文档内容
微专题：利用基本不等式求参数
【考点梳理】
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平
均数，叫做正数 a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
重要不等式 使用前提 等号成立条件
a2＋b2≥ 2 ab a，b∈R a＝b
＋≥2 ab >0 a＝b
＋≤ － 2 ab<0 a ＝－ b
ab≤ a，b∈R a＝b
≤ a，b∈R a＝b
3. 基本不等式求最值
(1)设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 2 ( 简记为：积定和最小 ).
(2)设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2(简记为：和定积最大).
4.基本不等式的综合应用，主要体现在恒成立问题中的求参数范围及与其他知识的交汇.
【题型归纳】
题型一： 基本不等式的恒成立问题
1．已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若对任意 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
4．已知两个正实数 满足 ，并且 恒成立，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．正数a,b满足 ,若不等式 对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
7．若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若对于正实数 ， ，有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
10．下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．一四面体不是正四面体，那该四面体最多有3个面全等
C． 为等比数列 的前 项和，则 ， ， 一定为等比数列
D． ， 恒成立
11．对任意的正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
13．已知 ， ， ，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
14．已知 ，若不等式 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为 ，若 ，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．若不等式 对 恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
17．设 ， ，且 恒成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
18．已知 ， ，若不等式 恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
19．已知 ，则“ 恒成立”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
20．若两个正实数 ， 满足 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
21．正割 及余割 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的．定义正割 ，
余割 ．已知 为正实数，且 对任意的实数 均成立，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
22．若不等式 对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
23．已知a>b>c，若 恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
24．若函数 对 恒有意义，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
25．若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．已知正实数a，b满足 ，若不等式 对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数 ，若 ，且 恒成立，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
二、多选题
28．已知 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
29．若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．① B．② C．③ D．④
30．已知 ，且 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．2
31．若实数 、 满足条件 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 的范围是 B． 的范围是
C． 的最大值为1 D． 的范围是
三、填空题
32．若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是___________.
33．已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为______．
34．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______.
35．若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是_____．
36．已知 ， ，且 ，则 的最大值为____．
37．已知对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是_________.
四、解答题
38．已知抛物线 的焦点为F，抛物线C上A，B两点满足 ，线段 的中点为M，过点
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司M作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，求 的最小值．
39．若对任意实数x，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
40．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，
沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12
平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出
的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面
以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米 .
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元（a>0）；若无论左右两面墙的
长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a的取值范围.
41．已知正实数x，y满足 .
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
42．已知 .
（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数m的取值范围.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解．
【详解】
， ，若不等式 恒成立，
恒成立
，
当且仅当 时取等号．
，即 的最大值为 ．
故选：B．
2．B
【解析】
【分析】
应用基本不等式“1”的代换求 的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有 ，解一
元二次不等式求解即可.
【详解】
解：由题设， ，
当且仅当 时等号成立，
∴要使 恒成立，只需 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
依题意 ，利用基本不等式求出 的最大值，即可得解；
【详解】
解：因为 ，所以 ，当且仅当 即 时取等号，因为 恒
成立，所以 ，即 ；
第 7 页故选：C
4．B
【解析】
【分析】
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，结合式子的特点联系基本不等式来求出最小值，得到关于m的不等
式，即可得到m的范围.
【详解】
因为 恒成立，则 ，
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为8，
所以 ，即 ，解得： .
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
由题可得 ，且 ，利用基本不等式解答即可．
【详解】
解：∵ ，∴ ，
∴
当且仅当 ，即 时取等号，
∵当 时，不等式 恒成立，
∴只需 ．
∴ 的取值范围为： ．
故选A．
【点睛】
本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出 ，属于一般题．
6．A
【解析】
利用基本不等式求得 的最小值，把问题转化为 恒成立的类型，求解 的最大值即可.
【详解】
第 8 页,
，且a,b为正数，
，
当且仅当 ，即 时， ，
若不等式 对任意实数x恒成立，
则 对任意实数x恒成立，
即 对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得 的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对任意 ，则有 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，即 的最大值为 ，
又由对任意 时， 恒成立，所以 ，
即 的取值范围为 .
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
先通过分离参数以及齐次式计算将不等式变形为 ，由此结合基本不等式求解出 的取值
范围.
【详解】
第 9 页由题意 对任意 ， 成立，
令 ， ，则 ，
因为 时 ，所以 ，且 时取等，则 .
故选：A.
9．A
【解析】
【分析】
由题意，利用基本不等式求出 的最小值，问题等价于 ，求出不等式的解集即可．
【详解】
若两个正实数 ， 满足 ，则 ，
，当且仅当 时取得等号，
不等式 恒成立，等价为 ，
则 ，解得 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转化恒成立为求最值问题是解决此
题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
根据 判断A；根据四面体是由四个边长为 的等腰三角形围城的三棱锥可判断B；根据等比数
列 的公比 时， 可能为零，判断C；根据 ，判断D；
【详解】
解：对于A选项，由于 ，故函数 最
小正周期不是 ，故错误；
对于B选项，若该四面体是由四个边长为 的等腰三角形围城的三棱锥，此时四个平面均全等，故错误.
对于C选项，当等比数列 的公比 时， 可能为零，故不是等比数列，故错误；
第 10 页对于D选项， ，当且仅当 ，即 ，方程无解，
故 ，故D选项正确；
故选：D
11．C
【解析】
先根据不等式 恒成立等价于 ，再根据基本不等式求出 ，即可求解.
【详解】
解： ，
即 ，
即
又
当且仅当“ ”，即“ ”时等号成立，
即 ，
故 .
故选：C.
12．A
【解析】
根据题中条件，利用基本不等式，求出 的最小值；得到 ，求解，即可得出结果.
【详解】
因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立；
又不等式 恒成立，
所以只需 ，即 ，解得 .
故选：A.
第 11 页【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．C
【解析】
【分析】
由题意可得 恒成立，由 利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】
若 恒成立，则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以
所以 ，即 ，
解得： ．
故选：C
【点睛】
方法点睛：求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式 （ 是实参数）恒成立，将 转化为 或 恒成立，进
而转化为 或 ，求 的最值即可.
14．C
【解析】
【分析】
根据已知先判断 ，将所求的不等式两边平方，分离参数，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
，不等式 恒成立，所以 ，
两边平方得 ，
第 12 页恒成立，需 ，
而 ，当且仅当 时，等号成立，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查恒成立问题，平方等价转化，参变分离利用基本不等式是解题的关键，属于基础题.
15．D
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 ，
所以 对于任意的 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 ，又 ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，故 ，
所以a的取值范围是 ．
故选：D．
16．C
【解析】
分离参数使不等式化为 ，使 乘以 利用基本不等式求出 的最小值即可求
解.
【详解】
将不等式化为 ，只需当 时， 即可，
由
第 13 页，
当且仅当 时取等号，故 ,故m的最大值为9.
故选：C
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于中档题.
17．C
【解析】
【分析】
原式等价于 ，根据均值不等式求得左侧最小值，进而估算出结果.
【详解】
解： 等价于 ，
故得到 则 的最大值是4.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、
凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
18．D
【解析】
【分析】
利用参变分离的方法将不等式变形为 恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【详解】
由已知 ， ，若不等式 恒成立，
所以 恒成立，
转化成求 的最小值，
，
第 14 页当且仅当 时取等
所以 ．
故选：D．
19．C
【解析】
【分析】
先对不等式的左侧两次运用均值不等式求出最小值，然后由恒成立问题处理策略转为最值即可求解.
【详解】
解：由题意，利用基本不等式可得
，
当且仅当 且 时等号成立，
因为 恒成立，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以已知 ，则“ 恒成立”是“ ”的必要不充分条件，
故选：C.
20．D
【解析】
【分析】
由题意和基本不等式可得 的最小值，再由恒成立可得 的不等式，解不等式可得 范围．
【详解】
正实数 ， 满足 ，
，
当且仅当 即 且 时 取最小值8，
恒成立， ，
解关于 的不等式可得
故选： ．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．
21．D
第 15 页【解析】
【分析】
由参变量分离法可得出 ，利用基本不等式可求得 的取值范围，即可得解.
【详解】
由已知可得 ，可得 ，
因为 ，则 ，
因为
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
由题意可知 对所有正数x，y均成立，即 ，然后结合均值不等式求出 的最
大值即可.
【详解】
解：∵ 对所有正数x，y均成立，
∴ 对所有正数x，y均成立，
∴
又 ，当且仅当 时等号成立，∴
故m的最小值为
故答案为：B
23．D
【解析】
【分析】
由 ，知 ， ， ，由 ，得 ，结合基本不等式求出
第 16 页的最小值，得到m的最大值．
【详解】
由 ，知 ， ， ，
由 ，得 ，
又 ，
，当且仅当 ，
即 时， 取得最小值9，
， 的最大值为9．
故选： ．
24．D
【解析】
【分析】
根据对数函数以及基本不等式求出 的取值范围即可．
【详解】
解：由题意得： 恒成立，
即 恒成立，
，当且仅当 即 时“ ”成立，
故 ，
故选： ．
25．D
【解析】
【分析】
分离变量将问题转化为 对于任意实数 恒成立，进而求出 的最大值，设
及 ，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】
由题意可得， 对于任意实数 恒成立，则只需求 的最大值即可， ，
设 ，则 ，再设 ，则
第 17 页，当且仅当 时取得“=”.
所以 ，即实数a的最小值为 .
故选：D.
26．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出 的最小值16，分离参数即可.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号．
由题意，得 ，即 对任意的实数x恒成立，又 ，所
以 ，即 ．
故选：D．
27．B
【解析】
【分析】
由原不等式恒成立转化为函数 单调递增，利用导数恒大于等于0建立不等式，再分离参数后由均
值不等式求解.
【详解】
由题意， ，不妨设 ，
由 ，得 ，故 ，
设 ，则
所以函数 在区间 上单调递增，
故 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，又 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ．
故选：B
第 18 页28．AC
【解析】
A.由 判断；B.由 判断；C.由 判断；D.由
判断.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B不正确；
因为 ，故C正确；
因为 ，当且仅当 时取等号，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
29．ACD
【解析】
【分析】
①.由 判断；②.由 判断；③.由 判断；④.
由 判断.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ，故C正确；
因为 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
30．ACD
【解析】
不等式变形为 ，转化为 ，利用基本不等式求 的最小值，再求 的取值
第 19 页范围.
【详解】
， ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ， 解得： 或 ，选项中满足条件的有ACD.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键是不等式变形 ，转化为最值问题，第二个关键是“1”的妙用，
求最值.
31．BD
【解析】
对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解
【详解】
对于A， ，故 ，化简得，
，所以， ，A错
对于B， ，又因为实数 、 满足条件 ，故 ，所以， ，B对
对于C，由于 ，所以， ，
故 ，化简得， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ，C错
对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即 时，直线与圆相切，
当过定点的直线的斜率存在时，令 ，
则 可看作圆 上的动点到定点 的连线的斜率，
可设过定点 的直线为： ，
该直线与圆 相切，圆心到直线的距离设为 ，
可求得 ，化简得 ，故 ，故D对
第 20 页故选：BD
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，以及直线与圆的位置关系，主要考查学生的转化思想和数形结合思想，属于中档题
32．
【解析】
【分析】
先分离参数 ，再运用基本不等式可求解.
【详解】
因为对任意 ， 恒成立，只需满足 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.
故实数 的取值范围是 .
故答案为：
33．9.
【解析】
【分析】
将题目所给不等式分离常数 ，利用基本不等式求得 的最大值.
【详解】
由 得 恒成立，而 ，故 ，
所以 的最大值为 .
【点睛】
本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属
于中档题.
34．
【解析】
【分析】
根据 ，利用基本不等式得出 ，即 ，求解即可得到得出
的范围.
【详解】
因为 ，
所以 （当且仅当 时等号成立），
因为 恒成立，
所以 ，解得： .
第 21 页故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.
35．
【解析】
利用基本不等式求出 的最大值，即可得出结果.
【详解】
，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
.
故答案为： .
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是化简式子 利用基本不等式求出最大
值.
36．
【解析】
由 ， ，
利用均值不等式得 ，
解得 的取值范围，进而求得 的最大值.
【详解】
由 ， ，得 ，
即
又 ，
当且仅当 ，即 时，取等，
第 22 页故 ，
解得 或 （舍）
故 ，即 的最大值为 ，
故答案为： .
37．不存在
【解析】
【分析】
利用参变量分离法结合基本不等式求出 的取值范围，即可得解.
【详解】
由已知可得 ， ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立， ，故实数 的最大值不存在.
故答案为：不存在.
38．最小值为 ．
【解析】
【分析】
由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】
设抛物线的准线为l，作 于点Q， 于点P，
如图所示：
由抛物线的定义可知 ， ，
设 ，因为 ，
所以 ，
又因为M是线段 的中点，
所以由中位线定理得 ，
第 23 页于是 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
力.
39．
【解析】
【分析】
令 ，当 时， ，利用基本不等式和不等式的性质求出 的范
围，再代入 ，最终可求出 的值域，再根据 即可得实数k的取值范围．
【详解】
令
当 时，
当 时，
，当且仅当 时等号成立
或
即 或
或
或
综合得
第 24 页因为不等式 恒成立，
则
.
40．(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低
(2)
【解析】
【分析】
（1）设总造价为 元，列出 ．利用基本不等式求解函数的最值即可．
（2）由题意可得， 对任意的 ， 恒成立，参变分离可得 恒成立，即
，利用基本不等式求解函数的最值即可．
(1)
解：设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为 米，则屋子前面新建墙体长为 米，
则
因为 .
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以当 时， ，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.
(2)
解：由题意可得， 对任意的 恒成立，
即 ，从而 ，即 恒成立，
又 .
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 .
41．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
第 25 页（1）根据 直接求解出 的最大值，注意取等条件；
（2）利用“ ”的代换结合基本不等式求解出 的最小值，再根据 求解出 的取值范围.
【详解】
（1） ，所以 ，解得 ，
当且仅当 取等号，∴ 的最大值为 .
（2） ，
当且仅当 ， 取等号，
∴ ，解得 .
即a的取值范围是 .
42．（1）16；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式即求；
（2）由题知只需求 的最值即可.
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
当且仅当 时，即 时， 有最小值16.
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， 有最大值 ，
∵ 恒成立，
∴ .
第 26 页第 27 页
