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微专题：对数函数单调性的应用
【考点梳理】
比较两个对数的大小的基本方法：①若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同
一字母，则需对这一字母进行分类讨论. ②若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较. ③若底数与真数都不
同，则常借助1，0等中间量进行比较.
在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性. 在利用单调性时，一定要明确
底数a的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正.
【题型归纳】
题型一： 对数函数的单调性
1．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：由对数（型）的单调性求参数
4．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的单调递减区间为（ ）
第 1 页
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C． D．
6．函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 由对数函数的单调性解不等式
7．函数 （a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．1<a≤4 B．1<a≤8 C．1<a≤12 D．1<a≤24
8．函数 （ 且 ）在 上是增函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型四： 比较对数式的大小
10．已知 ，且 ， 成立的充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
第 2 页
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12．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：对数函数单调性的应用
13．已知实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 的图像关于直线 对称，且当 时， 成立，若 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知偶函数 在 上单调递减，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
16．已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2 B．tanx＜tany C． D．
17．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
第 3 页
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18．定义在R上的函数 满足 ，当 时， 若对任意的 ，不
等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数 是定义在 上的减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
21．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
22．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
23．已知0<a<b<1，设m=blna，n=alnb， ，则m，n，p的大小关系为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m
24．设 ， ， ，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
25．下列函数中是偶函数且在区间 单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
26．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
27．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
28．函数 在 单调递增，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
29．已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
30．已知函数 ，则 的增区间为（ ）
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）
【高分突破】
一、单选题
31．集合 ，集合 ，求 （ ）
A． B．
C． D．
32．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司33．已知 ，设函数 ，若关于x的方程 恰有两个互异的实数解，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
34．给出下列四个命题:
①函数 的图象过定点 ;
②已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．若 ，则实数 或 ;
③若 ，则 的取值范围是 :
④对于函数 ，其定义域内任意 ，都满足
其中所有正确命题的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
35．设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
36．设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
37．已知 ，则
A． B． C． D．
38．已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
39．下列函数中，在 上单调递减的是（ ）
A． B．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
40．设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A．(0，2] B．
C．[2，＋∞) D． ∪[2，＋∞)
41．若函数 在 上是单调增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
42．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
43．设函数 （ 且 ）在区间 上是单调函数，若函数
有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
44．已知函数 ，若 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
45．下列结论正确的是（ ）
A． B．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
46．函数 在（0，1）上是减函数，那么（ ）
A． 在 上递增且无最大值
B． 在 上递减且无最小值
C． 在定义域内是偶函数
D． 的图像关于直线 对称
47．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
48．若函数 在区间 上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．
49．若函数 在 上为减函数，则a取值范围是___________.
50．不等式 的解集是________.
51．已知函数 对任意两个不相等的实数 ， ，都满足不等式
，则实数 的取值范围是________.
52．下列说法正确的是______.
①独立性检验中，为了调查变量 与变量 的关系，经过计算得到 ，表示的意义是有99%的把
握认为变量 与变量 有关系；
② 在 处取极值，则 ；③ 是 成立的充要条件.
53．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度（单位： ）可以表示为
（其中 是实数， 表示燕子的耗氧量的单位数），据统计，燕子在静止的时候其耗氧量为 个单
位.若燕子为赶路程，飞行的速度不能低于 ，其耗氧量至少需___________个单位
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
54．设函数 （ 且 ）的图像经过点 .
（1）解关于x的方程 ；
（2）不等式 的解集是 ，试求实数a的值.
55．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为 ，经过一段时间 后的温度
为 ，则 ，其中 为环境温度， 为参数.某日室温为 ，上午8点小王使用某品牌电热养生
壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到 点18
分时，壶中热水自然冷却到 .
(1)求8点起壶中水温 （单位： ）关于时间 （单位：分钟）的函数 ；
(2)若当日小王在1升水沸腾 时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检
测壶内水温，当壶内水温高于临界值 时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值 时，开始加热至 后停
止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为 .
（参考数据： ）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值 .
56．已知函数 ，（ ， ）的图象过点 ，且对 ， 恒成立.
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的最小值.
57．已知函数 ．
（1）求 的定义域；
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）判断 的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式 的解集．
58．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 ，若关于 的方程 在 有解，求 的取值范围.
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
解：对于A： 为非奇非偶函数，故A错误；
对于B： 为偶函数，且在 上单调递减，故B错误；
对于C： 定义域为 ，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D： 定义域为 ，且 ，
故 为偶函数，又 ，所以 在 上单调递增，故D正确；
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
直接根据幂函数，对数函数，指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：函数 在区间 上递增；
函数 在区间 上单调递减；
函数 在区间 上递增；
函数 在区间 上递增.
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
由指数函数、对数函数、二次函数、一次函数和分段函数单调性依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，由指数函数单调性知： 在 上为减函数，A错误；
对于B，由二次函数单调性知： 在 上单调递减，在 上单调递增，B错误；
对于C，由一次函数单调性知： ， 分别在 和 上单调递增；
又 ， 在 上为增函数，C正确；
对于D，由对数函数单调性知： 定义域为 ，且在定义域内为增函数，D错误.
第 11 页故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性即得.
【详解】
由题知 的定义域为 ，
令 ，则 ，函数单调递增，
当 时， 关于 单调递减， 关于 单调递减，
当 时， 关于 单调递增， 关于 单调递增，
故 的递增区间为 ．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】
由 ，得 ，
令 ，则 ，
在 上递增，在 上递减，
因为 在定义域内为增函数，
所以 的单调递减区间为 ，
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
根据对数复合函数的单调性，结合二次函数的单调性、对数型函数的定义域进行求解即可.
【详解】
由 ，
二次函数 的对称轴为： ，
所以二次函数的单调递增区间为 ，递减区间为 ，
而函数 是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数 的单调增区间为 ，
故选：C
第 12 页7．B
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性，先分析外层函数的单调性可得a>1，再求导分析内层函数的单调性即可
【详解】
函数 （a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，
故外层函数是增函数，由此得a>1，
又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，
令
则 在（4，+∞）上恒成立，
即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立
故2a≤48，即a≤24，
又由真数大于0，故64﹣8a≥0，
故a≤8，由上得a的取值范围是1<a≤8，
故选：B.
8．A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论： 、 ，分别判断 单调性，结合已知单调区间求a的范围，再利用二次函数性质求
的取值范围.
【详解】
当 时，则 在定义域 上递减，不满足题设；
当 时，则 在定义域 上递增，又 在 上是增函数，
所以 ，可得 ，即 .
由 ，故 在 上递增，
所以 的取值范围是 .
故选：A
9．B
【解析】
【分析】
转化为函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，再根据二次函数的单调性
以及不等式恒成立列式可求出结果.
【详解】
因为函数 在 上单调递减，
第 13 页所以函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
所以 ，解得 .
故选：B
10．A
【解析】
【分析】
分别讨论 和 两种情况，根据对数函数单调性，可得a的范围，根据充分、必要条件的概念，分析即可
得答案.
【详解】
当 时， 在 为单调递增函数，则 恒成立，
当 时， 在 为单调递减函数，
由 ，可得 ，解得 ，
综上使 成立a的范围是 ，
由题意： “选项”是使 “ ”成立的充分而不必要条件，
所以由“选项”可推出 “ ”成立，反之不成立，
分析选项可得，只有A符合题意，
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数，将不等式转化为 ，再利用函数的单调性求解.
【详解】
因为函数 为奇函数，
所以 ，又 ， ，
所以不等式 ，可化为 ，
即 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 在R上单调递增，
所以 ，
解得 .
第 14 页故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
方法一 :求出 的解析式,直接带入求解.
方法二 : 设 ，则 ，判断出 在 上为增函数,由 得
，解不等式即可求出答案.
【详解】
方法一 :
由 得 ，
则 ，解得 或 .
方法二 :
根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，即函数 为偶函数，
设 ，则 ，
在区间 上， 为增函数且 ， 在区间 上为增函数，
则 在 上为增函数，
，
解得 或 ，
故选：D．
13．C
【解析】
【分析】
判断出 ，构造函数 ，判断 时的单调性，利用其单调性即可比较出
a,b的大小，即可得答案.
【详解】
由 ，得 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
因为 ，所以 ，
第 15 页所以 ，故 ，则 ，
即有 ，
故 .
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
先得到 为偶函数，再构造函数 ，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.
【详解】
函数 的图像关于直线 对称，可知函数 的图像关于直线 对称，即 为偶函数，
构造 ，
当 ， ，故 在 上单调递减，
且易知 为奇函数，故 在 上单调递减，由 ，
所以 .
故选：B.
15．C
【解析】
【分析】
利用指数、对数函数性质比较 ， ， 大小，再利用给定函数性质求解作答.
【详解】
依题意， ，而偶函数 在 上单调递减，
则 ，而 ，即 ，
所以 .
故选：C
16．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式性质判断C.
【详解】
∵logax＞logay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2， ，故A和D错误；
选项B，当 ,取x ，y 时， ,但 ；显然有tanx＞tany，故B错误；
第 16 页选项C，由0＜x＜y可得 ，故C正确；
故选：C．
17．D
【解析】
【分析】
探讨给定函数的性质，结合当 时函数 值的符号即可判断作答.
【详解】
函数 定义域为 ， ，
则有函数 是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当 时， ，即 ，因此 ，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
18．D
【解析】
【分析】
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得 ，两边平方转为恒成立求解即可.
【详解】
当 时， 单调递减， ；当 时， 单调递减，故 在 上单
调递减：由 ，得 的对称轴方程为 ．若对任意的 ，不等式 恒成
立，所以 ，即 ，即 对任意的 恒成立，所以
解得 ．
故选：D．
19．D
【解析】
根据分段函数 在 上的单调性可得出关于实数 的不等式组，进而可求得实数 的取值范围.
【详解】
由于函数 是定义在 上的减函数，
所以，函数 在区间 上为减函数，函数 在区间 上为减函数，且有
，
即 ，解得 .
第 17 页因此，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处函数值的大小关系，考查
分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．A
【解析】
【分析】
利用指数幂、对数的性质可比较 的大小关系，再根据函数单调性求解即可.
【详解】
因为 ， ， ．
所以 ，
又函数 在 上单调递减，
所以 .
故选：A．
21．D
【解析】
【分析】
设 ，确定 的定义域、单调性和奇偶性，利用 奇偶性将不等式
转化为 ，再利用 的单调性解不等式即可.
【详解】
设 ，
因为 对任意的 恒成立，故 的定义域为R，
又
是定义在R上的奇函数，
又 均在R上单调递增，
又对于函数 ，
当 时，明显 为单调递增函数，
当 时， ，由于 在 上单调递减，故
第 18 页为单调递增函数，
又函数 为连续函数，故函数 在R上单调递增，
在R上单调递增.
由 ，
可得 ，
即 ，
从而 ，
解得 .
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判
断大小．
【详解】
对于 的大小： ， ，明显 ；
对于 的大小：构造函数 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
即
对于 的大小： ， ， ，
故选B．
【点睛】
将 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来
比较大小，此题是一道中等难度的题目．
23．A
【解析】
【分析】
由给定条件可得 ， ，再用作商法比较m，n的大小即可.
【详解】
因0<a<b<1，则 ，且lna＜lnb＜0，即有 ，因此， ，即p>0，
第 19 页又m<0，n<0，则 ，于是得m<n<0，
所以m<n<p.
故选：A
24．B
【解析】
【分析】
由对数函数、指数性质结合中间值 比较可得．
【详解】
，即 ， ，
而 ，所以 ，
故选：B．
25．A
【解析】
【分析】
利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】
解： 是偶函数且在区间 上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间 上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选： ．
26．C
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质及放缩法有 、 ，可比较 ， 的大小，再由
并构造 ，根据其单调性即可确定 ， 的大小.
【详解】
由题意， ， ，
∴ ，
由 ，则 ，而 在 上递增，
∴ ，故 ，即 ，
第 20 页∴ .
故选：C
27．C
【解析】
【分析】
构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
28．C
【解析】
【分析】
分析单调性和定义域可得 ，解不等式组即得解.
【详解】
解：令 ，二次函数抛物线的对称轴方程为 ，
由复合函数的单调性可知， .
又 在 上恒成立，所以 ，即 ，
第 21 页所以 ，解可得， ．
故选：C
29．D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意， ， ， ，则 .
故选：D.
30．B
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.
【详解】
由 ，得 ，
当 时，函数 单调递增，所以函数 单调递增；
当 时，函数 单调递减，所以所以函数 单调递减，
故选：B.
31．C
【解析】
【分析】
先化简出结合 ，然后再求交集.
【详解】
由 ， 则 ，所以集合
所以
故选：C
32．A
【解析】
【分析】
利用对数的单调性证明 ，即得解.
【详解】
解：因为 ，则 ，则 ，所以 ，从
而 ，所以
故选：A．
33．D
第 22 页【解析】
【分析】
根据分段函数的意义将方程 恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解.
【详解】
因关于x的方程 恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根且 无实根，
或 与 各有一个实根，
或 无实根且 有两个不同的实根，
当 时， ，函数 为增函数，
则函数 在 上最多一个零点， 有两个不同的实根不成立，
当函数 在 上有一个零点时，必有 ，即 ，此时， ，
因此，当 时，函数 在 上确有一个零点，方程 必有一个实根，
当 ， 时， ，函数 ，
而函数 对称轴 ，即 在 上单调递减，又 ，即 在 上必有一个零点，
因此，方程 必有一个实根，
于是得当 时， 与 各有一个实根，
若方程 无实根，必有 ，
此时方程 有两个不同的实根，函数 在 上有两个零点，
当且仅当 ，解得 ，
于是得当 时， 有两个不同的实根且 无实根，
综上得：当 或 时，方程 恰有两个互异的实数解，
第 23 页所以实数a的取值范围是 .
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
34．B
【解析】
【分析】
由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；
由对数函数的运算性质可判断④．
【详解】
解：①函数 ，则 ，故①错误；
②因为当 时， ，且 ，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得
，故②错误；
③若 ，可得 ，故③正确；
④对于函数
当且仅当 取得等号，其定义域内任意 都满足 ，故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题关键在于正确运用函数的单调性、奇偶性和对称性，以及函数图象等基本性质.
35．D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单
调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
【详解】
由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
第 24 页在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 与
的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异
减”性得到结论.
36．B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分
别构造函数 , ，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较
小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当0<x<2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b<c;
第 25 页综上， ,
故选：B.
【点睛】
本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相
应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
37．B
【解析】
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】
则 ．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
38．A
【解析】
【分析】
由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，得 ，结合
可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、 、 的大小关系.
【详解】
由题意可知 、 、 ， ， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能
力，属于中等题.
39．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在 的单调性.
【详解】
第 26 页对于A，当 时， 单调递增，故A错误；
对于B， ，故 在 和 上单调递增，故B错误；
对于C， 在 上单调递增，故C错误；
对于D， 在 上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
40．B
【解析】
【分析】
由题意得到函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，令 ，化简不等式为 ，结合
函数的单调性和奇偶性，得的 ，即 ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，
令 ，可得 ，
则不等式 可化为 ，
即 ，即 ，
又因为 ，且 在 上单调递减，在 为偶函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B.
41．C
【解析】
若函数 在 上是单调增函数，根据对数函数及复合函数单调性可知 ，解不等式
即可得到 的取值范围．
第 27 页【详解】
由题意得，设 ，根据对数函数及复合函数单调性可知：
在 上是单调增函数，且 ，所以 ，所以 ，
故选:C．
42．D
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系.
【详解】
因为 ，
，
，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，
确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
43．D
【解析】
【分析】
分析可知函数 在 上单调递减，可求得 ，然后作出函数 与函数 的图象，可知两
个函数在 上的图象有两个交点，从而可得知函数 在 上有且只有一个零点，利用
二次函数的零点分布可求得实数 的取值范围，即可得解.
【详解】
当 时， ，
二次函数 图象的对称轴为直线 ，此时 ，
第 28 页所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，不合乎题意；
当 时，即当 时，此时 ，
，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，不合乎题意；
当 时，即当 时， ，
此时函数 在 上单调递减，在 上单调递减，
由题意可得 ，解得 ，此时 .
当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ，
因为 ，则 ，
如下图所示：
因为 ，所以，函数 与函数 在 上的图象有两个交点，
由题意可知，函数 与函数 在 上的图象有且只有一个交点，
联立 ，可得 ，
第 29 页设 ，则函数 在 上有且只有一个零点，
二次函数 的对称轴方程为 ，只需 ，解得 .
综上所述， .
故选：D.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
44．BD
【解析】
【分析】
确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．
【详解】
是 上的增函数，
时， 成立， 成立，BD一定成立；
与 的大小关系不确定，A不一定成立；
同样 与 的大小关系也不确定，
如 时， ，C也不一定成立．
故选：BD．
45．AB
【解析】
【分析】
根据函数 和 的单调性，即可判断A是否正确；作出函数函数 的函数图
象，根据图像即可判断B是否正确；作出函数 的函数图象，根据图像即可判断C
是否正确；利用诱导公式，即可判断D是否正确.
【详解】
因为函数 是单调递减函数，所以 ；
函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，故A正确；
作出函数 的函数图象，如下图所示：
第 30 页由图象可知， ；故B正确；
作出函数 的函数图象，如下图所示：
当 时，可知 ；故C错误；
， ，
,
所以 ，故D错误.
故选：AB.
46．AD
【解析】
【分析】
由题意可知 ，利用“同增异减”可知A正确，结合 的对称性可知 的图像的对称性.
【详解】
第 31 页由 得，函数 的定义域为 ．
设 ，则 在 上为减函数，在 上为增函数，且 的图像关于直线
对称，所以 的图像关于直线 对称，D正确；
因为 在 上是减函数，所以 ，
所以 在 上递增且无最大值，A正确，B错误；
又 ，所以C错误．故选AD．
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性与最值的应用问题，解题时应判定复合函数的单调性，根据单调性判定最值问题，
是基础题．
47．CD
【解析】
【分析】
由条件可知 ，再利用函数的单调性，判断选项.
【详解】
因为 ，
A：故 ，A错误；B： 为减函数，故B错误；C：幂函数 在 上为减函数，故C正
确；D：函数 为减函数，故D正确.
故选：CD
48．
【解析】
【分析】
利用复合函数单调性的原则进行计算即可.
【详解】
由函数 在区间 上是单调增函数，只需
函数 在 上是单调增函数，且当 时 恒成立，所以满足 解得 ．
故答案为：
49．
【解析】
【分析】
令 ， 且 ， ，由 是增函数且 恒成立，列出关于 的不等式组并解之即
可.
【详解】
第 32 页令 ， 且 ， ，
因为函数 在 上是减函数且 在 上是减函数，
所以 是增函数且 恒成立，
即 ，解之得 的取值范围是 .
故答案为： .
50．
【解析】
【分析】
由 ，结合 在 单调递减，即可求解集.
【详解】
解：由 在 单调递减，因为 ，
所以 ，解得， ，即解集为 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了对数不等式的求解，考查了对数函数的单调性，考查了对数函数的定义域.本题的易错点是忽略了真数
需要大于零.
51．
【解析】
【分析】
根据题意得出 在 上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”以及对数函
数性质列出不等式求解即可.
【详解】
由不等式 可知， 在 上单调递增，
又因为 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，且 在 上恒成立，
所以 ，解得 ．
第 33 页故答案为：
52．①②
【解析】
【分析】
①根据 的意义作出判断即可；②分析导函数，根据 求解出 的值后再进行验证；③根据 与
互相推出的情况作出判断.
【详解】
解：①因为变量 与变量 没有关系的概率为 ，所以有99%的把握认为变量 与变量 有关系，故正确；
②由题意知 且 ，所以 ，所以 ，
所以 ，令 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 取极值，故正确；
③当 时不一定有 ，如 ；当 时，则有 ，
所以 是 成立的必要不充分条件，故错误，
故答案为：①②.
53．80
【解析】
【分析】
根据给定条件求出常数a，再建立不等关系即可得解.
【详解】
依题意， 时， ，于是得 ，解得 ，即 ，
由 得： ，即 ，解得 ，
所以其耗氧量至少需80个单位.
故答案为：80
54．（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出 范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】
（1）由已知得 ，即 ，则 ，于是得 ，
方程 ，
从而得 或 ，即 或 ， 或 ，
第 34 页所以原方程的根为 或 ；
（2）依题意，函数 中， ，从而得 .
又 ，令 ，
即一元二次不等式 的解集为 ，
因此有-1，2是关于 的方程 的两根，则 ，
所以实数a的值为2.
55．(1) ；
(2)①1次；② .
【解析】
【分析】
（1）设 待定系数法求 ，根据已知有 求参数a，即可写出 解析式，
注意定义域范围.
（2）①由题意 ，研究 情况下从 降至 、从 加热至 、从 降至
所需的时间，进而分析出加热次数；
②由（i）分析结果可知 时水温正好被加热到 ，计算从 降至 、从 加热至 的时间，列方
程求 值.
(1)
当 时，设 ，则 ，可得 ，
所以 .
当 时， ，则 ，可得 ，
综上， .
(2)
①1次，理由如下：由题意 ，
从 降至 ，则 ，可得 分钟，
所以 降至 ，所需时间 分钟，
由于小王出门34分钟，
从 加热至 ，则 ，可得 分钟，则从 加热至 所需时间 分钟；
第 35 页从 降至 ，则 ，可得 分钟，则从 降至 所需时间 分钟；
故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则 分钟，
综上，只加热过一次.
②由（i）知：从 降温至 ，所需时间为 分钟.
所以在 时，水温正好被加热到 .
从 降至 ，则 ，可得 ，
从 加热至 ，则 ，可得 ，
所以 在 上递减，且 ，即 .
56．（1） ；（2）最小值为 .
【解析】
【分析】
（1）由对数轴和所过点列方程组求得 得解析式；
（2）令 ，求出 的范围，题设不等式化简后用分离参数法变形，然后求新函数的最值可得．
【详解】
解：（1）因为 为二次函数，且 ，
所以 的图象的对称轴方程为 ，
又 的图象过点 ，
故 ，
解得 ，
所以 ；
（2）令 ，
由 ，则 ，
不等式 ，即 ，
可得 在 上恒成立，
由勾形函数性质知函数 在 时取到最小值，
第 36 页所以 ，
故 的取值范围是 ，
所以实数 的最小值为 .
57．（1） ；（2）奇函数；证明见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）利用对数的性质可得 ，解不等式即可得函数的定义域.
（2）根据奇偶性的定义证明 的奇偶性即可.
（3）由 的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
（1）要使 有意义，则 ，解得： ．
∴ 的定义域为 .
（2） 为奇函数，证明如下：
由（1）知： 且 ，
∴ 为奇函数，得证．
（3）∵ 在 内是增函数，由 ，
∴ ，解得 ，
∴不等式 的解集是 .
58．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，从而可求出不等式的解集，
（2）由 ，得 ，再由 可得 的范围，从而可求
出 的取值范围
【详解】
（1）原不等式可化为 ，即 ，
第 37 页所以原不等式的解集为
（2）由 ，
∴ ，
当 时， ， ，
第 38 页第 39 页
