
由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和 的 倍，所以， ，故
设等比数列 的公比为 ，设该等比数列共有 项，
则 ，所以， ，
第 9 页因为 ，可得 ，因此， .
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
由 和等比数列的前n项和可得答案.
【详解】
当 时， ，又 ，
即前10项分别为 ，
所以数列 的前10项中 ， ，所以 ，
故选：C．
9．D
【解析】
设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 则 ， ，则可求出 , 值，从而得出答案.
【详解】
设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为
则 ，
又 ，则 ，解得 ，
故数列 的所有项之和是 .
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
根据数列 为等比数列， 和 ，利用等比数列性质得到 ，再利用累乘法结合性
质，由 求解．
【详解】
由数列 为等比数列，得 ．又 ，
所以 ，
所以 ．
第 10 页又数列 的首项 ，所以 ，
故选：D．
11．B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质求解即可.
【详解】
， ， ，
.
故选:B
12．D
【解析】
【分析】
利用等比数列的等比中项的特性可得a·a= ，从而求出结果.
2 8
【详解】
a·a= =32=9.
2 8
故选：D
13．C
【解析】
利用等比数列的性质可得 ，从而可得答案
【详解】
由等比数列的性质有 ，可得 .
故选：C
14．D
【解析】
【分析】
对选项A，令 即可检验；对选项B，令 即可检验；对选项C，令 即可检验；对选项D，设
出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若 ，则
可得： ，故选项A错误；
若 ，则
第 11 页可得： ，故选项B错误；
若 ，则
可得： ，故选项C错误；
不妨设 的首项为 ，公差为 ，则有：
则有： ，故选项D正确
故选：D
15．C
【解析】
根据等比数列前 项和的性质列方程，解方程求得 .
【详解】
因为 为等比数列 的前 项和，所以 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 .
故选：C
16．B
【解析】
利用等比数列的性质：若 ，则 可解.
【详解】
因为 为各项为正的等比数列， ， ，
所以
故选：B
【点睛】
等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
17．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，判断出 ，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断 ， ，由此判断出
选项A,B,C.．
【详解】
根据题意，等比数列 满足条件 ， ， ，
若 ，则 ，
则 ， ，则 ，
这与已知条件矛盾，所以 不符合题意，故选项D错误；
第 12 页因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
则 ， ，
数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，
因此 是数列 中的最大值，故选项A正确．
由等比数列的性质， ，故选项B不正确；
而 ，由以上分析可知其无最大值，故C错误；
故选：A
18．D
【解析】
【分析】
根据题意，由等比数列的性质可得
,结合函数的解析式可得
= ,
进而分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，等比数列 满足 ，则有 ，
若 ，则 ，则有 ，
同理： ，
则 （1） （1） ，则 ，
故 ；
故选：D．
19．D
【解析】
【分析】
根据题意先求出公比，进而根据 求得答案.
【详解】
设公比为q，由题意得， ，得 或1.
当 时， ；
当 时， .
故选：D.
20．C
【解析】
【分析】
第 13 页根据给定条件求出数列 的通项，再计算 ，列式解不等式作答.
【详解】
设正项等比数列 公比为q，由 得 ，于是得 ，而 ，解得 ，
因此， ， ，由 得： ，
从而得： ，而 ，解得 ，又 ，则 ，
所以n的最小值为5.
故选：C
21．B
【解析】
本题首先可设公比为 ，然后根据 得出 ，再然后根据
求出 ，最后根据等比数列前 项和公式即可得出结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
即 ，解得 ，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据等比数列前 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的
关键，考查计算能力，是中档题.
22．D
【解析】
【分析】
根据等比数列前 项和的性质可求前 项的和.
【详解】
设等比数列前 项和为 ，
因为等比数列前 项的和为48且不为零，则 成等比数列，
故 ，故 ，
故选：D.
23．A
【解析】
第 14 页【分析】
设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，推导出 、 、 成等比数列，列方程可求得 的值.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，
则 ，
，
所以， ， ，
整理可得 ，解得 或 .
当 时， ，则 ，显然不成立，故 .
故选：A.
24．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质有 ，进而求得答案.
【详解】
因为 为等比数列，所以 ，所以 .
故选：B.
25．C
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等比数列性质可得 ，再把所求的式子用等比数列性质化成用 表示即可得解.
【详解】
因数列 是正数组成的等比数列，则 ，
所以 .
故选：C
26．B
【解析】
【分析】
运用等比数列的性质， 成等比数列.
【详解】
由等比数列的性质可知，数列 是等比数列，即数列4，8， 是等比数列，因
此 ．
故选:B.
第 15 页27．C
【解析】
根据等差数列的性质可知 ，代入方程可求出 ，再根据等比数列的性质 即可
代入 求解.
【详解】
因为等差数列 中 ，所以 ，
因为各项不为零，所以 ，
因为数列 是等比数列，所以
所以 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列中，当 时， ，等比数列中，当 时， ，
属于中档题.
28．C
【解析】
【分析】
由等比数列通项公式可求得 的值，进而计算可得结果.
【详解】
，又 ， ；
设正项递增等比数列 的公比为 ，则 ，
由 得： ，整理可得： ，
解得： （舍）或 ； .
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
第 16 页30．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可求.
【详解】
因为 为等比数列，设公比为 ，
则 ，解得 ，又 ，所以 .
故选：B.
31．C
【解析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为 ，解方程求得结果.
【详解】
由题意得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于 的方程，属于基础题.
32．D
【解析】
【分析】
根据数列 为等比数列， 和 ，利用等比数列性质得到 ，再利用累乘法结合性
质，由 求解．
【详解】
由数列 为等比数列，
得 ．
又 ，所以 ，
所以 ．
又数列 的首项 ，所以
故选：D
33．C
【解析】
【分析】
第 17 页根据等比数列的性质，可知等比数列 的公比 ,所以 成等比数列，根据等比的中项性质即
可求出结果.
【详解】
因为 为等比数列 的前 项和，且 ， ，易知等比数列 的公比 ,
所以 成等比数列
所以 ，所以 ，解得 .
故选：C.
34．A
【解析】
【分析】
先由等比数列的性质可得aa 4，求出a 的值，再由a＝256求出公比q，从而可求出a 的值.
1 3 2 9 8
【详解】
解：由等比数列的性质可得，aa 4，
1 3
∴a＝2或﹣2，
2
∵a＝256，当a＝2时，q7＝128即q＝2，则a＝128，
9 2 8
当a＝﹣2时，q7＝﹣128即q＝﹣2，则a＝﹣128，
2 8
故选：A.
【点睛】
此题考查了等比数列的性质和基本量计算，属于基础题.
35．ABD
【解析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出 的范围，即可得到所求．
【详解】
解：依题意，数列是 是正项等比数列， ， ， ，
，
因为 ，
所以上式可化为 ，当且仅当 ， 时等号成立．
故选： ．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．
36．AD
【解析】
【分析】
分析 、 不成立，可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误； 时， ，
时， ，可判断C选项的正误；比较 、 、 与 的大小关系，可判断D选项的正误.
第 18 页【详解】
对于A选项， ，若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，从而 ，矛盾.
综上， ，A正确；
对于B选项，由A选项可知， ，则 且 ，且 ，
因为 ，则有 ，
故 ，B错误；
因为当 时， ， 时， ，则 的最大值为 ，C错误；
， ， ，D正确，
故选：AD.
37．AD
【解析】
【分析】
由题目条件先得出 ， ， ，然后对选项进行逐一分析得出答案.
【详解】
根据条件可得 ，则 ， ,又
选项A. ，所以
若 ，则 ，
所以 与条件 矛盾.
所以 ，所以选项A正确.
选项B. 由 , ，可得等比数列 单调递减.
又 ，可得 ，
，所以选项B不正确.
选项C . 由 ， ，可得等比数列 单调递减.
可得 ， ，即数列 的前 项大于1，当 时，
所以 是 的最大值，所以选项C不正确.
选项D.
，由上可知 ，可得 ，由此类推可得当 时，
，
由 ，可得 ，由此类推可得可得当 时，
所以使 的 的最大值是4040，所以选项D正确
第 19 页故选：AD
【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的基本性质和前 项积的性质，解答本题的关键是根据条件得出 ， ，
，属于中档题.
38．ABD
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】
对于A，因为等比数列的各项都不为0，所以说法A不正确；
对于B，因为等比数列的公比不为0，所以说法B不正确；
对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，
根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以说法C正确；
对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以说法D不正确．
故选：ABD
39．64或1
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质即可求解.
【详解】
为等比数列， .
又 或 .
①当 时， ，
此时 .
②当 时， ，
此时 .
故答案为：64或1
40．
【解析】
【分析】
利用 以及已知条件可求得 的值.
【详解】
设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
则 ，
第 20 页由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ， .
故答案为： .
41．2
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可得 ，结合已知条件，以及 的各项均大于1，即可得 和 的值，再由等
比数列的通项公式即可求解.
【详解】
因为数列 是等比数列，所以 ，
又因为 ，
解得： 或 ，
由无穷等比数列 的各项均大于1可知 ，
所以 ，因为 ，即 ，解得： .
故答案为：2.
42．①②④
【解析】
【分析】
①由 ，根据 判断；②利用等比数列的性质判断；③利用前n项积的定
义判断；④利用前n项积的定义结合等比数列的性质判断.
【详解】
① ，因为 ，则 ，故正确；
② ，故正确；
③ ，故错误；
④因为 ，
，故正确；
故答案为： ①②④
43． ##
【解析】
【分析】
利用等比数列部分和的性质求出 ，然后利用等差中项求解答案.
【详解】
第 21 页设 ，因为 为等比数列，所以 ， ， 成等比数列.
因为 ， ，所以 ，解得 或 （舍去）.
所以 ， 的等差中项为 .
故答案为： .
44．1024
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式和等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，由 ， ，
可得 ，则 ，代入 得 .
则 ，
故答案为：1024
45．（1） 或 ；（2） ， ．
【解析】
（1）由 成等比数列求得公差后可得通项公式 ；
（2）对 用错位相减法求和．
【详解】
解：（1）∵ 成等比数列，∴ ，整理得 ，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时， ．
所以 或 ．
（2）设数列 前n项和为 ，
∵ ，∴ ，
当 时， ，
当 时，
第 22 页令 ，则
两式相减可得
整理可得 ，
则
且 满足上式，
综上所述： ， ．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．
数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒
序相加法．
46．（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】
解：（1）设公差为 ，
则由题设可得： ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
（2）当 时，有 ， ，
两式相减得： ，
即 ，
所以
，
当 时，左边 ，右边 ，不等式也成立，
综上所述，对于任意 都有 .
【点睛】
第 23 页本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力
和转化能力．
47．答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 ；
（2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 ；
（3）这个新数列是等比数列.它的公比是 ，我们由此可以得到一个结论： 在数列 中，每隔 项取出一项，
组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为 .
【详解】
（1）将数列 中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 ；
（2）取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 ；
（3）在数列 中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是 ，我们由此可
以得到一个结论： 在数列 中，每隔 项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为
.
48．选①， ， 存在最大值，且最大值为4；选②， ， 存在最大值，且最大值为50；
选③， ， 不存在最大值，理由见解析．
【解析】
【分析】
选①先判断 是首项为4，公比为 的等比数列，再求 ，最后分 为奇数和 为偶讨论，分别判断 存在最
大值并求出最大值即可；选②先判断 是首项为4，公差为 的等差数列，再求出 ，最后判断
存在最大值并求出 的最大值；选③先求出 ，再判断 不存在最大值．
【详解】
解：选①：因为 ， ，所以 是首项为4，公比为 的等比数列．
所以 ．
当 为奇数时， ，
第 24 页因为 随着 的增大而减小，所以此时 的最大值为 ；
当 为偶数时， ，且 ，
综上， 存在最大值，且最大值为4．
选②：因为 ， ，所以 是首项为4，公差为 的等差数列．
所以 ，
由于 ，得 ，所以 存在最大值，且最大值为 或 ，
因为 ，所以 的最大值为50．
选③：因为 ，所以 ，
所以 ， ，…， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，故 不存在最大值．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的判定、由定义求等差数列和等比数列的通项公式、由递推关系求通项公式、
数列 的前n项和的最值问题，还考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．
49．（1） ；（2） ；（3） 存在； ．
【解析】
【分析】
（1）结合等差数列性质得 ，结合一元二次方程的根的知识求得 ，从而得公差 和首项 ，然后可
得通项公式；
（2）根据等比数列的性质计算；
（3）假设存在，利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数形式，设 ，由恒等式知识
求得 ．
【详解】
（1）因为 ， ，
所以 ， 是方程 的两个根．
又公差 ，所以 ，所以 ， ．
第 25 页所以 ，解得 ．
所以 ．
（2）因为 ， ， ， ， 是某等比数列的连续三项，
所以 ，即 ，得 ．
（3）由（1）知 ．
假设存在常数 ，使数列 为等差数列，
由等差数列通项公式，可设 ，
则 对任意 恒成立，
可得 ， ， ．
所以存在 使得 为等差数列．
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